Hodnost matice Robert Mařík a Lenka Přibylová 27. července 2006 bbi q q rag ©Lenka Přibylová, 2006 Q Obsah Najděte hodnost matice A...................... 3 Najděte hodnost matice B...................... 15 bbi q 19 199 ©Lenka Přibylová, 2006 | Najděte hodnost matice A. A = ( 1 2 -5 1 "2>\ 3 1 -4 6 -2 -1 2 -1 1 6 0 1 3 -4 1/ ©Lenka Přibylová, 2006 Q Najděte hodnost matice AI / 1 2 -5 1 -2 \ 3 1-4 6-2 -12-1 1 6 \ 0 1 3-4 1 / A = / 1 2-5 1 -2 \ V 7 v Řádek R\ bude klíčový. Zůstane jako první a pomocí něj budeme nulovat zbylá čísla v prvním sloupci. ©Lenka Přibylová, 200ř Najděte hodnost matice A. J / -5 1 -2 N A = 3 1-4 6-2 -12-1 1 6 \ 0 1 3-4 1 J ( 1 2-5 0 -5 11 1 3 "2\ 4 Vynulujeme prvek «21- Provedeme —3R\ + #2- ©Lenka Přibylová, 20061 Najděte hodnost matice Aj / 1 2 -5 1 -2n\ 3 1-4 6-2 -12-1 1 6 \ o i 3-4 i y A = 0 0 V 2 -5 -5 11 4 -6 1 3 2 "2\ 4 4 Vynulujeme prvek b^\. Provedeme R\ + R3. ©Lenka Přibylová, 20061 Najdít^iodnosHnatic^Aj / 1 2 -5 1 -2 \ 3 1-4 6-2 -12-1 1 6 \ o i 3-4 i y A = 0 0 2 -5 5 11 4 -6 1 3 1 3 2 4 "2\ 4 4 i/ Prvek «41 je nulový a tento řádek tedy stačí pouze opsat. ©Lenka Přibylová, 2006 Najděte hodnost matice A. J A = ( 1 2 -5 3 1-4 -1 2 -1 \ 0 1 3 (12 0 1 V -5 3 1 6 -2 1 6 -4 i y 4 1 y 0 0 2 -5 5 11 4 -6 1 3 1 3 2 4 "2\ 4 4 i/ • První řádek (původně klíčový) zůstane. v • Červeně označený řádek obsahuje jedničku na začátku a zvolíme jej jako další klíčový řádek. To je nej šikovnější, protože #42 = 1, zatímco #22 = ~~ 5 a #23 = 4. TBf ©Lenka Přibylová, 2006 A = Najděte hodnost matic^A^ / 1 2 -5 1 -2 \ 3 1-4 6-2 -12-1 1 6 \ o i 3-4 i y -5 1 -2 \ 3-4 1 26 -17 9 / 1 2 0 1 0 0 V 0 o v o 2 -5 5 11 4 -6 1 3 1 3 2 •4 Vynulujeme prvek #22- Provedeme 5R4 + J?2- I_ ©Lenka Přibylová, 2006 Najděte hodnost matice Äľ| A = 2-5 1 -2 \ 3 1-4 6-2 -12-1 1 6 \ 0 1 3-4 1 y -5 1 -2 \ 3 -4 1 26 -17 9 / 1 2 0 1 0 0 \ 0 0 -18 18 0 ) 0 0 2 -5 -5 11 4 -6 1 3 1 3 2 4 "2\ 4 4r i'. Vynulujeme prvek «32- Provedeme —4R4 + i?2- ■ ej ta as-—-—™—— (c)Lenka IJŕibylovä, LdU(J61 Najděte hodnost matice A. A i ( 1 2 - -5 1 ~2\ r 1 2 -5 1 "2>\ 3 1 -4 6 -2 0 -5 11 3 4 -1 2 - -1 1 6 0 4 -6 2 4 K 0 1 3 -4 1 x0 1 3 - -4 l 1 i 2 -5 1 ■ 1 2 -5 1 0 1 3 -4 i 0 1 3 -4 1 0 0 26 17 9 0 0 26 -17 9 0 -18 18 ^00 -1 1 Poslední řádek můžeme vydělit číslem 18. Ostatní řádky zůstanou. 5BI Cl 19 ©Lenka Přibylová, 20061 Najděte hodnost matice A. J A = ( 1 2 -5 1-2 \ 3 1-4 6-2 -12-1 1 6 \ 0 1 3-4 1 ) (12 -5 1 -2 \ 0 1 3-4 1 0 0 26 -17 9 0 o 0 2 1 0 18 5 3 1 18 1 4 1 0/ 1 0 0 o / 1 2 0 1 0 0 V 0 0 2-5 1 -2 \ -5 11 3 4 4-624 1 3-4 1 J -5 1 -2 \ 3-4 1 26 -17 9 -1 1 0 y První dva řádky zůstanou. Prvek #34 = —1 je šikovnější pro další úpravy, než 033 = 26. Proto jako další klíčový volíme řádek R4. SĚĚ Cl l>3 ©Lenka Přibylová, 20061 7 1 2 • -5 1 -2\ (1 2 -5 1 3 1 -4 6 -2 0 -5 11 3 4 -1 2 • -1 1 6 0 4 -6 2 4 V 0 1 3 - •4 1 7 1 3 - -4 / i 2 -5 1 / 1 2 -5 1 "2 \ 0 1 3 -4 1 0 1 3 -4 1 0 0 26 -17 9 0 0 26 -17 o! V o 0 -18 18 V o o -1 1 26 / 1 2 -5 1 • -2 \ 0 1 3 -4 1 _v 0 0 1 -1 0 v 0 0 0 9 9 i Vynulujeme prvek «33. Provedeme 26R4 + K3. H □ Ba---— ©Lenka Přibylová, Najděte hodnost matice A. J / 1 2 -5 1 -2 \ A = 3 1-4 6 -2 -12-1 1 6 \ o i 3-4 i y 1 -2 \ -4 1 9 1 -2 \ 3-4 1 1-1 0 o 9 9 y / 1 2 0 1 0 0 \ 0 0 -18 / 1 2 -5 0 1 0 0 \ 0 0 -5 3 26 -17 18 / 1 2 0 -5 0 4 \0 1 / 1 2 -5 0 1 3 0 0 26 \ 0 0 -1 -5 1 -2 \ 11 3 4 -6 2 4 3-4 1 J 1 -2 \ -4 1 -17 9 1 0 J h (A) =4 Matice je ve schodovitém tvaru. Schodovitý tvar má čtyři řádky. Hodnost je čtyři. 5BI Cl 19 ©Lenka Přibylová, 20061 Najděte hodnost matice B. I ( 3 -1 0 1 -2 \ 2 1-1 2-3 3-2-1 1 -2 V 2 -5 1-2 2 J B = BB1 Q Q OS ©Lenka Přibylová, 2006 Q B = 2 3 V 2 -1 1 -2 -5 0 1 1 1 1 2 1 2 2 \ 3 -2 /2 1 -1 2 -3 \ 2/ V Zvolíme červený řádek jako klíčový. Tento řádek zůstává a píšeme ho jako první. Najděte hodnost matice £>7| / 3 -1 0 1 2v2 2 1-12 -3'"(-3) 3-2-1 1 -2 V 2 -5 1-2 2 B = /2 0 V 1 ■5 1 3 2 4 "3\ 5 \2R1-3R2 = ... (č) LenkaPřTbylova^ 20061 Najděte hodnost matice b7| / 3 -1 0 1 -2 \ R= 2 1-1 2 -3x(-3) 3-2-1 1 -2^2~ V 2 -5 1-2 2 J /2 0 0 1 -1 ■5 3 ■7 1 V 2 4 4 "3\ 5 5 2R3 - 3R2 = • • • ©Lenka Přibylová, 2006 Najděte hodnost matice b7[ / 3 -1 0 1 -2 \ R= 2 1-1 2 -3\(-i) 3-2-1 1-2 V 2 -5 1-2 2 /2 0 0 V o 1 -1 ■5 3 ■7 1 6 2 2 4 4 4 "3\ 5 5 BBI BI H 188 ©Lenka Přibylová, 2006 Najděte hodnost matice b7[ / 3 -1 0 1 -2 \ 2 1-1 2-3 3-2-1 1 -2 V 2 -5 1-2 2 J (2 1-1 2 -3 \ b = \ ) ŕ 2 0 0 Vo 1 -1 ■5 3 ■7 1 6 2 2 4 4 •4 "3\ 5 5 5/ První řádek zůstává. EBP Q FSS ©Lenka Přibylová, 20061 Najděte hodnost matice b7[ / 3 -1 0 1 -2 \ 2 1-1 2-3 3-2-1 1 -2 V 2 -5 1-2 2 J (2 1-1 2 -3 \ 0-5 3-4 5 b = V ) ŕ 2 0 0 Vo 1 -1 ■5 3 ■7 1 6 2 2 4 4 4 "3\ 5 5 5/ Další klíčový řádek bude jeden z červených řádků. Protože by vytváření dalších nul bulo složitější, uděláme mezikrok - vytvoříme nejprve jedničku. • Druhý řádek ponecháme na svém místě. ©Lenka Přibylová, 2006 B = Najděte hodnost matice B. I / 3 -1 0 1 -2 \ 2 1-1 2-3 3-2-1 1 -2 V 2 -5 1-2 2 J (2 1-1 2 -3 \ 0-5 3-4 5 0 2 2 0 0 \ /2 0 0 1 -1 ■5 3 ■7 1 6 2 2 4 4 •4 Zvolíme červený řádek jako klíčový a provedeme R2 — R3 = ■ ■. b8P~BÍ q 133 ©Lenka Přibylová, 2006 Najděte hodnost matice B. j B = ( 3 -1 2 1 0 1 -2 \ -1 2 -3 3-2-1 1 -2 V 2 -5 1-2 2 / 2 -3 \ -4 5 0 0 o oj / 2 1-1 0-5 3 0 2 2 \ 0 1 1 /2 0 0 Vo 1 -1 ■5 3 7 1 6 2 2 -4 -4 -4 5*(-i) Vytvoříme jedničku i v dalším řádku: R2 — R4 =____ (c) Lenka Přibylová, 2006 1 Najděte hodnost matice B. /3 -1 0 1 - -2\ B = 2 1 -1 2 - -3 3 -2 -1 1 - -2 -5 1 -2 í2 1 -1 2 0 -5 3 -4 5 0 2 2 0 0 1 1 0 o ) ŕ2 1 -1 2 "M 0 -5 3 -4 5 0 -7 1 -4 5 \o -6 2 -4 5/ v • Řádek R3 je násobkem řádku R4. • Jeden z nich můžeme tedy odstranit. f3 -1 0 1 - -2 \ 1 2 1 -1 2 - -3 B = 3 -2 -1 1 - -2 -5 1 -2 2/ í 2 1 -1 2 -3 \ 0 -5 3 -4 5 1 1 0 o ) \ í2 i -1 2 -M 0 -5 3 -4 5 0 -7 1 -4 5 -6 2 -4 2 0 1 1 1 1 Odstranili jsme třetí řádek. První řádek zůstává. Nový klíčový řádek bude řádek s jedničkou. Píšeme jej jako druhý. ebi B b sa ©Lenka Přibylová, 2ÔÔ6I Najděte hodnost matice B. I B = ( 3 -1 0 2 1-1 3 -2 -1 V 2 -5 1 / 2 1-1 2 0-5 3-4 \ 0 1 1 0 r 2 1 -1 1 0 -5 3 0 -7 1 x0 -6 2 2 1 -1 2 0 1 1 0 0 0 8 -4 2 -4 -4 -4 3 \ 5 5 5 / [ Vytvoříme nulu místo čísla —5. Provedeme tedy 5R$ + R2 = ... El iTTST" MLenh ľnhylovn. !!(MM| Najděte hodnost matice B. I / 3 -1 2 1 - 3 -2 -5 B = í2 \ 2 - 1 -1 0 -5 \ 0 1 h (A) = 3 1 ^2 1 -1 2 0 -5 3 -4 5 0 -7 1 -4 5 \o -6 2 -4 2 1 -1 2 -3 \ 0 1 1 0 0 0 0 8 -4 5 / Matice je ve schodovitém tvaru. Schodovitý tvar má tři řádky, h (A) =3. sbi m ©Lenka Přibylová, 20061 Konec ©Lenka Přibylová, 2006 Q