Přímá metoda integrace
Robert Mařík a Lenka Přibylová 28. července 2006
ESI   Q   Q 133
©Lenka Přibylová, 2006 Q
Obsah
(2x + 3^/x +     — sin x + ex) dx.................. 3
°^dx................................ 20
xL
1
t-dx.............................. 26
(x + 6)3
f(ax + b) dx.............................. 30
tg x dx................................. 37
-dx............................... 42
xL — 5
0 XJ[--       dx............................ 45
x1 + 4x + 5
1
—---dx............................ 49
x1 + 2x + 3
ESI   Q   Q 133
©Lenka Přibylová, 2006 Q
Najdět^ ex) dx. |
(2x + 3\/x h—^ — sin x + čx) dx
©Lenka Přibylová, 2006 Q
Najděte J(2x + ?>\f+^ — sinx + ex) dx. | (2x + 3\/x h—^ — sinx + čx) dx
Integrál ze součtu je součet integrálů. Integrál násobku funkce je násobek integrálu.
ESI   Q   Q 133
©Lenka Přibylová, 20061
Najděte j(2x + 3V+^š ~ sinx + ex) dx. j
6
(2x + 3\/x h—ô — sin x + ex) dx
x
= 2 / x dx
Vytkneme konstantu před integrál.
©Lenka Přibylová, 200i
Najděte J(2x + ?>\f+^ — sinx + ex) dx. j
(2x + 3\/x h—^ — sinx + čx) dx
i
= 2 / xdx + 3 / x4 dx
Vytkneme konstantu a přepíšeme do mocninné funkce.
ESI   Q   Q ©Lenka Přibylová, 2006
Najděte J(2x + ?>\f+^ — sinx + ex) dx. j
(2x + 3\/x h—^ — sinx + čx) dx
1  - 3
= 2/ xdx + 3/x4dx + 6/ x dx
Vytkneme konstantu a přepíšeme do mocninné funkce.
ESI   Q   Q ©Lenka Přibylová, 2006
Najděte J(2x + ?>\f+^ — sinx + ex) dx. j
(2x + 3\/x h—^ — sinx + čx) dx
1  - ' 3
= 2/ xdx + 3/x4dx + 6/ x   dx — / sinxdx
Vytkneme konstantu —1.
Najdět^ ex) dx. |
(2x + 3\/x h—^ — sin x + čx) dx
= 2 / xdx + 3 / x^dx + 6 I x~3 dx — I sinxdx+ / ex dx
©Lenka Přibylová, 2006 Q
Najděte J(2x + ?>\f+^ — sinx + ex) dx. |
(2x + 3\/x + -^t — sinx + ex) dx
x3
= 2 y xdx + 3 / x?dx + 6 / x_3dx— / sinxdx+ / ex dx
2
= 2 —
Najděte J(2x + ?>\f+^ — sinx + ex) dx. |
(2x + 3\/x + -^t — sinx + ex) dx
x3
= 2 y xdx + 3 / x?dx + 6 / x_3dx— / sinxdx+ / čxdx = 2—+3
2 '5/4
Najděte J(2x + 3\f+^ — sinx + ex) dx. |
(2x + 3\/x + -^t — sinx + ex) dx
x3
= 2yxdx + 3yx4dx + 6/ x   dx — / sinxdx+ / e dx
_ A- _ ./v
= 2—+3—-+6
2       5/4 -2
Najděte J(2x + 3\f+^ — sinx + ex) dx. |
(2x + 3\/x + -^t — sinx + ex) dx
x3
= 2jxdx + 3jx^dx + 6jx   dx — / sinxdx+ / e dx
= 2y+3s74+6^2 "(_cosx)
sin x dx = — cos x + c
g|   Q   Q3J ©Lenka Přibylová, 2006
Najděte J(2x + ?>\f+^ — sinx + ex) dx. |
(2x + 3\/x + -^t — sinx + ex) dx
x3
= 2 J xdx + 3 J x4dx + 6 J x   dx — J sinxdx+ / e dx
x^~       X^ ^ ^       X ^
= 2y+3 5/4+ 6^2 "(_ cosx)+e*+c
ex dx = ex + c
g|   Q ©Lenka Přibylová, 2006
Najděte J(2x + ?>\f+^ — sinx + ex) dx. j
(2x + 3\/x + -^t — sinx + ex) dx
x3
= 2 y xdx + 3 y x4dx + 6 J x   dx — J sinxdx+ / e dx
x^~       X^ ^ ^       X ^
= 2y+3 5/4+ 6^2 "("cosx)+eX+c
Upravíme.
ESI   Q   Q   Q3J ©Lenka Přibylová, 2006
Najděte J(2x + ?>\f+^ — sin x + ex) dx. j
(2x + 3\/x + -^t — sin x + ex) dx
x3
= 2 J xdx + 3 J x4dx + 6 J x   dx — J sinxdx+ / e dx
x^~       X^ ^ ^       X ^
= 2y+3 5/4+ 6^2 "("cosx)+eX+c
2 12 5/4 = XZ + — xD/4
5
Upravíme.
ESI   Q   Q ©Lenka Přibylová, 2006
Najděte J(2x + ?>\f+^ — sinx + ex) dx. j
(2x + 3\/x + -^t — sinx + ex) dx
x3
= 2 y xdx + 3 y x4dx + 6 J x   dx — J sinxdx+ / e dx
x^~       X^ ^ ^       X ^
= 2y+3 5/4+ 6^2 "("cosx)+eX+c
= x2+12x5/4_3,l
5 x2
Upravíme.
ESI   Q   Q ©Lenka Přibylová, 2006
Najděte J(2x + 3\f+^ — sin x + ex) dx. j
(2x + 3\/x + -^t — sin x + ex) dx
x3
= 2 J xdx + 3 J j4dx + 6 J x   dx — J sinxdx + / e dx
x^~       X^ ^ ^       X ^
= 2y+3 5/4+ 6^2 "("cosx)+eX+c
o      12   c/4 1
= x + —x1  — 3^- + COS X 5 xL
Upravíme.
ESI   Q   Q   Q3J ©Lenka Přibylová, 2006
Najděte J(2x + ?>\f+^ — sinx + ex) dx. j
(2x + 3\/x + -^t — sinx + ex) dx
x3
= 2 y xdx + 3 y x4dx + 6 J x   dx — J sinxdx+ / e dx
x2       X^ ^ 4       X 2
= 2y+3574 +6^2 " (-cosx)+eX+c
= x2 + ^x5/4 - 3^ +cosx + ex + c 5 xz
Upravíme.
ESI   EJ   Q   Q3J ©Lenka Přibylová, 2006
©Lenka Přibylová, 2006 Q
x + 3
x-
x 3 dx = I — h—o di
Pro integrování je vhodnější součet, proto zlomek rozdělíme na dva.
EEP^EÍ   la   HI^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^Tc^Lenka Přibylová. 2()()hfa
x + 3
x-
x 3 dx = I — h—ôdi
- dx + 3
dx
x-
Každý sčítanec integrujeme zvlášť, konstanty vytkneme před integrál.
EEP^EÍ   la   HI^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^Tc^T,enka Přibylová. 2()()hfa
- dx = ln
x
X
+ c
©Lenka Přibylová, 2006
x dx —
v_
X
n+l
n + 1
+ c
©Lenka Přibylová, 2006
x + 3
x-
x 3 dx = I — H—ôdi
= / - dx + 3
X J x
■1
dx
= ln x +3
x
-1
+ c
= ln
x
3
- - +c
x
Nakonec výraz upravíme.
©Lenka Přibylová, 2006
©Lenka Přibylová, 2006 Q
Ľedná se o mocninnou funkci.
©Lenka Přibylová, 2006
/ f(ax + b) dx = -F(ax + b), kde F je integrál z /.
J CL
—2 X z
V našem případě je f(x) = x   ,F(x) = ——     = 1.
EEI   El   13 138
1BBT ©Lenka Přibylová, 2006
2x + 5 1
(2 - x}
dx =
dx =
e x dx —
e3x dx =
©Lenka Přibylová, 2006Q
Najděte následující integrályT|
1 1
-- dx = - ln 2x + 5 + C
2x + 5 2
(2 - x}
dx =
č J dx =
- dx = ln
x
x
/ /(ax + fc) dx = -F(ax + b), v našem případě a
= 2.
1 1
--- dx = - ln 2x + 5 + C
2x + 5 2
--dx = / (2 - 1 • x) ~5 dx
(2 - x)5        J v y
č x dx =
e3x dx =
Přepíšeme na mocninnou funkci.
©Lenka Přibylová, 2Ô061
EEI
Najděte následující integrály. |
1 1
--- dx = - ln 2x + 5 + C
2x + 5 2
——t"f dx = /(2 — 1 • x) ~5 dx
-x)5    yv 7
(2-x)
(2-*) -4
-1
č x dx =
A-     VJ.A - _ A
n + 1
/ f(ax + b) dx = -F(ax + b), v našem případě a = —1.
J (X
bbi bi ia iaa
WĚ ©Lenka Přibylová, 2006
Najděte následující integrály. |
1 1
--- dx = - ln 2x + 5 + C
2x + 5 2
——t"f dx = /(2 — 1 • x) ~5 dx
-x)5    yv 7
(2-x)
(2-x)
-4 -1
1 +c
4(2-x)4
e x dx =
e3x dx =
3BI    El    la 198
©Lenka Přibylová, 2006
Najděte následující integrály. |
1 1
--- dx = - ln 2x + 5 + C
2x + 5 2
,c dx — í(2 — l-x)~5dx
(2-x)
(2-x)~4
-4 1
4(2-x)4
-1
+ C
e x dx = —e x + C
X
(c) Lenka Fnbylová, 20061
Najděte následující integrályTj
jí_±
ex dx = ex
1
f(ax + b) dx = -F(ax + b), v našem případě a = 3.
4(2-x)4 e-xdx = -e~x + C
e3x dx = ^č3x + C 3
+ c
EB1   Q   Q Q3
©Lenka Přibylová, 2006 Q
tgxdx
EEI   EJ   Q 133
©Lenka Přibylová, 2006 Q
f      ,       f smx -
/ tg x dx = / -dx
J J cos x
V případě, že je v integrálu funkce tangens vždy jej rozepisujeme pomocí sinus a cosinus.
EJ   [3J   138 © Lenka Přibylová, 2ÔÔ61
tg x dx =
sinx
dx
cosx — sinx
cos x
dx
• Platí (cos x)' = — sin x. Čitatel se tedy liší od derivace jmenovatele jenom konstantím násobkem.
• Vynásobíme a vydělíme integrál tímto násobkem.
BEJ   Q   Q   Í5B"^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^c7Lenka Přibylová. 20061
tg x dx =
smx
dx
cosx — sinx
cos x (cosx)7 cosx
dx
dx
Formálně použijeme vztah (cos x)f = — sin x, abychom viděli vzorec 7 v 7 dx = ln|/(x)| + c.
/(*)
©Lenka Přibylová, 2006
tg x dx =
sinx
dx
cosx — sinx
cos x (cosx)7
dx
dx
= -ln
cosx cosx
+ c
/(*)
dx = ln |/(x)| + c
©Lenka Přibylová, 2006
eei ej q igg
©Lenka Přibylová, 2006 Q
V případě jednoduché ryze lomené racionální funkce je vhodné použít
ľ ff(x)
vzorec J ^x = ^n \f(x) I + c- Funkce f(x) = x2 — 5, proto v
čitateli potřebujeme f'(x) = 2x. Vytkneme před integrál 2.
EEI~ El   □""E™"^   ©Lenka Přibylová, 2006J
eei ej q igg
©Lenka Přibylová, 2006 Q
x + 2
x2 + 4x + 5
dx
ebi ej q igg
©Lenka Přibylová, 2006 Q
x + 2 1 —---- dx = -
x2 + 4x + 5 2
2x + 4 x2 + 4x + 5
dx
• Platí (x2 + 4x + 5)7 = 2x + 4. Čitatel se tedy liší od derivace jmenovatele jenom konstantím násobkem.
• Vynásobíme a vydělíme integrál tímto násobkem.
BEJ   Q   Q   JgW*^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^c7Těnka Přibylová. 20061
x + 2 x2 + 4x + 5
dx = -
1
2
1
2
2x + 4
dx
x2 + 4x + 5 (x2 + 4x + 5)' x2 + 4x + 5
dx
Přepíšeme do tvaru / ^S*} dx.
J fix)
_m_
133 (c)Lenka Přibylová, 2ÖÖ61
x + 2 x2 + 4x + 5
dx = -
1
2
1
2
2x + 4
dx
x2 + 4x + 5 (x2 + 4x + 5)' x2 + 4x + 5
dx
= -ln(x2 + 4x + 5) +c
/(*)
dx = ln |/(x)| + c
(c)Lenka Přibylová, 2ÔÔ61
Najděte
x1 + 2x + 3
dx.
x2 + 2x + 3
dx
ebi ej q igg
©Lenka Přibylová, 2006 Q
Najděte
x1 + 2x + 3
dx.
x2 + 2x + 3
dx
Tentokrát předchozí postup nelze použít. V čitateli je konstanta. Použijeme proto vzorec J       j\2 ^x = ~Ä arc*g ~^
Q Jää"^^—————————————————————M   ©Lenka Přibylová, 2006 j
Najděte
x2 + 2x + 3
dx.
_I_dx = l [_i_
x2 + 2x + 3        2J (x + l)2 + 2
dx
Jmenovatel přepíšeme do tvaru (x + něco)2 + zbylá konstanta. Tomuto triku říkáme doplnění na čtverec:
\ 2 2
x+ax + b=\x+- \ — — + b
EBI   El   13 138
ISaf ©Lenka Přibylová, 2006
x2 + 2x + 3
dx = -
1
2
(x + l)2 + 2
dx
1 x + 1
arctg —— + c
V2
V2
( ľ í
Nyní použijeme vzorec / f(ax + b)dx = -F(ax + b) + c pro
j ci
i
/(*) = ^2'tedy
/* 1 x +1
y /(x + 1) dx = F(x + 1) + c = —— arctg ^_ + c.
Q   ISI^^M^M^M^M^M^M^M^M^M^M^M^M^M^M^M^M^M^M^M^M^M^M^M^M^M^M^7ŕST,pnka Přibylová. 2006
Najděte následující integrály. |
J (ex + e~x)2dx
sin x cos x dx
J sin2xdx
EEI   EJ   Q 133
©Lenka Přibylová, 2006 Q
Najděte následující integrály. |
J(ex + e~xf dx = j(e2x + 2 + e~2x) dx
sin x cos x dx
J sin2xdx
Upravíme podle vzorce (a + b)2:
(é* + e~x)2 = elx + 2exe~x + e~LX = ezx + 2 + e
2x
2x
2x
-2x
sbi   El   lal las
■©Le7
Najděte následující integrály. |
(ex + e~x)2dx = J\elx + 2 + e~lx) dx
= ^e2x + 2x-^e~AX + C
-2x
sin x cos x dx
/integrujeme podle vzorců
v
Najděte následující integrály. I
(ex+e~x)2dx = J(e2x+2 + e~2x)dx
le2x + 2x-le~2x + C
sinx cos xdx = ^ J sin(2x) dx J sin2 xdx
Použijeme vzorec
sin(2x) = 2 sinx cos x
EBI   Q   Q ©Lenka Přibylová, 20061
Najděte následující integrály. |
(ex + e~x)2dx = J\elx + 2 + e~lx) dx
le2x + 2x-le~2x + C 2 2
1 f 11
sinx cos xdx = - / sin(2x) dx = - • - • ( — cos2x) + C
J sin2 xdx
Integrujeme podle vzorců
a
J f(ax + b) dx = ^F(ax + b) , kde J f (x) dx = F(x).
bh h ia iaa
(čjLenka Přibylová, 2006
Najděte následující integrály, j
(ex + e~x)2dx = J\e2x + 2 + e~2x) dx
\e2x + 2x-\e~2x + C 2 2
f 1 ľ 11
J sin x cos x dx = - / sin(2x) dx = - • - • (— cos2x) + C
J sin2 x dx = ^ J (l — cos(2x)^ dx
Vzorec
o 1 — cos(2x) sin x =-—-—-
©Lenka Přibylová, 20061
Najděte následující integrály. |
(ex + e~x)2dx = J\elx + 2 + e~lx) dx
le2x + 2x-le~2x + C 2 2
1 f 11
sinx cos xdx = - / sin(2x) dx = - • - • ( — cos2x) + C
J sin2 x dx =
1
2
1 r 1
1 — cos(2x)) dx = - x — - sin(2x)
+ C
cos xdx = sin x
/Yax + &) = -F(ax + b)
a
V_
©Lenka Přibylová, 200č
Konec
ebi ej q igg
©Lenka Přibylová, 2006 Q