Integrace iracionálních funkcí
Lenka Přibylová 28. července 2006
ESI   Q   Q 133
©Lenka Přibylová, 2006 Q
Obsah
^±Idx 3
\XJv.............................. \J
x
áx............................. 18
+ xl/4
©Lenka Přibylová, 2006 Q
©Lenka Přibylová, 2006 Q
Najděte / dx.
x
V2x + 1 -dx
x
Funkce obsahuje odmocninu z lineárního členu,
Najděte / dx.
x
V2x + 1 = t
a/2x + 1
dx =
proto zavedeme substituci t = V2x + 1.
©Lenka Přibylová, 2006
1
Najděte / dx.
x
a/2x + 1
dx =
y/2x + 1 = ř 2x + 1 = ř2
[ Umocníme.
©Lenka Přibylová, 2006
1
Najděte / dx.
x
V2x + 1
x
dx =
y/2x + 1 = t 2x + l = t2 t2-l
x =
Vyjádříme inverzní substituci.
©Lenka Přibylová, 2006
i
Najděte / dx.
x
a/2x + 1
dx =
x
V2x + 1 = ř 2x + 1 = ř2 t2-l
x =
dx = tdt
Diferencujeme.
ES  B I
©Lenka Přibylová, 2006
i
Najděte / dx.
x
V2x + 1
x
dx =
y/2x + 1 = t 2x + l = t2 t2-l
x =
dx = tdt
t
| Dosadíme.
©Lenka Přibylová, 2006
Najděte / dx.
x
V2x + 1
x
dx =
y/2x + 1 = t 2x + l = t2 t2-l
x =
dx = tdt
t
t2-i
| Dosadíme.
©Lenka Přibylová, 2006
Najděte / dx.
x
V2x + 1
x
dx =
y/2x + 1 = t 2x + l = t2 t2-l
x =
dx = tdt
t
t2-i
tdt
| Dosadíme.
©Lenka Přibylová, 2006
1
Najděte / dx.
x
V2x + 1
x
dx =
y/2x + 1 = t 2x + l = t2 t2-l
X =
dx — tdt
t
í2-i
rdí = 2
ť
t2-l
dt
Upravíme složený zlomek na jednoduchý.
©Lenka Přibylová, 2006
i
Jde o neryze lomenou racionální funkci, proto buď podělíme, nebo upravíme na polynom + ryze lomená funkce. V tomto případě je jednodušší doplnit v čitateli jmenovatel, tj. — 1 + 1,
El   13   133 © Lenka Přibylová, 2ÔÔ6Í
Najděte / dx.
x
V2x + 1
x
dx =
y/2x + 1 = t 2x + l = t2 t2-l
X =
dx — tdt
t              ľ t2 tdt = 2 / -=-- dř
í2-i
ř2-l
= 2
t2 - 1 + 1 ř2-l
dř = 2 / 1 dř + 2
ř2-l
dř
a rozdělí
b i i ■
rozdělit na 2 zlomky.
©Lenka Přibylová, 2006
i
Najděte / dx.
x
V2x + 1
x
dx =
y/2x + 1 = t 2x + l = t2 t2-l
X =
dx — tdt
t              ľ t2 tdt = 2 / -=-- dř
í2-i
ř2-l
= 2
t2 - 1 + 1 ř2-l
dř = 2 / 1 dř + 2
ř2-l
dř
a rozdělí
b i i ■
rozdělit na 2 zlomky.
©Lenka Přibylová, 2006
i
Najděte / dx.
x
a/2x + 1
dx =
x
V2x + 1 = ř 2x + 1 = ř2 t2-l
X =
dx — tdt
t
í2-i
řdř = 2
ř2-l
dř
= 2
ŕ2 - 1 + 1 ř2-l
dř = 2 / 1 dř + 2
ř2-l
dř
= 2ř - - ln 2
1 + ř 1-ř
Integrujeme.
©Lenka Přibylová, 20061
Najděte / dx.
x
V2x + 1
x
dx =
y/2x + 1 = t 2x + l = t2 t2-l
X =
dx — tdt
t
í2-i
rdí = 2
ť
t2-l
dt
= 2
t2 - 1 + 1 ř2-l
dř = 2 / 1 dř + 2
ř2-l
dř
= 2ř - - ln 2
1 + f 1-ř
= 2V2x + l - ln
1 + \/2x + 1 1 - V2x + 1
Upravíme.
©Lenka Přibylová, 20061
©Lenka Přibylová, 2006 Q
Funkce obsahuje druhou a čtvrtou odmocninu z x, proto hledáme jejich nejmenší společný násobek, číslo 4.
■nň—wS—ři—Sni-^t™,u rmu^^A onn^l
Najděte
dx.
X + x/X
dx =
| Zavedeme substituci t =
'v i mi ,i rrib\ K>\,), 2ÔÔ61
Umocníme, čímž vyjádříme inverzní substituci.
bbi Ei ia iaa
©Lenka Při
X + \/X
dx =
Diferencujeme.
^ 0 iaa
©Lenka Přibylová, 20061
Najděte
dx.
X + \/X
dx =
| Dosadíme.
©Lenka Přibylová, 2006
1
Najděte
dx.
X + \/X
dx =
| Dosadíme.
©Lenka Přibylová, 2006
1
dx =
x +
I Dosadíme.
4ŕ3 dř
©Lenka Přibylová, 2006
dx =
x +
Upravíme.
v/ř4 + <ŕŕ
4ř3 dř = 4 /    — dř 7 ř2 + ř
©Lenka Přibylová, 20061
Dostáváme neryze lomenou racionální funkci. Před podělením si můžeme všimnout, že lze krátit t (ve jmenovateli t můžeme vytknout).
adl   tai ~ia   Jäb Cc)T,enka Přibylová. 20061
X + \/X
dx —
At3 dt = 4
= 4
ť
t + 1 /Dělíme:
dŕ = 4 / ( ŕ - 1 +
t + 1
dt
_ŕ_ t2 + t
dt
t2 : (ŕ + 1) = ŕ-l + -(ŕ2 + ŕ)
ŕ + 1
Najděte
+ xl/4
dx.
x + \/X
dx =
= 4
ť
ř + 1
dř = 4 /   ř - 1 +
ř + 1
^^4ř3 dř = 4 /
ť
t2 + t
dt
dř = 4 / řdř-4 / dř + 4
ř + 1
dř
J Sčítance integrujeme každý zvláštľ
Cc)Lenka Fnbylova, 2UU'
X + \/X
dx —
= 4
ť
t + 1
dt = 4 / [t - 1 +
t + 1
ť
4— -4ŕ + 41n t + 1 +c
-^^4ŕ3 dř = 4 /
v/ř4 + <ŕŕ
t2 + t
dt
dt = 4 / t dt - 4 / dř + 4
ř + 1
dř
[ Integrujeme podle vzorcúľ
©Lenka Přibylová, 2006
Najděte
+ xl/4
dx.
X + \/X
dx —
-^^4ř3 dř = 4 /
4- A4/f4 J
ť
t2 + t
dř
= 4
ŕ'
ŕ + 1
dř = 4 /   ř - 1 +
ŕ + 1
dŕ = 4 / ř dř - 4 / dŕ + 4
4- - 4ř + 4ln |ř + 1 j + c = 2 V* - 4^/x + ln(^/x + l)4 + c
ŕ + 1
dŕ
Dosadíme původní proměnnou.
ebi   ej   13 133
©Lenka Přibylová, 2006
Konec
©Lenka Přibylová, 2006 Q