Intervaly konvexnosti a konkávnosti, inflexní body.
Lenka Přibylová 28. července 2006
©Lenka Přibylová, 2006 Q
Obsah
y = x3 — 3x2 — 1
©Lenka Přibylová, 2006 Q
Určete intervaly konvexnosti a konkávnosti a najděte inflexní body funkce y = x3 — 3x2 — 1.
EBl   Q   13 133
©Lenka Přibylová, 2006 Q
Určete intervaly konvexnosti a konkávnosti a najděte inflexní body funkce y = x3 — 3x2 — 1.
/-
• Určíme definiční obor funkce.
Nejsou žádná omezení, funkce je definovaná (a spojitá) na R.
v
Určete intervaly konvexnosti a konkávnosti a najděte inflexní body funkce y = x3 — 3x2 — 1.
D (f) = R;   ý = 3x2-6x;
Vypočteme první derivaci. Užijeme vzorec pro derivaci součtu a násobku.
©Lenka Přibylová, 20061
Určete intervaly konvexnosti a konkávnosti a najděte inflexní body funkce y = x3 — 3x2 — 1.
D (f) = R;   ý = 3x2 - 6x;   y" = 6x - 6 = 0;
Zajímá nás konvexnost, resp. konkávnost, proto vypočteme druhou derivaci a položíme rovnu nule. Funkce je konvexní, je-li druhá derivace kladná, v opačném případě je konkávni.
Určete intervaly konvexnosti a konkávnosti a najděte inflexní body funkce y = x3 — 3x2 — 1.
D (f) = R;   ý = 3x2 - 6x;   y" = 6x - 6 = 0; kritický bod: x = 1
Znaménko druhé derivace se může změnit pouze v kritickém bodě nebo v bodě nespojitosti. Body nespojitosti ale nemáme.
©Lenka Přibylová, 20061
Určete intervaly konvexnosti a konkávnosti a najděte inflexní body funkce y = x3 — 3x2 — 1.
D (f) = R;   ý = 3x2 - 6x;   y" = 6x - 6 = 0; kritický bod: x = 1
Nakreslíme osu s kritickým bodem
Určete intervaly konvexnosti a konkávnosti a najděte inflexní body funkce y = x3 — 3x2 — 1.
D (f) = R; ý = 3x2 - 6x; y" = 6x - 6 = 0; kritický bod: x = 1
n
Zvolíme číslo z prvního intervalu (—oo, 1). Uvažujme například číslo č,\ = 0.
Vypočteme yff(0) = — 6 < 0. Funkce je konkávní na intervalu (—oo, 1).
3BI    hT IS
©Lenka Přibylová, 20061
Určete intervaly konvexnosti a konkávnosti a najděte inflexní body funkce y = x3 — 3x2 — 1.
D (f) = R; ý = 3x2 - 6x; y" = 6x - 6 = 0; kritický bod: x = 1
n
u
Podobně, protože platí y//(2) = 6 > 0, je funkce konvexní na intervalu (1, oo).
©Lenka Přibylová, 2006
Určete intervaly konvexnosti a konkávnosti a najděte inflexní body funkce y = x3 — 3x2 — 1.
D (f) = R; ý = 3x2 - 6x; y" = 6x - 6 = 0; kritický bod: x = 1
n
m.
U
Bod x = 1 je inflexním bodem, protože v něm dochází ke změně konkávity v konvexitu.
©Lenka Přibylová, 2006
Konec
©Lenka Přibylová, 2006 Q