Užití ľHospitalova pravidla
Robert Mařík a Lenka Přibylová 28. července 2006
Obsah
arcsm x hm-
x^o 1 — ex
ln sin 2x hm -—;-
x^o+ msmx
x\nx
hm
x^oo X2 + X + 1
_. x — arctg x hm---
x^O Xó
x — sin x hm-ô-
a—>o   sin x
w ^ r arcsmx Vypočtete lim
X
o 1 - e
X
arcsm x lim-
x^o 1 — ex
©Lenka Přibylová, 2006
Dosadíme. Protože arcsinO = 0 a e° = 1, dostáváme neurčitý výraz.
51 K
©Lenka Přibylová, 20061
lim
x^O
arcsm x
í-e
X
o ô
1'H
Použijeme ľ Ho špitalo vo pravidlo,
©Lenka Přibylová, 2006
Podle tohoto pravidla platí
arcsmx (arcsmx) lim- = lim —--—,
x^o 1 - ex     x^o (1 - ex)f
pokud limita vpravo existuje (ať konečná nebo nekonečná).
51 K
©Lenka Přibylová, 20061
Vypočtěte lim
arcsm x
X
o 1 - e
X
arcsm x lim-
x^o 1 — ex
0 Ô
i
ľH i«
= lim
x-
x^o —e
X
= -1
Dosazením dostáváme
lim JO = J_ = _i
©Lenka Přibylová, 2006
In sin 2x
Najděte limitu lim--
x^o+ m sin x
©Lenka Přibylová, 2006
In sin 2x
Najděte limitu lim--
x^o+ m sin x
lnsm2x lim--
x^o+ m sin x
51 16
©Lenka Přibylová, 2006
Insm2x hm--
x^o+ ln sin x
oc
oc
r
Protože sin 0 = 0 a v pravém okolí nuly má sin x kladné hodnoty, je lim ln sin x = 00.
Stejně jako ve jmenovateli vyjde i limita v čitateli. Výraz je
oc
typu —
oc
51 K
©Lenka Přibylová, 20061
Insm2x hm--
x^o+ ln sin x
oc
oc
1'H   -i.
= lim
sin 2x
cos 2x • 2
0+
srn x
cos x
Použijeme 1'Hospitalovo pravidlo a derivujeme zvlášť čitatel a zvlášť jmenovatel jako složené funkce.
El   El   Q   199 (iSlSřibyk^
Najděte limitu lim
x^
ln sin 2x o+ ln sin x
lnsm2x lim--
x^o+ msinx
oc
l'H   -i.
= lim
sin 2x
cos 2x • 2
= lim
oc
2cos2x   sin x
x^
0+
sin x
cosx
x^o+ 2sinxcosx cosx
Výraz upravíme.
©Lenka Přibylová, 2006
Insm2x hm--
x^o+ ln sin x
oc
oc
1'H   -i.
= lim
•0+
sin 2x
cos 2x • 2
x
srn x
cos x
= lim
2cos2x   sin x
x^o+ 2sinxcosx cos x
= 1
r
Zkrátíme sin x
Protože cos x a cos 2x jsou v nule spojité funkce a jsou v nule rovny jedné, je možné použít větu o součinu limit a vynést je před znak limity jako číslo 1.
©Lenka Přibylová, 20061
x ln x
Vypočtete lim —--
x^oo Xz + X + 1
©Lenka Přibylová, 2006
Vypočtěte lim —--
x^oo XZ + X + 1
x ln x lim —-
x^oc x2, + X + 1
51 IS
©Lenka Přibylová, 2006
lim
x^oo
x ln x x2 + x + 1
oc
oc
Dosadíme. Dostáváme
oc ln oc		oc
oc		oc
Jedná se o neurčitý výraz.
51 K
©Lenka Přibylová, 20061
x In x lim —-
x^oo xZ + X + 1
OC
OC
i'H lnx + 1 = hm -
x^oo  2x + 1
r,
Použijeme ľHospitalovo pravidlo. Při derivování dostáváme
{x ln x)7
lim -
x^oc [x2, + x + iy
-i
ln x + x é lim -
x^oo    2x + 1
©Lenka Přibylová, 20061
x In x lim —-
x^oo xZ + X + 1
OC
OC
i'H lnx + 1 = hm -
x^oo  2x + 1
OC
OC
Dosadíme. Dostáváme
ln oc + 1
OC
OC
OC
51 IS
©Lenka Přibylová, 20061
x In x lim —-
x^oo xZ + X + 1
i'H lnx + 1 = hm -
x^oo  2x + 1
oc
oc
l'H        -1 . ry
= hm —
x^oo 2
J
Použijeme ještě jednou ľ Ho špitalo vo pravidlo.
©Lenka Přibylová, 20061
Vypočtěte lim
X2 + X + 1
X \liX
lim —-
x^oo xZ + X + 1
i'H lnx + 1 = lim -
x^oo  2x + 1
oc
oc
= lim — = 0
x^oo 2
Dosadíme. Dostáváme
oc
51 16
©Lenka Přibylová, 20061
©Lenka Přibylová, 2006
x — arctg x lim---
x—^O Xó
©Lenka Přibylová, 2006
Po dosazení dostáváme neurčitý výraz
0 Ô
. Připomeňme, že
arctgO = 0. Použijeme ľHospitalovo pravidlo.
51 K
©Lenka Přibylová, 2006
Dosadíme a dostáváme neurčitý výraz
0 Ô
51 K
©Lenka Přibylová, 20061
lim
x — arctg x
X'
O Ô
ľ_H . 1+X2
x^o 3x2
O Ô
upr.
= lim
x^o 3(1 + x2)
Nejprve upravíme:
1 -
1 + x'
ar
1 + x-
X'
3x2
3x2       (l + x2)3x2     3(1 + x2)
SI 16
©Lenka Přibylová, 2006
upr. 1 1
= hm —-— = -
*-o3(l + x2) 3
Dosadíme. |
Q   iaa © Lenka Přibylová, 2006 Q
©Lenka Přibylová, 2006
x — smx
hl[ľ\—~-
^—>o   srn x
©Lenka Přibylová, 2006
Vypočtěte lim
x — srn x
sin x
x — smx
limn     • 3
^—>o   srn x
0 Ô
Dosadíme. Dostáváme
0-sinO		0
sin30		Ô
51 IS
©Lenka Přibylová, 2006
• Užijeme ľ Ho špitalo vo pravidlo.
• Podle pravidla pro derivaci složené funkce platí
(sin3(x)y = 3 sin2 x(smxY = 3 sin2 x cos x. \_
51 K
©Lenka Přibylová, 2006
lim
x — sm.x sin x
O Ô
ľH 1 - COSX
= lim
x^o 3 sin x cos x
0 Ô
Dosadíme. Protože cos 0 = 1 a sin 0 = 0, dostáváme stále
0 Ô
51 K
©Lenka Přibylová, 2006
x — smx
limn     • 3
^—>o   srn x
0 Ô
ľH -i • 1 - COS X
= lim
^-►o 3 sin x cos x
0 Ô
ľH -i.
= nm
smx
6 sin x cos x — 3 sin x
Užijeme ľHospitalovo pravidlo ještě jednou. Ve jmenovateli dostáváme
(3 sin2 x • cos x)f = 3.2 sin x cos x cos x + 3 sin2 x(— sin x)
(derivace součinu a derivace složené funkce),
51 K
©Lenka Přibylová, 2006
x — smx
limn     • 3
^—>o   srn x
ľH -i.
= hm
0 Ô
ľH 1 - cos x
= lim
^-►o 3 sin x cos x
0 Ô
smx
x^o Q sin x cos2 x — 3 sin x
0 Ô
Dosadíme. Stále
0 Ô
51 IS
©Lenka Přibylová, 2006
x — smx
limn     • 3
^—>o   srn x
ľH -i.
= hm
0 Ô
ľH 1 - cos x
= lim
^-►o 3 sin x cos x
0 Ô
smx
6 sin x cos x — 3 sin x
0 Ô
ľH
= nm
cos x
^-►o 6 cos3 x — 6.2. sin2 x cos x — 9 sin2 x cos x
Užijeme ľ Ho špitalo vo pravidlo ještě jednou.
51 IS
©Lenka Přibylová, 2006
x — smx
limn     • 3
^—>o   srn x
ľH -i.
= hm
0 Ô
ľH 1 - cos x
= lim
^-►o 3 sin x cos x
0 Ô
smx
6 sin x cos x — 3 sin x
0 Ô
ľH
= hm
COS X
^-►o 6 cos3 x — 6.2. sin2 x cos x — 9 sin2 x cos x
1
6
Dostáváme funkci, která je spojitá v x = 0. Dosazením dostáváme definovaný výraz a máme výsledek.
51 IS
©Lenka Přibylová, 2006