Limity Robert Mařík a Lenka Přibylová 27. července 2006 Obsah lim x→1 arctg x x + 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 lim x→−1 arctg x x + 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 lim x→−∞ arctg x x + 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 lim x→±∞ e−x arctg x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 lim x→±∞ (x3 + 2x2 − 4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 lim x→±∞ x3 + 3x2 + 1 2x2 − 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 lim x→±∞ 2x4 + 4x + 5 3x4 − x3 + 4x + 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 lim x→∞ (2 ln x − ln(x2 + x + 1)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Vypočtěte lim x→1 arctg x x + 1 lim x→1 arctg x x + 1 = arctg 1 1 + 1 = π 4 2 = π 8 ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Vypočtěte lim x→1 arctg x x + 1 lim x→1 arctg x x + 1 = arctg 1 1 + 1 = π 4 2 = π 8 • Dosadíme x = 1. • Jedná se o definovaný výraz. Funkce je spojitá v bodě x = 1 a funkční hodnota je rovna hodnotě limity. ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Vypočtěte lim x→1 arctg x x + 1 lim x→1 arctg x x + 1 = arctg 1 1 + 1 = π 4 2 = π 8 arctg 1 = π 4 , resp. tg π 4 = 1 ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Vypočtěte lim x→1 arctg x x + 1 lim x→1 arctg x x + 1 = arctg 1 1 + 1 = π 4 2 = π 8 Zjednodušíme. ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Vypočtěte lim x→−1 arctg x x + 1 lim x→−1 arctg x x + 1 = arctg(−1) −1 + 1 = −π 4 0 lim x→−1+ arctg x x + 1 = −π 4 +0 = −∞ lim x→−1− arctg x x + 1 = −π 4 −0 = +∞ Oboustranná limita lim x→−1 arctg x x + 1 neexistuje. ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Vypočtěte lim x→−1 arctg x x + 1 lim x→−1 arctg x x + 1 = arctg(−1) −1 + 1 = −π 4 0 lim x→−1+ arctg x x + 1 = −π 4 +0 = −∞ lim x→−1− arctg x x + 1 = −π 4 −0 = +∞ Oboustranná limita lim x→−1 arctg x x + 1 neexistuje. Dosadíme . . . ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Vypočtěte lim x→−1 arctg x x + 1 lim x→−1 arctg x x + 1 = arctg(−1) −1 + 1 = −π 4 0 lim x→−1+ arctg x x + 1 = −π 4 +0 = −∞ lim x→−1− arctg x x + 1 = −π 4 −0 = +∞ Oboustranná limita lim x→−1 arctg x x + 1 neexistuje. . . . a upravíme. ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Vypočtěte lim x→−1 arctg x x + 1 lim x→−1 arctg x x + 1 = arctg(−1) −1 + 1 = −π 4 0 lim x→−1+ arctg x x + 1 = −π 4 +0 = −∞ lim x→−1− arctg x x + 1 = −π 4 −0 = +∞ Oboustranná limita lim x→−1 arctg x x + 1 neexistuje. • Funkce je typu nenulový výraz nula . • Musíme proto studovat nejprve jednostranné limity. Začneme s limitou zprava. ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Vypočtěte lim x→−1 arctg x x + 1 lim x→−1 arctg x x + 1 = arctg(−1) −1 + 1 = −π 4 0 lim x→−1+ arctg x x + 1 = −π 4 +0 = −∞ lim x→−1− arctg x x + 1 = −π 4 −0 = +∞ Oboustranná limita lim x→−1 arctg x x + 1 neexistuje. Dosadili jsme x = −1. ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Vypočtěte lim x→−1 arctg x x + 1 lim x→−1 arctg x x + 1 = arctg(−1) −1 + 1 = −π 4 0 lim x→−1+ arctg x x + 1 = −π 4 +0 = −∞ lim x→−1− arctg x x + 1 = −π 4 −0 = +∞ Oboustranná limita lim x→−1 arctg x x + 1 neexistuje. • Musíme určit znaménko jmenovatele. • Je-li x napravo od −1, pak x > −1 a platí x + 1 > 0. • Jmenovatel je kladný. ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Vypočtěte lim x→−1 arctg x x + 1 lim x→−1 arctg x x + 1 = arctg(−1) −1 + 1 = −π 4 0 lim x→−1+ arctg x x + 1 = −π 4 +0 = −∞ lim x→−1− arctg x x + 1 = −π 4 −0 = +∞ Oboustranná limita lim x→−1 arctg x x + 1 neexistuje. Limita zprava je −∞. ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Vypočtěte lim x→−1 arctg x x + 1 lim x→−1 arctg x x + 1 = arctg(−1) −1 + 1 = −π 4 0 lim x→−1+ arctg x x + 1 = −π 4 +0 = −∞ lim x→−1− arctg x x + 1 = −π 4 −0 = +∞ Oboustranná limita lim x→−1 arctg x x + 1 neexistuje. ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Vypočtěte lim x→−1 arctg x x + 1 lim x→−1 arctg x x + 1 = arctg(−1) −1 + 1 = −π 4 0 lim x→−1+ arctg x x + 1 = −π 4 +0 = −∞ lim x→−1− arctg x x + 1 = −π 4 −0 = +∞ Oboustranná limita lim x→−1 arctg x x + 1 neexistuje. • Je-li x nalevo od čísla −1, pak x < −1. • Proto x + 1 < 0 a jmenovatel je záporný. ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Vypočtěte lim x→−1 arctg x x + 1 lim x→−1 arctg x x + 1 = arctg(−1) −1 + 1 = −π 4 0 lim x→−1+ arctg x x + 1 = −π 4 +0 = −∞ lim x→−1− arctg x x + 1 = −π 4 −0 = +∞ Oboustranná limita lim x→−1 arctg x x + 1 neexistuje. Limita je +∞ ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Vypočtěte lim x→−1 arctg x x + 1 lim x→−1 arctg x x + 1 = arctg(−1) −1 + 1 = −π 4 0 lim x→−1+ arctg x x + 1 = −π 4 +0 = −∞ lim x→−1− arctg x x + 1 = −π 4 −0 = +∞ Oboustranná limita lim x→−1 arctg x x + 1 neexistuje. Obě jednostranné limity jsou různé a oboustranná limita tedy neexistuje. ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Vypočtěte lim x→−∞ arctg x x + 1 lim x→−∞ arctg x x + 1 = −π 2 −∞ = 0 ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Vypočtěte lim x→−∞ arctg x x + 1 lim x→−∞ arctg x x + 1 = −π 2 −∞ = 0 • Určíme limitu čitatele a jmenovatele samostatně. • lim x→−∞ arctg x může být určena z grafu funkce y = arctg x. • Funkce y = arctg x má vodorovnou asymptotu y = − π 2 v −∞. Hodnota limity čitatele je − π 2 ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Vypočtěte lim x→−∞ arctg x x + 1 lim x→−∞ arctg x x + 1 = −π 2 −∞ = 0 Limita jmenovatele je −∞ + 1 = −∞. ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Vypočtěte lim x→−∞ arctg x x + 1 lim x→−∞ arctg x x + 1 = −π 2 −∞ = 0 Konečná hodnota dělená nekonečnem je rovna nule. ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Vypočtěte lim x→±∞ e−x arctg x lim x→∞ e−x arctg x = e−∞ arctg ∞ = 0 π 2 = 0 lim x→−∞ e−x arctg x = e∞ arctg(−∞) = ∞(− π 2 ) = −∞ ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Vypočtěte lim x→±∞ e−x arctg x lim x→∞ e−x arctg x = e−∞ arctg ∞ = 0 π 2 = 0 lim x→−∞ e−x arctg x = e∞ arctg(−∞) = ∞(− π 2 ) = −∞ Začneme s limitou v +∞ ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Vypočtěte lim x→±∞ e−x arctg x lim x→∞ e−x arctg x = e−∞ arctg ∞ = 0 π 2 = 0 lim x→−∞ e−x arctg x = e∞ arctg(−∞) = ∞(− π 2 ) = −∞ • Určíme zvlášť limity funkcí v součinu. • Dosadíme. Výrazem e−∞ máme na mysli limitu lim x→−∞ ex . ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Vypočtěte lim x→±∞ e−x arctg x lim x→∞ e−x arctg x = e−∞ arctg ∞ = 0 π 2 = 0 lim x→−∞ e−x arctg x = e∞ arctg(−∞) = ∞(− π 2 ) = −∞ • Dosadíme do druhé funkce. • Výrazem arctg ∞ máme na mysli limitu lim x→∞ arctg x. ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Vypočtěte lim x→±∞ e−x arctg x lim x→∞ e−x arctg x = e−∞ arctg ∞ = 0 π 2 = 0 lim x→−∞ e−x arctg x = e∞ arctg(−∞) = ∞(− π 2 ) = −∞ Zkoumáním grafů funkcí y = ex a y = arctg x zjistíme, že lim x→−∞ ex = 0 a lim x→∞ arctg x = π 2 . ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Vypočtěte lim x→±∞ e−x arctg x lim x→∞ e−x arctg x = e−∞ arctg ∞ = 0 π 2 = 0 lim x→−∞ e−x arctg x = e∞ arctg(−∞) = ∞(− π 2 ) = −∞ Součin je nula. ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Vypočtěte lim x→±∞ e−x arctg x lim x→∞ e−x arctg x = e−∞ arctg ∞ = 0 π 2 = 0 lim x→−∞ e−x arctg x = e∞ arctg(−∞) = ∞(− π 2 ) = −∞ Pokračujeme s limitou v −∞. ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Vypočtěte lim x→±∞ e−x arctg x lim x→∞ e−x arctg x = e−∞ arctg ∞ = 0 π 2 = 0 lim x→−∞ e−x arctg x = e∞ arctg(−∞) = ∞(− π 2 ) = −∞ • Opět určíme limity funkcí v součinu. • Dosadíme. Protože platí −(−∞) = ∞, dostáváme z prvního součinitele výraz e∞ . Tím máme na mysli limitu lim x→∞ ex . ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Vypočtěte lim x→±∞ e−x arctg x lim x→∞ e−x arctg x = e−∞ arctg ∞ = 0 π 2 = 0 lim x→−∞ e−x arctg x = e∞ arctg(−∞) = ∞(− π 2 ) = −∞ Dosadíme do druhé funkce. Výrazem arctg(−∞) rozumíme limitu lim x→−∞ arctg x. ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Vypočtěte lim x→±∞ e−x arctg x lim x→∞ e−x arctg x = e−∞ arctg ∞ = 0 π 2 = 0 lim x→−∞ e−x arctg x = e∞ arctg(−∞) = ∞(− π 2 ) = −∞ Z grafů funkcí y = ex a y = arctg x plyne lim x→∞ ex = ∞ a lim x→−∞ arctg x = − π 2 . ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Vypočtěte lim x→±∞ e−x arctg x lim x→∞ e−x arctg x = e−∞ arctg ∞ = 0 π 2 = 0 lim x→−∞ e−x arctg x = e∞ arctg(−∞) = ∞(− π 2 ) = −∞ Součin je roven −∞. ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Vypočtěte lim x→±∞ (x3 + 2x2 − 4) lim x→∞ (x3 + 2x2 − 4) = ∞3 + 2∞2 − 4 = ∞ + ∞ − 4 = ∞ lim x→−∞ (x3 + 2x2 − 4) = (−∞)3 + 2(−∞)2 − 4 = − ∞ + ∞ − 4 = −∞ ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Vypočtěte lim x→±∞ (x3 + 2x2 − 4) lim x→∞ (x3 + 2x2 − 4) = ∞3 + 2∞2 − 4 = ∞ + ∞ − 4 = ∞ lim x→−∞ (x3 + 2x2 − 4) = (−∞)3 + 2(−∞)2 − 4 = − ∞ + ∞ − 4 = −∞ • Začneme s limitou v +∞. Dosadíme. ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Vypočtěte lim x→±∞ (x3 + 2x2 − 4) lim x→∞ (x3 + 2x2 − 4) = ∞3 + 2∞2 − 4 = ∞ + ∞ − 4 = ∞ lim x→−∞ (x3 + 2x2 − 4) = (−∞)3 + 2(−∞)2 − 4 = − ∞ + ∞ − 4 = −∞ ∞3 = ∞, ∞2 = ∞ ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Vypočtěte lim x→±∞ (x3 + 2x2 − 4) lim x→∞ (x3 + 2x2 − 4) = ∞3 + 2∞2 − 4 = ∞ + ∞ − 4 = ∞ lim x→−∞ (x3 + 2x2 − 4) = (−∞)3 + 2(−∞)2 − 4 = − ∞ + ∞ − 4 = −∞ ∞ + ∞ − 4 = ∞ ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Vypočtěte lim x→±∞ (x3 + 2x2 − 4) lim x→∞ (x3 + 2x2 − 4) = ∞3 + 2∞2 − 4 = ∞ + ∞ − 4 = ∞ lim x→−∞ (x3 + 2x2 − 4) = (−∞)3 + 2(−∞)2 − 4 = − ∞ + ∞ − 4 = −∞ Pokračujeme s limitou v −∞. ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Vypočtěte lim x→±∞ (x3 + 2x2 − 4) lim x→∞ (x3 + 2x2 − 4) = ∞3 + 2∞2 − 4 = ∞ + ∞ − 4 = ∞ lim x→−∞ (x3 + 2x2 − 4) = (−∞)3 + 2(−∞)2 − 4 = − ∞ + ∞ − 4 = −∞ Dosadíme. ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Vypočtěte lim x→±∞ (x3 + 2x2 − 4) lim x→∞ (x3 + 2x2 − 4) = ∞3 + 2∞2 − 4 = ∞ + ∞ − 4 = ∞ lim x→−∞ (x3 + 2x2 − 4) = (−∞)3 + 2(−∞)2 − 4 = − ∞ + ∞ − 4 = −∞ (−∞) × (−∞) × (−∞) = −∞ 2(−∞)(−∞) = ∞ Pozor! Máme neurčitý výraz − ∞ + ∞ . ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Vypočtěte lim x→±∞ (x3 + 2x2 − 4) lim x→∞ (x3 + 2x2 − 4) = ∞3 + 2∞2 − 4 = ∞ + ∞ − 4 = ∞ lim x→−∞ (x3 + 2x2 − 4) = (−∞)3 + 2(−∞)2 − 4 = − ∞ + ∞ − 4 = −∞ • Z teorie víme, jak tento problém vyřešit. • Lze ukázat, že na výsledek má vliv jenom vedoucí koeficient. Ostatní koeficienty tedy vynecháme. • Limita vedoucího člene je −∞. ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Vypočtěte lim x→±∞ (x3 + 2x2 − 4) lim x→∞ (x3 + 2x2 − 4) = ∞3 + 2∞2 − 4 = ∞ + ∞ − 4 = ∞ lim x→−∞ (x3 + 2x2 − 4) = (−∞)3 + 2(−∞)2 − 4 = − ∞ + ∞ − 4 = −∞ ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Vypočtěte lim x→±∞ x3 + 3x2 + 1 2x2 − 3 lim x→∞ x3 + 3x2 + 1 2x2 − 3 = ∞ ∞ = lim x→∞ x3 2x2 = lim x→∞ x 2 = ∞ 2 = ∞ lim x→−∞ x3 + 3x2 + 1 2x2 − 3 = ∞ ∞ = lim x→−∞ x3 2x2 = lim x→−∞ x 2 = −∞ 2 = −∞ ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Vypočtěte lim x→±∞ x3 + 3x2 + 1 2x2 − 3 lim x→∞ x3 + 3x2 + 1 2x2 − 3 = ∞ ∞ = lim x→∞ x3 2x2 = lim x→∞ x 2 = ∞ 2 = ∞ lim x→−∞ x3 + 3x2 + 1 2x2 − 3 = ∞ ∞ = lim x→−∞ x3 2x2 = lim x→−∞ x 2 = −∞ 2 = −∞ Začneme s limitou v +∞. ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Vypočtěte lim x→±∞ x3 + 3x2 + 1 2x2 − 3 lim x→∞ x3 + 3x2 + 1 2x2 − 3 = ∞ ∞ = lim x→∞ x3 2x2 = lim x→∞ x 2 = ∞ 2 = ∞ lim x→−∞ x3 + 3x2 + 1 2x2 − 3 = ∞ ∞ = lim x→−∞ x3 2x2 = lim x→−∞ x 2 = −∞ 2 = −∞ • Limita čitatele i jmenovatele je +∞. • Dostáváme neurčitý výraz. ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Vypočtěte lim x→±∞ x3 + 3x2 + 1 2x2 − 3 lim x→∞ x3 + 3x2 + 1 2x2 − 3 = ∞ ∞ = lim x→∞ x3 2x2 = lim x→∞ x 2 = ∞ 2 = ∞ lim x→−∞ x3 + 3x2 + 1 2x2 − 3 = ∞ ∞ = lim x→−∞ x3 2x2 = lim x→−∞ x 2 = −∞ 2 = −∞ • Z teorie víme, že limita se dá určit snadno – jenom z vedoucích členů čitatele a jmenovatele. • Vynecháme tedy všechno ostatní. ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Vypočtěte lim x→±∞ x3 + 3x2 + 1 2x2 − 3 lim x→∞ x3 + 3x2 + 1 2x2 − 3 = ∞ ∞ = lim x→∞ x3 2x2 = lim x→∞ x 2 = ∞ 2 = ∞ lim x→−∞ x3 + 3x2 + 1 2x2 − 3 = ∞ ∞ = lim x→−∞ x3 2x2 = lim x→−∞ x 2 = −∞ 2 = −∞ Upravíme x3 2x2 = x 2 . ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Vypočtěte lim x→±∞ x3 + 3x2 + 1 2x2 − 3 lim x→∞ x3 + 3x2 + 1 2x2 − 3 = ∞ ∞ = lim x→∞ x3 2x2 = lim x→∞ x 2 = ∞ 2 = ∞ lim x→−∞ x3 + 3x2 + 1 2x2 − 3 = ∞ ∞ = lim x→−∞ x3 2x2 = lim x→−∞ x 2 = −∞ 2 = −∞ Dosadíme x = ∞. ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Vypočtěte lim x→±∞ x3 + 3x2 + 1 2x2 − 3 lim x→∞ x3 + 3x2 + 1 2x2 − 3 = ∞ ∞ = lim x→∞ x3 2x2 = lim x→∞ x 2 = ∞ 2 = ∞ lim x→−∞ x3 + 3x2 + 1 2x2 − 3 = ∞ ∞ = lim x→−∞ x3 2x2 = lim x→−∞ x 2 = −∞ 2 = −∞ Použijeme známá pravidla pro počítání s nekonečnem. ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Vypočtěte lim x→±∞ x3 + 3x2 + 1 2x2 − 3 lim x→∞ x3 + 3x2 + 1 2x2 − 3 = ∞ ∞ = lim x→∞ x3 2x2 = lim x→∞ x 2 = ∞ 2 = ∞ lim x→−∞ x3 + 3x2 + 1 2x2 − 3 = ∞ ∞ = lim x→−∞ x3 2x2 = lim x→−∞ x 2 = −∞ 2 = −∞ • Pokračujeme s limitou v −∞. • Dosazením x = −∞ dostáváme opět neurčitý výraz. ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Vypočtěte lim x→±∞ x3 + 3x2 + 1 2x2 − 3 lim x→∞ x3 + 3x2 + 1 2x2 − 3 = ∞ ∞ = lim x→∞ x3 2x2 = lim x→∞ x 2 = ∞ 2 = ∞ lim x→−∞ x3 + 3x2 + 1 2x2 − 3 = ∞ ∞ = lim x→−∞ x3 2x2 = lim x→−∞ x 2 = −∞ 2 = −∞ Opět uvažujeme pouze vedoucí členy. ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Vypočtěte lim x→±∞ x3 + 3x2 + 1 2x2 − 3 lim x→∞ x3 + 3x2 + 1 2x2 − 3 = ∞ ∞ = lim x→∞ x3 2x2 = lim x→∞ x 2 = ∞ 2 = ∞ lim x→−∞ x3 + 3x2 + 1 2x2 − 3 = ∞ ∞ = lim x→−∞ x3 2x2 = lim x→−∞ x 2 = −∞ 2 = −∞ Upravíme. ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Vypočtěte lim x→±∞ x3 + 3x2 + 1 2x2 − 3 lim x→∞ x3 + 3x2 + 1 2x2 − 3 = ∞ ∞ = lim x→∞ x3 2x2 = lim x→∞ x 2 = ∞ 2 = ∞ lim x→−∞ x3 + 3x2 + 1 2x2 − 3 = ∞ ∞ = lim x→−∞ x3 2x2 = lim x→−∞ x 2 = −∞ 2 = −∞ Dosadíme. ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Vypočtěte lim x→±∞ x3 + 3x2 + 1 2x2 − 3 lim x→∞ x3 + 3x2 + 1 2x2 − 3 = ∞ ∞ = lim x→∞ x3 2x2 = lim x→∞ x 2 = ∞ 2 = ∞ lim x→−∞ x3 + 3x2 + 1 2x2 − 3 = ∞ ∞ = lim x→−∞ x3 2x2 = lim x→−∞ x 2 = −∞ 2 = −∞ Použijeme známá pravidla pro počítání s nekonečnem. ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Vypočtěte lim x→±∞ x3 + 3x2 + 1 2x2 − 3 lim x→∞ x3 + 3x2 + 1 2x2 − 3 = ∞ ∞ = lim x→∞ x3 2x2 = lim x→∞ x 2 = ∞ 2 = ∞ lim x→−∞ x3 + 3x2 + 1 2x2 − 3 = ∞ ∞ = lim x→−∞ x3 2x2 = lim x→−∞ x 2 = −∞ 2 = −∞ ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Vypočtěte lim x→±∞ 2x4 + 4x + 5 3x4 − x3 + 4x + 1 lim x→∞ 2x4 + 4x + 5 3x4 − x3 + 4x + 1 = ∞ ∞ = lim x→∞ 2x4 3x4 = lim x→∞ 2 3 = 2 3 lim x→−∞ 2x4 + 4x + 5 3x4 − x3 + 4x + 1 = ∞ ∞ = lim x→−∞ 2x4 3x4 = lim x→−∞ 2 3 = 2 3 ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Vypočtěte lim x→±∞ 2x4 + 4x + 5 3x4 − x3 + 4x + 1 lim x→∞ 2x4 + 4x + 5 3x4 − x3 + 4x + 1 = ∞ ∞ = lim x→∞ 2x4 3x4 = lim x→∞ 2 3 = 2 3 lim x→−∞ 2x4 + 4x + 5 3x4 − x3 + 4x + 1 = ∞ ∞ = lim x→−∞ 2x4 3x4 = lim x→−∞ 2 3 = 2 3 Začneme s limitou v +∞. ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Vypočtěte lim x→±∞ 2x4 + 4x + 5 3x4 − x3 + 4x + 1 lim x→∞ 2x4 + 4x + 5 3x4 − x3 + 4x + 1 = ∞ ∞ = lim x→∞ 2x4 3x4 = lim x→∞ 2 3 = 2 3 lim x→−∞ 2x4 + 4x + 5 3x4 − x3 + 4x + 1 = ∞ ∞ = lim x→−∞ 2x4 3x4 = lim x→−∞ 2 3 = 2 3 Dosadíme x = ∞. ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Vypočtěte lim x→±∞ 2x4 + 4x + 5 3x4 − x3 + 4x + 1 lim x→∞ 2x4 + 4x + 5 3x4 − x3 + 4x + 1 = ∞ ∞ = lim x→∞ 2x4 3x4 = lim x→∞ 2 3 = 2 3 lim x→−∞ 2x4 + 4x + 5 3x4 − x3 + 4x + 1 = ∞ ∞ = lim x→−∞ 2x4 3x4 = lim x→−∞ 2 3 = 2 3 • Neurčitý výraz. • Použijeme jenom vedoucí členy. • Všechno ostatní lze zanedbat. ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Vypočtěte lim x→±∞ 2x4 + 4x + 5 3x4 − x3 + 4x + 1 lim x→∞ 2x4 + 4x + 5 3x4 − x3 + 4x + 1 = ∞ ∞ = lim x→∞ 2x4 3x4 = lim x→∞ 2 3 = 2 3 lim x→−∞ 2x4 + 4x + 5 3x4 − x3 + 4x + 1 = ∞ ∞ = lim x→−∞ 2x4 3x4 = lim x→−∞ 2 3 = 2 3 Upravíme 2x4 3x4 = 2 3 ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Vypočtěte lim x→±∞ 2x4 + 4x + 5 3x4 − x3 + 4x + 1 lim x→∞ 2x4 + 4x + 5 3x4 − x3 + 4x + 1 = ∞ ∞ = lim x→∞ 2x4 3x4 = lim x→∞ 2 3 = 2 3 lim x→−∞ 2x4 + 4x + 5 3x4 − x3 + 4x + 1 = ∞ ∞ = lim x→−∞ 2x4 3x4 = lim x→−∞ 2 3 = 2 3 Limita konstantní funkce je ta konstanta. ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Vypočtěte lim x→±∞ 2x4 + 4x + 5 3x4 − x3 + 4x + 1 lim x→∞ 2x4 + 4x + 5 3x4 − x3 + 4x + 1 = ∞ ∞ = lim x→∞ 2x4 3x4 = lim x→∞ 2 3 = 2 3 lim x→−∞ 2x4 + 4x + 5 3x4 − x3 + 4x + 1 = ∞ ∞ = lim x→−∞ 2x4 3x4 = lim x→−∞ 2 3 = 2 3 Pokračujeme s limitou v −∞. Dosadíme x = −∞. ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Vypočtěte lim x→±∞ 2x4 + 4x + 5 3x4 − x3 + 4x + 1 lim x→∞ 2x4 + 4x + 5 3x4 − x3 + 4x + 1 = ∞ ∞ = lim x→∞ 2x4 3x4 = lim x→∞ 2 3 = 2 3 lim x→−∞ 2x4 + 4x + 5 3x4 − x3 + 4x + 1 = ∞ ∞ = lim x→−∞ 2x4 3x4 = lim x→−∞ 2 3 = 2 3 • Máme neurčitý výraz. • Použijeme jenom vedoucí členy. • Všechno ostatní zanedbáme. ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Vypočtěte lim x→±∞ 2x4 + 4x + 5 3x4 − x3 + 4x + 1 lim x→∞ 2x4 + 4x + 5 3x4 − x3 + 4x + 1 = ∞ ∞ = lim x→∞ 2x4 3x4 = lim x→∞ 2 3 = 2 3 lim x→−∞ 2x4 + 4x + 5 3x4 − x3 + 4x + 1 = ∞ ∞ = lim x→−∞ 2x4 3x4 = lim x→−∞ 2 3 = 2 3 Upravíme 2x4 3x4 = 2 3 ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Vypočtěte lim x→±∞ 2x4 + 4x + 5 3x4 − x3 + 4x + 1 lim x→∞ 2x4 + 4x + 5 3x4 − x3 + 4x + 1 = ∞ ∞ = lim x→∞ 2x4 3x4 = lim x→∞ 2 3 = 2 3 lim x→−∞ 2x4 + 4x + 5 3x4 − x3 + 4x + 1 = ∞ ∞ = lim x→−∞ 2x4 3x4 = lim x→−∞ 2 3 = 2 3 Limita konstantní funkce je ta konstanta. ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Vypočtěte lim x→±∞ 2x4 + 4x + 5 3x4 − x3 + 4x + 1 lim x→∞ 2x4 + 4x + 5 3x4 − x3 + 4x + 1 = ∞ ∞ = lim x→∞ 2x4 3x4 = lim x→∞ 2 3 = 2 3 lim x→−∞ 2x4 + 4x + 5 3x4 − x3 + 4x + 1 = ∞ ∞ = lim x→−∞ 2x4 3x4 = lim x→−∞ 2 3 = 2 3 ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Vypočtěte lim x→∞ 2 ln x − ln(x2 + x + 1) . lim x→∞ 2 ln x − ln(x2 + x + 1) = ∞ − ∞ = lim x→∞ ln x2 − ln(x2 + x + 1) = lim x→∞ ln x2 x2 + x + 1 = ln lim x→∞ x2 x2 + x + 1 = ln ∞ ∞ = ln lim x→∞ x2 x2 = ln 1 = 0 ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Vypočtěte lim x→∞ 2 ln x − ln(x2 + x + 1) . lim x→∞ 2 ln x − ln(x2 + x + 1) = ∞ − ∞ = lim x→∞ ln x2 − ln(x2 + x + 1) = lim x→∞ ln x2 x2 + x + 1 = ln lim x→∞ x2 x2 + x + 1 = ln ∞ ∞ = ln lim x→∞ x2 x2 = ln 1 = 0 Protože lim x→∞ ln x = ∞, dostáváme neurčitý výraz ∞ − ∞ . ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Vypočtěte lim x→∞ 2 ln x − ln(x2 + x + 1) . lim x→∞ 2 ln x − ln(x2 + x + 1) = ∞ − ∞ = lim x→∞ ln x2 − ln(x2 + x + 1) = lim x→∞ ln x2 x2 + x + 1 = ln lim x→∞ x2 x2 + x + 1 = ln ∞ ∞ = ln lim x→∞ x2 x2 = ln 1 = 0 • Limity z neurčitých výrazů ve tvaru zlomku jsou obyčejně jednodušší. Napíšeme funkci jako zlomek. . • Nejdříve oba členy napíšeme v logaritmickém tvaru. • Použijeme pravidlo r ln a = ln ar . ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Vypočtěte lim x→∞ 2 ln x − ln(x2 + x + 1) . lim x→∞ 2 ln x − ln(x2 + x + 1) = ∞ − ∞ = lim x→∞ ln x2 − ln(x2 + x + 1) = lim x→∞ ln x2 x2 + x + 1 = ln lim x→∞ x2 x2 + x + 1 = ln ∞ ∞ = ln lim x→∞ x2 x2 = ln 1 = 0 Odečteme logaritmy podle pravidla ln a − ln b = ln a b . ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Vypočtěte lim x→∞ 2 ln x − ln(x2 + x + 1) . lim x→∞ 2 ln x − ln(x2 + x + 1) = ∞ − ∞ = lim x→∞ ln x2 − ln(x2 + x + 1) = lim x→∞ ln x2 x2 + x + 1 = ln lim x→∞ x2 x2 + x + 1 = ln ∞ ∞ = ln lim x→∞ x2 x2 = ln 1 = 0 • Určíme limitu složené funkce. • Nejprve prozkoumáme limitu vnitřní složky. ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Vypočtěte lim x→∞ 2 ln x − ln(x2 + x + 1) . lim x→∞ 2 ln x − ln(x2 + x + 1) = ∞ − ∞ = lim x→∞ ln x2 − ln(x2 + x + 1) = lim x→∞ ln x2 x2 + x + 1 = ln lim x→∞ x2 x2 + x + 1 = ln ∞ ∞ = ln lim x→∞ x2 x2 = ln 1 = 0 Uvnitř máme neurčitý výraz. ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Vypočtěte lim x→∞ 2 ln x − ln(x2 + x + 1) . lim x→∞ 2 ln x − ln(x2 + x + 1) = ∞ − ∞ = lim x→∞ ln x2 − ln(x2 + x + 1) = lim x→∞ ln x2 x2 + x + 1 = ln lim x→∞ x2 x2 + x + 1 = ln ∞ ∞ = ln lim x→∞ x2 x2 = ln 1 = 0 Uvažujeme jenom vedoucí členy. ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Vypočtěte lim x→∞ 2 ln x − ln(x2 + x + 1) . lim x→∞ 2 ln x − ln(x2 + x + 1) = ∞ − ∞ = lim x→∞ ln x2 − ln(x2 + x + 1) = lim x→∞ ln x2 x2 + x + 1 = ln lim x→∞ x2 x2 + x + 1 = ln ∞ ∞ = ln lim x→∞ x2 x2 = ln 1 = 0 Provedeme krácení ve výrazu x2 x2 a použijeme zřejmý vztah lim x→∞ 1 = 1. ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 × Vypočtěte lim x→∞ 2 ln x − ln(x2 + x + 1) . lim x→∞ 2 ln x − ln(x2 + x + 1) = ∞ − ∞ = lim x→∞ ln x2 − ln(x2 + x + 1) = lim x→∞ ln x2 x2 + x + 1 = ln lim x→∞ x2 x2 + x + 1 = ln ∞ ∞ = ln lim x→∞ x2 x2 = ln 1 = 0 ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×