První derivace a lokální extrémy
Robert Mařík 27. května 2005
EBi q q rag
©Robert Mank, 20051
Obsah
y = x3 — 2x2 + x + l ...................... 3
y-mí..........................19
X
y = ~7z-tô...........................33
X°
y =-T.............................47
x — 1 3x + l
y = —^3-............................63
y = jV*.............................80
2
X
y=;-..............................93
ln x
EBi q q rag
©Robert Mank, 20051
Najděte lokální extrémy funkce y = x3 - 2x2 + x + 1 a určete I intervaly monotonosti.__J
EE B □
»
©Robert Marík, 2005 H
Najděte lokální extrémy funkce y = x3 — 2x2 + x + 1 a určete intervaly monotonosti.
Určíme definiční obor funkce.
Nejsou žádná omezení, je tedy funkce definovaná (a spojitá) na R.
Robert Mařík, 2005
Najděte lokální extrémy funkce y = x? — 2x2 + x + 1. |
D(/)=R
y/ = (x3)/-2(x2)/ + (x)/+(l)/
Vypočteme derivaci. Užijeme vzorec pro derivaci součtu a násobku.
Najděte lokální extrémy funkce y = x3 — 2x2 + x + 1
]
D(/) = R
y'= (j3),-2(x2), + (x),+ (l)/ = 3x2 - 4j + 1 + 0
Vypočítáme jednotlivé derivace podle vzorce (xn)' — nx
__, ...... ____
Najděte lokální extrémy funkce y = x? — 2x2 + x + 1. |
D(f) = R
y'= (j3),-2(x2), + (x),+ (1)/ = 3x2 - 4j + 1 + 0 = 3x2 - 4j + 1
•
Upravíme
Najděte lokální extrémy funkce y = x? — 2x2 + x + 1. |
D (f) = R;  y' = 3x2 -4x + l
3x - 4x + 1 = 0
• Chceme zjistit, kde funkce roste a kde klesá.
• K tomu stačí zjistit, kde je kladná a kde je záporná derivace.
• Musíme tedy nejprve hledat body, kde derivace může změnit znaménko. Body nespojitosti derivace nemá a soustředíme se na body, kde je derivace nulová.
3BI     El 19
©Robert Mank, 2005
Najděte lokální extrémy funkce y — x3 — 2x2 + x + 1. |
D(/)=]R;   y' = 3x2-4x + l
3x2 - 4 j + 1 = 0
4± V(-4)2 -4-3-1 *i,2--^3-
Řešíme kvadraticou rovnici. Řešení rovnice
ax + bx + c = 0
*1,2 =
-b± \/b2 - 4ac 2a
©Robert Mank, 2005^
Najděte lokální extrémy funkce y = x — 2x + x + 1. D(/)=R;   y' = 3x2-4x + l
3x2 - 4 j + 1 = 0
Xl,2 =
4± V(-4)2 -4-3-1
2-3
4±2
•
Upravíme
Najděte lokální extrémy funkce y — x3 — 2x2 + x + 1. |
2
D (f) — IR;   y' — 3x — 4x + 1;   Stac. body: X\ — 1, Xi — -
3x2 - 4x + 1 = 0
4± V(-4)2 -4-3-1
*1,2 = -
2-3
4±2
6
x1 = 1
Určíme řešení. Rovnice má dva reálné různé kořeny.
©Robert Mank, 200í
Najděte lokální extrémy funkce y = x? — 2x2 + x + 1. |
D(/) = R;   y' = 3x2 — 4x + 1;   Stac. body: Xi = 1, X2 = ^
1 X\ = \
*2 = 77
Vyznačíme stacionární body na reálnou osu.
Body nespojitosti nejsou, nevynášíme tedy už nic dalšího.
3BI     El 19
©Robert Mank, 200í
Najděte lokální extrémy funkce y = x? — 2x2 + x + 1. |
D(/) = R;   1/ = 3x2 — 4x + 1;   Stac. body: Xi = 1, X2 = ^
1 X\ = \
*2 = 77
1
Zvolíme číslo z prvního intervalu (—oo, - ). Uvažujme na-
3
příklad číslo £i = 0.
Vypočteme y'(0) = 3 • O2 - 4 • 0 + 1 = 1 > 0. Funkce je
1
rostoucí na intervalu (—oo, -).
3
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^©Řobert Mařík, 2005
Najděte lokální extrémy funkce y = x? — 2x2 + x + 1. |
D(/) = R;   y; = 3x2 — 4x + 1;   Stac. body: Xi = 1, X2 = ^
1 X\ = l
*2 = ~
y'(0) > 0 < 0
111 1
Podobně, protože platí y'(-) = 3- — 4- + 1 = —- < 0, je
1
funkce klesající na intervalu (-,1).
3
Najděte lokální extrémy funkce y = x? — 2x2 + x + 1. |
D(/) = R;   1/ = 3x2 — 4x + 1;   Stac. body: Xi = 1, X2 = ^
^ MAX \^
1 X\ = \
*2= „
y'(0)>0 y'(^)<0
f Monotonie se mění v bodě xi. Funkce má v tomto bodě lokání maximum.
BBI-El 16
Najděte lokální extrémy funkce y = x? — 2x2 + x + 1. |
D(/) = R;   y; = 3x2 — 4x + 1;   Stac. body: Xi = 1, X2 = ^
MAX \^ yA
-1-1-
1 X\ = \
*2= „
y'(o)>o y\\)<o y/(2)>o
Platí y'(2) = 3- 22 - 4 • 2 + 1 = 5
©Robert Mank, 200í
Najděte lokální extrémy funkce y = x? — 2x2 + x + 1. |
D(/) = R;   1/ = 3x2 — 4x + 1;   Stac. body: Xi = 1, X2 = ^
>n MAX \ • yA
/                                               mm / -1-1-
1 X\ = \
*2 = 77
y'(0)>0 y'(^)<0 y/(2)>0
Monotonie se mění v bodě X\ = 1 a je zde lokální extrém -lokální minimum.
Najděte lokální extrémy funkce y = x? — 2x2 + x + 1. |
D(/) = R;   y' = 3x2 — 4x + 1;   Stac. body: Xi = 1, X2 = ^
>n MAX \ • yA
/                                               mm / -1-1-
1 X\ = \
*2 = 77
Hotovo!
©Robert Mank, 2005
1 + x\4
Najděte lokální extrémy funkce y = (-- )  a určete
intervaly monotonosti.
eh q □ rag
©Robert Mank, 2005 Q
Najděte lokální extrémy funkce y — (--
J. X
D(/)=R\{1};
Určíme definiční obor funkce. Jediné omezení pochází ze jmenovatele zlomku.
t.j.
1 - x ŕ 0,
©Robert Mank, 2005
D(/)=R\{1};
l+x\3l(l-x)-(l + x)(-l)
— x
(1-x)
r
Derivujeme složenou funkci. Vněší složka je mocninná funkce, kterou derivujeme podle pravidla (x4/ = 4x3.
Vnitřní složka je zlomek, který derivujeme podle pravidla
v
ufv — uvf
©Robert Mank, 200í
D(/)=R\{1};
l+x\3l(l-x)-(l + x)(-l)
= 4
-x) (I-*)2 (1-x)3' (1-x)2
D(/)=R\{1};
l+x\3l(l-x)-(l + x)(-l)
= 4
= 8
-x) (I-*)2 (1 + j)3 + l + x
(1-x)3' (1-x)2
{1 + x)3 {1-x)5
Ještě upravíme.
©Robert Mank, 200í
Najděte lokální extrémy funkce y =
1 — x
D(/)=R\{1};       y» = 8|l±íL;
Našli jsme derivaci y1
Omezení na x plynoucí z y1 jsou stejná, jako byla u původní funkce. Derivace je tedy definována na množině R \ {1}.
©Robert Mank, 200í
Najděte lokální extrémy funkce y =
1 — x
D(/)=R\{1}; y» = 8|l±íL; Stacionární bod: X\ = — 1
Hledáme body, kde yr = 0.
Podíl je nula, pokud je čitatel nula.
Jediný stacionární bod je tedy řešením rovnice
(1 + x)3 = 0.
©Robert Mank, 2005
D(/)=R\{1};        / = 8fi±^; *a =-1
Xl = —1
-e-
Vyznačíme stacionární bod a bod nespojitosti na osu.
Osa je rozdělena na tři podintervaly. Na každém podinter-valu má funkce ve všech bodech tentýž typ monotonie.
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^©Robert Mank, 2005
Najděte lokální extrémy funkce y =
1 — x
D(/) = R\{1};      yf = 8^$'^      x^ = -1
r
X\ = —1
-Q-
Zkoumáme typ monotonie na intervalu (—oo, — 1) Vybereme libovolný testovací bod z tohoto intervalu. Budr£i = —2 takový testovací bod. Určíme derivaci v tomto bodě.
©Robert Mank, 2005
Najděte lokální extrémy funkce y =
1 + x 1 — X
D(/)=R\{1};
y'= 8
(1 +j)3 (1-x)5 '
X\ = —1
-e-
X\ — —1
y'{-2) < 0
r
-1
íl - 2V
ý {-2) =8,}   ,   > =8^<0.
(l-(-2))5
35
Derivace je záporná a funkce klesá v bodě £2 — —2 a na intervalu (—00, — 1).
sei^^ei isi
©Robert Mank, 200í
D(/)=R\{1};        / = 8fi±^; *a =-1
-e-
Xl = —1
y'(-2) < O y'(0) > 0
Podobně naložíme s bodem £2 = 0, který náleží do intervalu ( — 1,1) a splňuje
y'(0) = 8^ > 0. Funkce je rostoucí v bodě £2 = 0 a na intervalu ( — 1,1).
©Robert Mank, 2005
Najděte lokální extrémy funkce y =
1 — x
D(/)=R\{1};        2/, = 8|^p;        ^i = -l
X X
-e-
X\ = —1
ý (-2) < 0 /(O) > 0 y'(2) < 0
Konečně, bod £3 = 2 patří do intervalu (1,00) a splňuje Funkce je klesající v bodě £3 = 2 a na intervalu (1,00).
3BI     El IS
©Robert Mank, 2005
D(/)=R\{1};        / = 8fi±^; *a =-1
\, min ^ \,
-e-
y'(-2) < O y'(0) > O y'(2) < O
Funkce má lokální minimum ví = — 1.
Funkce nemá žádný další lokální extrém. Zejména, funkce nemá extrém v bodě x = 1, protože 1 ^
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^©Řobert Mařík, 2005
Najděte lokální extrémy funkce y =
1 — x
D(/)=R\{1};        2/, = 8|^p;        ^i = -l
\, min /* \,
-e-
X\ = —1
Hotovo!
©Robert Mank, 2005
'-x-
Najděte lokální extrémy funkce y = —-a určete intervaly]
[monotonie._
EBi q q rag
©Robert Mank, 20051
-x—
Najděte lokální extrémy funkce y = —-r-
d_\J_ + x)
D(/)=R\{-1};
Určíme definiční obor. Jediné omezení plyne ze jmenovatele zlomku:
1 + x ^ 0,
t. j.
x ^ —1.
©Robert Mank, 2005
-x—
Najděte lokální extrémy funkce y = —-r-
y 1 ~\~ X j
D(/)=R\{-1};
,_ l(l + x)3-x3(l + x)
r
Derivujeme funkci podle pravidla pro derivaci podílu.
Při derivování jmenovatele (1 + x)3 neumocňujeme, ale
použijeme řetězové pravidlo ((1 + x)3)' = 3(l + x)2(l +
x)f = 3(1 + x)2. Tento trik umožní v dalším kroku vytknout a zkrátit.
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^©Řobert Mank, 2005
-x
Najděte lokální extrémy funkce y —
(1 + x)-
D(/)=R\{-1};
, _ l(l + x)3-x3(l + x)
y ~ ((1 + ^)3)2
_ {1 + x)2{l + x - 3x) ~ (1 + x)6
Upravíme čitatel druhého zlomku. Vytkneme výraz (1 + x) před závorku v čitateli.
©Robert Mařík, 200ř
D(/)=R\{-1};
, _ 1(1 +x)3-x 3(1+x)
y ~ ((1 + X)3)2
(l + x)2(l + x-3x)
(1 + x)6 1 -2x
(1 + x)
Zkrátíme (1 + x) a upravíme.
©Robert Mank, 200í
-x—
Najděte lokální extrémy funkce y = —-r-
(1 ~\~ x) -^—
D(/) = R\{-i};     y' = l~2x
(1 + x)4'
Máme derivaci yf.
Definiční obor této derivace se shoduje s definičním oborem původní funkce, t.j. R \ {—1}.
Budeme zkoumat znaménko derivace.
©Robert Mank, 200í
-x
Najděte lokální extrémy funkce y —
(1 + x)-
D(/)=R\{-1};       y'= 1 2x
(1 + x)4 '
1
Stacionární bod: xi = -
2
• Hledáme nejprve body, kde platí y' — 0.
• Zlomek je nulový, pokud je nulový čitatel. Jediný stacionární bod je tedy řešením rovnice
1 - 2x = 0.
-x
Najděte lokální extrémy funkce y —
(1 + x)
3'
d(/) = r\{-i};     y' = ^;     ., = 5
-a-
-1 1
Xl = -
Zakreslíme stacionární bod a bod nespojitosti na reálnou osu.
Osa je rozdělena na tři podintervaly. Funkce zachovává na každém intervalu typ monotonie.
©Robert Mank, 200í
'-x
Najděte lokální extrémy funkce y = —-.
D(/) = E\{-1};        ý = ^:
r
-a-
-1 1
*1 = ~
Zkoumejme interval (—oo, — 1) Zvolíme v tomto intervalu testovací bod, Nechť£i = —2 je testovací bod. Určíme derivaci v tomto bodě.
©Robert Mank, 2005
-x-
Najděte lokální extrémy funkce y = —-r^.
y 1 ~\~ X j
DW = R\{-i};     y' = ^;      xi = 5
-e-1-
-1 1
*1 = «
y'(-2) > 0
u  ^    l-2(-2) 5
= - > 0.
Derivace je kladná a funkce roste v bodě £2 — —2 a na intervalu (—00, — 1).
©Robert Mařík, 200ř
-x
Najděte lokální extrémy funkce y —
(1 + x)
3'
dw = r\{-i};     y' = ^;      xi = 5
-e-1-
-1 1
*1 = «
y'(-2) > 0 y'(0) > 0
'i Podobně, bod £2 = 0 leží v intervalu (—1, -) a splňuje
1
i/(0) = - > 0. Funkce je rostoucí v bodě £2 = 0 a na intervalu
™^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^7|)Řobert Mařík, 2005
-x
Najděte lokální extrémy funkce y —
(1 + x)
3'
D(/) = E\{-i};     y' = ^;      *i = 5
/* /* N,
-e-
-1 1
*1 = «
y'(-2) > 0 y'(0) > 0 y'(2) < 0
1—4
Konečně, platí y/(2) = —j— < 0. Funkce klesá v bodě £3 = 2 a
3
1
na intervalu (-, 00).
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
q ■ Robert Mank, 2005
D(/) = E\{-i};     y' = ~^;      *, = j
^                                          MAX \ -e-
-1 1
*1 = «
y'(-2) > O y'(0) > O y'(2) < O
1
Funkce má lokální maximum v bodě x = -.
2
Funkce nemá žádný další lokální extrém.
-x
Najděte lokální extrémy funkce y —
(1 + x)
3'
D(/)=R\{-1};       y' =
l-2x	1
(1 + x)4 '	xi = 2
	MAX \
-a-
-1 1
*1 = ~
Hotovo!
©Robert Mank, 2005
3
Najděte lokální extrémy funkce y =-- a určete intervaly
Imonotonie._
EBi q q rag
©Robert Mank, 20051
D(/)=R\{1};
Určíme definiční obor. Nesmí být nula ve jmenovateli.
©Robert Mank, 200í
D(/)=R\{1};
, _ (x3y(x -1) - x3(x - iy
Derivujeme podíl podle vzorce
D(/)=R\{1};
, _ (x3y(x -1) - x3(x - iy
_ 3x2(x-l) -x3(l -0)
~ {X -l)2
Doderivujeme
SEi-ei isi
(c) Robert Mank, 200í
D(/)=R\{1};
y =
(x3)'(;c-l) -x3(x-l)'
0~1)2 3x2(x-l) -x3(l -0)
2xJ -
(j 3x2
-1)2
(X-1)2
Upravíme. Zde je jedno jestli nejprve roznásobíme nebo vytkneme, protože roznásobujeme jenom mocninou x.
©Robert Mařík, 200ř
Xö
Najděte lokální extrémy funkce y =
x J.
(x3y(x -1) - x3(x - iy 0-i)2
3x2(x-l) -x3(l -0)
(*-l)2 2 r3 — 3 j2 (x-l)2
j2(2j — 3) O-l)2
Rozložíme na součin.
©Robert Mařík, 2005
Najděte lokální extrémy funkce y =
x — 1
D(/) = R\{i};  y' = íg+^;
x2(2x — 3) (x-1)2
= 0
r
Našli jsme derivaci. Zajímá nás, kdy je tato derivace kladná a kdy záporná.
Předně: derivace není definovaná pro x = 1. Dále řešíme rovnici yr = 0.
©Robert Mank, 2005
D(/) = RUi}; ý=x-^-:
x2(2x — 3) x2(2x-3) = 0
Zlomek je nulový právě tehdy, když je nulový čitatel zlomku.
©Robert Mank, 200í
Najděte lokální extrémy funkce y =
x — 1
d(/) = r\{i}; y/ = 3C(^1)2); ^ = o^3 = |
j2(2j — 3)
= 0
x2(2x-3) = 0
0
3 2
*1,2 =
j3
Součin je nula jestliže je alespoň jeden ze součinitelů roven nule. Řešíme tedy rovnice
2x - 3 = 0
3BI—El 19
©Robert Mank, 2005
Najděte lokální extrémy funkce y =
x — 1
d(/) = r\{i}; y/ = 3C(^1)2); ^ = o^3 = |
-e-
xi/2 = 0
X = 1
x3 =
Máme stacionární body a body, kde derivace není definována (a je nespojitá).
Jedině v těchto bodech může derivace měnit znaménko. Vyneseme tyto body na reálnou osu.
©Robert Mank, 200í
D(/)=R\{1};   y/=^2!nf;    *i,2 = <U3 = f
1-e-
Xl2 = 0 X = 1 3
j 2
y'(-i)< o
fPočítáme derivace v libovolných bodech, po jednom z každého" podintervalu.
(-l£(-2-3)=_-5_<Q
něco kladného     něco kladného
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^©Robert Mank, 2005
Najděte lokální extrémy funkce y =
x — 1
d(/) = r\{i}; y/ = 3C(^1)2); ^ = o^3 = |
-e-
Xi/2 = 0
x = 1
*3 =
y/(-i)<o y,(i)<o
,A 2
něco kladného
< 0
3BI-El ISi
©Robert Mank, 200í
Najděte lokální extrémy funkce y =
x — 1
d(/) = r\{i}; y/ = 3C(^1)2); ^ = o^3 = |
-e-
xí/2 = 0
x = 1
x3 =
y,(-l)<0      y'(i)<0      1/(1,2) <0
, (1^2^4-3) <0
něco kladného
©Robert Mank, 200í
Najděte lokální extrémy funkce y =
x — 1
d(/) = r\{i}; y/ = 3C(^1)2); ^ = o^3 = |
-e-
xí/2 = 0
x = 1
x3 =
y,(-l)<0      y'(i)<0      1/(1,2) <o y'(2)>o
i/(2) =    (2)2(4~3)    > o něco kladného
©Robert Mank, 200í
Najděte lokální extrémy funkce y =
x — 1
D(/)=R\{1};   ý=X,(?XJ)}   xi,2 = 0,x3 = -
(x-1)2
3 2
mm
-e-
Xí/2 = 0
x = 1
x3 =
y,(-l)<0      y'(i)<0      1/(1,2) <o y'(2)>o
Pouze v bodě x = - se mění charakter monotonie. V tomto
2
bodě je lokální minimum.
©Robert Mank, 2005
X°
Najděte lokální extrémy funkce y =
x j.
d(/) = r\{i}; y/ = *(f!1)23); ^ = o^3 = |
\i                        \i                        \i         min / -1-e-1-
xi2 = 0 x = 1 3
x3 — ň
y,(-l)<0      y'{\)<0      y'{l,2) < 0      y'(2) > 0
Hotovo.
©Robert Mank, 2005
'                                               3x +1 Najděte lokální extrémy funkce y =-^— a určete intervaly
onotonie. x
EBi q q rag
©Robert Mank, 20051
Najděte lokální extrémy funkce y =
3x + l
D(/)=R\{0};
Určíme definiční obor funkce. Jediné omezení plyne ze jmenovatele zlomku. Tedy i ^0.
5BI     Lil ISi
©Robert Mank, 200í
3x +1
Najděte lokální extrémy funkce y =-^—
D(/)=R\{0};
,    3x3 — (3x + l)3r
y =
Derivujeme podíl podle vzorce
u
v
1    ufv — uvf
kde u = 3x + 1 a z; = x3
©Robert Mank, 2005
D(/)=R\{0};
3x3 - (3x + l)3x2 _ 3x2 (* - (3* + 1)) (x3)2 X6
Hledáme nejprve body, kde je derivace nulová.
Abychom měli později snadné a pohodlné, co nejvíce upravíme a rozložíme na součin.
Vytkneme tedy faktor 3x .
©Robert Mank, 200í
3x +1
Najděte lokální extrémy funkce y =-^—
D(/)=R\{0};
y =
3j3-(3j + 1)3j2    3j2(x-(3x + 1)
= 3
(j3)2 x   3x 1
r
r
Zkrátíme faktorem x2.
Konstantní násobek 3 napíšeme před zlomek.
3BI     El ISi
©Robert Mank, ■
3x +1
Najděte lokální extrémy funkce y =-^—
D(/)=R\{0};
,    3x3-(3x + l)3x2    3x2(x-(3x + l)
y =
(x3)2 X6
x — 3x — 1      — 2j — 1
= ^4 = 3 ^4
Upravíme.
Q (c) Robert Mank, 200í
D(/)=R\{0};
,    3x3-(3x + l)3x2    3x2(x-(3x + l))
y =
(x3)2 X6
„ x — 3x — 1 „ —2.x — 1 „ 2x + 1 — 3-— 3-— _3-
X4 /y\ /y\
Vytkneme záporné znaménko.
©Robert Marík, 200í
D(/)=R\{0};       y'(x) = -3^±^
X*
Definiční obor derivace je shodný s definičním oborem původní funkce.
Hledáme nejprve stacionární body.
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^©Řobert Mank, 2005
3x +1
Najděte lokální extrémy funkce y =-^—
D(/)=R\{0}; =
X^
1
Stacionární bod: Xi = —-.
2
Podíl je nulový, pokud je nulový čitatel.
1 1 2x + 1 = 0 pro x = —    Bod x\ = —-je jediným stacionárním bodem zadané funkce.
©Robert Mank, 2005
3x +1
Najděte lokální extrémy funkce y =-^—
D(/)=R\{0}; =-3?^±I
-a-
0
xi =
Vyznačíme bod nespojitosti a stacionární bod na osu x.
Osa x je rozdělena na podintervaly. Na každém podin-tervalu je zachován tentýž typ monotonie pro všechna x náležející do tohoto podintervalu.
©Robert Mank, 200í
D(/)=R\{0};       y'(x) =-3?í±l;       xx = -1
1 0
Zvolíme testovací bod z intervalu (—oo, —-). Nechť je to bod £i = —1. Vypočteme derivaci v bodě č,\.
3BI—El 19
©Robert Mank, 200í
D(/)=R\{0};       y'(x) = -3^±l;       xx = -1
-1-e-
1 0
*i = —z
Funkce je tedy rostoucí v bodě £j = —la totéž platí pro
1
všechny body z intervalu (—oo, — -).
©Robert Mank, 2005
D(/)=R\{0};       y'(x) = -3^±l;       xx = -1
-1-e-
1 0
xi = —z
1 1 Zvolíme bod £2 = ~~ t z intervalu (—-,0). Určíme derivaci v
tomto bodě.
©Robert Mařík, 2005
D(/)=R\{0};       y'0) = -3^±l;       xx = -i
-e-
1 O
*1 = -~
/-í-
y'(-l/4) = -3        + 1     < O
kladny vyraz
a funkce je tedy klesající v bodě £2 = —l/4aina celém
1
intervalu ( — -,0).
D(/)=R\{0};       y'(X) =-3^±^ ;       xx = -\
S N, N,
-e-
1 O
*1 = -~
Podobně, pro £3 = 1 dostáváme
y/(l) = -3rrj^ <0
kladny vyraz
a funkce je klesající v bodě £3 = 1 a na intervalu (0,00)
3x +1
Najděte lokální extrémy funkce y =-^—
D(/)=R\{0};       y'(*) = -3^±±;       xx = -i
MAX
-e-
1 0
*1 = -~
Funkce je spojitá na R \ {0}.
1
Funkce má lokální maximum v bodě x = — a nemá
2
žádný další lokální extrém.
©Robert Mank, 2005
3x +1
Najděte lokální extrémy funkce y =-^—
D(/)=R\{0}; =-3?^±I
r
MAX
—
0
Problém je vyřešen!
Všechno co se týká monotonie plyne z nakresleného schématu.
V dalším příkladě si oprášíte i znalosti cizího jazyka :).
©Robert Mank, 200í
t _-
Find local extrema of the function y = x e~x and establish the intervals of monotonicity.
EBi q q rag
©Robert Mank, 20051
Find local extrema of the function y intervals of monotonicity.
d(/)=r;
x2e x
and establish the
We establish the domain of the function. There is no restriction for x and hence the domain is R.
Find local extrema of the function y intervals of monotonicity.
x2e x
and establish the
y' = {x2)'e~x + x2{e~x)
We use the chain rule
(uv)r = urv + uvr
with u = x2 and v = e x.
5BI  ^fi IS
©Robert Mank, 2005
Find local extrema of the function y intervals of monotonicity.
D(/)=R;'
x2e x
and establish the
y' = (x2)fe-x + x2(e-xY = 2xe~x + x2(-l)e
2f„-x\i
—x
We use the power rule for derivative of x and the formula and the chain rule for derivative of e~x.
©Robert Mank, 2005
Find local extrema of the function y intervals of monotonicity.
d(/)=r;
x2e x
and establish the
yf = (x2ye~x + x2(e~xY = 2xe~x + x2(-l)e = e~x(2x - x2)
—x
We will look for the points where y1 = 0.
From this reason it is useful to factor the derivative.
We take out the common factor e
—x
©Robert Mank, 2005
Find local extrema of the function y intervals of monotonicity.
D(/)=R;'
x2e x
and establish the
y> = (x2)fe-x + x2(e-xY = 2xe~x + x2(-l)e = e~x(2x - x2) = e~xx(2 - x)
—x
The quadratic expression in the parentheses can be factored by taking out the factor x.
5BI     Lil 19
©Robert Mank, 200í
* _-
Find local extrema of the function y = x e~x and establish the intervals of monotonicity.
D(/) = R; y'(x) = e~xx{2 - x) ;
Stationary points: X\ = 0, x^ = 2.
r
Now it is easy to find the stationary points.
The derivative equals zero iff one of its factors equals to zero.
The factor e~x is never equal to zero. The factor {x — 2) equals zero iff x = 2.
©Robert Mank, 2005
Find local extrema of the function y intervals of monotonicity.
D(/) = R; y\x) = e~xx{2
= x e
2~ x and establish the
-x) ;
x\ = 0, X2 = 2,
x\ = 0
X2 = 2
We mark the domain of the derivative (no restriction) and the stationary points to the real axis.
The axis is divided into three subintervals.
In each of these subintervals the type of the monotonicity is preserved for all x.
3BI     El 19
©Robert Mank, 2005
Find local extrema of the function y intervals of monotonicity.
D(f) = R; y'(x) = e~xx(2
= x e
2~ x and establish the
-x) ;
x\ = 0, X2 = 2,
x\ = 0
X2 = 2
/We choose an arbitrary test number from the first interval (—oo, 0). Let £j = —1 be such a number. We evaluate the
derivative at £j:
y
f(-l) = e-^1\-l){2 - (-1)) = e\-l)3 < 0
Hence the function is decreasing at £i and the same is true for the interval (—oo,0).
©Robert Mank, 2005
Find local extrema of the function y intervals of monotonicity.
D(/) = R; y\x) = e~xx{2
= x e
2~ x and establish the
-x) ;
x\ = 0, X2 = 2,
y1
x\ = 0
X2 = 2
We choose the test number £2 = 1 from the second interval (0,2). The derivative evaluated at this point is
y'(l) = e-1l(2-l) = e~Y >0
and hence the function is increasing at £2 = 1 and also on the interval (0,2).
©Robert Mank, 2005
Find local extrema of the function y intervals of monotonicity.
D(/) = R; y\x) = e~xx{2
= x e
2~ x and establish the
-x) ;
x\ = 0, X2 = 2,
X\ — 0
%i — 2
We choose the test number £3=3 from the last interval (2,00) The derivative evaluated at this point is
y/(3)=e-33(2-3) = -3e-3<0
and hence the function is decreasing at £3 = 3 and also on the interval (2,00).
©Robert Marík, 200;
Find local extrema of the function y intervals of monotonicity.
D(/) = R; y\x) = e~xx{2
= x e
2~ x and establish the
-x) ;
x\ = 0, X2 = 2,
min
MAX
x\ = 0
X2 = 2
• The function is continuous on R (why? explain!).
• From the scheme of monotonicity it follows that the function possesses a local minimum at x = 0 and a local maximum at x = 2.
©Robert Mank, 2005
Find local extrema of the function y intervals of monotonicity.
D(/) = R; y\x) = e~xx{2
= x e
2~ x and establish the
-x) ;
x\ = 0, X2 = 2,
min
MAX
x\ = 0
X2 = 2
The problem is solved!
Everything concerning monotonicity and local extrema is clear from the picture.
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^©Robert Mank, 2005
2
Find local extrema of the function y = -—. Establish the
J lnx
intervals of monotonicity.
EBl   q   13 133
©Robert Mank, 2005 Q
Find local extrema of the function y =
In x
D(/)=]R+\{l} = (0/l)U(l/oo).
We establish the domain of the function.
There is a restriction x > 0 from the ln(-) function.
There is a restriction In x ^ 0 from the denominator of the fraction. Since In x = 0 for x = e° = 1, this is equivalent to the restriction x ^ 1.
The domain is D(/) = R+\ {1} = (0,1) U (1, oo).
3BI     El 19
©Robert Mank, 2005
Find local extrema of the function y =
D(f) = R+ \ {1} = (0,1) U (l/0o).
lnx
^-
We differentiate by the quotient rule
u\'    ufv — uvf
V J V2
Find local extrema of the function y =
In x
D(/)=]R+\{l} = (0/l)U(l/oo).
,    2xh\x — x2l     2x\nx — x
y = —
In x
In x
We simplify the numerator.
©Robert Mank, 200í
Find local extrema of the function y =
In x
D(/)=]R+\{l} = (0/l)U(l/oo).
y =
2x\nx — x2j     2x\nx — x    x(21nx — 1)
In x
In x
In x
r
We will look for the points where yf = 0. The fraction equals zero iff the numerator equals zero. From this reason it is useful to factor the numerator. We take out the common factor x in the numerator.
©Robert Mank, 200í
D(/)=]R+\{l} = (0/l)U(l/oo).
y =
2x\nx — x2j     2x\nx — x    x{2\rvx — l)
In x
In x
In x
Now it is easy to find the stationary points.
The fraction equals zero iff one of the factors in the numerator equals to zero.
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^©Robert Mank, 2005
Find local extrema of the function y =
In x
D(/)=]R+\{l} = (0/l)U(l/oo).
y =
2x\nx — x2j     2.x In x — x    x(21nx —1)
In x
In x
In x
Stationary point: x\ = e1^2.
r
The factor (21nx — 1) equals zero for lnx = -, i.e. for
1/2
x = e 1
3BI    l*i ia
©Robert Marík, 200bH
Find local extrema of the function y =
In x
D(/)=]R+\{l} = (0/l)U(l/oo).
y =
2x\nx — x2j     2x lux — x    x(21nx —1)
In x
In x
In x
Stationary point: x\ = e1^2.
The factor x never equals zero due to the restriction on the domain.
There is no other stationary point
©Robert Mank, 2005
D(fl = (0,l)U(l,eo);     y' = *(2'"* 1}
In x
x\ = e
1/2
We will work with the derivative and the stationary point.
We have to find the domain of the derivative. Since the restrictions are the same as for the original function, the domain of fr is the same as the domain of /.
©Robert Mank, 200í
Find local extrema of the function y =
In x
D(/) = (0,l)U(l,eo);     ;,'=X{2^   V; x,=e^
m x
-e-
0
-e-
x\ = e
1/2
We mark the domain of the derivative (including the point of discontinuity) and the stationary point to the real axis.
Since 1 = e° and 0 < 1/2, then 1 < e1^2. (The exponential function is increasing)
©Robert Mank, 2005
Find local extrema of the function y =
In x
D (J) = (0,1) U (1, oo);     y'= ^ ;     *i = el/1
In x
0
-a-
0
-a-
1/2
The axis is divided into four subintervals. One of these subintervals does not belong to the domain.
In each of the remaining subintervals the type of the mo-notonicity is preserved for all x.
©Robert Mank, 200í
D(/) = (0,l)U(l,eo);     y'^2'"*   1} ; x,=e^
In x
0
-a-
0
-e-
x\ = e
1/2
Let £i = e 1 is a test number from the first subinterval. The
e~l(-2 - 1)
derivative at £i is negative, since yf ( — 1) =-^—^—- < 0,
where we used ln(e_1) = —1. Hence the function is decreasing at £i and the same is true for the interval (0,1).
g"^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^Robert Mank, 2005
Find local extrema of the function y =
In x
D(/) = (0,l)U(l,<x>);     V'=X{2^ V
In x
X\ = e
1/2
0
-e-
0
-e-
x\ — e
1/2
fr = e1/A satisfies 1 < e1/A < e1/2 and ln(e1/2) = i Hence
,1/4(1 1)
1
2
< 0,
©Robert Mank, 2005
D(/) = (0/l)U(l/oo);     ý =
x(21nx — 1) In x
X\ = e
1/2
0
-a-
0
■e-
1/2
£3 = e satisfies 1 < e and ln(e) = 1. Hence
„ ,     e(2-l) „
SBI     BI 19
(c) Robert Mank, 2005
D(/) = (0,l)U(l,eo);     ý=x(2i*í   1};     *, =
In x
0
min
-a-
0
1/2
Finished. The function possesses unique local minimum at
l
x = e 2 and no local maximum.
©Robert Mank, 2005
Konec
©Robert Mařík, 20051