Nevlastní integrál
Lenka Přibylová 3. srpna 2006
Obsah
-Y~ dx
i   x ln x
2
©Lenka Přibylová, 2006 Q
©Lenka Přibylová, 2006 Q
7™  i \
Najděte / -=— dx.
_J\  x ln x J
'OO
i x ln2 x
dx
r
V horní mezi má integrál singularitu vlivem meze. Navíc má singularitu uvnitř intervalu integrace v bodě x = 1, protože zde funkce
1
není definovaná. Jde o výraz typu
0
. Nelze spočítat určitý integrál,
protože v x = 1 neexistuje primitivní funkce a interval integrace je nekonečný.
ESI   EJ   Q 133
©Lenka Přibylová, 20061
Rozdělíme integrál na dva. První má sigularitu v horní mezi vlivem funkce. Druhý má dvě singularity - v dolní mezi vlivem funkce, v horní mezi vlivem meze.
"Ěj    la    188    ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^   u') I ťt) k h Přibvlnvá. 20061
Druhý integrál rozdělíme na dva např. v bodě x = 2. Každý integrál má nyní pouze jednu singularitu.
El   13   133 © Lenka Přibylová, 2ÔÔ61
'OO
Najděte
i   x ln2 x
dx.
°    1 Z4 1
-2~ dx =  / -2~
i xln x xln i
'OO
dx +
dx
•i
i x ln2 x
dx +
i   xln x 1 /'°° 1
dx +
= lim
i xln x        Ji   xln x >2 1
dx
dx + lim
JI xln x        ř^i+Jř xln x
dx + lim
t^°°J2 xln2x
dx
Přepíšeme pomocí limitního přechodu v mezi. Pro všechna reálná ŕ z levého okolí x = 1 je nyní první integrál určitý, podobně další dva, lze proto použít Newton-Leibnitzovu formuli. Najdeme primitivní funkci v pomocném výpočtu.
©Lenka Přibylová, 20061
Najděte /
xln2 x
dx.
'OO
dx =
i x ln2 x
^ Í'OQ
dx +
i   xln x
dx
2 x ln2 x "2
1     1 1 Z400 1
i xln2x
dx +
i xln x
dx +
I o
r2   xln x
dx
ŕ   1 r   i /"* i
= lim / -=— dx + lim / -~— dx + lim / -~—
t^i-Jl xln x        t^i+Jt xln x        t^^H xln x
dx
= lim
lnx
+ lim
1 í->l+
2
i2
lnx
+ lim
ř—>oo
i t
lnx
J2
xln2 x
dx =
lnx = t 1 ,
- dx = dt
x
11 1
= 1 72dt = -l + c = -hTx+c
bh h la laa
©Lenka Přibylová, 20061
í'OQ
Najděte /
xln2 x
dx.
'OO
dx =
i x In2 x
^ Í'OQ
dx +
i   xln x
dx
9
2 x ln x        - 2
1   1 r2   1 r00 1
i x ln2 x
dx +
i x ln x
dx +
I o
r2   x ln x
dx
= lim  /i     n 2
J 4 xln x
1 r2   1 ^
dx + lim / -=— dx + lim
= lim
lnx
ŕ->l+ ./í   x ln2 x . i2
+ lim
1 í->l+
2
lnx
j*
+ lim
ŕ—>oo
J-J-J-j. li r\
t^°°J2 xln x
dx
lnx
J2
1 1   \ /      1 1 \ /     1 1
= lim (----1--r   + lim   -—— + -—   + lim----h ^-z
ř^i-V   lnŕ    lni 7    í^i+V   ln2    lnŕ/    ŕ^ool   lnŕ ln2
| Dosadíme meze.
©Lenka Přibylová, 2006
/Spočteme limity. Integrál diverguje.
lim -—
í->l- lnř
lim
0
= —oo
*-►!+ ln t
lim
t^oo ln t
0+
1
oo
= oo
= O
ř1Ť-l-ín7 +
lni
+ lim
r->l+
1 1
+
ln2
.     . + lim
lnř / t^co
1 1
~hyt + m~2
= oo +
lni
+ oo
©Lenka Přibylová, 20060
Konec
©Lenka Přibylová, 2006 Q