Nevlastní integrál vlivem meze
Lenka Přibylová 3. srpna 2006
ESI   Q   Q 133
©Lenka Přibylová, 2006 q
Obsah
Definice - singularita v horní mezi 3
'00 ^
—~ dx................................. 3
•oo i
-dx................................. 10
rl X
Definice - singularita v dolní mezi 16
'° 1
--2" dx.............................. 16
—oo 1 ~\~ X
Definice - singularity v obou mezích 23
'OO
dx.................................. 23
•oo
©Lenka Přibylová, 2006 q
Definice - singularita v horní mezi
y = f(x)
a x
ŕ co pt
/   f(x) dx = lim / f(x) dx = lim [F(ř) — F (a)
ESI   E|   Q 133
©Lenka Přibylová, 2006 q
©Lenka Přibylová, 2006 q
V horní mezi má integrál singularitu. Nelze spočítat určitý integrál, protože je interval integrace nekonečný.
El   13   133 © Lenka Přibylová, 2ÔÔ61
t
Přepíšeme pomocí limitního přechodu v mezi. Pro všechna reálná ŕ v okolí oo je nyní integrál určitý,
•oo
dx = lim
ŕ 1
r2 X'
t^oo J2 XÁ
dx = lim
t—>oo
1
X
i t
J2
lze proto použít Newton-Leibnitzovu formuli.
ebi Ei ra iaa
©Lenka Přibylová, 2006
•oo
dx = lim
ŕ 1
dx = lim
X'
t^oo J2 X'
t—>oo
1
X
i t
J2
1 1
lim (---h -
ř^ooV   t 2
I Dosadíme meze.
©Lenka Přibylová, 2006
SI  El 13 133
©Lenka Přibylová, 2006 q
V horní mezi má integrál singularitu. Nelze spočítat určitý integrál, protože je interval integrace nekonečný.
El   13   133 © Lenka Přibylová, 2ÔÔ61
t
Přepíšeme pomocí limitního přechodu v mezi. Pro všechna reálná ŕ v okolí oo je nyní integrál určitý,
•oo ^
- dx — lim
X t^OQ
t 1
— dx = lim
1   X ř^oo
ln
x
t i
lze proto použít Newton-Leibnitzovu formuli.
©Lenka Přibylová, 2006
•oo ^
- dx
1 X
ŕ i
lim /  — dx = lim I ln
X
t 1
= lim (ln \t\ — lni)
t—>oo
Dosadíme meze.
©Lenka Přibylová, 2006
Najděte /   - dx.
\ x
•oo 1
- dx
1 X
1 r
lim /  - dx = lim ln
ř^oo Ji   X t^oo
lim (ln Ir — ln l) = oo
X
t 1
Spočteme limitu.
lim ln 11
t—>oo
= OO
Limita je nevlastní, integrál proto diverguje.
El   la laa
©Lenka Přibylová, 2006"
Definice - singularita v dolní mezi
y = /(*)
esi   Q   Q 133
©Lenka Přibylová, 2006 q
Najděte
•o
— oo 1 ~\~ X'
dx.
eei ej q igg
©Lenka Přibylová, 2006 q
'-
V dolní mezi má integrál singularitu. Nelze spočítat určitý integrál, protože je interval integrace nekonečný.
EBÍ   El   Q   jgg (c)Lenka Přibylová, 2006
t
Přepíšeme pomocí limitního přechodu v mezi. Pro všechna reálná t v okolí —oo je nyní integrál určitý
Najděte
•o
-oo
1 + x:
dx.
•o
-oo
1 + x:
dx = lim
•o
t^-ooJt    1 + X'
dx = lim
t—> — oo
arctg x
o
[lze proto použít Newton-Leibnitzovu formuli.
©Lenka Přibylová, 20061
Najděte
•o
— oo 1 ~r X"
dx.
—oo 1 ~\~ X"
r0 l
dx = lim  / -7T
t^-ooJt    1 + XZ
dx = lim [arctgx
t—> — oo
0
= lim (are tg 0 — are tg ř)
t—>oo
I Dosadíme meze.
©Lenka Přibylová, 2006
Najděte
•o
r -i , ' —oo i ~r X'
dx.
— OO  1 T ^'
dx = lim  / -7T
t^-ooJt    1 + XZ
dx = lim [arctgx
ř—>—oo
0
71
= lim (are tg 0 — are tg í) = —
Spočteme limitu.
lim aretg ř = — —
ggj   q   ia ^fla1 ©Lenka Přibylová, 2006
Definice - singularity v obou mezích
y = f(x)
c
/OO P C ŕ CO
f(x)dx = / f(x)dx+ / f(x)dx -oo J— oo J c
= lim   / f (x) dx + lim / f (x) dx
EEI   EJ   Q 133
©Lenka Přibylová, 2006 q
©Lenka Přibylová, 2006 q
t
Integrál má singularity v obou mezích. Nelze spočítat určitý integrál, protože je interval integrace nekonečný.
'OO ŕ O í'OQ
dx =       dx+ dx
-oo J —oo JO
Rozdělíme na dva nevlastní integrály s jednou singularitou.
EEI  El 13 133
©Lenka Přibylová, 2006
t
Přepíšeme pomocí limitního přechodu v mezi. Pro všechna reálná t v okolí ±00 jsou nyní integrály určité,
>oo
-oo
•0
dx =
= lim
t—> — oo
dx +
oo JO 0
OO r0 rt
dx = lim  /   dx + lim / dx
X
t
+ lim
ř—>oo
X
t 0
lze proto použít Newton-Leibnitzovu formuli. Hledáme primitivní funkci k 1 v proměnné x.
El   13   iaa ícT) Lenka Přibylová. 2flfl6
>oo
-oo
'0 ľOQ r0 rt
dx = I    dx +      dx = lim  /   dx + lim / dx
-oo JO t^-co J £ t^co J Q
= lim
t—> — oo
x
o
t—>oo
t
+ lim [x\  = t lim (0 - t) + lim (ř - 0)
t—> — oo
ř—>oo
| Dosadíme meze.
©Lenka Přibylová, 2006
>oo
-oo
'0 ľOQ r0 rt
dx = I    dx +      dx = lim  /   dx + lim / dx
-oo JO t^-co J £ t^co J Q
= lim
t—> — oo
x
o
t—>oo
t
+ lim [x\  = t lim (0 - t) + lim (ř - 0) =
00
t—> — oo
t—>oo
Spočteme limity. Integrál diverguje.
EEI  El 13 133
©Lenka Přibylová, 2006
Konec
©Lenka Přibylová, 2006 q