Nevlastní integrál vlivem funkce
Lenka Přibylová 3. srpna 2006
ESI   Q   Q 133
©Lenka Přibylová, 2006 Q
Obsah
Definice - singularita v horní mezi 3
ŕ i
/--dx............................... 3
Jo 1- x
Definice - singularita v dolní mezi 10
ŕ 1
/ —7-7^ dx................................ 10
Jo XL/Ó
Definice - singularita uvnitř intervalu integrace 18
ŕ i
Jo (x-l)2/3
/   -dx................................. 26
J-i x
ESI   Q   Q ©Lenka Přibylová, 2006 Q
Definice - singularita v horní mezi
ESI   Q   Q 133
©Lenka Přibylová, 2006 Q
1 1
Najděte j--dx.
o J- %
©Lenka Přibylová, 2006 Q
1
o l-x
dx
V horní mezi má integrál singularitu vlivem funkce, protože pro x = 1
1
funkce není definovaná. Jde o výraz typu
0
. Nelze spočítat určitý
integrál, protože v x = 1 neexistuje primitivní funkce.
©Lenka Přibylová, 20061
t
Přepíšeme pomocí limitního přechodu v mezi. Pro všechna reálná ŕ z levého okolí x = 1 je nyní integrál určitý,
1 1
-dx = lim
1 - x f->l-
ŕ 1
-dx = lim I — ln 11 — x
1- X f->l-
ř O
lze proto použít Newton-Leibnitzovu formuli.
©Lenka Přibylová, 2006
•1
fo 1 - x
dx =
t 1 -dx = lim
1 - x f->l-
= lim (-ln 1 - ř +lnl)
*->i-v 7
— ln 1 — x
t o
Dosadíme meze.
©Lenka Přibylová, 2006
•1
fo 1 - x
dx = lim
t 1
_____--dx = lim
jo 1 — x f->l-
lim (-ln 1 - ř +lnl)
*->i-v 7
— ln 1 — x
= oo
o
Spočteme limitu. Integrál diverguje.
lim ln 11 — ŕ I = ln |0+
= oo
Definice - singularita v dolní mezi
ESI   Q   Q 133
©Lenka Přibylová, 2006 Q
El  El 13 133
©Lenka Přibylová, 2006 Q
V dolní mezi má integrál singularitu vlivem funkce, protože pro x = 0
1
funkce není definovaná. Jde o výraz typu
0
. Nelze spočítat určitý
integrál, protože v x = 0 neexistuje primitivní funkce.
©Lenka Přibylová, 20061
8 1 ŕ l
-—= dx = lim / —— dx
ro \ x        ŕ^o+ h  \ x
Přepíšeme pomocí limitního přechodu v mezi. Pro všechna reálná t z pravého okolí x = 0 je nyní integrál určitý,
•8
«8
d x = lim
r0
ŕ^0+ J t
dx = lim
x
2/3
2/3
18
lze proto použít Newton-Leibnitzovu formuli.
©Lenka Přibylová, 2006
8 !
d x = lim
>8 !
r0
^ lim
dx =
18
lim
2/3
2/3
18
J ŕ
Vr
J*
Zjednodušíme zlomek. Konstantu lze vytknout až před limitu.
©Lenka Přibylová, 2006
•8
d x = lim
>8 !
dx =
r0
ŕ^0+ J t
x lim
lim
rx2/3n8
2/3
18
Vr
J ŕ
3,
1 lim í 4 - v'ŕ2
2 ŕ^o+
I Dosadíme meze.
©Lenka Přibylová, 2006
Spočteme limitu.
lim Vř2 = 0
©Lenka Přibylová, 20061
Definice - singularita uvnitř intervalu integrace
ESI   Q   Q 133
©Lenka Přibylová, 2006 Q
©Lenka Přibylová, 2006 Q
Integrál má singularitu uvnitř intervalu integrace. Funkce není definovaná pro x = 1. Nelze spočítat určitý integrál, protože zde funkce není ohraničená.
BEJ   El   Q   Ía^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^-'i| i-nk.i Piiln lo\ .i. 200(->|
Najděte í dx-
'o (x_ i)2/3 dx = y0 (X_1)2/3 dx+y1 (x_ i)2/3dx
Rozdělíme na dva nevlastní integrály s jednou singularitou^ I
EĚÍ   □   □   EŠ ©Lenka Přibylová, 2006 Q
>2
Najděteio J^W^áx-
■i    i ŕ i
dx —--dx + /---7TTT dx
'O   (x- l)2/3 JO   (X-1)2/3 7i   (x-1)2/3
Přepíšeme pomocí limitního přechodu v mezi. Pro všechna reálná t v levém resp. pravém okolí x = 1 jsou nyní integrály určité,
© Lenka Přibylová, 2ÔÔ61
Najděte
'o (x-1)2/3
dx.
•i
'o (x-1)2/3
dx =
= lim
o (x-1)2/3 t 1
dx +
1 (x-1)2/3 2
dx + lim
dx
Al-Jo   (x-1)2/3— 1 (X-1)2/3
dx
		ř	p -1
lim	3\/x — 1	+ lim	3\/x — 1
		0	
lze proto použít Newton-Leibnitzovu formuli.
©Lenka Přibylová, 2006
Najděte
'o (x-l)2/3
dx.
•i
'o (x-1)2/3
dx =
= lim
o (x-1)2/3 ŕ 1
dx +
1 (x-1)2/3 2
dx + lim
dx
Al-Jo   (X_ 1)2/3^ ' yř   (*-1)2/3
dx
		ř	p -1
lim	3\/x — 1	+ lim	3\/x — 1
		0	
= lim (3v^ř - 1 + 3) + lim (3 - 3^-1)
I Dosadíme meze.
©Lenka Přibylová, 2006
Najděte
'o (x-l)2/3
dx.
•i
'o (x-1)2/3
dx =
= lim
o (x-1)2/3 ŕ 1
dx +
1 (X-I)2/3 2
dx + lim
dx
Al-Jo   (X_ 1)2/3^ ' yř   (*-1)2/3
dx
		ř	p -1
lim	3\/x — 1	+ lim	3\/x — 1
		0	
= lim (3^-1 + 3) + lim (3-3^-1) = 6
Spočteme limity.
EBI   EJ   q 133
©Lenka Přibylová, 2006
1 1
Najděte /   — dx.
©Lenka Přibylová, 2006 Q
Integrál má singularitu uvnitř intervalu integrace. Funkce není definovaná pro x = 0. Nelze spočítat určitý integrál, protože zde funkce není ohraničená.
BEJ   El   Q   Ía^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^-'i| i-nk.i Piiln lo\ .i. 200(->|
Rozdělíme na dva nevlastní integrály s jednou singularitou.
1 1        r° 1        r1 1
- dx =      - dx + /  - dx
-i x        7-i x       Jo x
ŕ 1 ľ1 1
= lim /   — dx + lim /   — dx
r->0- 7-1 X ř^0+ 7ř x
Přepíšeme pomocí limitního přechodu v mezi. Pro všechna reálná t v levém resp. pravém okolí x = 0 jsou nyní integrály určité,
■nň—wS—ři—Sni-^t^u Tmu„t~TA onn^l
- dx
-i x
>0 1 rll
- dx + /  - dx
-i x        Jo I
rŕ 1 r1 1
= lim /   — dx + lim /   — dx
r->0- J-l X ř^0+ J t X
= lim ľln
X
■1
+ lim ľln
X
1
ř
lze proto použít Newton-Leibnitzovu formuli.
©Lenka Přibylová, 2006
Najděte
- dx.
i x
— dx
-i x
0 1        r1 1
- dx + /  - dx
-IX Jo X
ŕ 1 ľ1 1
lim /   — dx + lim /   — dx
r->0- J-l X ř^0+ 7ř *
lim [in
r->0-
X
■1
+ lim [ln Ixll !" lim (ln ŕ — lni) + lim (lni
— ln | ŕ |)
| Dosadíme meze.
©Lenka Přibylová, 2006
- dx
-i x
0 1 f1 1
- dx + /  - dx
-IX io i
/•* 1 f11
lim /   - dx + lim /   - dx
lim ln
ŕ-»o-
x
- + lim [ln \x\]] lim (ln ř — lni) + lim (lni
— ln | ŕ |)
Spočteme limity.
lim ln t
= —00
Integrál neexistuje.
BBI    BI 19
©Lenka Přib\
Konec
eei ej q igg
©Lenka Přibylová, 2006 Q