Obsah rovinného útvaru mezi dvěma křivkami
Robert Mařík a Lenka Přibylová
31. července 2006
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
Obsah rovinné plochy omezené spojitými funkcemi
y = d(x) a y = h(x), které na intervalu a, b splňují d(x) ≤ h(x),
a přímkami x = a a x = b:
y
x0
a b
y = h(x)
y = d(x)
S =
b
a
h(x) − d(x) dx
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
Určete obsah množiny mezi křivkami y = ex
a y = e−x
pro x ∈ [0, 1].
S =
1
0
ex
− e−x
dx = ex
+ e−x 1
0
= e1
+ e−1
− e0
+ e0
= e +
1
e
− 2
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = ex
, y = e−x
, x ∈ [0, 1], S =?.
10
1
x
y
S =
1
0
ex
− e−x
dx = ex
+ e−x 1
0
= e1
+ e−1
− e0
+ e0
= e +
1
e
− 2
Zakreslíme křivky.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = ex
, y = e−x
, x ∈ [0, 1], S =?.
10
1
x
y
S =
1
0
ex
− e−x
dx = ex
+ e−x 1
0
= e1
+ e−1
− e0
+ e0
= e +
1
e
− 2
Vyjádříme obsah plochy jako určitý integrál.
h(x) = ex
, d(x) = e−x
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = ex
, y = e−x
, x ∈ [0, 1], S =?.
10
1
x
y
S =
1
0
ex
− e−x
dx = ex
+ e−x 1
0
= e1
+ e−1
− e0
+ e0
= e +
1
e
− 2
Vypočteme neurčitý integrál.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = ex
, y = e−x
, x ∈ [0, 1], S =?.
10
1
x
y
S =
1
0
ex
− e−x
dx = ex
+ e−x 1
0
= e1
+ e−1
− e0
+ e0
= e +
1
e
− 2
Vypočítáme určitý integrál pomocí Newtonovy–Leignizovy formule. Dosadíme
tedy meze.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = ex
, y = e−x
, x ∈ [0, 1], S =?.
10
1
x
y
S =
1
0
ex
− e−x
dx = ex
+ e−x 1
0
= e1
+ e−1
− e0
+ e0
= e +
1
e
− 2
Dopočítáme.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
Určete obsah množiny mezi křivkami y = 1 − (x − 1)2
a x + y = 0.
1 − (x − 1)2
= −x
1 − (x2
− 2x + 1) = −x
1 − x2
+ 2x − 1 = −x
3x − x2
= 0
(3 − x)x = 0
S =
3
0
1 − (x − 1)2
− (−x) dx =
3
0
1 − (x2
− 2x + 1) + x dx
=
3
0
−x2
+ 3x dx = −
x3
3
+ 3
x2
2
3
0
= −
33
3
+ 3
32
2
− −
03
3
+ 3
02
2
= −9 +
27
2
=
9
2
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
Určete obsah množiny mezi křivkami y = 1 − (x − 1)2
a x + y = 0.
1 − (x − 1)2
= −x
1 − (x2
− 2x + 1) = −x
1 − x2
+ 2x − 1 = −x
3x − x2
= 0
(3 − x)x = 0
S =
3
0
1 − (x − 1)2
− (−x) dx =
3
0
1 − (x2
− 2x + 1) + x dx
=
3
0
−x2
+ 3x dx = −
x3
3
+ 3
x2
2
3
0
= −
33
3
+ 3
32
2
− −
03
3
+ 3
02
2
= −9 +
27
2
=
9
2
• První z křivek je parabola, druhá z křivek je přímka y = −x.
• Křivky se protínají v bodě, jehož x-ová splňuje rovnici
1 − (x − 1)2
= −x
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
Určete obsah množiny mezi křivkami y = 1 − (x − 1)2
a x + y = 0.
1 − (x − 1)2
= −x
1 − (x2
− 2x + 1) = −x
1 − x2
+ 2x − 1 = −x
3x − x2
= 0
(3 − x)x = 0
S =
3
0
1 − (x − 1)2
− (−x) dx =
3
0
1 − (x2
− 2x + 1) + x dx
=
3
0
−x2
+ 3x dx = −
x3
3
+ 3
x2
2
3
0
= −
33
3
+ 3
32
2
− −
03
3
+ 3
02
2
= −9 +
27
2
=
9
2
Průsečíky křivek jsou body [0, 0] a [3, −3].
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
Určete obsah množiny mezi křivkami y = 1 − (x − 1)2
a x + y = 0.
1 − (x − 1)2
= −x
1 − (x2
− 2x + 1) = −x
1 − x2
+ 2x − 1 = −x
3x − x2
= 0
(3 − x)x = 0
30
−3
2 x
y
y = 1 − (x − 1)2
= 1 − (x2
− 2x + 1) = 2x − x2
= x(2 − x)
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
Určete obsah množiny mezi křivkami y = 1 − (x − 1)2
a x + y = 0.
30
−3
2 x
y
S =
3
0
1 − (x − 1)2
− (−x) dx =
3
0
1 − (x2
− 2x + 1) + x dx
=
3
0
−x2
+ 3x dx = −
x3
3
+ 3
x2
2
3
0
= −
33
3
+ 3
32
2
− −
03
3
+ 3
02
2
= −9 +
27
2
=
9
2
h(x) = 1 − (x − 1)2
d(x) = −x, protože x + y = 0 ⇐⇒ y = −x
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
Určete obsah množiny mezi křivkami y = 1 − (x − 1)2
a x + y = 0.
30
−3
2 x
y
S =
3
0
1 − (x − 1)2
− (−x) dx =
3
0
1 − (x2
− 2x + 1) + x dx
=
3
0
−x2
+ 3x dx = −
x3
3
+ 3
x2
2
3
0
= −
33
3
+ 3
32
2
− −
03
3
+ 3
02
2
= −9 +
27
2
=
9
2
Umocníme.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
Určete obsah množiny mezi křivkami y = 1 − (x − 1)2
a x + y = 0.
30
−3
2 x
y
S =
3
0
1 − (x − 1)2
− (−x) dx =
3
0
1 − (x2
− 2x + 1) + x dx
=
3
0
−x2
+ 3x dx = −
x3
3
+ 3
x2
2
3
0
= −
33
3
+ 3
32
2
− −
03
3
+ 3
02
2
= −9 +
27
2
=
9
2
Upravíme integrand.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
Určete obsah množiny mezi křivkami y = 1 − (x − 1)2
a x + y = 0.
30
−3
2 x
y
S =
3
0
1 − (x − 1)2
− (−x) dx =
3
0
1 − (x2
− 2x + 1) + x dx
=
3
0
−x2
+ 3x dx = −
x3
3
+ 3
x2
2
3
0
= −
33
3
+ 3
32
2
− −
03
3
+ 3
02
2
= −9 +
27
2
=
9
2 b
a
f (x) dx = [F(x)]b
a = F(b) − F(a)
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
Určete obsah množiny mezi křivkami y = 1 − (x − 1)2
a x + y = 0.
30
−3
2 x
y
S =
3
0
1 − (x − 1)2
− (−x) dx =
3
0
1 − (x2
− 2x + 1) + x dx
=
3
0
−x2
+ 3x dx = −
x3
3
+ 3
x2
2
3
0
= −
33
3
+ 3
32
2
− −
03
3
+ 3
02
2
= −9 +
27
2
=
9
2 b
a
f (x) dx = [F(x)]b
a = F(b) − F(a)
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
Určete obsah množiny mezi křivkami y = 1 − (x − 1)2
a x + y = 0.
30
−3
2 x
y
S =
3
0
1 − (x − 1)2
− (−x) dx =
3
0
1 − (x2
− 2x + 1) + x dx
=
3
0
−x2
+ 3x dx = −
x3
3
+ 3
x2
2
3
0
= −
33
3
+ 3
32
2
− −
03
3
+ 3
02
2
= −9 +
27
2
=
9
2
Dopočítáme obsah množiny.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
Konec
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×