Obsah rovinného útvaru pod křivkou
Lenka Přibylová 31. července 2006
©Lenka Přibylová, 2006 Q
Obsah rovinné plochy omezené spojitou nezápornou funkcí y = f (x), osou x a přímkami x = a a x = b:
©Lenka Přibylová, 2006 Q
©Lenka Přibylová, 2006 Q
s =
Vyjádříme obsah plochy pod hyperbolou jako určitý integrál, f (x) — —
©Lenka Přibylová, 2006 Q
»
71
y = cos x, x G (—, ti), S =?
y*
I Nakreslíme graf funkce kosinus.
11
©Lenka Přibylová, 2006
s =
71
7t 2
cos x dx
Tí
Graf na intervalu (—,n) leží pod osou x, obsah plochy tedy bude absolutní hodnota určitého integrálu.
©Lenka Přibylová, 2006
s =
				71	
cos x dx	—		sin x	7ľ	
sin ti —
. 71
srn — 2
Vypočítame určitý integrál pomoci Newton-Leibnitzovy formule. Dosadíme tedy
meze.
©Lenka Přibylová, 2006
Určete obsah útvaru omezeného křivkou y = x +2x — 3x a osou x.
©Lenka Přibylová, 2006 Q
Nakreslíme graf funkce y = x3 + 2x2 — 3x = x(x2 + 2x — 3) = x(x + 3)(x — 1). Průsečíky s osou x jsou —3,0,1:
y(—4) = —4 • (—1) • (—5) < 0, na intervalu (—oo, —3) je funkce záporná. y(—1) = —1 • 2 • (—2) > 0, na intervalu (—3,0) je funkce záporná. y(0.5) = 0.5 • 3.5 • (—0.5) < 0, na intervalu (0,1) je funkce záporná. y(2) = 2 • 5 • 1 > 0, na intervalu (l,oo) je funkce záporná.
\___á
Vyjádříme obsah plochy jako určitý integrál. Musíme ovšem rozdělit oblast na 2 části - nad osou (—3,0), f(x) = x3 + 2x2 - 3x.
©Lenka Přibylová, 2006
a pod osou x. Obsah je pak absolutní hodnotou určitého integrálu na intervalu
(0,1), f(x) = x3 + 2x2 - 3x.
~0    q ©Lenka Přibylová, 2006
y = x3 +2x2 -3x, S =?
Vypočítame určitý integrál pomoci Newton-Leibnitzovy formule. Dosadíme tedy
meze.
s =
ľ° ľ1
/ x3 + 2x2 — 3x dx + / x3 + 2x2 — 3x dx 7-3 JO
x 2r
3x
2-1 o
+
4    2x3    3x211
+
Jo
= 0-
81    18 27
+
1 2 3 n 4 + 3-2-°
71
Dopočítame převedením na společného jmenovatele.
eei   bi  q iaa
©Lenka Přibylová, 2006
Konec
©Lenka Přibylová, 2006 Q