Užití kuželoseček a kvadrik. Lenka Přibylová 25. listopadu 2010 ©Lenka Přibylová, 2010 Q Obsah Určete čočku.............................. 3 Určete čočku.............................. 14 Nakreslete y2 - 2Rx + (1 + k)x2 = 0................ 29 Určete typ kuželosečky........................ 41 Nalezněte průsečíky kuželosečky s osami............. 59 Spočtěte vrcholovou křivost..................... 64 ©Lenka Přibylová, 2010 Q Kružnice x2 +y2 = 1, (x — 0.9)2 + y2 = 0.04 tvoří řez kulovými povrchy čočky. Určete její mohutnost. Můžeme ji považovat za tenkou čočku? ©Lenka Přibylová, 2010 Q Kružnice x2 +y2 = 1, (x — 0.9)2 + y2 = 0.04 tvoří řez kulovými povrchy čočky. Určete její mohutnost. Můžeme ji považovat za tenkou čočku? Polohy středů: {x\,\j\) = (0,0) a (^2,1/2) = (0.9,0) m, ©Lenka Přibylová, 2010 Q Kružnice x2 +y2 = 1, (x — 0.9)2 + y2 = 0.04 tvoří řez kulovými povrchy čočky. Určete její mohutnost. Můžeme ji považovat za tenkou čočku? Polohy středů: (x\,y{) = (0,0) a (#2,1/2) = (0-9/0) m, poloměry: R\ = 1 m, R2 = 0.2 m. ©Lenka Přibylová, 2010 Q Kružnice x2 +y2 = 1, (x — 0.9)2 + y2 = 0.04 tvoří řez kulovými povrchy čočky. Určete její mohutnost. Můžeme ji považovat za tenkou čočku? Polohy středů: (x\,y{) = (0,0) a (#2,1/2) = (0-9/0) m, poloměry: R\ = 1 m, R2 = 0.2 m. ©Lenka Přibylová, 2010 Q Kružnice x + y — 1, (x — 0.9) + y = 0.04 tvoří řez kulovými povrchy čočky. Určete její mohutnost. Můžeme ji považovat za tenkou čočku? Polohy středů: {x\,\j\) = (0,0) a (^2,1/2) = (0.9,0) m, poloměry: K\ = 1 m, R2 = 0.2 m. y2 = 1 — x2 dosadíme do (x — 0.9)2 + y2 = 0.04, odtud (x - 0.9)2 + 1 - x2 = -1.8x + 0.81 + 1 = 0.04, tj. x = ^ = 0.983 a J y2 = 1 - (lf )2 = 0.033, tj. y = ±a/i-(W)2 = °-18- v_:_/ BBI Q Q ©Lenka Přibylová, 2010 Q Kružnice x + y — 1, (x — 0.9) + y = 0.04 tvoří řez kulovými povrchy čočky. Určete její mohutnost. Můžeme ji považovat za tenkou čočku? Polohy středů: {x\,\j\) = (0,0) a (^2,1/2) = (0.9,0) m, poloměry: K\ = 1 m, R2 = 0.2 m. 0 l "l Jedná se o meniskus s průsečíky: x = 0.983 m, y = ±0.18 m. Průměr čočky je p=0.36 m, tlouštka čočky je d = 0.1 m. ©Lenka Přibylová, 2010 Q Kružnice x + y — 1, (x — 0.9) + y = 0.04 tvoří řez kulovými povrchy čočky. Určete její mohutnost. Můžeme ji považovat za tenkou čočku? Přilétá-li světlo zleva, jsou obě lámavé plochy duté a přísluší jim tedy podle znaménkové konvence záporná znaménka a tedy pro index lomu n = 1.5 dostáváme D\ = —0.5 dpt a D2 = 2.5 dpt. /-■ Pro mohutnost prvního povrchu platí n — 1 1.5 — 1 Di =---— =--—- = —0.5 dpt, pro druhý Ri 1 1 — n 1 — 1.5 D2 =--—— =--o~2~ = ^ ^P*' Opačné znaménko je dáno konvencí pro dutou plochu. EBŤ El 13 iaa /čil,enka Přibylova. l\) Kružnice x2 +y2 = 1, (x — 0.9)2 + y2 = 0.04 tvoří řez kulovými povrchy čočky. Určete její mohutnost. Můžeme ji považovat za tenkou čočku? Přilétá-li světlo zleva, jsou obě lámavé plochy duté a přísluší jim tedy podle znaménkové konvence záporná znaménka a tedy pro index lomu n = 1.5 dostáváme D\ = —0.5 dpt a D2 = 2.5 dpt. Celková mohutnost je D = 2.083 dpt D = Di + D2 - -DiD2 = -0.5 + 2.5 - ?4(-0.5) • 2.5 = 2.083. _n_1.5 _ EbI El U IM (1 il ľrilVIov.1!. -11)11) Kružnice x + y — 1, (x — 0.9) + y = 0.04 tvoří řez kulovými povrchy čočky. Určete její mohutnost. Můžeme ji považovat za tenkou čočku? Přilétá-li světlo zleva, jsou obě lámavé plochy duté a přísluší jim tedy podle znaménkové konvence záporná znaménka a tedy pro index lomu n = 1.5 dostáváme D\ = —0.5 dpt a D2 = 2.5 dpt. Celková mohutnost je D = 2.083 dpt a odpovídající ohnisková vzdálenost potom / = 48 cm. Kružnice x + y — 1, (x — 0.9) + y = 0.04 tvoří řez kulovými povrchy čočky. Určete její mohutnost. Můžeme ji považovat za tenkou čočku? Přilétá-li světlo zleva, jsou obě lámavé plochy duté a přísluší jim tedy podle znaménkové konvence záporná znaménka a tedy pro index lomu n = 1.5 dostáváme D\ = —0.5 dpt a D2 = 2.5 dpt. Celková mohutnost je D = 2.083 dpt a odpovídající ohnisková vzdálenost potom / = 48 cm. Celková mohutnost čočky je kladná, takže se bude jednat o kladný meniskus. ©Lenka Přibylová, 2010 Q Kružnice x + y — 1, (x — 0.9) + y = 0.04 tvoří řez kulovými I povrchy čočky. Určete její mohutnost. Můžeme ji považovat za I tenkou čočku?_J Přilétá-li světlo zleva, jsou obě lámavé plochy duté a přísluší jim tedy podle znaménkové konvence záporná znaménka a tedy pro index lomu n = 1.5 dostáváme D\ = —0.5 dpt a D2 = 2.5 dpt. Celková mohutnost je D = 2.083 dpt a odpovídající ohnisková vzdálenost potom / = 48 cm. Celková mohutnost čočky je kladná, takže se bude jednat o kladný meniskus. V přiblížení tenké čočky by bylo D = D\ + D2 = 2 dpt. Jelikož bychom se tím dospustili chyby v určení celkové mohutnosti kolem pěti procent, lze říct, že z fyzikálního hlediska leží taková čočka na hranici tenkosti. ©Lenka Přibylová, 2010 Q ©Lenka Přibylová, 2010 Q Z průměru a výšky vodní kapky na podložce spočtěte, jakou čočku vytváří. Nejprve změříme výšku v a poloměr r vodní kapky (v metrech). ©Lenka Přibylová, 2010 Q Z průměru a výšky vodní kapky na podložce spočtěte, jakou čočku vytváří. Nejprve změříme výšku v a poloměr r vodní kapky (v metrech). 2 2 Poloměr povrchu kapky je R = r ^ m- /\ r ^ / \ Z pravoúhlého trojúhelníku podle Pythagorovy věty dostáváme rovnost R2 = r2 + (R - v)2 = r2 + R2- 2vR + v2, tj, 2vR = r2 + v2. (5) Léňká Přibylová, Z průměru a výšky vodní kapky na podložce spočtěte, jakou čočku vytváří. Nejprve změříme výšku v a poloměr r vodní kapky (v metrech). 2 2 Poloměr povrchu kapky je R = r ^ m- Světlo přilétá shora, povrch je vypuklý a přísluší mu dle znaménkové konvence kladné znaménko. Pro index lomu n dostáváme 2(n - l)v r2 + v: Di = —2-~ ^P** P°vrch na podložce je plochý, proto D2 = 0 dpt. f- Pro mohutnost vrchního povrchu platí _ n — 1 n — 1 (w —1) 2(n — l)v , , 1 , 1 = ~Ř^~ = ~Ř~ = "ST = ~Ť^vT dpt' Pr° pl°Chy - . _ _ 1 — n 1 — n Z průměru a výšky vodní kapky na podložce spočtěte, jakou čočku vytváří. Nejprve změříme výšku v a poloměr r vodní kapky (v metrech). 2 2 Poloměr povrchu kapky je R = r ^ m- Světlo přilétá shora, povrch je vypuklý a přísluší mu dle znaménkové konvence kladné znaménko. Pro index lomu n dostáváme 2(n - l)v r2 + v: Celková mohutnost je D = D\ dpt. Di = —2-~ ^P** P°vrch na podložce je plochý, proto D2 = 0 dpt. Z průměru a výšky vodní kapky na podložce spočtěte, jakou čočku vytváří. Nejprve změříme výšku v a poloměr r vodní kapky (v metrech). 2 2 Poloměr povrchu kapky je R = r ^ m- Světlo přilétá shora, povrch je vypuklý a přísluší mu dle znaménkové konvence kladné znaménko. Pro index lomu n dostáváme 2(n - l)v r2 + v: Celková mohutnost je D = D\ dpt. Kvůli ploché spodní stěně vzniklého kulového vrchlíku se bude vždy jednat o tenkou čočku. Di = —2-~ ^P** P°vrch na podložce je plochý, proto D2 = 0 dpt. D = D1 + D2 = D1 + 0 EbI El U IM (1 il .ŕi'ik.'i ľihlSxItSw1!. -11)11) Z průměru a výšky vodní kapky na podložce spočtěte, jakou čočku vytváří. Nejprve změříme výšku v a poloměr r vodní kapky (v metrech). 2 2 Poloměr povrchu kapky je R = r ^ m- Světlo přilétá shora, povrch je vypuklý a přísluší mu dle znaménkové konvence kladné znaménko. Pro index lomu n dostáváme 2(n - l)v r2 + v: Celková mohutnost je D = D\ dpt. Kvůli ploché spodní stěně vzniklého kulového vrchlíku se bude vždy jednat o tenkou čočku. r2 + v2 Odpovídající ohnisková vzdálenost potom f — —-—- m. ť J r j 2(n-l)v Di = —2-~ ^P** P°vrch na podložce je plochý, proto D2 = 0 dpt. r2 + v2 f d 2(w-l)r — - ' ^ m* •2_i 7,2 d 2(w-l)i7 Eifei bi ia laa ioi ,enka rnbylova. zmw 2(n - l)v Di = —2-2~ ^P** P°vrch na podložce je plochý, proto D2 = 0 dpt. Nejprve změříme výšku v a poloměr r vodní kapky (v metrech). 2 2 Poloměr povrchu kapky je R = r ^ m- Světlo přilétá shora, povrch je vypuklý a přísluší mu dle znaménkové konvence kladné znaménko. Pro index lomu n dostáváme 2(n - l)v r2 + v: Celková mohutnost je D = D\ dpt. Kvůli ploché spodní stěně vzniklého kulového vrchlíku se bude vždy jednat o tenkou čočku. r2 + v2 Odpovídající ohnisková vzdálenost potom f — —-—- m. ť J r j 2(n-l)v Celková mohutnost čočky kladná, takže se bude jednat o tenkou spojku. ©Lenka Přibylová, 2010 Q Z průměru a výšky vodní kapky na podložce spočtěte, jakou čočku vytváří. Pro kapku vody na skle je charakteristický tzv. smáčivý úhel oc = 38.5°. /(pí V ^^N. /£v r R-v \ a ^ 13 Eg- Pokud známe smáčivý úhel oc, můžeme mohutnost odvodit jen na základě poloměru kapky. (5) Léňká Přibylová, Z průměru a výšky vodní kapky na podložce spočtěte, jakou čočku vytváří. Pro kapku vody na skle je charakteristický tzv. smáčivý úhel oc — 38.5°. /(pí V ^^N. /£v r R-v \ a ^ 13 Eg- Z úhlů v trojúhelníku je vidět, že smáčivý úhel je také středovým úhlem. (5) Léňká Přibylová, Z průměru a výšky vodní kapky na podložce spočtěte, jakou čočku vytváří. Pro kapku vody na skle je charakteristický tzv. smáčivý úhel oc = 38.5 . XS 01 ~ R-v ~ r2-v2' r r r R — V r2+v2 _ 71 r2jrv2—2v2 2v u 2v El U 133 \\k<\ rrílVUSv.1!. -11)11) Z průměru a výšky vodní kapky na podložce spočtěte, jakou čočku vytváří. Pro kapku vody na skle je charakteristický tzv. smáčivý úhel oc = 38.5 . fp- a — _j_ — 2vr XS 01 — R-v — r2-v2' Je tedy zřejmé, že výška kapky bude nutně záviset na jejím poloměru, můžeme ji vypočítat z kvadratické rovnice 0 = v2tg oc + 2vr — r2tg oc, -2r ± v/4r2 + 4r2te 2oc ti. V\ 2 =---- J ' 2tg Ä -2r±2rv/l+tg2a: 1 , ^1,2 =--~—, kde 2tg a: ? ? ? —2r ± 2r 1 1 i 2., _ -i i sin oc _ cos fl+sin oc _ 1 jj 71 _ _cos a: 1 -f- tg # — 1 H--ô— — -ô- — -ô—, tl. Z7i 2 — -:- ° cosz oc cosz a cosz oc } osm 0L i_ COS g _y bbI bi ia iaa tc)i ,enka rnbylova. zuiu |%| Z průměru a výšky vodní kapky na podložce spočtěte, jakou čočku vytváří. Pro kapku vody na skle je charakteristický tzv. smáčivý úhel oc = 38.5 . XS 01 — R-v — r2-v2' Je tedy zřejmé, že výška kapky bude nutně záviset na jejím poloměru, můžeme ji vypočítat z kvadratické rovnice 0 = v2tg oc + 2vr — r2tg oc, —2r ± A/4r2 +4r2te 2oc 1 1 — cos a: ti. v\ 2 =-^—--— odtud i; = r—:- 2tg a: sin a: -2r±2r^- _i ± _L_ ^12 =-:—= r cos a:-cos^ Samozřejmě hledáme 2sm 0._ crai ei ia laa ioi ,enka rnbylova. zmw Z průměru a výšky vodní kapky na podložce spočtěte, jakou čočku vytváří. ^Dosadíme do vztahu pro mohutnost _ 2(n — 1)0 _ 2(n - l)r^^ _ 2(n - ljr1""*" srna f2 4- #2 9 7 (1—cos a:)2 ^2 sin2 a:+1—2 cos a:+cos2 ol i rz _^ rz v— —j_ y -_- sin2 ol sin" a 2(n — 1)(1 — cos a:) 2(n — 1)(1 — cos a:) sin a: r2-2cos^ ~~ 2r(l - cos a:) p ' sin a v / —2r ± A/4r2 +4r2te 2 a: 1 1 — cos a: ti. i7i 2 =---— odtud i; = r-:- 2tg ol sin a: ^ (n — l)sin# ^__. __ni D = ^-^-= 0.33 sin 38.5° i r r a 1 (tt-l)sin* 0.33sin38.5° r T' ©Lenka Přibylová, 2010 Q Nakreslete y2 - 2Rx + (1 + k)x2 = O pro k = 0, k = -1 a k = -2. BBI EJ 19 199 ©Lenka Přibylová, 2010 Q Nakreslete y2 - 2Rx + (1 + k)x2 = O pro k = 0,k=—lak = -2. k = 0: y2 - 2Rx + x2 = 0 ©Lenka Přibylová, 2010 Q Nakreslete y2 - 2Rx + (1 + k)x2 = O pro k = 0, k = -1 a k = -2. k = 0: y2 - 2Rx + x2 = 0 tj. y + (x — R) = R je kružnice se středem [R, 0] a poloměrem R. y2 — 2Kx + x2 = 0 doplníme na čtverec y2 + (x — R)2 — R2 = 0. cfei pi i»a iaa iciienkn ľniniov,!. -iMiig| Nakreslete y2 - 2Rx + (1 + k)x2 = O pro k = 0, k = -1 a = -2. = 0 : y2 - 2Kx + x2 = 0 tj. y2 + (x — K)2 = K2 je kružnice se středem [R, 0] a poloměrem BBI Q 19 199 ©Lenka Přibylová, 2010 Q Nakreslete y2 - 2Rx + (1 + k)x2 = O pro k = 0, k = -1 a k = -2. ©Lenka Přibylová, 2010 Q Nakreslete y2 - 2Rx + (1 + k)x2 = O pro k = 0,k=—lak = -2. k = -1 : y2 - 2Rx = 0 ©Lenka Přibylová, 2010 Q Nakreslete y2 - 2Rx + (1 + k)x2 = O pro k = 0,k = —lak = -2. | k = -1 : y2 - 2Rx = 0 tj. y2 = 2Rx je parabola s řídící přímkou x = — ^ a ohniskem [§, 0]. BBI Q 13 199 ©Lenka Přibylová, 2010 Q Nakreslete y2 - 2Rx + (1 + k)x2 = O pro k = 0,k=—lak = -2. k = -l: y2 - 2Rx = 0 tj. y = 2R x je parabola s řídící přímkou i = -|a ohniskem [§, 0]. ©Lenka Přibylová, 2010 Q Nakreslete y2 - 2Rx + (1 + k)x2 = O pro k = 0, k = -1 a k = -2. ©Lenka Přibylová, 2010 Q Nakreslete y2 - 2Rx + (1 + k)x2 = O pro k = 0,k=—lak = -2. k = -2: y2 - 2Rx - x2 = 0 ©Lenka Přibylová, 2010 Q Nakreslete y2 - 2Rx + (1 + k)x2 = O pro k = 0,k=—lak = -2. k = -2: y2 - 2Rx - x2 = 0 tj. (x + R)2 — y2 = Ŕ2 nebo '— = 1 je hyperbola s polosami délky R a středem [—R, 0]. y2 — 2Kx — x2 = 0 doplníme na čtverec y2 — (x + R)2 + R2 = 0. El 13 laa ť 0, jde tedy o elipsu s polosami a = a b = a středem S = [y^ppO] vpravo od počátku. ©Lenka Přibylová, 2010 Q Ukažte, že y — 2Rx + (1 + k) x = O je hyperbola, elipsa, kružnice a parabola a pro které hodnoty parametru k. k = 0: y2-2Rx+ (l + k)x2 =0 bbi Q 19 199 ©Lenka Přibylová, 2010 Q Ukažte, že y1 — 2Rx + (1 + k)x2 = O je hyperbola, elipsa, kružnice a parabola a pro které hodnoty parametru k. k = 0: y2 - 2Rx + (1 + k)x2 = 0 tj. y2 - 2Rx + x2 = y2 + (x - R)2 — R2 = 0, ©Lenka Přibylová, 2010 Q Ukažte, že y — 2Rx + (1 + k) x = O je hyperbola, elipsa, kružnice a parabola a pro které hodnoty parametru k. k = 0: y2-2Rx + (l + fc)x2 =0 tj. y2 - 2Rx + x2 = y2 + (x - R)2 - R2 = 0, tj. y2+(x- R)2 = R2 ©Lenka Přibylová, 2010 Q Ukažte, že y2 — 2Rx + (1 + k) x2 = O je hyperbola, elipsa, kružnice a parabola a pro které hodnoty parametru k. k = 0: y2 -2Rx+ (l + k)x2 = 0 tj. y2 - 2Kx + x2 = y2 + (x - R)2 - R2 = 0, tj. y2 + (x - R)2 = K2 je kružnice se středem [R, 0] a poloměrem bbi Q 19 199 ©Lenka Přibylová, 2010 Q Nalezněte průsečíky s osami kuželosečky y — 2Rx + (1 + k)x — 0. ©Lenka Přibylová, 2010 Q Nalezněte průsečíky s osami kuželosečky y2 - 2Rx + (1 + k)x2 = 0. k ^ -1: osa x : y = 0 2Rx + (1 + k)x2 = 0, ©Lenka Přibylová, 2010 Q k ^ _i: osa x : y = 0 2Rx+ (l + k)x2 = 0, Průsečíky jsou x = 0 a x(2K+ + = 0. — _2^_ ©Lenka Přibylová, 2010 Q Nalezněte průsečíky s osami kuželosečky y2 - 2Rx + (1 + k)x2 = 0. k ^ -1: osa x : y = 0 2Rx+ (l + fc)x2 = 0, x(2R + (l + fc)x) = 0. 2r_ 1+k' Průsečíky jsou x = 0 a x = osa y : x = 0 y2 = 0, průsečíky je y = 0. Dostáváme tedy dva průsečíky [0,0]a[m,0]. bbi Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2010 Q k ^ _i: osa x : y = 0 2Rx+ (l + k)x2 = 0, x(2R + (l + k)x) = 0. 2r_ 1+k' Průsečíky jsou x = 0 a x = osa y : x = 0 y2 = 0, průsečíky je y = 0. Dostáváme tedy dva průsečíky [0,0] a [2*0]. fc = -1: y — 2Rx = 0 parabola má jediný průsečík [0,0]. ©Lenka Přibylová, 2010 Q Ukažte, že R je vrcholová křivost profilu y — 2Rx + (1 + k)x — 0. BBI EJ 19 199 ©Lenka Přibylová, 2010 Q Ukažte, že R je vrcholová křivost profilu y — 2Rx + (1 + k)x — 0. Kuželosečka y2 — 2Rx + (1 + k)x2 = 0 je v počátku tečná k ose y, protože y = ±y2Rx — (1 + fc)x2 a y' = ±i(2Rx - (1 + fc)x2)"5 (2K - 2(1 + Jfc)x) ±oo pro x 0+. Stejně tak je to vidět i z předchozích grafů. Křivka není v okolí počátku funkcí. ©Lenka Přibylová, 2010 Q Ukažte, že R je vrcholová křivost profilu y — 2Rx + (1 + k)x — 0. Kuželosečka y2 — 2Rx + (1 + k)x2 = 0 je v počátku tečná k ose y, protože y = ±y2Rx — (1 + fc)x2 a y7 = ±i(2Rx - (1 + fc)x2)"5 (2K - 2(1 + ±oo pro x ^ 0+. Stejně tak je to vidět i z předchozích grafů. Křivka není v okolí počátku funkcí. Pro výpočet křivosti bude proto vhodné otočit grafy, tj. zaměnit x a y: ©Lenka Přibylová, 2010 Q Ukažte, že R je vrcholová křivost profilu y — 2Rx + (1 + k)x — 0. Kuželosečka y2 — 2Rx + (1 + k)x2 = 0 je v počátku tečná k ose y, protože y = ±y2Rx — (1 + fc)x2 a y7 = ±i(2Rx - (1 + fc)x2)"5 (2K - 2(1 + ±oo pro x ^ 0+. Stejně tak je to vidět i z předchozích grafů. Křivka není v okolí počátku funkcí. Pro výpočet křivosti bude proto vhodné otočit grafy, tj. zaměnit x a y: x2-2Ry+(l + k)y2 = 0. bbi Q 19 199 ©Lenka Přibylová, 2010 Q Ukažte, že R je vrcholová křivost profilu x — 2Ry + (1 + k)y = 0. k = -1: y 2r' ^ v R* y ~ R' BBI EJ 19 199 ©Lenka Přibylová, 2010 Q k = -1: y = 2r' ^ y ~ r* y ~ ř y'(0)=0, y//(0) = l ©Lenka Přibylová, 2010 Q k = -1: ^2 i ii 'y y — ^ y ~ r* y ~ ř y'(0)=0, y"(0) = i Křivost je dána vztahem ju _ y"(Q) _ í _ i (l + (y'(0))2)f 1 R ©Lenka Přibylová, 2010 Q k = -1: ^2 i ii 'y y — ^ y ~ r* y ~ ř y'(0)=0, y"(0) = i Křivost je dána vztahem y"(o) i i (i + (yW) 2^§ 1 R Poloměr křivosti je R. ©Lenka Přibylová, 2010 Q Ukažte, že R je vrcholová křivost profilu x2 — 2Ry + (1 + k)y2 = 0. k ^ -1: Doplněním na čtverec dostáváme podobně jako dříve *2 + (i+*)(y-Ä) =iŔ- bbi Q 19 199 ©Lenka Přibylová, 2010 Q Ukažte, že R je vrcholová křivost profilu x2 — 2Ry + (1 + k)y2 — 0. Doplněním na čtverec dostáváme podobně jako dříve X2+(l + k) (y-J^f = £-r Odtud (y-^) =ITgF_IíL BBI Q 19 199 ©Lenka Přibylová, 2010 Q Ukažte, že R je vrcholová křivost profilu x2 — 2Ry + (1 + k)y2 = 0. Doplněním na čtverec dostáváme podobně jako dříve X2 + (l + k) (y-J^f = g-k. Odtud (y-é) =(i$p-iéa R \ R2 x2 bbi Q 13 199 ©Lenka Přibylová, 2010 Q Ukažte, že R je vrcholová křivost profilu x — 2Ry + (1 + k)y = 0. k ^ _i: Doplněním na čtverec dostáváme podobně jako dříve *2 + (i + /c) (y-é)2 = TÍř Odtud (y- ifí) = (if^2 - TTk a _ R \ R2 x2 y-T+k±\j(i+jtp t+e- Pro hyperbolu je fc < —1 a v okolí počátku prochází větev y = + \j (J^k)2 T+k' Pro e^Psu je ^ > —1 a v okolí počátku prochází větev y = ^ - W ^f^p - iŔ- ©Lenka Přibylová, 2010 Q Ukažte, že R je vrcholová křivost profilu x — 2Ry + (1 + k)y = 0. k ŕ -V. bbi Q 19 199 ©Lenka Přibylová, 2010 Q Ukažte, že R je vrcholová křivost profilu x — 2Ry + (1 + k)y = 0. k ŕ -V. _ R i Ŕ2- x2 V — T+k ± y (TTIp ~ T+k^ ©Lenka Přibylová, 2010 Q k ŕ -1: 17 _ _R_ _l / R2__rL v/ = ±I ( Ŕ1 x2\~Í ( 2x 2\(i+k)2 i+kj y 1 + k 3 1 ,,// í R2 x2 \ ~2 í__2xY j_l í R2 x2 \~2__ V -+4l(l+fc)2 l+k) ■[■-l+kl ^2 1(1+^)2 i+k) '\"l+k BBI EJ 19 199 ©Lenka Přibylová, 2010 Q k ŕ -1: 17 _ _R_ _l / R2__rL v/ = ±I ( R2 x2\~Í í 2x 2\(i+k)2 i+kj y i + kj' 3 1 ,,// _ ^1 / R2 xM~2 /__2x y _l 1 ( R2 x2 \~2__ í/ -+4^(i+fc)2 l+fcj l+fcj ^2^(1+^)2 i+k) -\ 1+k /(o) = o.y»(o) = Tllí.l±* = 4 bbi Q 19 199 ©Lenka Přibylová, 2010 Q k ŕ -1: 17 _ _R_ _l / R2__rL v/ = ±I ( R2 x2\~Í í 2x 2\(i+k)2 i+kj y i + kj' 3 1 ,,// _ ^1 / R2 xM~2 /__2x y _l 1 ( R2 x2 \~2__ í/ -+4^(i+fc)2 l+fcj l+fcj ^2^(1+^)2 i+k) -\ 1+k 1 1 j jl^ ^ y7(0) = 0 a y/7(0) = ^ • ^ = =p —. Křivost je dána vztahem (l + (y'(0))2)f 1 R ©Lenka Přibylová, 2010 Q k ž -1: 1/ - JL 4- / £2 _ _*L y ~ i+fc v (i+ic)2 i+fc 2V(l+fc)2 i+v v i + fc/' 3 1 ,,// _ ^1 / R2 x2 \~2 /__2x\ xl / R2 x2 \~2__ y -+4^(i+fc)2 i+fcj í+fcj ^2^(1+^2 i+fc^ i+k 1 1 I ^ y7(0) = 0 a y/7(0) = ^ • ^ = =p —. Křivost je dána vztahem (l + (y'(0))2)f 1 R Poloměr křivosti je R. ©Lenka Přibylová, 2010 5BI Cl 19 ias Konec ©Lenka Přibylová, 2010 Q