Užití kuželoseček a kvadrik. Lenka Přibylová 25. listopadu 2010 Kružnice x2 + y2 = 1, (x — 0.9)2 + y2 = 0.04 tvoří řez kulovými povrchy čočky. Určete její mohutnost. Můžeme ji považovat za tenkou čočku? Polohy středů: (xi,yi) = (0,0) a (^2/3/2) = (0-9,0) m, poloměry: = 1 m, #2 = 0.2 m. ,2 y- = 1 - x2 dosadíme do (x - 0.9)2 + y2 = 0.04, odtud (x - 0.9)2 + 1 - x2 = -1.8x + 0.81 + 1 = 0.04, tj- x = TÍ = 0.983 a y2 = 1 - (-^f )2 = 0.033, tj. y = ±^/l- (-gf )2 = 0.18. Jedná se o meniskus s průsečíky: x = 0.983 m, y = ±0.18 m. Průměr čočky je p=0.36 m, tlouštka čočky je d = 0.1 m. Přilétá-li světlo zleva, jsou obě lámavé plochy duté a přísluší jim tedy podle znaménkové konvence záporná znaménka. n — 1 1 — n Pro mohutnost prvního povrchu platí D\ =---— dpt, pro druhý D2 =---— dpt. Tedy pro index lomu n = 1.5 R\ R2 1.5 — 1 1 — 1.5 dostáváme D\ =--'—— = —0.5 dpt a D2 =--^ = 2.5 dpt. d 01 Celková mohutnost je D = Dx + D2--= -0.5 + 2.5 - — (-0.5) • 2.5 = 2.083 dpt a odpovídající ohnisková vzdálenost potom f = j) = j^šš = m' Celková mohutnost čočky je kladná, takže se bude jednat o kladný meniskus. V přiblížení tenké čočky by bylo D = Di + D2 = 2 dpt. Jelikož bychom se tím dospustili chyby v určení celkové mohutnosti kolem pěti procent, lze říct, že z fyzikálního hlediska leží taková čočka na hranici tenkosti. Z průměru a výšky vodní kapky na podložce spočtěte, jakou čočku vytváří. Nejprve změříme výšku v a poloměr r vodní kapky (v metrech). Z pravoúhlého trojúhelníku podle Pythagorovy věty dostáváme rovnost R2 = r2 + (R - v)2 = r2 + R2 - 2vR + v2, tj. 2vR = r2 + v2. Poloměr povrchu kapky je R = ^^o* m- Světlo přilétá shora, povrch je vypuklý a přísluší mu dle znaménkové konvence kladné znaménko. Pro mohutnost n — 1 ti — 1 (n — 1) 2(ľí — l)v vrchního povrchu platí D\ = ——— = ——— = 2+ 2 = —^-T~ ^P^' P°vrch na podložce je plochý, proto R = 00 a 1 L^L r +v ©Lenka Přibylová, 2010 Q D, 1 — jí 1 — jí #2 oo 0 dpt. Celková mohutnost je D = D1 + D2--DiD2 = Di + O--Di • O jí jí Di Kvůli ploché spodní stěně vzniklého kulového vrchlíku se bude vždy jednat o tenkou čočku. Odpovídající ohnisková vzdálenost potom / = Celková mohutnost čočky kladná, takže se bude jednat o tenkou spojku. Pro kapku vody na skle je charakteristický tzv. smáčivý úhel a = 38.5°. AI r V: R-v \ A ^< Z úhlů v trojúhelníku je vidět, že smáčivý úhel je také středovým úhlem. r r tg a 2vr R-v 2v — V -Iv1 Iv Je tedy zřejmé, že výška kapky bude nutně záviset na jejím poloměru, můžeme ji vypočítat z kvadratické rovnice O = u2tg a + 2vr — r2tg a, -Ir ± J Ar1 + 4r2tg 2oc -2r ± 2rJ\ + tg 2oc , , 2 -2„ ros2a+sir,2a , ti. v\ 2 =----— =----—, kde 1 + tg 2 a = 1 + = cos ffi+2 x = —k-, ti. ' • 2tg ot 2tg ot cos a cos a cos a —2r±2r^— —1 ± ^— 1 — cos a i>i 2 = -:—= r cos a-cos_£ Samozřejmě hledáme kladné řešení v > O, odtud u = r-. 2 sni srna srna cos a Dosadíme do vztahu pro mohutnost D = 2(n-l)v = 2(»-l)r^ = 2(»-l)r^ = 2(n-l)(l-cos*) = 2(jí - 1)(1 - cos a) sin a ľ2 + V2 „2 i „2(1_cosa)2 „2 sin2 «+1-2 cos tt+cos2 a r 2-2 cos « 2r(l — COSff) r + r -T- „:„2 ., sm« v ' sin a sm a D=(jí-l)sin.= 033sin385 r r a r = 4.87 • r. (jí-1) Sin a 0.33 sin 38.5< Nakreslete y2 - 2Rx + (1 + fc)x2 = 0 pro k = 0, fc = -1 a fc = -2. fc = 0 : y2 - 2ftx + x2 = 0 tj. y2 + (x — _R)2 = _R2 je kružnice se středem [_R, 0] a poloměrem _R. ©Lenka Přibylová, 2010 Q Ukažte, že y2 — 2Rx + (1 + fc)x2 = O je hyperbola, elipsa, kružnice a parabola a pro které hodnoty parametru fc.j k< -1: y2 - 2ftx + (l + fc)x2 = 0 2 tj. y2 + (1 + fc) (x2 — f^x j = 0 a doplněním na čtverec tedy y2 + (1 + fc) (x — ^ j = y2 , (x-Tf,)2 = 1. ■y^j < 0, jde tedy o hyperbolu s polosami a = -y^ a b = a středem S = [y^p 0] vlevo od počátku. fc = -1: y2 - 2ftx + (l + fc)x2 = 0 tj. y2 = 2Rx je parabola s řídící přímkou i = -|a ohniskem [§,0]. -1 < fc 2 «>^""^iiL l2' y2 - 2Rx+ (l + fc)x2 = 0 tj. y2 + (1 + fc) ^x2 — Y+kx") = 0 a doplněním na čtverec tedy y2 + (1 + fc) ^x — ^-^j = j^., R2 (^)2 yq^: > 0, jde tedy o elipsu s polosami a = y^r a b = J^+k a středem S = [ y^p 0] vpravo od p fc = 0: y2 - 2ftx + (l + fc)x2 = 0 tj. y2 - 2Rx + x2 = y2 + (x - _R)2 - _R2 = 0, tj. y2 + (x - _R)2 = _R2 je kružnice se středem [_R, 0] a poloměrem _R. ©Lenka Přibylová, 20101 Nalezněte průsečíky s osami kuželosečky y2 — 2Rx + (1 + k)x2 = 0. ^ -1: osa x : y = 0 2Rx + (1 + fc)x2 = 0, x(2R + (l+k)x) = 0. Průsečíky jsou x = 0 a x = . osa y : x = 0 y2 = 0, průsečíky je y = 0. Dostáváme tedy dva průsečíky [0,0] a [^^,0]. k = -1: y2 — 2_Rx = 0 parabola má jediný průsečík [0,0]. Ukažte, že R je vrcholová křivost profilu y2 — 2Rx + (1 + k)x2 = 0. Kuželosečka y2 — 2Rx + (1 + k)x2 = 0 je v počátku tečná k ose y, protože y = ±y2Rx — (1 + fc)x2 a i y' = ±j(2Rx — (1 + fc)x2) ~2 (2_R — 2(1 + fc)x) —> ±oo pro x —> 0+. Stejně tak je to vidět i z předchozích grafů. Křivka není v okolí počátku funkcí. Pro výpočet křivosti bude proto vhodné otočit grafy, tj. zaměnit x a y: x2-2£y+(l+fc)y2 = 0. v - ±- => v' - ± v" - i Křivost je dána vztahem fc = y'(0) = 0, y"(0) = i. y"(Q) £ _ 1 (l+(y'(0))2)i 1 Poloměr křivosti je fc^-1: Doplněním na čtverec dostáváme podobně jako dříve t2 + d + fc) (y-Ä)2 = Ä- Odtud (y-^ =ITgF-T^a Pro hyperbolu je k < —1 a v okolí počátku prochází větev y = + J jp^i — pro elipsu je k > — 1 a v okolí počátku prochází větev y = yfj - y - i+p k ŕ-v. ©Lenka Přibylová, 2010 Q y'(0) = O a y"(0) = =F ^ ^ ^ • = ~F^- Křivost je dána vztahem fc= y"(°> = TA = Tl (l + (y'(0))2)i 1 Ä Poloměr křivosti je .R. ©Lenka Přibylová, 20101