Derivace. Lenka Přibylová 13. září 2010 ©Lenka Přibylová, 2010 | Obsah Derivujte funkci f (x, t) = x2 + t podle x.............. 4 Derivujte funkci f (x, t) = x2 + t podle ŕ.............. 6 Derivujte funkci j [x, i) — tx podle x............... 8 Derivujte funkci f (x, t) = t x2 podle t............... 10 Derivujte funkci f {x, t) = cos(x + vi) podle x.......... 12 Derivujte funkci f {x, t) = cos(x + vi) podle ŕ........... 14 Derivujte funkci f (r, t) = Ae^wt~^ podle t............ 16 BI H iaa ©Lenka Přibylová, 2010 q Vzorce pro derivování: k' = 0 (cos x)' = — sin x 1 COS2 X 1 0X)7 = ex (cotg*/ = —: sin2 x 1 (a*)7 — ax\na (arcsinx)7 = 2 2 Vi x 1 1 (lnx)7 = - (arccos x)' =---- * v 1 — X 1 1 (log^xV = —;— (arctgxV =--^ v ^a J xlna v 07 1 + x2 1 (sin x V = cos x (arccotexV = —--~ v 7 v & 7 1 + x2 ©Lenka Přibylová, 2010 | Derivujte funkci f (x, t) = x2 + t podle x. ©Lenka Přibylová, 2010 | Derivujte funkci f(x,t) = x + t podle x. (x2 + t)' = 2x + 0 = 2j. / 1 nezávisí na x, je tedy konstantou v vzhledem k x a f7 = 0.________ ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ Derivujte funkci f{x, t) — x2 + t podle ř. ©Lenka Přibylová, 2010 q ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ Derivujte funkci f{x, t) — x2 + t podle ř. (x2 + t)f = 0 + 1 = 1. (tn)' — ntn 1, kde n — 1, x nezávisí na ř, je tedy konstantou vzhledem kra (x2)7 = 0. ~VSS (5) Lenka lJnbylova, 21) 11) Derivujte funkci f(x,t) = tx2 podle x. ©Lenka Přibylová, 2010 | Derivujte funkci f (x, t) = t x2 podle x. [tx1)' = ŕ • 2x = 2ŕx. 'ŕ nezávisí na x, je tedy konstantou vzhledem k x a pro násobení konstantou platí vztah (konst • f(x)Y = fconsŕ • (/(x))7, jinak řečeno, lze ji vytknout. Dále platí (xn)f = nxn~x, kde n = 2, tj. ^x ^ — 2x. BET El Q 133 (íjLenkn ľnbvlowi, -ÍUlTig Derivujte funkci f (x, t) = tx2 podle ŕ. ©Lenka Přibylová, 2010 | Derivujte funkci f (x, t) = tx2 podle ŕ. (tx2)' = x2 • 1 = x ^x nezávisí na t, je tedy konstantou vzhledem kra pro násobení konstantou platí vztah {konst • /(ŕ))' = konst • (/(ŕ))', jinak řečeno, lze ji vytknout. Dále platí (tn)f = nřn_1, kde n = 1, tj. y(0/ = 1-_y BET El Q 133 (íjLenkn ľnbvlowi, -ÍUlTig Derivujte funkci f (x, i) = cos(x + vi) podle x. ©Lenka Přibylová, 2010 q - Derivujte funkci f{x, t) — cos(x + vt) podle x. (cos(x + vt))' = — sin(x + vt) • 1. x je obsaženo v argumentu funkce, jde o složenou funkci s vnější složkou cos, její derivací je funkce — sin téhož argumentu krát derivace vnitřní složky, tj součtu derivace x a detivace vt. Protože (xn)f = nxn~x, pro n = 1 je (x)f = 1, vt nezávisí na x, je tedy konstantou vzhledem k x, tj. {vt)' = 0. EBl El Q 153 (5) Lenka lJnbylova, 21)11(0 Derivujte funkci f (x, t) = cos(x + vi) podle ŕ. ©Lenka Přibylová, 2010 | Derivujte funkci f{x, t) — cos(x + vt) podle t. [ (cos(x + vt))' = — sin(x + vt) • v. f- t je obsaženo v argumentu funkce, jde o složenou funkci s vnější složkou cos, její derivací je funkce — sin téhož argumentu krát derivace vnitřní složky, tj součtu derivace x a detivace vt. Protože x nezávisí na ř, je konstantou vzhledem k ř, stejně tak v, tj. (x)f = 0 a (vt)' = v-(t)' = v-l. EB1 El Q 153 (5) Lenka lJnbylova, 21) 11) q 1---1 Derivujte funkci f (r, t) = Aei{fai~^ podle t. - Funkce představuje rovinnou vlnu v komplexním tvaru, kde k je vlnový vektor a r je polohový vektor. Jejich skalární součin je vzhledem k času konstantní.________ El U Iflfl