Užití derivace.
Lenka Přibylová 28. prosince 2010
Ukažte, že \p{x, t) = A cos ( co (ŕ — —) ) je řešením vlnové rovnice.
]
d2xp _ 1 d2xp dx2     v2 dt2
^ = -Asinf cv(t - -) ) -co(--" dx V v ) v>
g = -Acos(o,(ř-^)Va,21 ^ = -A siní cv(t - -) 1 • co
dt \   K v
d2xP _    a„„J,.(* x
dt2
A cos (o; (ŕ--) -o;2
Ukažte^e funkce ^^^^^^^^^^^eřešenírr^lnov^rovnice: j
d2xp _ 1 32)/?
dx2     v2 dt2
dJ.=f'(x±vt)-d-^l=f'(x±vt)-l=f'(x±vt)
^| = f"(x ± vt) ■ {±v) ■ (±v) = f"(x ± vt) ■ v2 dt1
1
f"(x±vt) = -Iv2f"(x±vt)
Pro které v je funkce ip(x, t) = -.-—^—- řešením vlnové rovnice?
)
d2xp _ 1 d2xp dx2     v2 dt2
^ = -((x - 2ř)2 + l)-2 • 2(x - 2t)       = 2((x - 2ř)2 + l)-3 • 2(x - 2ř) • 2(x - 2ř) - ((x - 2ř)2 + l)-2
^ = -((x-2ř)2 + l)-2-2(x-2ř)-(-2)
= 2((x - 2ř)2 + I)"3 • (-4)(x - 2ř) • (-4)(x - 2ř) - ((x - 2ř)2 + l)"2 • 8
d2xp _ 1 32)/? 3x2 - IJfi
©Lenka Přibylová, 20101
Ukažte, že se harmonická vlna ip(x, t) = A cos(o;ř — kx) šíří prostorem rychlostí v =
Harmonická vlna \p{x, t) = A cos(o;ř — kx) má fázi <p(x, t) = cot — kx = const. Rychlost šíření vlny odpovídá rychlosti šíření konstantní fáze prostorem, tj.
M*'** - dx át + dt _a
„ .       .  , , ,      dx     .       dep     du>t — kx dep     du>t — kx ,
Z teto rovnice vyiadrime rychlost ——, pritom -r1- =---= co a -^r- = -r-= —k, tedy
át dt dt dx dx
dx Lú
~át ~ ~ H ~ T ~ V
dx
Spočtěte Taylorův polynom stupně 2 příslušný funkci y = sin(x2) v okolí xq = 0.
f(x) = sin(x2) /(O) = 0
f'(x) = cos(x2) ■ (2x) /'(0) = 0
f"(x) = - sin(x2) • (2x) ■ (2x) + cos(x2) • 2 /"(O) = 2
Taylorův polynom stupně 2 je tedy tvaru:
0 2
t2(x) = 0 + — x + —x2 = x2.
Spočtěte Taylorův polynom stupně 2 příslušný horní půlkružnici x2 + y2 = r2 v okolí xq = 0.
Dvě půlkružnice x2 + y2 = r2 jsou v explicitním tvaru y = ± Vr2 - x2 , horní je kladná. Hledáme tedy Taylorův polynom funkce f(x) = \jr2 — x2. f(x) = Vr2 - x2
/(0) =R i
f'(x) = i(£2 - x2)"2 • (-2x) = -x(r2 - x2)"2 /'(°) = °
f"(x) = — (r2 — x2y\ - x{-\){r2 - x2)-\ ■ (-2x)
/"(O = -i
Taylorův polynom stupně 2 je tedy tvaru:
t2(x) = r + ^x + ^fx2 = r- ^x2.
Spočté^_|
Pokračujeme v rozvoji funkce f(x) = v _R2 — x2.
f"'(x) = (-(r2 - x2)-\ - x2(r2 - x2yi)' = \ (r2 — x2)-l ■ (-2x) - 2x(r2 - x2)"Í - x2(-|)(_R2 - x2)"2 • (-2x) =
-3x(r2 - x2)~Í - 3x3(r2 - x2)"2 /"'(O) =0
EE1   El   la   iaa ©Lenka Přibylová, 2010 Q
f^\x) = -3(R2 - x2)"2 - 3x(-§)(R2 - x2)-2(-2x) - 9x2(R2 - x2)"2 - 3x3(-f )(_R2 - x2)"2(-2x)
/(4)(o)--|
Taylorův polynom stupně 4 je tedy tvaru:
Magnetické pole vodiče, kterým protéká stejnosměrný proud i, je dáno jako b = ^ (^—0^ (proud protéká ve
směru osy z, jig je permeabilita, r je vzdálenost od vodiče stejnosměrného proudu ). Spočtěte divergenci indukovaného magnetického.
]
Divergence F: divF = —h -r-—h -r—. Označme b = P- ( — 4r, -r,0 ) = ^rF, kde     je konstanta, kterou můžeme
3x     3y     3z \   r1 r1 J
-*    /   y x
z divergence vytknout. Budeme se tedy zabývat jen vektorovým polem F = ( — "3/ "j / 0
^ -        - - -yU2 + y2)"1 - -y ■ (-D(*2 + y2)"2 ■ 2* =
3x        3x dxx2+y2 dx (x2 + y2)
3/2 _ _   3       X       _ „ d (JI  , „2x-l _ „   /   ,w2  , „2x-2   0„_ 2xy
2
+ y)" =x■ MH* +y) • 2y
3y       3y      3yx2+y2      3y (x2 + y2)2
^ = 0 3z
divF = ^1 + ^ + ^3 = ^y___?íy_ = 0
3x     3y     3z      (x2 + y2)2 (x2+y2)2
Divergence magnetického pole je nulová.
©Lenka Přibylová, 2010 Q