Užití determinantů.
Lenka Přibylová 15. listopadu 2010
©Lenka Přibylová, 2010 Q
Obsah
Spočtěte determinant........................ 3
Spočtěte determinant........................ 8
Spočtěte determinant........................ 13
Spočtěte determinant........................ 19
Spočtěte determinant........................ 30
Klasifikujte kuželosečku....................... 41
Klasifikujte kuželosečku....................... 51
Klasifikujte kuželosečku....................... 60
Klasifikujte kuželosečku...................... 68
Cramerovým pravidlem řešte soustavu.............. 76
El   H   iaa ©Lenka Přibylová, 2010 Q
©Lenka Přibylová, 2010 Q
Všimněte si zápisu. Počítáme determinant matice, v zadání se mluví o matici, proto kulaté závorky, v řešení již počítáme determinant, proto rovné čáry. Stejně tak bychom mohli
5 4
determinant napsat jako det v_x _j
BEI   El   13   Iflfl <gH .éťiká ľťifíylňvá. l\)II) |gj
1 2
'- Í5 Spočtěte determinant matice ( .			
	5 4 1 2	= 5	•2
Křížovým pravidlem: násobíme prvky na hlavní diagonále
cfei   k>u   i»a   iaa iciienu i'nnviovn. -umfl
'- Í5 Spočtěte determinant matice ( .				
	5 4 1 2	= 5	•2-1-4	
a odečteme součin prvků na vedlejší diagonále.
cfei   k>u   i»a iaa
(čj Lenka lJnbyiova, 2U1U Q
'- í 5 Spočtěte determinant matice ( .			í-	
	5 4 1 2	= 5	•2-1-4 = 6	
©Lenka Přibylová, 2010 Q
©Lenka Přibylová, 2010 Q
©Lenka Přibylová, 2010 Q
'- Spočtěte determinant matice ^			'5 4\
	5 4 10 8		5-8
Křížovým pravidlem: násobíme prvky na hlavní diagonále
cfei   k>u   i»a   iaa iciienu i'nnviovn. -umfl
'- Spočtěte determinant matice ^			'5 4\ 10 8/
	5 4 10 8		5-8-10
•4
a odečteme součin prvků na vedlejší diagonále.
cfei   k>u   i»a iaa
(č) Lenka lJnbylova, AI1U Q
'- Spočtěte determinant matice ^			'5 4\ 10 8/
	5 4 10 8		5-8-10
•4 = 0
Všimněte si, že řádky matice jsou lineárně závislé vektory, druhý je dvojnásobkem prvního. Matice je v takovém případě tzv. singulární (není regulární) a nutně musí mít nulový determinant, prohlédněte si proč.
creib   Ei   ia   laa tc)i ,enka rnbylova. zuiu Q
©Lenka Přibylová, 2010 Q
cos(2x) sin(2x) — sin(2x) cos(2x)
©Lenka Přibylová, 2010 Q
cos(2x) sin(2x) — sin(2x) cos(2x)
= cos(2x) • cos(2x)
Křížovým pravidlem: násobíme prvky na hlavní diagonále
cfei   k>u   i»a   iaa iciienu i'nnviovn. -umfl
cos(2x) sin(2x) — sin(2x) cos(2x)
= cos(2x) • cos(2x) — (— sin(2x)) • sin(2x)
a odečteme součin prvků na vedlejší diagonále.
EEWiKli»^iWay
^c;Lenka rnbylova, zuiu
cos(2x) sin(2x) — sin(2x) cos(2x)
= cos(2x) • cos(2x) — (— sin(2x)) • sin(2x)
= cos2(2x) +sin2(2x) =
©Lenka Přibylová, 2010 Q
cos(2x) sin(2x) — sin(2x) cos(2x)
= cos(2x) • cos(2x) — (— sin(2x)) • sin(2x)
= cos2(2x) + sin2(2x) = 1
Vzorec je důsledkem Pythagorovy věty v trojúhelníku s přeponou jednotkové délky, platí pro libovolný úhel.
| bii   ei   ia   laa ioi ,enka rnbylova. zmw
©Lenka Přibylová, 2010 Q
3	4	1
7	-2	0
1	1	1
©Lenka Přibylová, 2010 Q
3	4	1
7	-2	0
1	1	1
3	4	1
7	-2	0
Sepíšeme první dva řádky pod determinant jako pomocné.
cfei   k>u   i»a   iaa iciienu i'nnviovn. -umfl
3	4	1
7	-2	0
1	1	1
3	4	1
7	-2	0
3-(-2)-l
Sečteme součiny ve směru hlavní diagonály.
cfei   pi   i»a iaa
(č) Lenka lJnbylova, 2U1U Q
3	4	1
7	-2	0
1	1	1
3	4	1
7	-2	0
_    3-(-2)-1 + 7-1-1
Sečteme součiny ve směru hlavní diagonály.
cfei   k>u   i»a iaa
(č) Lenka lJnbylova, 2U1U Q
3 7 1 3 7
4
-2 1 4
-2
1
0
1 1 O
_    3-(-2)-1 + 7-1-1 + 1-4-0
Sečteme součiny ve směru hlavní diagonály.
cfei   k>u   i»a iaa
(č) Lenka lJnbylova, 2U1U Q
3 7 1 3 7
4
-2 1 4
-2
1
0
1 1 O
3-(-2)-1 + 7 ~~ -l-(-2)-l
1 • 1 + 1 -4-0
Odečteme součiny ve směru vedlejší diagonály.
cfei   k>u   i»a   iaa iciienu i'nnviovn. -umfl
3 7 1 3 7
4
-2 1 4
-2
1
0
1 1 O
_ 3-(-2)-1 + 7-1-1 + 1 ~~ -1-(-2)-1-3-1-0
4-0
Odečteme součiny ve směru vedlejší diagonály.
pbi   k>u   i»a   iaa iciienu i'nnviovn. -umfl
3 7 1 3 7
4
-2 1 4
-2
1
0
1 1 O
_ 3-(-2)-1 + 7-1 ~~ -l-(-2)-l-3-
•1 + 1-4-0 1-0-7-4-1
Odečteme součiny ve směru vedlejší diagonály.
cfei   k>u   i»a   iaa iciienu i'nnviovn. -umfl
3 4 1
7-2 0
1 1 1
3 4 1
7-2 0
_ 3-(-2)-1 + 7-1-1 + 1-4-0 ~~  -1-(-2)-1-3-1-0-7-4-1
= -6 + 7 + 0- (-2) -0-28
©Lenka Přibylová, 2010 Q
3 4 1
7-2 0
1 1 1
3 4 1
7-2 0
_ 3-(-2)-1 + 7-1-1 + 1-4-0 ~~  -1-(-2)-1-3-1-0-7-4-1
= -6 + 7 + 0 - (-2) - 0 - 28 = -25
©Lenka Přibylová, 2010 Q
©Lenka Přibylová, 2010 Q
3	-2	1
2	-1	3
1	0	5
©Lenka Přibylová, 2010 Q
3-2 1
2- 13 1    O 5
3- 2 1 2-13
Sepíšeme první dva řádky pod determinant jako pomocné.
cfei   k>u   i»a   iaa icn enk.i inn\io\ ti. :iim 8j|
3-2 1
2- 13 1    O 5
3- 2 1 2-13
_ 3-(-l)-5
Sečteme součiny ve směru hlavní diagonály
cfei   k>u   i»a iaa
(ČJ Lenka Přibylova, 2U1U Q
3	-2	1
2	-1	3
1	0	5
3	-2	1
2	-1	3
3-(-1)-5 + 2-0-1
Sečteme součiny ve směru hlavní diagonály.
cfei   k>u   i»a iaa
(č) Lenka lJnbylova, 2U1U Q
3-2 1
2- 13 1    O 5
3- 2 1 2-13
3-(-l)-5 + 2-0-l + l-(-2)-3
Sečteme součiny ve směru hlavní diagonály.
cfei   k>u   i»a iaa
(t) Lenka lJnbylova, 2U1U Q
3 -2 1 2-13 10 5 3 -2 1 2-13
3- (-1) -5 + 2-0 -1 • (-1) • 1
1 + 1-(-2)-3
Odečteme součiny ve směru vedlejší diagonály.
pbi   k>u   i»a   iaa loienu i'nnviovn. -umfl
3-2 1
2- 13 1    O 5
3- 2 1 2-13
3-(-l)-5 + 2-0-l + l-(-2)-3 -l-(-l)-l-3-0-3
Odečteme součiny ve směru vedlejší diagonály.
cfei   k>u   i»a   iaa loienu i'nnviovn. -umfl
3
2
1
3
2
-2 -1 O
-2 -1
1
3 5 1
3
3 - (-1) -5 + 2-0--l-(-l)-l-3-0
1 + 1-(-2)-3 •3-2- (-2) - 5
Odečteme součiny ve směru vedlejší diagonály.
cfei   k>u   i»a   iaa iciienu i'nnviovn. -umfl
3-2 1
2- 13 1    O 5
3- 2 1 2-13
3-(-l)-5 + 2-0-l + l-(-2)-3 — 1 • (-1) • 1 - 3 • O • 3 - 2 • (-2) • 5
= -15 + O - 6 - (-1) - O - (-20)
©Lenka Přibylová, 2010 Q
3-2 1
2- 13 1    O 5
3- 2 1 2-13
3-(-l)-5 + 2-0-l + l-(-2)-3 — 1 • (-1) • 1 - 3 • O • 3 - 2 • (-2) • 5
= -15 + O - 6 - (-1) - O - (-20) = 0
Determinant je nulový, matice je tedy singulární, má lineárně závislé řádky.
efei   ei   ia laa
^c;Lenka rnbylova, zuiu
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
Klasifikujte kuželosečku 2x2 — 2xy + 3y2 — x + y — 1 = 0.
©Lenka Přibylová, 2010 Q
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
Klasifikujte kuželosečku 2x2 — 2xy + 3y2 — x + y — 1 = 0.
Determinant   A =
2
-1
1
2
-1
3
1
2
1
2
1
2
-1
©Lenka Přibylová, 2010 Q
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
Klasifikujte kuželosečku 2x2 — 2xy + 3y2 — x + y — 1 = 0.
Determinant   A =
2
-1
1
2
2
-1
-1
3
1
2 -1
3
1
2
1
2 -1
1
2
1
2
2
-1
_ i
2
-1
3
1
2
_ 1 2
1
2
-1
Sepíšeme první dva řádky.
dbi   k>u   ia iaa
(ČJ Lenka Přibylova, zLWJ Q
Klasifikujte kuželosečku 2x2 — 2xy + 3y2 — x + y — 1 = 0. ]
Determinant   A =
2
-1
_ i
2
2
-1
-1
3
1
2 -1
3
_ i
2
1
2 -1
_ 1 2
1
2
2
-1
_ i
2
-1
3
1
2
_ 1 2
1
2
-1
_ 3 _ 1   , j 4      o   \ 1
Použijeme Sarussovo pravidlo.
dfai ia iaa
(č) Lenka Přibylova, AI1U Q
Klasifikujte	kuželosečku 2x2		— 2xy + 3y2 — x + y — 1 =0.	
		2 -1	1 2	
Determinant	A =	-1 3	1 2	
		1 i 2 2	-i	
2
-1 _ l
2
2
-1
-1
3
1
2 -1
3
_i i5
2
-1
_1 2
1
2
6 + t + |
3
4
i+i
23 4
©Lenka Přibylová, 2010 Q
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
Klasifikujte kuželosečku 2x2 — 2xy + 3y2 — x + y — 1 = 0.
Determinant   A =
2
-1
_ i
2
2
-1
-1
3
1
2 -1
3
_ i
2
1
2 -1
_ 1 2
1
2
2
-1
_ i
2
-1
3
1
2
_ 1 2
1
2
-1
_3_1 ,
4      oi1 —
¥t^o
Jde o vlastní kuželosečku.
BBI—B—Q—-
(CjLéňká Přibylová, 21) 11) |£|
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
Klasifikujte kuželosečku 2x2 — 2xy + 3y2 — x + y — 1 = 0.
Determinant   A =
2
-1
_ i
2
2
-1
-1
3
1
2 -1
3
_ i
2
1
2 -1
_ 1 2
1
2
2
-1
_ i
2
Determinant   £ =
2
-1
-1
3
1
2
_ 1 2
1
2
-1
6 + i + i
_3_i,
4      o   i  1 —
¥t^o
-1
3
©Lenka Přibylová, 2010 Q
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
Klasifikujte kuželosečku 2x2 — 2xy + 3y2 — x + y — 1 = 0.
Determinant   A =
2
-1
_ i
2
2
-1
-1
3
1
2 -1
3
_ i
2
1
2 -1
_ 1 2
1
2
2
-1
_ i
2
Determinant   £ =
2
-1
-1
3
1
2
_ 1 2
1
2
-1
6 + i + i
_3_i,
4      o   i  1 —
¥t^o
-1
3
= 5 > 0,
©Lenka Přibylová, 2010 Q
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
Klasifikujte kuželosečku 2x2 — 2xy + 3y2 — x + y — 1 = 0.
Determinant   A =
2
-1
_ i
2
2
-1
-1
3
1
2 -1
3
_ i
2
1
2 -1
_ 1 2
1
2
2
-1
_ i
2
Determinant £ = jde tedy o elipsu,
2
-1
-1
3
1
2
_ 1 2
1
2
-1
6 + i + i
_3_i,
4      oi1 —
¥t^o
-1
3
= 5 > 0,
©Lenka Přibylová, 2010 Q
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
Klasifikujte kuželosečku 2x2 — 2xy + 3y2 — x + y — 1 = 0.
Determinant   A =
2
-1 _ i
2
2
-1
-1
3
1
2 -1
3
_ i
2
1
2
-1
_ 1 2
1
2
2 -1 -± -1    3 i
2      2 1
Determinant   ^ =
2
-1
-_6 + I + I- 3- I + l-
-1
3
= 5 > 0,
jde tedy o elipsu, je reálná, protože (a\\ + «22)^ = (2 + 3) • ( —^) < 0.
©Lenka Přibylová, 2010 Q
Klasifikujte kuželosečku x2 — 4xy — 5y2 + 2x + 4y + 3 = 0.
©Lenka Přibylová, 2010 Q
Klasifikujte kuželosečku x2 - 4xy - 5y2 + 2x + 4y + 3 = 0.		
Determinant   A =	1-2 1 -2   -5 2 12 3	
©Lenka Přibylová, 2010 Q
Klasifikujte kuželosečku x — 4xy — 5y + 1x + 4y + 3 = 0.		
Determinant A	1       2 1 -2   -5 2 12 3	
1-2 1
-2   -5 2
12 3
1-2 1
-2   -5 2
Sepíšeme první dva řádky.
cfei   pi   i»a iaa
(č) Lenka lJnbylova, 2U1U Q
Klasifikujte kuželosečku x — 4xy — 5y + 1x + 4y + 3 = 0.		
Determinant A	1       2 1 -2   -5 2 12 3	
1-2 1
-2   -5 2
12 3
1-2 1
-2   -5 2
= -15-4-4 + 5-4-12
Použijeme Sarussovo pravidlo.
pbi i»a iaa
(č) Lenka Pnbylova, 2U1U Q
Klasifikujte kuželosečku x1 - 4xy - 5y2 + 2x + 4y + 3 = 0.		
Determinant A	1       2 1 -2   -5 2 1     2 3	
1-2 1
-2   -5 2
12 3
1-2 1
-2   -5 2
= -15-4-4 + 5- 4-12 = -34
©Lenka Přibylová, 2010 Q
Klasifikujte kuželosečku x — 4xy — 5y + 1x + 4y + 3 = 0.		
Determinant A	1       2 1 -2   -5 2 12 3	
1-2 1
-2   -5 2
12 3
1-2 1
-2   -5 2
= -15 - 4- 4 + 5- 4-12 = -34 ^ 0
Jde o vlastní kuželosečku.
na—El—B—S-
Klasifikujte kuželosečku x — 4xy — 5y + 1x + 4y + 3 = 0.		
Determinant A	1       2 1 -2   -5 2 12 3	
1-2 1
-2   -5 2
12 3
1-2 1
-2   -5 2
Determinant ^ =
= -15 - 4- 4 + 5- 4-12 = -34 ^ 0
1 -2 -2 -5
©Lenka Přibylová, 2010 Q
Klasifikujte kuželosečku x — 4xy — 5y + 1x + 4y + 3 = 0.		
Determinant A	1       2 1 -2   -5 2 12 3	
1-2 1
-2   -5 2
12 3
1-2 1
-2   -5 2
Determinant ^ =
= -15 - 4- 4 + 5- 4-12 = -34 ^ 0
1 -2 -2 -5
= -9 < 0,
©Lenka Přibylová, 2010 Q
Klasifikujte kuželosečku x — 4xy — 5y + 1x + 4y + 3 = 0.		
Determinant A	1       2 1 -2   -5 2 12 3	
1
-2 -5 1 2 1
-2 1
2
3
-2 1
= -15 - 4- 4 + 5- 4-12 = -34 ^ 0
-2   -5 2
Determinant   3 = jde tedy o hyperbolu.
1 -2 -2 -5
= -9 < 0,
©Lenka Přibylová, 2010 Q
Ukažte, že y2 — 2Rx + (1 + k) x2 = O je hyperbola, elipsa nebo parabola, určete, pro které hodnoty parametru k.
©Lenka Přibylová, 2010 Q
Ukažte, že y — 2Rx + (1 + k) x = O je hyperbola, elipsa nebo parabola, určete, pro které hodnoty parametru k.
Determinant
1+k  0 —R
A=    0     1 0
—R   0 0
©Lenka Přibylová, 2010 Q
Ukažte, že y — 2Rx + (1 + k) x = O je hyperbola, elipsa nebo parabola, určete, pro které hodnoty parametru k.
Determinant
1+k  0 —R
A=    0     1 0
—R   0 0
1+1
1 + Jt —R -R 0
Použijteme Laplaceův rozvoj determinantu podle 2. řádku.
dbi   k>u   i»a   iaa iciienu innviovn. -umfl
Ukažte, že y — 2Rx + (1 + k) x = O je hyperbola, elipsa nebo parabola, určete, pro které hodnoty parametru k.
Determinant
1+k  0 —R
A=    0     1 0
—R   0 0
1+1
1 + Jt —R -R 0
= -R
Použijeme křížové pravidlo.
dbi   k>u   ia iaa
(t) Lenka Pnbylova, 2U1U Q
Ukažte, že y — 2Rx + (1 + k) x = O je hyperbola, elipsa nebo parabola, určete, pro které hodnoty parametru k.
Determinant
1 + k  0 —R
A=    0     1 0
—R   0 0
1 + 1
1 + k -R -R 0
= —R2 ^ 0
Jde o vlastní kuželosečku.
BBI—Q—Q—-
(CjLéňká lJŕibylôvá, 21) 11) |£|
Ukažte, že y2 — 2Rx + (1 + k) x2 = O je hyperbola, elipsa nebo parabola, určete, pro které hodnoty parametru k.
Determinant
1+k   0 —R
A=    0     1 0
—R    0 0
Determinant £ =
1+1
1 + Jt -R
—R 0
= -K2 / 0
1 + Jt 0
0
1
©Lenka Přibylová, 2010 Q
Ukažte, že y2 — 2Rx + (1 + k) x2 = O je hyperbola, elipsa nebo parabola, určete, pro které hodnoty parametru k.
Determinant
1+k   0 —R
A=    0     1 0
—R    0 0
Determinant £ =
1+1
1 + Jt -R
—R 0
= -K2 / 0
1 + Jt 0
0
1
Použijeme křížové pravidlo.
cfei   k>u   i»a iaa
(ČJ Lenka Přibylova, 2U1U Q
Ukažte, že y — 2Rx + (1 + k) x = O je hyperbola, elipsa nebo parabola, určete, pro které hodnoty parametru k.
Determinant
1 + k  0 —R
A=    0     1 0
—R   0 0
Determinant 3 = jde tedy
= 1 •
1 + Jt — R
-R 0
= —R2 / 0
1 + Jt 0 0 1
= 1 + k,
o hyperbolu pro k < — 1, o parabolu pro k = — 1,
o elipsu pro k > — 1
©Lenka Přibylová, 2010 Q
r
Spočtěte invarianty kuželosečky A =
4
cos (p A1A2
0
COS f
A-iA2
J_
A\
0
o o
sin q>
S =
COS (p
COS (p
A1A2 J_ A\
A1A2
rozdílu počáteční fáze (p.
a klasifikujte kuželosečku v závislosti na
a
©Lenka Přibylová, 2010 Q
r
Spočtěte invarianty kuželosečky A =
4
cos (p A1A2
0
COS f
A-iA2
J_
A\
0
o o
sin q>
a
S =
COS (p
COS (p
A1A2 J_ A\
A1A2
rozdílu počáteční fáze (p.
a klasifikujte kuželosečku v závislosti na
s =
COS (p
A1A2
COS (p
A1A2 J_
A\
©Lenka Přibylová, 2010 Q
r
Spočtěte invarianty kuželosečky A =
4
cos (p A1A2
0
COS f
A-iA2
J_
A\
0
o o
sin q>
a
S =
COS (p
COS (p
A1A2 J_ A\
A1A2
rozdílu počáteční fáze (p.
a klasifikujte kuželosečku v závislosti na
s =
COS (p
A1A2
COS (p
A1A2 J_
A\
Křížovým pravidlem: násobíme prvky na hlavní diagonále
cfei   k>u   i»a   iaa icn enk.i inn\io\ ti. :iim 8j|
r
Spočtěte invarianty kuželosečky A =
4
cos (p A1A2
0
COS f
A-iA2
J_
A\
0
o o
sin q>
S =
COS (p
COS (p
A1A2 J_ A\
A1A2
rozdílu počáteční fáze (p.
a klasifikujte kuželosečku v závislosti na
a
ó =
COS (p
A1A2
COS (p
A1A2 J_
A\
cos2 (p
a odečteme součin prvků na vedlejší diagonále.
bbi   pi   i»a iaa
(č) Lenka lJnbylova, 2II1U Q
r
Spočtěte invarianty kuželosečky A =
4
cos Cp A1A2
0
COS f
A-iA2
J_
A\
0
o o
— sin cp
S =
COS Cp
COS Cp
A1A2 J_ A\
A1A2
rozdílu počáteční fáze (p.
a klasifikujte kuželosečku v závislosti na
a
ó =
COS (p
A1A2
COS (p
A1A2 J_
A\
cos2 cp _      sin2 cp
A^y
Z Pythagorovy věty 1 — cos (p — sin (p.
Etei—Q—Q—-
^c;Lenka rnbylova, zuiu
r
Spočtěte invarianty kuželosečky A =
4
cos (p A1A2
0
COS f
A-iA2
J_
A\
0
o o
— sin q>
S =
COS (p
COS (p
A1A2 J_ A\
A1A2
rozdílu počáteční fáze (p.
a klasifikujte kuželosečku v závislosti na
a
ó =
COS (p
A1A2
COS (p
A1A2 J_
A\
1 cos2 cp _      sin2 <p \ n
a2a2        A2a2   —   a2a2  — U 1   2 1   2 1 2
sin2 (p > 0.
B*6l   BI   U   IM (g il .éi'ik.'i ľťíhvUSv;1!.
r
Spočtěte invarianty kuželosečky A =
4
cos (p A1A2
0
COS f
A\A2 J_
A\
0
o o
— sin q>
a
S =
COS (p
COS (p
A1A2 J_
A\
A\A2
rozdílu počáteční fáze q>.
a klasifikujte kuželosečku v závislosti na
ô =
COS (p
A1A2
COS (p
A1A2 J_
A\
1 cos2 cp _      sin2 <p \ n
a2a2        A2a2   —   a2a2  — U 1   2 1   2 1 2
Rovnost nastává pouze v případě (p = kre, tj. v případě, že
(p2 = <Pi + kre, tj. počáteční fáze obou složek jsou v kolmých nebo
rovnoběžných směrech. Protože pak také
• 4
fy S1XT CO
A = — sin (p - ô — — a2^2 — 0, jde o degenerované totožné přímky.
©Lenka Přibylová, 2010 Q
r
Spočtěte invarianty kuželosečky A =
4
cos (p A1A2
0
COS f
A-iA2
J_
A\
0
o o
— sin q>
a
S =
COS (p
COS (p
A1A2 J_
A\
A\A2
rozdílu počáteční fáze q>.
a klasifikujte kuželosečku v závislosti na
ô =
COS (p
A1A2
COS (p
A1A2 J_
A\
1 cos2 cp _      sin2 <p \ n
a2a2        A2a2   —   a2a2  — U 1   2 1   2 1 2
Rovnost nastává pouze v případě (p = kn, tj. v případě, že
(p2 = <Pi + kre, tj. počáteční fáze obou složek jsou v kolmých nebo
rovnoběžných směrech. Protože pak také
• 4
fy S1XT CO
A = — sin (p - ô — — a2^2 — 0, jde o degenerované totožné přímky.
V ostatních případech je výsledkem elipsa. Proto mluvíme o eliptické polarizaci.
©Lenka Přibylová, 2010
3xi+4x2+2x3 = —1 Cramerovým pravidlem řešte soustavu:  2xi+ x^— X3 = 0
x\— X2+ X3 = 3.
©Lenka Přibylová, 2010 Q
3*1+4x2+2*3 = — 1 Cramerovým pravidlem řešte soustavu:  2x\ + %i — X3 = 0
%\— X2+ X3 = 3.
D =
3 4 2 2 1-1 1-1 1
Nejdříve spočteme determinant matice soustavy.
pbi   pi   i»a   iaa tc :n enk.i inn\io\ ti. :iim 8j|
3*1+4*2+2*3 = — 1 Cramerovým pravidlem řešte soustavu:  2*i + *2 — *3 = 0
X\— *2+ *3 = 3.
D =
3 4 2 2 1-1 1-1 1
=3-4-4-2=5
Matice je řádu 3, můžeme tedy použít Sarrussovo pravidlo.
cfei   k>u   i»a   iaa iciienu i'nnviovn. -umfl
3*1+4x2+2*3 = — 1 Cramerovým pravidlem řešte soustavu:  2x\ + %i — X3 = 0
X\— X2+ X3 = 3.
D =
3 4 2 1 1 -1
2 1 1
=3-4-4-2=5
Dr =
12-1 2 1-3 -2 2 -1
Napíšeme determinant D\, který vznikne záměnou 1. sloupce za pravou stranu soustavy.
E bi   Ei   ia   laa ioi ,enka rnbylova. zmw
/-
3xi+4x2+2x3
Cramerovým pravidlem řešte soustavu:  2xi+ x^— X3
X\— X2+ X3
		3 4	2	
D =		2 1	-1	=3-4-4-2=5
		1 -1	1	
	1	2 -1		
D1 =	2	1 -3	— _	1-4 + 12-2 + 6 + 4 = 15
	-2	2 -1		
Spočteme jeho hodnotu.
cfei   pi   i»a iaa
(čj Lenka Přibylova, 2U1U Q
3*1+4x2+2*3 = — 1 Cramerovým pravidlem řešte soustavu:  2x\ + %i — X3 = 0
X\— X2+ X3 = 3.
D =
3 4 2 2 1-1 1-1 1
=3-4-4-2=5
Podíl těchto determinantů je neznámá X\.
	1	2	-1	
Di =	2	1	-3	= -1-4 + 12-2 + 6 + 4 = 15
	-2	2	-1	
Di 15
©Lenka Přibylová, 2010 Q
3xi+4x2+2x3 = —1 Cramerovým pravidlem řešte soustavu:  2xi+ X2— X3 = 0
x\— X2+ X3 = 3.
	3	4	2
D =	2	1	-1
	1	-1	1
=3-4-4-2=5
Ji = 3,
	1	2	-1	
Di =	2	1	-3	= -1-4 + 12-2 + 6 + 4 = 15
	-2	2	-1	
^1        13 o
©Lenka Přibylová, 2010 Q
3xi+4x2+2x3 = —1 Cramerovým pravidlem řešte soustavu:  2xi+ x^— X3 = 0
x\— X2+ X3 = 3.
	3	4	2
D =	2	1	-1
	1	-1	1
=3-4-4-2=5
Ji = 3,
D9 =
1 1-1
-2    2 -3 0 -2 -1
Napíšeme determinant D2, který vznikne záměnou 2. sloupce za pravou stranu soustavy.
E bi   Ei   ia   laa ioi ,enka rnbylova. zmw
3*1+4*2+2*3 = — 1 Cramerovým pravidlem řešte soustavu:  2*i + *2 — *3 = 0
X\— *2+ *3 = 3.
D =
3 4 2 2 1-1 1-1 1
=3-4-4-2=5
*i = 3,
	1	1	-1	
D2 =	-2	2	CO	= -2-4-6-2 = -14
	0	-2	-1	
Spočteme jeho hodnotu.
pbi   pi   i»a iaa
(č) Lenka Přibylova, 2U1U Q
3xi+4x2+2x3 = —1 Cramerovým pravidlem řešte soustavu:  2xi+ x^— X3 = 0
X\— %2+ X3 = 3.
	3	4	2
D =	2	1	-1
	1	-1	1
=3_4_4_2=5
xi = 3,
Podíl těchto determinantů je neznámá X2
	1	1	-1	
D2 =	-2	2	CO	= -2-4-6-2 = -14
	0	-2	-1	
D2 14
X2 = ^ = -y
©Lenka Přibylová, 2010 Q
3xi+4x2+2x3 = —1 Cramerovým pravidlem řešte soustavu:  2xi+ X2— X3 = 0
xi— X2+ X3 = 3.
	3	4	2
D =	2	1	-1
	1	-1	1
=3-4-4-2=5
Xi — 3, X2 — —
14
	1	1	-1	
D2 =	-2	2	CO	= -2-4-6-2 = -14
	0	-2	-1	
D2 14
X2 = -Ď = -^
©Lenka Přibylová, 2010 Q
3xi+4x2+2x3 = —1 Cramerovým pravidlem řešte soustavu:  2xi+ x^— X3 = 0
x\— X2+ X3 = 3.
	3	4	2
D =	2	1	-1
	1	-1	1
=3-4-4-2=5
x^ — 3, X2 — —
14
D, =
12 1
-2 1 2 0 2-2
Napíšeme determinant D3, který vznikne záměnou 3. sloupce za pravou stranu soustavy.
crai   ei   ia   laa ioi ,enka rnbylova. zmw
3xi+4x2+2x3 = —1 Cramerovým pravidlem řešte soustavu:  2xi+ X2— X3 = 0
xi— X2+ X3 = 3.
	3	4	2
D =	2	1	-1
	1	-1	1
=3-4-4-2=5
Xi — 3, X2 — —
14
y
	1	2	1	
	-2	1	2	= -2-4-4-8 = -18
	0	2	-2	
Spočteme jeho hodnotu.
dbi   pi   i»a iaa
(č) Lenka Přibylova, 2U1U Q
3xi+4x2+2x3 = —1 Cramerovým pravidlem řešte soustavu:  2xi+ X2— X3 = 0
xi— X2+ X3 = 3.
	3	4	2
D =	2	1	-1
	1	-1	1
=3-4-4-2=5
	Xi — 3, X2 -	14
		5 '
Podíl těchto determinantů je neznámá X3.		
	12 1	
D3 =	-21 2	= -2-4-4-8 = -18
	02-2	
		_ D3 _ 18
		D 5
©Lenka Přibylová, 2010 Q
3xi+4x2+2x3 = —1 Cramerovým pravidlem řešte soustavu:  2xi+ x^— X3 = 0
x\— X2+ X3 = 3.
	3	4	2
D =	2	1	-1
	1	-1	1
=3-4-4-2=5
_    14     _ 18
Ji — 3, %2 —    —, x$ — —
Máme výsledek.
bbi i»a iaa
(ČJ Lenka lJnbylova, 2U1U Q
Konec
©Lenka Přibylová, 2010 Q