Integrály.
Lenka Přibylová 6. října 2010
©Lenka Přibylová, 2010 Q
Obsah
Integrujte funkci f{x,i)=x + t podle x............. 5
Integrujte funkci f{x,i)=x + t podle t.............. 7
Integrujte funkci f{x) = cos(2x — 1) podle x........... 9
Integrujte funkci f(x) = e2x_1 podle x............... 11
Integrujte funkci f{x) — e~lkx podle x............... 13
Integrujte funkci f{x,i) = x cos(x + ř) podle x.......... 16
Integrujte funkci f{x, i) = x cos(x + ř) podle t.......... 19
Integrujte funkci f(x) = cos2(x).................. 22
©Lenka Přibylová, 2010 Q
Primitivní funkce, tedy "čeho je to derivace":
Odx = c
ex dx = ex + c
1 dx = x + c
X
n+1
n + 1
1 j
— dx = ln x + c
x
sin x dx = — cos x + c
cos x dx = sin x + c
• 2
sin x
dx = — cotg x + c
1
COS2 X
dx = tg x + c
a
X
ax dx =---h c, 1 7^ a > 0
lna
1 1 x
-~-= — arctg — + c
x2 + A2     A A
x
— arcsin — + c
V A2 x:
A
Vx2±B 1
= ln x + vŕ± B + c
dx =
A2 - x2 2A
ln
A + x
+ c
/(*)
A - x dx = ln \f(x) | + c
©Lenka Přibylová, 2010 Q
Pro speciální případ složené funkce, můžeme použít vzorec
J f{ax + b) dx = ^F{ax + &)/
kde / je funkce integrovatelná na I a F je její primitivní funkce.
V případě funkcí In a cyklometrických funkcí začínajících na are nebo
součinů integrovatelných funkcí s polynomem používáme metody per
partes:
(u • v)' = u'v + uv' J {u • v)' áx — J u'v dx + J uv' dx
uv — J ufvdx + J uv'dx
uv' dx = uv — I u'vdx
jinak substituční metody nebo dalších speciálních metod
BBI   Q   19   199 ©Lenka Přibylová, 2010 Q
Integrujte funkci f (x, ť) — x2 + ŕ podle x. |
x + táx —
©Lenka Přibylová, 2010 Q
Integrujte funkci f(x, ť) — x2 + t podle x. |
x2 + t dx = ^ + ř • x + c,
n-\-l
xn dx = T^py, kde n = 2, ř nezávisí na x, je tedy konstantou vzhledem k x a můžeme jej tedy vytknout. ^ tdx — t J Idx — t - x.
Integrujte funkci f (x, t) = x + t podle t.
J x2 + t dt =
©Lenka Přibylová, 2010 Q
Integrujte funkci f (x, t) = x + t podle ŕ.
J x2 + tdt = x2-t+£+c.
x nezávisí na ŕ, je tedy konstantou vzhledem kra můžeme jej tedy vytknout.^ x2 át — x2 J 1 dŕ = x2 • t, J tn át —       kde n — 1.
BI   U    Iflfl .éťiká ľťifíylňvá. 21)11)
Integrujte funkci f (x) = cos(2x — 1) podle x.
J cos(2x — 1) dx =
©Lenka Přibylová, 2010 Q
Integrujte funkci f (x) = cos(2x — 1) podle xľj
J cos(2x — l)dx= sm(22x~1) _|_ c#
Jde o složenou funkci s lineární vnitřní složkou, použijeme tedy
vzorec / f{ax + b) dx = -F(ax + b), kde / je funkce cos, a — 2 a J d
b = — 1. Primitivní funkce ke cos je sin.
El   13   Ii3i3 <<M Lenka Přibylova. 21)11)
Integrujte funkci f (x) = eZx 1 podle x.
í e2*'1 dx =
©Lenka Přibylová, 2010 Q
Integrujte funkci f (x) = e2x 1 podle x.
Jde o složenou funkci s lineární vnitřní složkou, použijeme tedy
vzorec / f{ax + b) dx = -F(ax + b), kde / je funkce exp, a — 2 a J d
b = — 1. Primitivní funkce k exp je exp.
El   13   Ii3i3 /čil,enka Přibylova. 21)11)
Integrujte funkci f (x) = e lkx podle x.
e lkx dx =
©Lenka Přibylová, 2010 Q
Integrujte funkci f (x) = e lkx podle x.
Jde o složenou funkci s lineární vnitřní složkou, použijeme tedy
vzorec / f{ax + b) dx = -F(ax + b), kde / je funkce exp, a — —ik a J ci
b = 0. Primitivní funkce k exp je exp.
El   13   Ii3i3 /čil,enka Přibylova. 21)11)'
Integrujte funkci f (x) = e lkx podle x.
ikx
+ c.
(5) Lenka Přibylova, ZU 1U
■
Integrujte funkci f (x) = x cos (x + ř) podle x.
J xcos(x + t) dx =
BBl   Q   13 199
©Lenka Přibylová, 2010 Q
Integrujte funkci f (x) = x cos (x + ŕ) podle x.
J x cos(x + t) dx = x sin(x + ŕ) — J sin(x + ŕ) dx
Integrujeme per partes pomocí vzorce J uvf dx = uv — J u'v dx , kde u = x a.v* = cos(x + ŕ), tedy w' = la v — J cos(x + ŕ) dx = sin(x + ŕ).
^|   B   19   133 (TjLéňká ťňftyloVá, AI1U ^|
Integrujte funkci f (x) = x cos (x + ŕ) podle x.
J x cos(x + t) dx = x sin(x + ŕ) — J sin(x + t) dx
= x sin(x + ŕ) + cos(x + t) + c.
BBI   Q   19 199
©Lenka Přibylová, 2010 Q
Integrujte funkci f (x) = x cos (x + ŕ) podle ŕ.
y xcos(x + ŕ) dt =
©Lenka Přibylová, 2010 Q
Integrujte funkci f(x) = x cos(x + t) podle ř. J x cos(x + ř) dř = x J cos(x + ř) dř
Vytkneme konstantu x.
cfei   pi   i»a iaa
(č) Lenka Přibylova, 2U1U Q
Integrujte funkci f (x) = x cos (x + ŕ) podle ŕ.
J x cos(x + t) dt = x J cos(x + t)dt = x sin(x + t) + c.
BBI   Q   19 193
©Lenka Přibylová, 2010 Q
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
Integrujte funkci f(x) = cos2(x).
J cos2 (x) dx =
BBI   EJ   Q VSS
©Lenka Přibylová, 2010 Q
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
Integrujte funkci f(x) = cos2(x).
J cos2 (x) dx = J ^f^áx
Sečtením rovností sin2 x + cos2 x = 1 a cos2 x — sin2 x = cos(2x) dostaneme 2 cos x — 1 + cos 2x.
ťfel   El   U   133 <g)l .eťiká ľťifíylová. 21)11)
Integrujte funkci f (x) = cos (x).
ícos2(x) dx = j 1+c°s2x dx = \{x + \ sin(2x)) + c.
©Lenka Přibylová, 2010 Q
Konec
©Lenka Přibylová, 2010 Q