Užití komplexních čísel.
Lenka Přibylová 1. října 2010
©Lenka Přibylová, 2010 |
Obsah
Dokažte vzorec............................ 3
Dokažte nejkrásnější formuli matematiky............. 7
Dokažte součtový vzorec...................... 10
Složte vlnění s posunutou fází................... 16
Složte vlnění s opačným směrem šíření.............. 20
©Lenka Přibylová, 2010 |
Pomocí Eulerova vzorce dokažte, že platí cos x —
i /-> Z
©Lenka Přibylová, 2010 |
Pomocí Eulerova vzorce dokažte, že platí cos x —
IX   I   r> — IX
_ e -\-e
1T i
e =   cos x + i srn x
— 7 T •
e —   cos x — t srn x
e ix _ ei( x) _ cos^_x^ _|_ /sin(—x). Přitom funkce cos je sudá, tj. cos(—x) = cosx, a funkce sin lichá, tj. sin(—x) = — sinx.
|   Q   19   IBS ©Lenka rnbylova, zuiu
Pomocí Eulerova vzorce dokažte, že platí cos x —
i /-> Z
7 Y i
e =   cos x + i srn x
— 7 Y •
č =   cos x — i srn x
Sečtením dostáváme
eix + e-ix _ 2cosx,
©Lenka Přibylová, 2010 |
Pomocí Eulerova vzorce dokažte, že platí cos x —
IX   I   r> — IX
_ e -\-e
1T i
e =   cos x + i srn x
— 7 T •
č =   cos x — i srn x
Sečtením dostáváme
eix + e-ix _ 2cosx,
tj.
COSX = ^-^r-
©Lenka Přibylová, 2010 |
Dokažte nejkrásnější formuli matematiky:    — 1 = em.
©Lenka Přibylová, 2010 Q
Dokažte nejkrásnější formuli matematiky:    — 1 = el7Z.
Stačí dosadit do Eulerova vzorce elx — cos x + i sin x číslo x — n
©Lenka Přibylová, 2010 Q
Dokažte nejkrásnější formuli matematiky:    —1 = elTL.
■
Stačí dosadit do Eulerova vzorce elx — cos x + i sin x číslo x = n. Pak
el7Z — cos 7i + z sin n = —1.
©Lenka Přibylová, 2010 Q
Dokažte, že platí cos oc + cos jS = 2 cos      cos .
©Lenka Přibylová, 2010 |
Dokažte, že platí cos oc + cos ß = 2 cos      cos .
.OL — ß       .Oi + ß
Sečtením exponentu —^ H—^ = a, podobně +       = ß.
El   U   133 <g)l .éťiká ľťifíylňvá. 21)11)
Dokažte, že platí cos oc + cos jS = 2 cos      cos .
ol-P
Re   eL 2
é 2   V 2	
Č~Z  2    V 2	= e*
.oc+fi         .oc-p ^2    +e  '  2    V 2	=   Re (V* + e
Sečtením obou rovnic dostaneme
• + e~l^2~ . = em + e1*, rovnost musí platit i pro
reálnou a imaginární část.
EEI   Q   Q   153 (5) Lenka lJnbylova, 21) 11) Q
Dokažte, že platí cos oc + cos ß = 2 cos      cos .
.OL — ß       .Oi + ß
Re   eL 2
.OC + ß .OL — ß
el^2~ +e~l^2~
oc+ß
dOL
2~ )   =   Re (eia + e*)
= COS CL + COS ß
'CO
Podle Eulerova vzorce Re e   = cos ^?
(^c;Lenka rnbylova, zuiu
Dokažte, že platí cos oc + cos jS = 2 cos      cos .
.oc—j6 .oc+f$
oc—f$ .oc+p
Re   e' 2
oc—j6     .a:+j6 .a—j6
ť 2
Re ^(cos
+ i sin :L2t:) (cos      + i sin      ) +
+ (cos
oc—B      •  .   a:—j6
—2^ — i srn —
\ /       oc+B  ,   •  . oc+B
) (cos      + i sin -j^
0
za:
2~      =   Re (eia + e^)
= COS OL + COS jS
'CO
Funkce přepíšeme podle Eulerova vzorce e   = cos ty + i sin ty, navíc funkce cos je sudá, proto cos( —       = cos      a funkce sin je
lichá, proto sin ( — ^y^) = — sin
(CjLéňká Přibylová, 21) 11) Q
Dokažte, že platí cos oc + cos jS = 2 cos      cos .
.ol—j6 .ol+fi
ol — j6        .ol + P
Re \é 2
a—j6     .a:+j6 .a—/$
ť 2
ol + fi
Re ^(cos
+ i sin     ) (cos      + z sin      J +
+ (cos
ol — B        •    •     ol —B
—2^ — Z Sin —
\ /      a+j6  ,  • . ol+B
) (cos -^f- + z srn —^
o
10L
2"     =   Re (eía + ^)
= COS OL + COS jS
=   2 cos —cos —^
©Lenka Přibylová, 2010 Q
Složte vlnění s posunutou fází xp\ (x, t) = A cos (cot — kx) a ip2(x,t) = Acos(o;ř — k(x — S)).
©Lenka Přibylová, 2010 Q
Složte vlnění s posunutou fází tpi(x,t) — A cos (a;ŕ — kx) a xp2(x,t) = Acos(a;r — k(x — ô)).
Označme oc — cot — k{x — ô) a j6 = cot — kx. Pak
2       ~~     2 '
^   =   tot-kx + f.
BBI   Q   19 199
©Lenka Přibylová, 2010 Q
Složte vlnění s posunutou fází ip\{x,i) = A cos (co t — kx) a *p2(Xft) = Acos(o;ř — k(x — S)).
Označme a — cot — k(x — S) a j8 = cot — kx. Pak
2       ~~     2 '
Podle vzorce
COS OL + COS p = 2 COS —^ COS —^
tedy platí
ipi(x,t) +ip2(x,t) = 2Acos^cos(o;ř-fcx + ^)
v-v-/v-v-'
amplituda      harmonická vlna
BBI   EJ   19 199
©Lenka Přibylová, 2010 Q
Složte vlnění s posunutou fází ip\{x,i) = A cos (co t — kx) a *p2(Xft) = Acos(o;ř — k(x — S)).
Označme a — cot — k(x — S) a j8 = cot — kx. Pak
2       ~~     2 '
Podle vzorce
COS OL + COS p = 2 COS —^ COS —^
tedy platí
ipi(x,t) +ip2(x,t) = 2Acos^cos(o;ř-fcx + ^)
v-v-/v-v-'
amplituda      harmonická vlna
Animace.
©Lenka Přibylová, 2010 Q
Složte vlnění s opačným směrem šíření ipi(x,t) = A cos (co t — kx) a ip2(x, t) — A cos{cot + kx) a ukažte, že jde o stojaté vlnění.
©Lenka Přibylová, 2010 Q
Složte vlnění s opačným směrem šíření tpi(x,t) — A cos (cot — kx) a ip2(x, t) = A cos{cot + kx) a ukažte, že jde o stojaté vlnění.
Označme oc — co t + kx a j8 = cot — kx. Pak
2    —   kx,
©Lenka Přibylová, 2010 Q
Složte vlnění s opačným směrem šíření ip\{x,i) = A cos (cot — kx) a ipi(x, t) = A cos(cot + kx) a ukažte, že jde o stojaté vlnění.
Označme   oc = cot + kx    a   /3 = cot — kx. Pak
2     —   kx, —2^   = o;r.
Podle vzorce
cos a: + cos p = 2 cos —^ cos —
tedy platí
xpi(x,t) + tp2(x,t) = 2Acos(fcx) cos(o;ř).
©Lenka Přibylová, 2010 |
Složte vlnění s opačným směrem šíření ip\{x,i) = A cos (cot — kx) a ipi(x, t) = A cos(cot + kx) a ukažte, že jde o stojaté vlnění.
Označme   oc = cot + kx    a   /3 = cot — kx. Pak
2     —   kx, —2^   = o;r.
Podle vzorce
cos a: + cos p = 2 cos —^ cos —
tedy platí
xpi(x,t) + tp2(x,t) = 2Acos(fcx) cos(o;ř).
Funkce je tedy pro libovolné pevné t násobkem cos(fcx), tedy harmonickou vlnou s nulovou počáteční fází - s časem se vlna neposouvá po ose x, jde o stojaté vlnění.
©Lenka Přibylová, 2010 |
Složte vlnění s opačným směrem šíření ty\{x,i) — A cos {cot — kx) a ^2(*/1) = A cos(cot + kx) a ukažte, že jde o stojaté vlnění.
xpi(x,t) + ý>2(xft) — 2Acos(kx) cos(cvt).
©Lenka Přibylová, 2010 |
Složte vlnění s opačným směrem šíření ip\{x,i) = A cos (cot — kx) a tyi{x, i) = A cos(cot + kx) a ukažte, že jde o stojaté vlnění.
tpi (x, t) + xp2(x, t) = 2A cos(fcx) cos(o;ř) Maxima odpovídají
cos (/ex) = ±1 kx — mn,
a mmima
cos(fcx) =0 kx = j + m7r,
kde m je libovolné celé číslo.
©Lenka Přibylová, 2010 |
Složte vlnění s opačným směrem šíření ip\{x,i) = A cos {cot — kx) a ^2(*/1) = A cos(cot + kx) a ukažte, že jde o stojaté vlnění.
tpi (x, ř) + tp2(x, t) = 2A cos(fcx) cos(o;ř) Maxima odpovídají
cos(fcx) = ±1 /ex = m 7i,
a mmima
cos(fcx) =0 fcx = S + m 71,
kde m je libovolné celé číslo. Protože k —     je t/?i + ip2 — 0 Pr°
2
f+m7i    2ra + 1 x = -—--=--—A.
©Lenka Přibylová, 2010 |
Složte vlnění s opačným směrem šíření ip\{x,i) = A cos {cot — kx) a ^2(*/1) = A cos(cot + kx) a ukažte, že jde o stojaté vlnění.
tpi (x, ř) + tp2(x, t) = 2A cos(fcx) cos(o;ř) Maxima odpovídají
cos(fcx) = ±1 /ex = m 7i,
a mmima
cos(fcx) =0 fcx = S + m 71,
kde m je libovolné celé číslo. Protože k —     je t/?i + ip2 — 0 Pr°
2
X
f+m7i    2ra + 1 x = -—--= ---A.
Animace.
©Lenka Přibylová, 2010 |
Konec
©Lenka Přibylová, 2010 |