Užití komplexních čísel.
Lenka Přibylová 17. listopadu 2010
Pomocí Eulerova vzorce dokažte, že platí cos x = ^—^
IX i .-IX
e~lx = e'(~x) = cos(—x) + ism(-x). Přitom funkce cos je sudá, tj. cos(—x) = cosx, a funkce sin lichá, tj. sin(—x) = — sin x. Sečtením dostáváme
£ix + f,-ix = 2 cosx,
tj-
IX i .-ix
COS X = ÍL^f-
Dokažte nejkrásnější formuli matematiky:    — 1 = e'J
Stačí dosadit do Eulerova vzorce elx = cos x + i sin x číslo x = tc. Pak
én = cos tc + i sin tc = — 1.
Dokažte^eptat^o^^^o^^^^co^-^^o^-^^J
cl+6
—— ,ia
.cl—p ,a+
é~ ■ é~ = e' .cl-f, .a+/3
e~l  2    -é  2 = e;
/ .a-é     .a+é .a-é .cl+é\
Re U— -el— +e~l— ■ é~ )   =   Re (eitt + e<
= COS OL + cos f>
-n    I i       a —É   .   ■  ■    a —8w       cl+R   ,   ■  . oc+Ě\
Re I (cos—j1- + z srn —f-) (cos -^f- +zsrn^-í-) +
/       ci-fí     . .   í-8w      ci+fí  .  . .   «+B\\ o       ci-fí cl+B
+ (cos —j1- — ísin —^(cos —f- + zsrn —f-) I   =   2cos—j1-cos—j1-
© Lenka Přibylová, 2010 Q
Složte vlnění s posunutou fází ipi(x, t) = A cos(o;ř — kx) a ip2(x, t) = A cos(o;ř — k(x — ó)).
Označme    cc = cot — k(x — ó)    a   p1 = cot — kx. Pak
<*■-?>    _ kó 2      ~     2 '
«-±ĚL     = cot-kx+k4.
Podle vzorce
COS OL + COS p = 2 COS ~y- COS ~y-
tedy platí
ipi(x,t) + ip2(x,t) = 2Acos^cos(o;ř - kx + ^f).
amplituda      harmonická vlna
Složte vlnění s opačným směrem šíření \pi{x,t) = A cos(o;ř — kx) &\p2{x,t) = A cos(o;ř + kx) a ukažte, že jde o stojaté vlnění.
Označme a = cot + kx a p1 = cot — kx. Pak
^2"^   = kx,
a+fi ,
-^r-      = COt.
Podle vzorce
„™ „,   l G       O ™o Ľ(JS __
tedy platí
cos a + cos B = 2 cos -V1 cos —-
ipi(x,t) + ip2(x,t) = 2Acos(fcx) cos(a;ř).
Funkce je tedy pro libovolné pevné t násobkem cos(fcx), tedy harmonickou vlnou s nulovou počáteční fází - s časem se vlna neposouvá po ose x, jde o stojaté vlnění.
ipi(x,t) + ip2(x,t) = 2Acos(fcx) cos(o;ř).
Maxima odpovídají
cos(fcx) = ±1    =>    kx = mrc,
a minima
cos(fcx) =0    =>    kx = j + mrc, kde m je libovolné celé číslo. Protože k = ^j- je \p\ + \p2 = 0 pro
%+mn     2m + 1 x = ——--       = -■-A.
©Lenka Přibylová, 2010 Q