Užití matic.
Lenka Přibylová 17. listopadu 2010
Napište zobrazovací rovnice a přenosovou matici pro úsek volného prostoru o délce d.
%2   =   Ax\ + Bi/i
1/2   =   C%\ + Dyi, kde
Označením výraz\y1=o rozumíme, že výraz počítáme pro i/i = 0.
Paprsek je rovnoběžný s optickou osou, protože, ij\ = tg ip = 0, jeho vzdálenost x\ od optické osy na vstupu se na výstupu nezmění.
}
Xl
}
%2
optická osa volný prostor délky ^\ vstup ^ výstup
B = fi\Xl=0 = d,
Na vstupu leží paprsek na optické ose {x\ = 0) a pro úhel vstupu platí
Vi = tg ip = f. _^—r^f
optická osa
volný prostor délky >\ vstup ^ výstup
C=yi\y1=0 = 0,
Paprsek je rovnoběžný s optickou osou, protože i/i = 0, jeho úhel se na výstupu nemění, tj. 1/2 = 0.
n — 1/21      _ !/i _ 1 U --\Xl=0 - Vi - 1.
Tangens úhlu vstupu 1/1 se na výstupu nemění, tj. 1/2 = J/i-Zobrazovací rovnice jsou tedy
%2   =   x\ + dyi
yi = yi
a přenosová matice je
'1
0 1
Napište zobrazovací rovnice a přenosovou matici pro tenkou čočku o ohniskové vzdálenosti /.
%2   =   Ax\ + Bi/i
j/2   =   Cxi + Di/i, kde
^ = fl!/1=o = tl = 1'
Označením výraz\y1=Q rozumíme, že výraz počítáme pro 1/1 = 0. Předpokládáme, že jde o tenkou čočku, tj. vstup x\ a výstup x2 je stejný.
B = |k=0 = 0,
Pro vstup x\ = 0 je výstup X2 = 0.
r — ^21   n--L - _i
L — X! l!/l=0 —   xi    — /
Paprsek vstupuje rovnoběžně s optickou osou a j/2 = tg </? = —
1F
vstup i výstup ^ tenká čočka
.rotická osa
n — 211 n _ £i _ i 17 — V1 |xi=° — ví
t/i i-^i —u t/i
Uhel na výstupu 1/2 je v případě vstupu v místě optické osy x\ = 0 totožný s úhlem vstupu (symetrie). Zobrazovací rovnice jsou tedy
X2     = X\
yi =+yi
a přenosová matice je
' 1 0
-i 1
Napište přenosovou matici pro optický systém složený z tenké čočky o ohniskové vzdálenosti /1 = 1 cm, úseku volného prostoru o délce d = 26 cm a další tenké čočky s ohniskovou vzdáleností f2 = 5 cm.
Jedná se o mikroskop s tubusovou vzdáleností A = 200 mm.
( \    0\ (\ 26\
Přenosová matice první tenké čočky je í   ^   ^ j , přenosová matice úseku volného prostoru je í ^    1 ) a přenosová
matice druhé tenké čočky je ^ \   ^ . Výstup z prvního optického prvku (tenké čočky) je dán zobrazovací rovnicí
*2\ = ( 1    0\ (xx
yi)   V-1 V U
výstup z druhého optického prvku (úseku prostoru) je dán zobrazovací rovnicí
x3\ = (1   26\ /x2
ys)    \o  i)' \y2
tj-
'x3\     /l   26\   / 1    0\ /x! a výstup z třetího optického prvku (tenké čočky) je dán zobrazovací rovnicí
xA = (1 °V (X3 y J   \- 5 V ví/3
©Lenka Přibylová, 20101
xA _ f 1    0\   fl   26\   f 1    0\ fx1
Přenosová matice je tedy dána součinem matic
i y vo i v-i
1    0\   A   26\   / 1
1    0\   A   26\ _ / 1 1   26\   / 1    0\     / 1     26 \   /" 1    0\     /-25 26
-i ij-yo ij-y-i ij-y*
	
lj-	
26 s	
21	
5 /	/
' 1	0
-1	1
Napište přenosovou matici pro optický systém složený z úseku volného prostoru o délce d = 1 m, konkávního zakřiveného zrcadla s poloměrem křivosti R = 2m, úseku volného prostoru o délce d = 0.8 m, rovinného zrcadla, úseku volného prostoru o délce d = 0.3 m a tenké čočky o ohniskové vzdálenosti fi = 0.1 m.
Jedná se o Newtonův dalekohled.
Abychom nemuseli počítat s desetinnými čísly převedeme jednotky na dm. Přenosová matice úseku volného prostoru '\   10\    „ ........ „ .  ( 1 0^
je pak
0 1
, přenosová matice zakřiveného zrcadla je
"10
, přenosová matice úseku volného prostoru je
q   ^ j , přenosová matice rovinného zrcadla je í g   ^ j , přenosová matice dalšího úseku volného prostoru je í g ^
a přenosová matice tenké čočky je
1 0
-10 1
Přenosová matice optického systému je proto dána součinem
1 0
-10 1
1 3 0 1
1 0 0 1
1 8 0 1
-± 1 10 1
1 10 0 1
Násobení jednotkovou maticí výsledek nemění. Volný prostor délky 8 dm a 3 dm oddělelný rovinným zrcadlem je
f\   3\   fl   0\   fl   8\     fl   3\   fl   8\     fl 11N
vlastně totožný volným prostorem délky 11 dm:
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
0
1 0
-10 1
1 3 0 1
1 0 0 1
1 8 0 1
-J- 1 10 1
1 10 0 1
1 0
-10 1
1 11
0 1
-J- 1
10 1
1 10 0 1
-10
11
-109
10
10 0
10
ío
TO -100
Odvoďte přenosovou matici tenké čočky o poloměrech křivosti vstupu a výstupu R2, která je z materiálu o indexu lomu n, umístěná ve vzduchu. Určete její ohniskovou vzdálenost a mohutnost.
Tenká čočka je složená ze dvou povrchů, vzdálenost mezi nimi zanedbáváme. Přenosová refrakční matice vstupní
f 1     0\ / 1 0\
zakřivené plochy je I i_„    1   a refrakční matice výstupní zakřivené plochy je I „_i        , tj. přenosová matice čočky
/ 1   o\ / 1   o\   /    1      o\   / 1 o\
je dána součinem „_i • i_„ 1 ] = I n-i , 1-n 1 = I 1 1 . To odpovídá vztahu pro mohutnost tenké čočky jako součtu mohutností jednotlivých povrchů D = D\ + D2 =      +      = (n — 1)     —      = j.
©Lenka Přibylová, 2010 Q
Plastová tyč s indexem lomu n = 1.56 je ukončena sférickým povrchem o poloměru _R = 2.8 cm. Objekt vysoký 2 cm je umístěn ve vzdálenosti d = 15 cm od tyče. Zjistěte umístění a velikost obrazu v tyči.
\ R = 2.8 cm
rovina obrazu
Systém je složen z volného prostoru s přenosovou maticí I ^   ^ I , sférického povrchu s přenosovou refrakční maticí
f1		
1 l-n	i	=
\ Rn	n /	\
0
_ _\_
.2.8-1.56 1.56
1
-0.56
a volného prostoru od vrcholu tyče k obrazu v neznámé vzdálenosti x. Přenosovou matici systému proto můžeme napsat jako součin
1 x 0 1
1 0
l-n 1 Rn n
1 d 0 1
1 x 0 1
l-n d(l-n) Rn Rn
Protože víme, že vstupní a výstupní roviny optického systému jsou konjugované, musí být pravý horní člen přenosové matice nulový. Pravý horní člen matice je skalárním součinem prvního řádku první matice a druhého sloupce druhé
matice, tj. platí d + x(^~^ + ±) = 0. Odtud
-dRn
d{l-n) Rn
d{l-n)+R Rn
-15-2.8-1.56
11.7 cm.
Pro výstup platí x2 = Ax1 = (1 + x^)xx = (1 + 11.7^°^ velikost 1 cm a je převrácený.
d(l-n)+R 15-(-0.56)+2.8
2 = — 1 cm, obraz ve vzdálenosti 11.7 cm má tedy
©Lenka Přibylová, 2010 Q