Metoda nej menších čtverců Lenka Přibylová 17. listopadu 2010 Obsah Najděte přímku aproximující body [0,5], [1,3], [3,3], [5,2], [6,1 Nalezněte kalibrační křivku spektrometru............. 15 Určete materiálové konstanty skla................. 27 Najděte přímku aproximující body [0, 5], [1, 3], [3, 3], [5, 2], [6,1 . ©Lenka Přibylová, 2010 Najděte přímku aproximující body [0, 5], [1, 3], [3, 3], [5, 2], [6,1 . n = 5 Celkem máme pět bodů. « ■ < ■ > m » ■ ©Lenka Přibylová, 2010 Najděte přímku aproximující body [0, 5], [1, 3], [3, 3], [5, 2], [6,1 . n = 5 • l V% 2^ 1 0 5 2 i 3 3 3 3 4 5 2 5 6 1 E Výpočty potřebné pro nalezení koeficientů v soustavě provedeme tabulce. ©Lenka Přibylová, 2010 Najděte přímku aproximující body [0, 5], [1, 3], [3, 3], [5, 2], [6,1 . n = 5 • l V% 2^ 1 0 5 0 2 i 3 1 3 3 3 9 4 5 2 25 5 6 1 36 E Nalezneme jednotlivé druhé mocniny x i. « M < M > ■ >> ■ ©Lenka Přibylová, 2010 Najděte přímku aproximující body [0, 5], [1, 3], [3, 3], [5, 2], [6,1 . n = 5 • l V% 2^ 1 0 5 0 0 2 i 3 1 3 3 3 3 9 9 4 5 2 25 10 5 6 1 36 6 Vynásobíme xi a y i ©Lenka Přibylová, 2010 Najděte přímku aproximující body [0, 5], [1, 3], [3, 3], [5, 2], [6,1]. n = 5 • l V% 2^ 1 0 5 0 0 2 1 3 1 3 3 3 3 9 9 4 5 2 25 10 5 6 1 36 6 15 Najdeme součet x i. ©Lenka Přibylová, 2010 Najděte přímku aproximující body [0, 5], [1, 3], [3, 3], [5, 2], [6,1]. n = 5 • l V% 2^ 1 0 5 0 0 2 1 3 1 3 3 3 3 9 9 4 5 2 25 10 5 6 1 36 6 15 14 Najdeme součet y i. ©Lenka Přibylová, 2010 Najděte přímku aproximující body [0, 5], [1, 3], [3, 3], [5, 2], [6,1]. n = 5 • l V% 2^ 1 0 5 0 0 2 1 3 1 3 3 3 3 9 9 4 5 2 25 10 5 6 1 36 6 15 14 71 Najdeme součet x\. ©Lenka Přibylová, 2010 Najděte přímku aproximující body [0, 5], [1, 3], [3, 3], [5, 2], [6,1]. n = 5 • l V% 2^ 1 0 5 0 0 2 1 3 1 3 3 3 3 9 9 4 5 2 25 10 5 6 1 36 6 15 14 71 28 Najdeme součet xiyi. ©Lenka Přibylová, 2010 Najděte přímku aproximující body [0, 5], [1, 3], [3, 3], [5, 2], [6,1 . n = 5 r x, x: Soustava lineárních rovnic: a a I_á*L_L 71a + 156 = 28, 15a + 56 = 14. El 19 ©Lenka Přibylová, 20101 Najděte přímku aproximující body [0, 5], [1, 3], [3, 3], [5, 2], [6,1]. n = 5 • l V% 2^ 1 0 5 0 0 2 1 3 1 3 3 3 3 9 9 4 5 2 25 10 5 6 1 36 6 E 15 14 71 28 71a + 156 = 28, 15a + 56 = 14. 7 287 Řešením teto soustavy ie a —--= —0.538 a b —-= 4.415. JJ 13 65 Nejlepší lineární aproximace souboru bodů je tedy přímka BBI El 19 199 ©Lenka Přibylová, 20101 Najděte přímku aproximující body [0,5], [1,3], [3, 3], [5,2], [6,1 . Graf souboru bodů a výslednou přímku y = -0.538a:+ 4.415 zakreslíme do obrázku a zkontrolujeme optimalitu přímky. V* 5 y = ax + b 4 6 x ©Lenka Přibylová, 2010 Nalezněte kalibrační křivku spektrometru, použijte vztah sin

j A? Xi sin Lpi 1 13°22' 404, 8 0,2312 163863,04 93,59 2 13°31' 409, 2 0,2337 167444,64 95,63 3 14°13' 430, 0 0,2456 184900,00 105,61 4 16°19' 491, 9 0,2809 241965,61 138,17 5 16°28' 496, 3 0,2835 246313,69 140, 70 6 18°05' 543, 5 0,3104 295392,25 168,70 7 19°11' 575, 3 0,3286 330970,09 189,04 8 19°19' 579, 1 0,3308 335356,81 191,57 9 -1 /"v 20°20' r**. r^. C\ r\ r^. / 608, 4 0,3475 /~\ f\ 370150,56 ^ r~\ /~\ -t -i 211,42 -A A ^-r -l a najdeme součet. > E 3100003,59 1770,64 El 19 199 ©Lenka Přibylová, 2010 Nalezněte kalibrační křivku spektrometru, použijte vztah sin cp = -, kde a je mřížková konstanta. • l j A? Ai sin Lpi 1 13°22' 404,8 0,2312 163863,04 93,59 2 13°3ľ 409,2 0,2337 167444,64 95,63 3 14°13' 430,0 0,2456 184900,00 105,61 4 16°19' 491,9 0,2809 241965,61 138,17 5 16°28' 496,3 0,2835 246313,69 140, 70 A E A; sin E a? - 1770,64 = 0,00057117. 3100003,59 > 10 11 ^J\J l—l KJ 20°30' 20°50' 613,1 622,7 0,3502 0,3557 375891,61 387755,29 214,71 221,49 E 3100003,59 1770,64 ©Lenka Přibylová, 2010 Nalezněte kalibrační křivku spektrometru, použijte vztah sin cp = -, kde a je mřížková konstanta. Zakreslíme kalibrační křivku spektrometru a opticky zkontrolujeme optimalitu přímky. srny? 0,34- 0,32- 0,3- 0,28- 0,26- 0,24- t—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—r 400 450 500 550 ^ 600 ©Lenka Přibylová, 20101 Určete materiálové konstanty skla použitého na výrobu měřeného hranolu. Pro vybrané spektrální čáry rtuťové výbojky byly určeny následující hodnoty indexu lomu skleněného hranolu, k proložení naměřených dat použijte Cauchyův vztah n = a + + • • l Xi [nm Tli 1 623,4 1,619 2 579,1 1,622 3 546,1 1,624 4 491,6 1,631 5 435,8 1,643 6 404,6 1,650 ©Lenka Přibylová, 20101 Určete materiálové konstanty skla použitého na výrobu měřeného hranolu. Minimalizujeme vzdálenosti skutečně naměřených hodnot od hodnot na aproximující křivce, tj. 6 E(a + bjž + cjj - m) ■> min 1=1 6 (^(a + 6^+c^-n,)2) ^^h^^^V rt rt 1=1 6 i=l 6 i=l 2\f a (J2(a + + ej; - m)2yb ^^m^^^m rt rt (V(a + 6^+c^-n,)2) ^^m^^^m rt n 2\f c 6 V 2(a + 6^2 + - nť) = 0 ^^m^^^^Ě rt rt 1=1 6 ^^m^^^m O rt n 1=1 6 ^^m^^^m 1 rt rt 1=1 El 19 ©Lenka Přibylová, 20101 Určete materiálové konstanty skla použitého na výrobu měřeného hranolu. Roznásobením a sloučením vhodných sčítanců dostaneme soustavu: 6 6 6 i i í=i í=i 6 6 6 6 í=i í=i í=i í=i 6 6 6 6 1_ Af i=l i=l i=l i=l ©Lenka Přibylová, 20101 Určete materiálové konstanty skla použitého na výrobu měřeného hranolu. Maticově zapíšeme soustavu 6 6 6 \i=l ' 6 E 1=1 6 1 X2 i=l 6 i=i 6 \ i=l 6 i Ä? 2=1 6 E*y 1=1 / 1=1 6 A2 E 6 Vfcí 1 7 BI 19 ©Lenka Přibylová, 2010 Určete materiálové konstanty skla použitého na výrobu měřeného hranolu. Maticově zapíšeme soustavu 6 6 6 EA 1=1 6 6 \ EA 1=1 6 Ž = l 6 \ ^ Az 6 E 2=1 1=1 6 1 A 6 í f \ i=l 6 i=l 6 E 6 6 kde 5ľ Í = 0-2442011288 • 10"4, ^ = 0.1089183487 • 10"9, i=i i=i 6 6 ^6 = 0.5260289304 ■ 10~15, ^ ^_ = 0.2703580405 • 10~20, i=i i=i ©Lenka Přibylová, 20101 Určete materiálové konstanty skla použitého na výrobu měřeného hranolu. 6 6 Y rti = 9, 789, j?ni = 0.3992726604 • 10"4, i=i i=i 6 Y jäUí = 0.1784493319 • 10"9. %=i ©Lenka Přibylová, 2010 Určete materiálové konstanty skla použitého na výrobu měřeného hranolu. 6 6 Y rti = 9, 789, j?ni = 0.3992726604 • 10"4, i=i i=i 6 Y jäUí = 0.1784493319 • 10"9. %=i Cramerovým pravidlem dostáváme řešení a = 1.602537615, b = 5114.983088 nm2 a c = 448646567.9 nm4, tedy n = 1.602537615 + 5114.983088^ + 448646567.9^ ©Lenka Přibylová, 2010 Určete materiálové konstanty skla použitého na výrobu měřeného hranolu. Opticky zkontrolujeme optimalitu křivky. 1,65H 1,625H 1,62H 400 t—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—r 450 500 ^ 550 600 ©Lenka Přibylová, 2010 Určete materiálové konstanty skla použitého na výrobu měřeného hranolu. Opticky zkontrolujeme optimalitu křivky. 1,65H 1,625H 1,62H 400 t—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—r 450 500 ^ 550 600 ©Lenka Přibylová, 2010 Konec