Metoda nej menších čtverců
Lenka Přibylová 17. listopadu 2010
Najděte přímku aproximující body [0, 5], [1, 3], [3, 3], [5, 2], [6,1 n = 5
i	Xi	Ví	xi	Xilji
1	0	5	0	0
2	1	3	1	3
3	3	3	9	9
4	5	2	25	10
5	6	1	36	6
E	15	14	71	28
Řešením této soustavy je a boduje tedy přímka
7_
13
71a + 15b = 28, 15a + 56 = 14.
287
-0.538 a b = -= 4.415. Nejlepší lineární aproximace souboru
65
y= -0.538a; + 4.415.
Graf souboru bodů a výslednou přímku
y = -0.538a; + 4.415 zakreslíme do obrázku a zkontrolujeme optimalitu přímky.
Nalezněte kalibrační křivku spektrometru, použijte vztah sin ip = -, kde a je mřížková konstanta.
n = 11
i		A,	sin ipi	A?	Aj sin Lpi
1	13°22'	404,8	0,2312	163863,04	93,59
2	13°31'	409,2	0,2337	167444, 64	95,63
3	14°13'	430,0	0, 2456	184900,00	105,61
4	16°19'	491,9	0,2809	241965,61	138,17
5	16°28'	496,3	0,2835	246313,69	140,70
6	18°05'	543,5	0,3104	295392,25	168,70
7	19°11'	575,3	0,3286	330970,09	189,04
8	19°19'	579,1	0,3308	335356,81	191,57
9	20°20'	608,4	0, 3475	370150,56	211,42
10	20°30'	613,1	0,3502	375891,61	214,71
11	20°50'	622,7	0,3557	387755,29	221,49
E				3100003,59	1770,64
Vztah sin ip = — je lineárním vztahem mezi yi = sin ipi a Xi = Xi s neznámou konstantou A = -. Podle vztahu t/i = sin ip = A\ tedy minimalizujeme
li
^(A\2 -sin^)2
i=l
vzhledem k A = a-1, tj.
li
^2(A\2 - sin ipJXi = 0.
i=l
Nutnou podmínkou minima je proto splnění rovnosti A     A2 =      Ai sin ipi.
A=^^=   1770,64 = E A2 3100003,59
Zakreslíme kalibrační křivku spektrometru a opticky zkontrolujeme optimalitu přímky.
sin 99
-1—1—1—1—1—1—1—1—1—1—1—1—1—1—1—1—1—1—1—1—1—n
400 450 500 550 ^ 600
Určete materiálové konstanty skla použitého na výrobu měřeného hranolu. Pro vybrané spektrální čáry rtuťové výbojky byly určeny následující hodnoty indexu lomu skleněného hranolu, k proložení naměřených dat použijte Cauchyův vztah n = a + -A- +
n = 6
i	\i [nm]	rii
1	623,4	1,619
2	579,1	1,622
3	546,1	1,624
4	491,6	1,631
5	435,8	1,643
6	404,6	1,650
Minimalizujeme vzdálenosti skutečně naměřených hodnot od hodnot na aproximující křivce, tj.
Y.(a + bl? + cjz -ni)2
i=l
6
(E(a+&ir+cif -ni)2)'b
i=l
2(a + bj? + c    - m) = 0
i=l
6
J22(a + b^+c^-ni)^ = 0
i=l
6
Yj2(a + b-^+c±c-ni)±c = Q
Roznásobením a sloučením vhodných sčítanců dostaneme soustavu:
6 6 6
i=l i=l i=l
6 6 6 6
aEir + &Ei? + cEir = Ei?
i=l i=l i=l i=l
"E^E^E^ = £á
Maticově zapíšeme soustavu
6 6 \
6   Eir E^
i=l i=l
6 6 6
Eif Eif Eif
i=l i=l i=l
6 6 6
\E^ Eif EAf,
\i=i   i=i   i=i /
2^ ni
i=l
6
Eif1*'
i=l
6
, E>>,
kde ^ -±z = 0.2442011288 • 10"4, J2ji = 0.1089183487 • 10"9, J^jz = 0.5260289304 • 10"15
i=l i=l i=l
6 6 6
= 0.2703580405 • 10"20, ^ nt = 9, 789, ^       = 0.3992726604 • 10"4,
6
= 0.1784493319 • 1CT9.
i=l
Cramerovým pravidlem dostáváme řešení a = 1.602537615, b = 5114.983088 nm2 a c = 448646567.9 nm4, tedy
n = 1.602537615 + 5114.983088^ + 448646567.9^.
Opticky zkontrolujeme optimalitu křivky.