Užití matematiky ve fyzikální optice Dušan Hemzal a Lenka Přibylová 28. prosince 2010 ©Lenka Přibylová, 2010 q Obsah Úvod 5 Vektory v optice (fyzice) 7 Kolmý průmět vektoru na vektor 10 Kuželosečky a kvadriky 12 Maticová optika 19 Vlnová rovnice 28 Harmonická vlna 31 Užití Taylorova polynomu 33 Reprezentace vlnění komplexními čísly 36 ebi H 19 133 ©Lenka Přibylová, 2010 q Součtové vzorce, skládání vln a interference. 37 Vektorová pole 41 Rovinná vlna v prostoru 45 Poyntingův vektor a intenzita světelné vlny 46 Difrakce a Fourierova transformace 49 Determinanty 51 Klasifikace kuželoseček a eliptická polarizace 57 Řešení soustavy lineárních rovnic 62 Optimalizace 63 Snellův zákon 66 El 19 raa ©Lenka Přibylová, 2010 q Metoda nejmenších čtverců 69 Odkazy na minisbírky úloh, kartotéku optických přístrojů a interaktivní kvizy. 76 ©Lenka Přibylová, 2010 q Úvod Tento elektronický text není přednáškou z matematiky ani z optiky. Není ani běžnou sbírkou úloh z matematiky nebo z optiky. Je to podpůrný materiál pro obor Optometrie na MU a vznikl z potřeby propojit předměty týkající se optiky s Matematikou I. a II. a vytvořit souhrn úloh z různých částí optiky tak, aby je bylo možné použít v předmětu Matematika a ukázat na nich aplikace základních matematických pojmů a metod v optice. Na druhé straně v odborných předmětech lze nahlédnout zpět do matematiky, když už některé pojmy zůstaly zapomenuty v prvním ročníku Matematiky I. a II. ... BPi Q 19 rag ©Lenka Přibylová, 2010 q Text tedy není členěn typicky - ani z hlediska zvyklostí v matematice ani z hlediska zvyklostí v optice. Je hypertextově propojen s přednáškou z Matematiky I. a II., úlohy v jednotlivých kapitolách jsou spojeny s minisbírkami řešených úloh (např. Užití matic), které lze vyvolat i samostatně, přičemž samotné kapitoly jsou špetkou teorie z optiky a špetkou z matematiky tak, aby do řešení úloh bylo vidět jak v předmětu Matematika I. a II. bez mnohých znalostí optiky, tak v odborných předmětech Optometrie po mírném pozapomenutí matematiky. V textu se navíc vyskytují bublinky (např. kružnice^ které slouží k rychlému připomenutí matematického pojmu. Kliknutím na slovo s bublinkou se rozbalí matematická roleta, která zmizí v okamžiku odchodu myši z něj. K textu dále patří interaktivní kvizy a testy a kartotéka optických přístrojů. ©Lenka Přibylová, 2010 q Vektory v optice (fyzice) Fyzikální veličiny, které závisí na poloze v prostoru, popisujeme pomocí vektorů. Může jít např. o vlnový vektor, který popisuje směr šíření vlny, polohový vektor, který je průvodičem bodu v prostoru, apod. V optice nejčastěji používáme 3-rozměrný vektorový prostor s ortonormální bází, tj. množinou tří lineárně nezávislých* avzájem kolmých vektorů jednotkové délkyTTato báze je ve fyzice často označována přičemž vektor i = (1,0,0) určuje směr osy x (první souřadnice), j = (0,1, 0) směr osy y (druhá souřadnice) a k = (0, 0,1) směr osy z (třetí souřadnice). Nevím vůbec, co je vektor.. . ©Lenka Přibylová, 2010 q Souřadnice polohového vektoru f= (x,y,z) můžeme zapsat také pomocí skalárního součinuT x = r • i, , y = r • j, z — r • k. Úhel který svírají dva vektory a a b, můžeme spočítat pomocí skalárního součinu jako a • 6 (/? = arccos a 6 1. příklad: Najděte velikost vektoru (2, —3,1). Řešení. 2. příklad: Najděte vektor kolmý k vektoru (3, 7). Řešení. ©Lenka Přibylová, 2010 q 3. příklad: Najděte vektor kolmý k vektoru (2, 3, —4). Řešení. 4. příklad: Najděte vektor kolmý k rovině g dané vektory (1, 3, 0) a (1,1, —2). Řešení. 5. příklad: Jaký úhel svírají vektory (—3,1, 7) a (5,1, —2)? Řešení. 6. příklad: Dokažte, že platí A cos a + B sin a = \/ A2 + B2 cos(a — arctg ^). Řešení. ©Lenka Přibylová, 2010 q Kolmý průmět vektoru na vektor Ve fyzice často potřebujeme znát vektor c, který je kolmým průmětem vektoru b na vektor a?Obecně platí a • b c = ——-a, a • a kde • značí skalární součin^ektorů, tj. a • a = \a\2 je čtverec velikosti vektoru%. Pro velikost průmětu |c| tedy platí c b COS if1 kde (p je úhel, který svírají vektory a a b. Nevím vůbec, co je vektor.. . ©Lenka Přibylová, 2010 q 1. příklad: Najděte kolmý průmět vektoru (2, —2,1) na vektor (1, 0, 0). Řešení. 2. příklad: Najděte kolmý průmět vektoru (1, 2) na vektor (3, —4). Řešení. 3. příklad: Najděte kolmý průmět vektoru (3,1,1) na vektor (2, 2, 5). Řešení. ©Lenka Přibylová, 2010 q Kuželosečky a kvadriky V optice se často setkáváme s kuželosečkami ct kvadrikami, zvlášť pak s kružnicemi a koulemi, jako čočkami se sférickými nebo jinými symetrickými povrchy s určitou křivostí centrovanými na optické ose. Chci vědět víc o kuželosečkách. Chci znát rovnice kvadrik. ©Lenka Přibylová, 2010 q Pro ohniskovou vzdálenost / obecné čočky vrcholové tloušťky d s kulovými stěnami o poloměrech ve směru letu procházejícího světla postupně R\ a R2 umístěné ve vzduchu platí rovnice kde n je index lomu (pro vodu n = 1.33, pro sklo například n = 1.5). Zavádí se pojem optické mohutnosti čočky, D = 1/f (v dioptriích). Pro 1 dioptrii je / = 1 m, pro 2 dpt. je / = 0.5 m. Kladné mohutnosti odpovídají spojkám, záporné mohutnosti rozptylkám. Díky tomuto zavedení lze zvlášť zkoumat mohutnost prvního a druhého povrchu cocky a rovnici čočky lze přepsat do Gullstrandova tvaru, sčítajícího celkovou mohutnost čočky z mohutností jednotlivých jejích stěn (i) D = D1+D2--D1D2 n ©Lenka Přibylová, 2010 q hodnoty R2 jsou v absolutní hodnotě rovny příslušným velikostem poloměrů křivosti, přiřazuje se jim ale znaménko podle následující konvence: kladné, když paprsek dříve projde stěnou čočky než kolem jejího středu křivosti^ stěna je vůči paprsku vypuklá) a záporné, když paprsek dříve míjí střed křivosti ci pak teprve narazí do jemu odpovídající stěny (stěna je vůči paprsku dutá). Přiblížení tenké čočky: Pokud platí d(n — l)2 0) a zároveň, každá čočka s plochou stěnou je tenká (viz Gullstrandova rovnice). Díky tomu mohutnost tenké čočky klasických tvarů nezávisí na jejím otočení. 1. příklad: Kružnice x2 + y2 = 1, (x — 0.9)2 + y2 = 0.04 tvoří řez kulovými povrchy čočky. Určete její mohutnost. Můžeme ji považovat za tenkou čočku? Řešení. 2. příklad: Z průměru a výšky vodní kapky na podložce spočtěte, jakou čočku vytváří. Řešení. EiEI Q 19 B9 ©Lenka Přibylová, 2010 q V optice jsou z formálního hlediska velmi zajímavé systémy, které jsou osově souměrné. Kromě kulových povrchů tam tedy mohou patřit všechny ostatní kvadriky, které vznikají rotací symetrického profilu kolem jeho osy: y2 - 2Rx + (l + k)x2 = 0, zde rotací kolem osy x; parametr R představuje vrcholovou křivost* jednotlivé křivky jsou posány následovně: hyperboloid k < — 1, paraboloid k = — 1, elipsoid — 1 < k < 0, koule k = 0. Profily čtvrtého a vyšších řádů se používají zřídka kvůli obtížnosti dosažení mechanické kvality povrchu - podmínkou je přesnost na zlomek vlnové délky světla (čili cca 100 nm a lepší). 3. příklad: Nakreslete y2 — 2Rx + (1 + k)x2 = 0 pro fc = 0, k — — la k = -2. Řešení. ©Lenka Přibylová, 2010 q 4. příklad: Ukažte, že y2 - 2Rx + (1 + k)x2 = O je hyperbola, elipsa, kružnice a parabola pro dříve uvedené hodnoty parametru k. Řešeni. 5. příklad: Nalezněte průsečíky s osami kuželosečky y2 -2Rx+(l + k)x2 = 0. Řešeni. 6. příklad: Ukažte, že i? je vrcholová křivost profilu y2 - 2Rx + (1 + k)x2 = 0. Řešeni. ebi q 19 B9 ©Lenka Přibylová, 2010 q Maticová optika Při průchodu světla optickými přístroji dochází k transformaci světelného paprsku, vlnový vektor mění úhel, který svírá s optickou osou, paprsek vychází v jiné vzdálenosti od optické osy, než při vstupu do optického přístroje. vstup optický prvek výstup ©Lenka Přibylová, 2010 Elementární optické prvky popisujeme buď zobrazovacími rovnicemi nebo pomocí matic. Maticová optika se využívá především při použití více optických prvků za sebou. Označíme-li x\ polohu vstupu optického prvku, x2 je polohu jeho výstupu, yi tangens úhlu (pi na vstupu optického prvku a y2 tangens úhlu (f2 na jeho výstupu (vzhledem k optické ose), můžeme obecně zapsat zobrazovací rovnice lineární soustavou rovnic x2 = Axi + Byi y2 = Cxi + Dyi, x2 přičemž A = —|yi=o? B = x\ x2 yi Xl=o, C — x\ 3/1=0 a D = 2/2 2/1 xi =0 Zobrazovací rovnice můžeme maticově zapsat takto: (2) kde • na pravé straně značí násobení matic. Nevím vůbec, co je matice. ©Lenka Přibylová, 2010 Podívejme se blíže na důležité některé příklady matic z (2): • D = 0, pak ?/2 = Cxi, tedy úhel výstupu záleží pouze na x\ vstupu, proto objekt na vstupu leží v první ohniskové rovině, na výstupu jsou paprsky rovnoběžné. • ,4 = 0, pak X2 = Byi, tedy naopak rovnoběžmě vstupující paprsky se zobrazují do stejné x 0 pro konvexní povrch, tj. střed za vstupem) odraz v zrcadle (i 9 jednotková matice odraz v zakřiveném zrcadle R - poloměr křivosti (konvence: R > 0 pro konkávni zrcadlo) ppi Q 19 raa ©Lenka Přibylová, 2010 q V případě složitějšího optického systému matice jednotlivých prvků maticově násobíme^: dosažení popisu výsledného obrazu. 3. příklad: Vynásobte matice Řešení. 4. příklad: Vynásobte matice Řešení. ©Lenka Přibylová, 2010 q 5. příklad: Napište přenosovou matici pro optický systém složený z tenké čočky o ohniskové vzdálenosti fi = l cm, úseku volného prostoru o délce d = 26 cm a další tenké čočky s ohniskovou vzdáleností f2 = 5 cm. Řešení. 6. příklad: Napište přenosovou matici pro optický systém složený z úseku volného prostoru o délce d = 1 m, konkávního zakřiveného zrcadla s poloměrem křivosti R = 2 m, úseku volného prostoru o délce d = 0.8 m, rovinného zrcadla, úseku volného prostoru o délce d = 0.3 m a tenké čočky o ohniskové vzdálenosti fi =0.1 m. Řešení. ©Lenka Přibylová, 2010 q 7. příklad: Odvoďte přenosovou matici tenké čočky o poloměrech křivosti vstupu R\ a výstupu i?2, která je z materiálu o indexu lomu n, umístěná ve vzduchu. Určete její ohniskovou vzdálenost a mohutnost. Řešení. 8. příklad: Odvoďte přenosovou matici obecné čočky o poloměrech křivosti vstupu R\ a výstupu i?2 a vrcholové tloušťce d, která jez materiálu o indexu lomu n, umístěná ve vzduchu. Určete její ohniskovou vzdálenost a mohutnost, porovnejte s (1). Řešení. ©Lenka Přibylová, 2010 q 9. příklad: Plastová tyč s indexem lomu n = 1.56 je ukončena sférickým povrchem o poloměru R = 2.8 cm. Objekt vysoký 2 cm je umístěn ve vzdálenosti d = 15 cm od tyče. Zjistěte umístění a velikost obrazu v tyči. Řešení. Vstup do kartotéky optických přístrojů - lupa. Vstup do kartotéky optických přístrojů - světelný mikroskop. EH El Q E3 ©Lenka Přibylová, 2010 q Vlnová rovnice Matematický popis skalární fyzikální veličiny, která se šíří prostorem jako vlnění je dán vlnovou rovnicí d2^ _ 1 d2^9 dx2 v2 dt2 Nevím vůbec, co je derivace. . . Vzorce pro derivování a základní příklady na derivaci funkce. ©Lenka Přibylová, 2010 q 1. přiklad: Ukažte, že funkce ip(x,t) = Acos^u(t--)^ je řešením vlnové rovnice* Řešení. 2. přiklad: Ukažte, že funkce ip(x,t) = f(x ± vt) je řešením vlnové rovnice* Řešení. 3. přiklad: 1 # Pro které ^ ie funkce íb(xA) =--—- řešením vlnové rovnice? J ^V ' ; (x-2í)2 + l Řešení. ©Lenka Přibylová, 2010 q 4. přiklad: 1 Ukažte průběh vlnění, které je dáno funkcí íp(x^t) =--—- pro ř x 2í) | 1 t — 1, 2,... Řešení. Další příklady na průběh funkce. ©Lenka Přibylová, 2010 q Harmonická vlna Funkce íp(x^t) = ^4cos(c<;í — kx), kde k = — vyhovuje vlnové rovnici^i v představuje harmonické kmity, resp. šíření harmonické vlny. Prozatím uvažujeme pouze vlnu šířící se ve směru osy x. Později budeme uvažovat vlny prostorové. Protože platí cos(x) = sin(x + f), můžeme stejně tak použít zápisu pomocí funkce sin, pouze s posunutou počáteční fází. Číslo A je maximální amplituda vlny, uj je úhlová frekvence a pro libovolné pevné t je nejmenší periodou tzv. vlnová délka A a platí ©Lenka Přibylová, 2010 q 1. příklad: Ukažte, že vlnové číslo splňuje rovnost k = 2. přiklad: Ukažte, že se harmonická vlna = ^4cos(c<;í — kx) šíří prostorem rychlostí v = —. k Řešení. ©Lenka Přibylová, 2010 q Užití Taylorova polynomu Taylorův polynom stupně n příslušný funkci f{x) v bodě xq má tvar rri / \ f f \ i f'M f "M 2 Tn{x) =f{x0) H---—(x-x0)-\---—(x-xo) +... •••+/(n)(,Xo)(x-x0)n. n! Výpočtem lze ověřit, že má v bodě xo stejnou funkční hodnotu a také všechny derivace až do řádu n jako funkce /, tj. platí Tn(x0) = f(x0), Tn(x0) = /7(X0), Tn(n)(x0) = /(n)(x0). ©Lenka Přibylová, 2010 q V okolí bodu xo tedy Tn(x) aproximuje funkci /(x), mluvíme o rozvoji funkce do Taylorova polynomu (přesněji řady, ale to vstupujeme za rámec osnov našeho předmětu). V optice je vhodné používat prvních členů tohoto polynomu pro aproximaci např. kulové vlnoplochy u sférické korekce a výpočtu astigmatismu. 1. příklad: Spočtěte Taylorův polynom stupně 2 příslušný funkci y = sin (x2) v okolí xo = 0. Řešení. 2. příklad: Spočtěte Taylorův polynom stupně 2 příslušný horní půlkružnici x2 + y2 = R2 v okolí xo = 0. Řešení. ©Lenka Přibylová, 2010 q 3. příklad: Spočtěte Taylorův polynom stupně 4 příslušný horní půlkružnici x2 + y2 = R2 v okolí xo = 0. Řešení. Vstup do kartotéky optických přístrojů - sférická korekce. Vstup do kartotéky optických přístrojů - cylindrická korekce a astigmat ismus. ©Lenka Přibylová, 2010 q Reprezentace vlnění komplexními čísly Komplexní číslo z = a + ib můžeme zapsat také v goniometrickém tvaru z = \z\(cos(f + i sin 99), kde \z\ = \fa2 + b2 je vzdálenost komplexního b čísla v Gaussově rovině od počátku a tp = arctg - je úhel, který svírá a průvodič bodu z s reálnou osou. Vzhledem k platnosti Eulerovy formule elíp = cos (p + i sin můžeme komplexní číslo z psát také v exponenciálním tvaru z= \z\ei(p. Harmonické vlny ipi(x,t) = ^4sin(c<;í — kx) a ijjr(x,ť) = Acos(ujt — kx) jsou tedy imaginární a reálnou složkou funkce ip(x,t) = Aé^l~kx) = Acos(cjí -kx)+i- Asm(ut - kx). Tato reprezentace harmonického vlnění má významnou výhodu oproti goniometrickému zápisu vzhledem ke zjednodušení výpočtů, např. při integraci. EBI Q 19 iaa ©Lenka Přibylová, 2010 q Součtové vzorce, skládání vln a interference. Komplexní zápis umožňuje rychlé a přehledné odvození součtových vzorců cos(2a) + zsin(2«) = ei2a = ei{a+a) = eia ■ eia = = (cos(a) +isin(a)) • (cos(a) +isin(a)) = = cos a — sin a + i 2 sin a cos a cos(a + P) + i sm(a + (3) = e*(a+/3) = eia • eip = = (cos(a) + i sin(a)) • (cos(/3) + i sin(/3)) = = cos a cos (3 — sin a sin (3 + i (sin a cos /3 + cos a sin /3) ©Lenka Přibylová, 2010 q %X i „ — IX e"*+e 1. příklad: Pomocí Eulerova vzorce dokažte, že platí cosx = 2 Řešení. 2. příklad: Dokažte nejkrásnější formuli matematiky: — 1 = e . Řešeni. 3. příklad: Dokažte, že platí cos a + cos (3 = 2 cos cos Řešeni. 4. příklad: Složte vlnění s posunutou fází -0i(x,í) = Acos(o;í — for) a ij)2{x,ť) = ^4cos(u;i — fc(x — 5)). Řešení. EH El 19 B9 ©Lenka Přibylová, 2010 q Superpozicí harmonických vln í0i(x,í) a ip2(x,t) s posunutou fází dostáváme harmonickou vlnu (x, t) + ^2 (x, i) = 2 A cos ^ cos(cc;í - kx + ^). V-v-/v-v-' amplituda harmonická vlna Její amplituda bude nabývat interferenčního maxima pro cos ^ = ±1 a minima pro cos ^ = 0, tj. vlna bude mít maximální amplitudu (zdvojnásobí se) pro kô = rriTT a nulovou amplitudu pro = f + m7ľ, kde m je celé číslo. 2 2 ©Lenka Přibylová, 2010 q Protože k = kde A je frekvence vlnění, bude k interferenčnímu maximu docházet pro posunutí fáze v násobcích frekvence Ô = 7/7 A. 5. příklad: Složte vlnění s opačným směrem šíření ipi (x, ť) = A cos(ujt — kx) a ip2(x, ť) = A cos(ujt + kx) a ukažte, že jde o stojaté vlnění. Řešení. Vstup do kartotéky optických přístrojů - metoda GDx. Vstup do kartotéky optických přístrojů - optická koherentní tomografie. Vstup do kartotéky optických přístrojů - fázová mikroskopie. ©Lenka Přibylová, 2010 q Vektorová pole Pole je zobrazení, které každému bodu prostoru přiřadí dané hodnoty. Skalární pole je pole, které každému bodu v prostoru přiřazuje jedno číslo, vektorové pole přiřazuje vektor. Příkladem vektorového pole je rychlost atmosféry Země, tj. rychlost větru. Vektorová pole, která představují tekutinový model, mají bezprostřední fyzikální interpretaci: vektory v každém bodě v prostoru představují směr pohybu částic tekutiny a my můžeme vytvořit animaci takovéhoto pohybujícího se pole. Třebaže vektory elektromagnetického pole nepředstavují tok tekutiny, můžeme přenést mnoho pojmů, které se používají k popisu tekutinového pole i na popis pole elektromagnetického. Například mluvíme o toku elektromagnetického pole skrze plochu jako o množství "tekutiny"- energie, která proteče skrze danou plochu za jednotku času. ©Lenka Přibylová, 2010 q «0 0 TV V A' V V7 7? ^fl , <5/2 9/3 Divergence r : divr = V • r = —--h —--h -7—. ox oy oz Fyzikálně si lze představit divergenci v daném bodě plochy jako zřídlo (je-li divergence kladná) a odtok (je-li divergence záporná), cirkulace odpovídá nulové divergenci. Rotace F: rot F = V x F = dfs df2 dfi df3 df2 dfi dy dz ' dz dx ' dx dy Fyzikálně znamená směr a rychlost otáčení víru okolo daného bodu. Statické elektrické pole je nevírové (má nulovou rotaci) a statické magnetické pole je nedivergující, nezdrojové (má nulovou divergenci) ©Lenka Přibylová, 2010 1. přiklad: Magnetické pole vodiče, kterým protéká stejnosměrný proud /, je dáno jako B = ^— 0^ (proud protéká ve směru osy z, /io je permeabilita, r je vzdálenost od vodiče stejnosměrného proudu ). Spočtěte divergenci indukovaného magnetického. Řešení. ©Lenka Přibylová, 2010 q Rovinná vlna v prostoru Harmonická rovinná vlna v prostoru má tvar ip(r, t) = Acos^í — k • r), kde k = /c2, £3) je vektor šíření vlny, f = z) je vektor prostorových souřadnic a • značí skalární součin, tj. k • f = k\x + k^y + ksz. V daném okamžiku t = ť leží body, které jsou ve stejné fázi (/?, v rovině

\2 &22 au d\2 a13 d\2 d22 &23 &13 a32 &33 jsou tzv. invariantami kuželosečky (nemění se při transformaci souřadnic) a charakterizují ji, jinak řečeno, pomocí těchto determinantů lze kuželosečky klasifikovat: t A/0 vlastní kuželosečky: elipsa pro S > 0, hyperbola pro S < 0 a parabola pro 5 = 0 A = 0 nevlastní kuželosečky (degenerované), přímky ©Lenka Přibylová, 2010 q Poznámka 1. Aby šlo o reálnou elipsu, nikoliv imaginární, musí být navíc (au + a22)A < 0. 1. příklad: Klasifikujte kuželosečku 2x2 — 2xy + 3y2 — x + y — 1 = 0. Rešení. 2. příklad: Klasifikujte kuželosečku x — \xy — 5y + 2x + 4y + 3 = 0. Rešení. 3. příklad: Ukažte, že y2 — 2Rx + (1 + k)x2 = 0 je hyperbola, elipsa nebo parabola, určete, pro které hodnoty parametru k. Rešení. EH El Q Q3 ©Lenka Přibylová, 2010 q Uvažujme nyní elektromagnetické pole E v prostoru a case. Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že pro jeho složky platí E = (Ex,Ey,0), kde Ex = A1cos(r + (p1) Ey = A2 cos(r + 0, pak je ve stacionárním f"x(x0ly0) f'Jy(xQ,yo) fyX(xo^yo) fyy(xo,yo) bodě [xo,yo] extrém, a to minimum pokud fxX(xo,yo) > 0 a maximum pokud fxX(xo,yo) < 0 H(xo,yo)\ < 0, extrém nenastává. ©Lenka Přibylová, 2010 q 1. příklad: Najděte minimum funkce f(x,y) = x2 + xy + y2 - 2x + 1. Řešeni. 2 _ 2 2. příklad: Najděte extrémy funkce f(x,y) = ex y . Řešeni. EEI El Q ©Lenka Přibylová, 2010 q Snellův zákon Podle Fermatova principu se světlo šíří tak, že optická dráha mezi dvěma body, kterou projde paprsek světla, je dráha, kterou projde za nejkratší čas. V homogenním prostředí je to tedy nutně přímka. V případě, že světlo prochází z prostředí o indexu lomu n\ = ^ do prostředí o indexu lomu 77,2 = ^ (kde c je rychlost světla ve vakuu) bude jeho dráha dána minimalizací času t(x). Minimalizovat budeme podle proměnné x = \BD\, která je dle následujícího obrázku vzdáleností bodu D dopadu světla na rozhraní od kolmého průmětu C bodu A na rovinu rozhraní. Body iaBa rozhraní prostředí jsou pevné, známe tedy vzdálenosti a = \AC\, b = \BE\ a d = \CE\ (viz obrázek). ©Lenka Přibylová, 2010 q t(x) = t + t = ^(nisi + n282) t(x) = \ (ni y/a2 + x2 + n2^(d-x)2 + b2) t'(x) = ^(nii(a2 + x2)~2 . 2x + n2\{{d - x)2 + b2)~2 -2(d-x) ■ (-1)) Ed Q 19 rag ©Lenka Přibylová, 2010 q Extrém funkce t(x) nastává ve stacionárním bodě, tj. musí platit ť{x) = 0. Odtud i i ni(a2 + x2)~2 . x = n2((d - x)2 + 62)~2 . [d - x), tj- oc di oc V a2 + x2 yj{d — x)2 + b2 což je tzv. Snellův zákon lomu: ni siná = 712 sin/3. ©Lenka Přibylová, 2010 q Metoda nej menších čtverců Metoda nejmenších čtverců využívá optimalizace pro nalezení přímky (nebo obecnější křivky), která je vhodnou aproximací naměřených závislých dat. Velice často při měření hodnot potřebujeme získat informaci o této závislosti ať už pro predikci nebo např. pro odhad chyb přístroje apod. Odvodíme nejjednodušší případ, budeme hledat přímku y = ax + b tak, aby naměřeným dvojicím dat odpovídala. , ..., xn,yn] co nejlépe ©Lenka Přibylová, 2010 q Minimalizujeme tedy vzdálenosti skutečně naměřených hodnot od hodnot na aproximující přímce. Přesněji použijeme nikoliv vzdálenost, tedy absolutní hodnotu rozdílu těchto hodnot, ale její čtverec, tedy druhou mocninu. Odtud název metody - metoda nejmenších čtverců. (Důvod je ten, že výpočet je podstatně jednodušší...) ©Lenka Přibylová, 2010 q n ^^(axi + b — yi)2 —> min i=i Uvědomme si, že známe Xi a y^ to, co neznáme jsou parametry přímky: a a b. Minimalizovat tedy budeme vzhledem k těmto proměnným. Hledáme tedy stacionární body funkce^vou proměnných, nalezneme derivace podle obou proměnných a položíme je rovny nule: n n (^2(axi + b- yi)2ya = ^2 2(aXi + b~ y^Xi = 0 1=1 1=1 n n (^2(axi + b - yi)2yb = y^2(axj + b - y j) = 0 i=i i=i ©Lenka Přibylová, 2010 q Roznásobením a sloučením vhodných sčítanců dostaneme soustavu: n n n a x\ + b xi = i=l i=l i=l n n a ^Xi + nb = ^2 Ví i=i i=i Tato soustava má vždy jediné řešení, protože , n n v D = det E*? E 1=1 1=1 n \^ ^i=l X/ n n n = nj2xt-Cž2xrf >0- 1=1 1=1 Jde o tzv. Jensenovu nerovnost, ostrá nerovnost je dána tím, že měříme alespoň ve dvou různých hodnotách x, z jednoho měření nebo měření v jednom x žádný závěr o závislosti y na x samozřejmě nedostaneme. sol d ia las ©Lenka Přibylová, 2010 Podle Cramerova pravidla je řešením soustavy / n n \ det 1=1 i=i n a = \ i=i n í U 2 n det i=i n i=i n \i=i ^2 ví i=l \ D 7 D a je skutečně minimem, protože hessián^Z) > 0 a navíc n n (J2(aXl + b - y%f)"aa = 2j>2>0- i=i i=i 1. příklad: Najděte přímku aproximující body [0,5], [1,3], [3,3], [5,2 [6,1]. Řešení. ©Lenka Přibylová, 2010 q Často aproximujeme data například parabolou y = ax2 + 6, u růstu živých organismů je časté použití exponenciální funkce y = eaxJrb (zlogaritmováním dat yi dostáváme aproximaci přímkou) apod. Výše uvedený princip je možné použít vždy, když hledané parametry mají mezi sebou pouze lineární vztahy. Mluví se proto také o metodě lineární regrese nebo hledání regresní přímky. Ze statistického hledika jde o tzv. bodové odhady. S pomocí statistických metod je také možné odhadovat intervaly, tedy nikoliv křivku, ale jakýsi pás, ve kterém měřené veličiny leží s vysokou (např. 95 %) pravděpodobností. Tyto poznatky ale zasahují daleko přes rámec základního kurzu matematiky do statistiky. Je však dobré o nich vědět a případně použít vzorce, které lze nalézt např. na Wolfram MathWorld www.weibull.com ©Lenka Přibylová, 2010 q 2. příklad: Nalezněte kalibrační křivku spektrometru. Řešení. 3. příklad: Určete materiálové konstanty skla. Řešení. ©Lenka Přibylová, 2010 q Odkazy na minisbírky úloh, kartotéku optických přístrojů a interaktivní kvizy. Užití matematiky v optice: Užití vektorů Užití matic Užití determinantů Užití kuželoseček a kvadrik Užití komplexních čísel Užití derivace Užití integrálu Průběh vlnění Optimalizace Metoda nejmenších čtverců EBI Q 19 B9 ©Lenka Přibylová, 2010 q Jednoduché pomocné úlohy: Maticové násobení Derivace Integrály Konec ©Lenka Přibylová, 2010 q