Optimalizace.
Lenka Přibylová 12. srpna 2010
Obsah
Najděte minimum funkce...................... 3
Najděte extrémy funkce...................... 11
Najděte minimum funkce f(x,y) = x2 + xy + y2 — 2x + 1.
■
©Lenka Přibylová, 2010
Najděte minimum funkce f(x,y) = x2 + xy + y2 — 2x + 1.
■
Najdeme stacionární body
f'x{x,y) = 0 fý{x:y) = 0
©Lenka Přibylová, 2010
Najděte minimum funkce f(x,y) = x2 + xy + y2 — 2x + 1.
■
Najdeme stacionární body
f'x{x,y)= 2x + y-2 = 0, fy{x,y)=     x + 2y     = 0.
©Lenka Přibylová, 2010
Najděte minimum funkce f(x,y) = x2 + xy + y2 — 2x + 1.
■
Najdeme stacionární body
f'x(xiy)= 2x + y-2 fy{x,y)=     x + 2y
Řešením je bod [#o,yo] = [I? —I •
= 0, = 0.
■
a; = -2y,tj.2(-2y) + y-2 = 0.
_ 2 _ 4
y —   2 a oc — 2 •
©Lenka Přibylová, 2010
Najděte minimum funkce f(x, y) = x + xy + y — 2x + 1.
Najdeme stacionární body
f'x{x,y)= 2x + y-2 = 0, fý(x,y)=     x + 2y =0.
Řešením je bod [#o,yo] = [f > — §]■ Determinant Hessovy matice druhých derivací v tomto bodě je
/"xOo,yo) fxy{xo,yo) = 2 1 f'ýx(xo,yo)   fý'y(xo,yo)      1 2
©Lenka Přibylová, 2010
Najděte minimum funkce f(x, y) = x + xy + y — 2x + 1.
Najdeme stacionární body
f'x{x,y)= 2x + y-2 = 0, fý(x,y)=     x + 2y =0.
Řešením je bod [#o,yo] = tť — §]■ Determinant Hessovy matice druhých derivací v tomto bodě je
fxx(X0,yo)     fxy{Xo,yo)   =   2 1
f'ýx(xo,yo)   fyy(xo,yo)      1 2
= 3 > 0.
©Lenka Přibylová, 2010
Najděte minimum funkce f(x,y) — x2 + xy + y — 2x + 1.
Najdeme stacionární body
fx(x,y) = 2x + y-2 = 0, fý(x,y)=     x + 2y     = 0.
Řešením je bod [xo,yo] = [|, — §]• Determinant Hessovy matice druhých derivací v tomto bodě je
f"x(xo,yo) fxy(x0,y0)
2 1
1
2
= 3 > 0, extrém v tomto bodě tedy
fyx(X0,yo) fyy{x0,y0)
skutečně nastane a protože je f"x(xo, yo) — 2 > 0, jde o lokální minimum.
©Lenka Přibylová, 2010
Najděte minimum funkce f(x,y) = x2 + xy + y2 — 2x + 1. j
Najdeme stacionární body
f'x{x,y)= 2x + y-2 = 0, fy(x,y)=      x + 2y      = 0.
Řešením je bod [#o?ž/o] = tť- §]• Determinant Hessovy matice druhých derivací v tomto bodě je
= 3 > 0, extrém v tomto bodě tedy
fxX(x0,yo)   fxy(x0,yo) = 2 1 fyX(xo,yo)   fyy{xo,yo)      1 2 skutečně nastane a protože je fxfx(xo, y o) = 2 > 0, jde o lokální minimum. Protože funkce nemá jiné stacionární body a její definiční obor je celá rovina, je to také globální minimum. To je vidět také z toho, že grafem funkce je eliptický paraboloid (vrstevnice jsou elipsy, řezy paraboly).
©Lenka Přibylová, 20101
Najděte extrémy funkce /(#, y) = e
2 2
— ^x -y
El la
©Lenka Přibylová, 2010
Najděte extrémy funkce /(#, y) = e
2 2
— ox -y
Najdeme stacionární body
f'x{x,y) = 0 fý(x,y) = 0
©Lenka Přibylová, 20101
Najděte extrémy funkce /(#, y) = e
2 2
— ox -y
Najdeme stacionární body
f'x{x,y) = ex~v2x fy{x,y)= ex2-y\-2y)
= 0, = 0.
©Lenka Přibylová, 20101
Najděte extrémy funkce      y) = e
2 2
— ox -y
Najdeme stacionární body
f'x(x,y)= ex~v2x fý(x,y)= ex2-y\-2y)
= 0, = 0.
Řešením je bod [xq, yo] — [0,0].
bi ia
©Lenka Přibylová, 2010
Najděte extrémy funkce /(#, y) = e
Najdeme stacionární body
f'x(x,y)= ex2~y22x =0, f'y{x,y)=   ex2-y\-2y)   = 0.
Řešením je bod [#0,3/0] = [0?0]-
Determinant Hessovy matice druhých derivací v tomto bodě je
2 0 0 -2
/x*(0,0) £'w(0,0)
/l(o,o) C (0,0)
f" =
J xy
u
ry* ry*
_ ex2-2y2//i_2
.2 „2
2xex2"y2
(4a^) + ex ~y 2 (-2?/)
f" =
yy
ex2-y2(4y2) + ex2-y\-2)
©Lenka Přibylová, 2010
Najděte extrémy funkce      y) = e
2 2
— ox -y
Najdeme stacionární body
f'x(x,y)= ex~v2x fý(x,y)= ex2-y\-2y)
= 0, = 0.
Řešením je bod [#o,yo] = [0,0].
Determinant Hessovy matice druhých derivací v tomto bodě je
/"x(0,0) /"(0,0)
C(o,o) C(o,o)
	2 0
	0 -2
= -4 < 0.
©Lenka Přibylová, 2010
Najděte extrémy funkce /(#, y) = e
2 2
— ox -y
Najdeme stacionární body
f'x(x,y) = ex~v2x = 0, f'y{x,y) =   e-2-^(-2y)   = 0.
Řešením j e bod [#o?ž/o] = [0?0]-
Determinant Hessovy matice druhých derivací v tomto bodě je
/xx(0,0) £'y(0,0)
Ä(0,0)   f" (0,0)
	2 0
	0 -2
= — 4 < 0, extrém v tomto bodě
' / Jyy
nenastává, je zde sedlo. Funkce tedy nemá extrémy.
©Lenka Přibylová, 20101
Najděte extrémy funkce /(#, y) = e
2 2
— ox -y
Najdeme stacionární body
f'x(x,y) = ex~v2x = 0, f'y{x,y) =   e-2-^(-2y)   = 0.
Řešením j e bod [#o?ž/o] = [0?0]-
Determinant Hessovy matice druhých derivací v tomto bodě je
/xx(0,0) £'y(0,0)
Ä(0,0)   f" (0,0)
	2 0
	0 -2
= — 4 < 0, extrém v tomto bodě
' / Jyy
nenastává, je zde sedlo. Funkce tedy nemá extrémy.
©Lenka Přibylová, 20101
Konec