Průběh vlnění
Lenka Přibylová 17. listopadu 2010
1
Ukažte průběh vlnění, které je dáno funkcí ip(x,t) = ^-2r)2 + 1
pro ř = 1,2,...
]
D(/) = R; H(f) = R+; ani sudá ani lichá, není periodická a nemá průsečík s osou x, protože y ^ 0 na celém definičním oboru. Funkce je kladná, nemá žádné body nespojitosti.
1
lim 7-)TT^-7 = 0
[x - 2ř)2 + 1 1
lim ---—5—- = 0
x^-co (x - 2ř)2 + 1
1
(Pro všechna ř je limita typu — = 0.) Asymptota se směrnicí je pro x —> ±00 stejná: osa x: y = 0.
00
ip(+oo) = 0, i/>(-oo) = 0; +
f     \(x-2t)2 + l)      ((x-2ř)2 + l)2
x = 2t   (ŕ = 1,2,.
-2(x-2ŕ)    _ MAX
^     ((x-2ř)2 + l)2 2f Dosazením nějakého bodu z intervalu (—00,2ř) a (2ř, 00) nalezneme znaménko derivace:
*'(2f-l)= ((^1^2 >°   ^'(2í + l)= (1TTT)2<0
.,      Jn  ,„     -2((x-2f)2 + l)2 + 2(x-2f)-2((x-2f)2 + l) • 2(x - 2f) Spočteme druhou derivaci, derivujeme jako podii: \p —
((x-2ř)2 + l)4
upravíme.
8(x-2ŕ)2-2((x-2ŕ)2 + l)
V ((x-2ř)2 + l)3
8(x - 2ř)2 - 2((x - 2ř)2 + 1) = 0
x = 2t±
„ _ 8(x-2ŕ)2-2((x-2ŕ)2 + l) ^  ~ ((x-2ř)2 + l)3 :
Konvexitu zjistíme dosazením do \p":
(x - 2ř)2 - 2((x - 2ř)2 + 1) = 0 6(x-2ř)2 - 2 = 0
{x-2tf=l-x-2t = ± x = 2t±
3
_U_in._TI_in._U_
2t-\fl 2t+^3
1
1 1 íl
ip"(2t - 1) = - > 0,   ip"(2t) = -2 < 0,   i/>"(2ŕ + 1) = - > 0. Body x = 2ř ± W - jsou inflexní.
©Lenka Přibylová, 2010^