Užití vektorů. Lenka Přibylová 15. listopadu 2010 Obsah Najděte velikost vektoru (2,-3,1)................ 3 Najděte vektor kolmý k vektoru (3,7)............... 5 Najděte vektor kolmý k vektoru (2,3,-4)............. 10 Najděte vektor kolmý k rovině dané vektory (l,3,0)a(l,l,— 2). 16 Jaký úhel svírají vektory (—3,1, 7) a (5,1, —2)?......... 23 Dokažte součtový vzorec...................... 27 Najděte kolmý průmět vektoru (2, —2,1) na vektor (1,0,0). .. 32 Najděte kolmý průmět vektoru (1, 2) na vektor (3, —4)...... 36 Najděte kolmý průmět vektoru (3,1,1) na vektor (2,2,5). ... 40 Najděte velikost vektoru (2,-3,1) ©Lenka Přibylová, 2010 Najděte velikost vektoru (2,-3,1). (2, -3,1)| = v/22 + (-3)2 + l2 = VU a + a2 — E 2=1 a; ©Lenka Přibylová, 2010 Najděte vektor kolmý k vektoru (3,7). ©Lenka Přibylová, 2010 Najděte vektor kolmý k vektoru (3,7). Hledáme vektor u = {u\, u2) kolmý k vektoru (3, 7), El la ©Lenka Přibylová, 20101 Najděte vektor kolmý k vektoru (3, 7)7| Hledáme vektor u = (^1, ^2) kolmý k vektoru (3, 7), tj (i/i,^2) * (3,7) = 0 Pro kolmé vektory platí a • b = a • 6 7T I • cos — = 0. 2 1 «■<■>■>>■ ©Lenka Přibylová, 2010 B Najděte vektor kolmý k vektoru (3,7). Hledáme vektor u = {u\, 112) kolmý k vektoru (3, 7), tj. (i/i,^2) * (3,7) = 0 odtud 3ííi + 7u2 = 0 (ai, a2) • (61,62) = ai&i + a2&2 3 Q B 199 ©Lenka Přibylová, 2010 Najděte vektor kolmý k vektoru (3,7). Hledáme vektor u = {u\, 112) kolmý k vektoru (3, 7), tj. (i/i,^2) * (3,7) = 0 odtud 3ííi + 7u2 = 0 u = (7, —3). Řešení samozřejmě není jednoznačné. Všechny vektory kolmé k vektoru (3, 7) jsou násobky vektoru u. SBl El 19 199 ^©KkžSnbylovOaiU Najděte vektor kolmý k vektoru (2,3,-4). ©Lenka Přibylová, 2010 Najděte vektor kolmý k vektoru (2,3, -4). Hledáme vektor u = (uuu2, u3) kolmý k vektoru (2,3, -4), El la ©Lenka Přibylová, 20101 Najděte vektor kolmý k vektoru (2,3,-4). Hledáme vektor u = (u\,U2, u$) kolmý k vektoru (2,3, —4), tj. (i/i, i/2, ^3) • (2,3, -4) = 0 Pro kolmé vektory platí a • b = a • b • cos — = 0. 2 1 <<■<■>■>>■ ©Lenka Přibylová, 2010 B Najděte vektor kolmý k vektoru (2,3,-4). Hledáme vektor u = (u\,U2, u$) kolmý k vektoru (2,3, —4), tj. (i/i, i/2, ^3) • (2,3, -4) = 0 odtud 2ui + 3íí2 — 4íí3 = 0. (ai,a2,a3) • (61,62,63) = Q>ih + a2b2 + a3b3 USB ©Lenka Přibylová, 2010 Najděte vektor kolmý k vektoru (2,3,-4). Hledáme vektor u = (í/i, i/2, i/3) kolmý k vektoru (2,3, —4), tj. (i/i, i/2, i/3) * (2,3, -4) = 0 odtud 2i/i + 3i/2 — 4i/3 = 0. Toto je obecný tvar roviny procházející počátkem s normálovým vektorem (2,3, —4). Všechny vektory, které v této rovině leží jsou kolmé na vektor (2,3, —4). ©Lenka Přibylová, 2010 Najděte vektor kolmý k vektoru (2,3,-4). Hledáme vektor ^ = (^1,^2, us) kolmý k vektoru (2,3, —4), tj. (^1,1/2,^3) • (2,3, -4) = 0 odtud 2ui + 3u2 — 4^3 = 0. Toto je obecný tvar roviny procházející počátkem s normálovým vektorem (2,3, —4). Všechny vektory, které v této rovině leží jsou kolmé na vektor (2,3,-4). Můžeme volit například vektor u = (2,0,1). ©Lenka Přibylová, 2010 Najděte vektor kolmý k rovině dané vektory (l,3,0)a(l,l,—2). ©Lenka Přibylová, 2010 Najděte vektor kolmý k rovině dané vektory (l,3,0)a(l,l,—2). Hledáme vektor u = (i^i, u^, u%) kolmý k oběma vektorům (1,3,0) a (1,1,-2), ©Lenka Přibylová, 2010 Najděte vektor kolmý k rovině dané vektory (l,3,0)a(l,l,—2). Hledáme vektor u = («1, «2, «3) kolmý k oběma vektorům (1,3,0) a (l,l,-2),tj. (ui, u2,u3) ■ (1,3,0) = 0 a (m, u2,u3) ■ (1,1, -2) = 0 Pro kolmé vektory platí a - b = a • 6 7T I • cos — = 0. 2 1 <<■<■>■>>■ ©Lenka Přibylová, 2010 B Najděte vektor kolmý k rovině dané vektory (l,3,0)a(l,l,—2). Hledáme vektor u = (ííi, u^, u%) kolmý k oběma vektorům (1,3,0) a (l,l,-2),tj. (uuu2,u3) * (1,3,0) = 0 a (iZi,iz2,i/3) * (1,1, -2) = 0 odtud u\ + 3íí2 = 0 a u\ + U2 — 2íí3 = 0. (ai,a2,Q3) • (&1,&2,&3) = Ql&l + Q2&2 + Q3&3 I ©Lenka Přibylová, 2010 Najděte vektor kolmý k rovině dané vektory (l,3,0)a(l,l,—2). Hledáme vektor u = (ííi, u^, u%) kolmý k oběma vektorům (1,3,0) a (l,l,-2),tj. (uuu2,u3) * (1,3,0) = 0 a (iii,ii2,i/3) • (1,1, -2) = 0 odtud u\ + 3íí2 = 0 a u\ + U2 — 2íí3 = 0. U\ = —3ii2 —3ii2 + 112 — 2ii3 = 0 Vyjádříme u\z první rovnice a dosadíme do druhé. « ■ < ■ > m >> ■ ©Lenka Přibylová, 2010 Najděte vektor kolmý k rovině dané vektory (l,3,0)a(l,l,— 2). Hledáme vektor u = (u\, U2, us) kolmý k oběma vektorům (1,3,0) a (l,l,-2),tj. (uuu2,u3) • (1,3,0) = 0 a (uuu2,u3) • (1,1, -2) = 0 odtud u\ + 3u2 = 0 a u\ + ii2 — 2us = 0. u i = — 3u2 — 3U2 + U2 — 2us = 0, tj. U 3 = -^2, BI 19 ©Lenka Přibylová, 2010 Najděte vektor kolmý k rovině dané vektory (l,3,0)a(l,l,—2). Hledáme vektor u = (^1,^2, u%) kolmý k oběma vektorům (1,3,0) a (l,l,-2),tj. (uuu2,u3) • (1,3,0) = 0 a (ui,u2,U3) • (1,1, -2) = 0 odtud u\ + 3u2 = 0 a u\ + U2 — 2us = 0. U\ = —3 7/2 —3 i/2 + U2 — 2 7/3 = 0, tj. 1/3 = — ?í2- u — (—3,1, —1). v Řešení samozřejmě není jednoznačné. Všechny vektory kolmé k rovině g jsou násobky vektoru u. ©Lenka Přibylová, 2010 1 Jaký úhel svírají vektory (—3,1, 7) a (5,1, —2)? ©Lenka Přibylová, 2010 1 Jaký úhel svírají vektory (—3,1, 7) a (5,1, —2)? (-3,1,7) -(5,1,-2) (f = arccos (-3,l,7)|-|(5,l,-2) ©Lenka Přibylová, 2010 Jaký úhel svírají vektory (—3,1, 7) a (5,1, — 2)?j ip = arccos (-3,1,7)-(5,1,-2) (-3,l,7)|-|(5,l,-2) -15 + 1 - 14 = arccos V9 + 1 + 4V25 + 1 + 4 (ai, a2, a3) • (61, 62, 63) = ai&i + «2^2 + a3&3, a = -i / af + H-----H ttn = 1 E 2=1 2 ar Bi 19 ©Lenka Přibylová, 2010 Jaký úhel svírají vektory (—3,1, 7) a (5,1, — 2)?j ip = arccos (-3,1,7)-(5,1,-2) (-3,l,7)|-|(5,l,-2) -15 + 1 - 14 = arccos V9 + 1 + 4V25 + 1 + 4 -28 = arccos \/59\/3Ô = arccos(—0.66) = 131,7 o ©Lenka Přibylová, 20101 Dokažte, že platí A cos a + B sin a = \/ A2 + B2 cos (a — arctg ^) ©Lenka Přibylová, 2010 Dokažte, že platí A cos a + B sin a = \/ A2 + B2 cos (a — arctg ^) A cos a + B sin a ©Lenka Přibylová, 2010 Dokažte, že platí A cos a + B sin a = \/ A2 + B2 cos (a — arctg ^) A cos a + 5 sin a = (A, 5) • (cos a, sin a) Výraz můžeme zapsat jako skalární součin. ©Lenka Přibylová, 2010 Dokažte, že platí A cos a + B sin a = \/ A2 + B2 cos (a — arctg ^) A cos a + B sin a = (A, 5) • (cos a, sin a) = \JA2 + B2 cos Podle vzorce a-b = \a\ • |6| • cos

■ >> ©Lenka Přibylová, 2010 Najděte kolmý průmět vektoru (1, 2) na vektor (3, —4). ©Lenka Přibylová, 2010 Najděte kolmý průmět vektoru (1, 2) na vektor (3, —4). (1,2) .(3, -4) (3, -4) • (3, -4){i' *> Pro průmět c vektoru b na vektor a platí cl - b C = ——-CL a • a ©Lenka Přibylová, 2010 Najděte kolmý průmět vektoru (1, 2) na vektor (3, —4). (1,2) -(3, -4) (3, -4) • (3, -4){i' *> Skalární součin je definovat takto: (l,2).(3,-4) = l-3 + 2.(-4) = -5, (3, -4) • (3, -4) = 3 • 3 + (-4) • (-4) = 25 Najděte kolmý průmět vektoru (1, 2) na vektor (3, —4). (1,2) -(3, -4) (3, -4) • (3, -4){i' *> Průmět je pětinou vektoru (—3,4). « ■ < ■ > ■ >> ■ ©Lenka Přibylová, 2010 Najděte kolmý průmět vektoru (3,1,1) na vektor (2,2,5). ©Lenka Přibylová, 2010 Najděte kolmý průmět vektoru (3,1,1) na vektor (2, 2, 5) c^;3-i-i;-;2-2-5!(2,2~ (2,2,5)-(2, 2, 5)V ; Pro průmět c vektoru b na vektor a platí cl - b c = ——-cl a • a ©Lenka Přibylová, 2010 Najděte kolmý průmět vektoru (3,1,1) na vektor (2,2,5). (3,1,1). (2,2, 5) (2,2,5)-(2,2,5)V ' 13 = ^(2,2,5). Skalární součin je definovat takto: (3,1,1) • (2,2,5) = 3 • 2 + 1 • 2 + 1 • 5 = 13. (2,2,5) • (2,2,5) = 2 • 2 + 2 • 2 + 5 • 5 = 33. v. ©Lenka Přibylová, 2010 Konec