Metoda per partes
Robert Mařík a Lenka Přibylová 28. července 2006
©Lenka Přibylová, 2006 Q
Obsah
Metoda per partes 4
J (x + 1) lnxdx............................. 4
J xsinxdx................................ 12
J(x~2) sin(2x) dx........................... 18
J xarctgxdx .............................. 25
j hxxáx................................. 31
Vícenásobná per partes 37
j (x1 + 1) sinxdx............................ 37
y (x2 + l)e"xdx............................. 47
J ln2 x dx................................. 55
esi   q   13   133 ©Lenka Přibylová, 2006 Q
x3 sin xdx............................... 64
(x3 +2x)e~x dx............................ 68
Řešení pomocí rovnice 72
ex cos xdx............................... 72
©Lenka Přibylová, 2006 Q
Metoda per partes
bei q q rag
©Lenka Přibylová, 2006 Q
Vypočtěte J (x + 1) - In x dxj
(x + 1) lnxdx =
u = ln x ur
v' = x + 1
v =
Integrujeme per partes pomocí vzorce
u • vf dx = u • v — / u' - v dx
kde u = ln x a z/ = x + 1.
v_
EBH El   q 133
©Lenka Přibylová, 20061
Vypočtěte J (x + 1) - In x dxj
(x + 1) lnxdx =
u = ln x
u' = -
x
X'
v' = x + 1     v = — + x
Integrujeme per partes pomocí vzorce
u • v' dx = u • v — / u' - v dx
kde u = ln x a v' = x + 1.
v_
EBH El   q 133
©Lenka Přibylová, 20061
Vypočtěte J (x + 1) - In x dxj
(x + 1) lnxdx =
u = ln x
1
u = -
ix
X'
v' = x + 1     v - — + x
— ln x
+ X    - -
\ í T
x \ 2
+ x i dx
Integrujeme per partes pomocí vzorce
u • v' dx = u • v — / u' - v dx
kde u = ln x a z/ = x + 1.
v_
EBH El   q 133
©Lenka Přibylová, 20061
Vypočtěte J (x + 1) - In x dxj
(x + 1) lnxdx =
u = ln x
1
u = -
x
X'
v' = x + 1     v = — + x
— ln x
+ X    - -
\ í T
x \ 2
+ x i dx
X'
+ x i ln x —
-x + 1} dx
j Roznásobíme závorku.
eBB     q rag
Vypočtěte J (x + 1) - ln x dxj
(x + 1) lnxdx =
u = ln x
1
u = -
x
X'
v' = x + 1     v = — + x
— ln x
+ X    - -
x \ 2
+ x ) dx
+ x ) ln x —
-x + 1} dx
X'
+ x  ln x — -
1 X'
2 2
+ x) + c
Dokončíme integraci.
©Lenka Přibylová, 2006
Vypočtěte J (x + 1) - ln x dxj
(x + 1) lnxdx =
u = ln x
vf = x + 1
= ln x
X'
X'
1
u = -
x
X'
v = — + x
+ x   - -
X'
x \ 2
+ x ) dx
+ x ) ln x —
-x + 1} dx
+ x  ln x — -
1 r
2 2
+ x) + c
X'
+ x ) ln x — -x — x + c
©Lenka Přibylová, 2006 Q
©Lenka Přibylová, 2006 Q
x • sin x dx
u	= X	u' =
v'	= sinx	v —
Integrujeme per partes pomocí vzorce
u - v1 dx = u • v — I u' - v dx
kde a — x a v' — sin x.
v_^__
ESI   El   q (F) Lenka Přibylová, ZUUb
x • sin x dx
u	= X	u' = 1
v'	= sinx	17 = — COS X
Integrujeme per partes pomocí vzorce
u - v1 dx = u - v — I u' - v dx
kde a — x a v' — sin x.
v_^__
EEI   El   q (F) Lenka Přibylová, ZUUb
x • sin x dx
u	= X	u' = 1
v'	= sinx	z? = — cos X
= —x cos x — j 1 • (— cos x) dx
Integrujeme per partes pomocí vzorce
u - v1 dx = u - v — I u' - v dx
kde a — x a v' — sin x.
v_^__
ESI   El   q (F) Lenka Přibylová, ZUUb
x • sin x dx
u	= x	u' = 1
v'	= sin x	17 = — COS X
= —x cos x — j 1 • (— cos x) dx
= — x cos x + / cosxdx
Upravíme.
©Lenka Přibylová, 2006
x • sin x dx
u	= x	u' = 1
v'	= sin x	17 = — COS X
= —x cos x — j 1 • (— cos x) dx
= — x cos x + J cosxdx = —x cos x + sin x + c
Integruje druhou část: J cos x dx = sin x
sol   d ia
138 ©Lenka Přibylová, 2006
Yypoč^
Funkce je součinem polynomu a sinu —> per partes.
Yypocfö
(x — 2)sin(2x) dx =
u = x — 2       u' =
v' = sin(2x)     v =
Integrujeme per partes pomocí vzorce
u - v' dx = u - v — / u' - v dx
kde u — x — 2a z/= sin(2x)
bei   El   131 138
©Lenka Přibylová, 20061
Yypoč^
(x — 2)sin(2x) dx =
u — x — 2       u' = 1
v' = sin(2x)     v = —-cos2x
/flätí
z? = j v' {x) dx = y4 sin(2x) dx = — ^ cos(2x),
protože
sin x dx = — cos x
a
/Yax + b) = -F(ax + b).
a
EBi ej q igg
©Lenka Přibylová, 20061
Yypočtě^
(x — 2)sin(2x) dx =
u - x — 2       u' = 1
v' = sin(2x)
v -   — - cos 2x 2
(x -2) • ( --cos(2x)
- / 1-
— - cos 2x I dx
u • vf dx = u • v — / w' • v dx
2EJ   q   q 18!^^^^^^^7rST,pnka Přibylová. 2006
Yypočtě^
(x — 2)sin(2x) dx =
u = x — 2
v1 = sin(2x)
u! = 1
v = — -cos 2x 2
(x — 2) • ^— ^ cos(2x)^ — y 1 • ^— ^ cos2x^ dx
1 lr
— - (x — 2) cos(2x) + 2 / cos ^x
©Lenka Přibylová, 2006
Yypočtě^
(x — 2)sin(2x) dx =
u = x — 2
v1 = sin(2x)
u! = 1
v = — -cos 2x 2
(x - 2) • ^-^ cos(2x)^j - J 1 • ^-i cos2x^j
1 1 r
— - (x — 2) cos(2x) + 2 / cos ^x
1 11
— - (x — 2) cos(2x) + 2*2 s^n(^x) + c
dx
Platí J cos(2x) dx = ^ sin(2x), protože
3BI    BI IS
cos xdx = sin x
a
//(ax + b) = -F(ax + b).
J (X
©Lenka Přibylová, 20061
Yypoč^
(x — 2)sin(2x) dx =
u = x — 2
v1 = sin(2x)
u! = 1
v = — -cos 2x 2
(x - 2) • ^-^ cos(2x)^j - J 1 • ^-i cos2x^j
1 1 r
— - (x — 2) cos(2x) + 2 / cos ^x
1 11
— - (x — 2) cos(2x) + 2*2 s^n(^x) + c
1 1
— - (x — 2) cos(2x) + - sin(2x) + c
dx
Upravíme.
EEI  El 13 133
©Lenka Přibylová, 2006
Vypočtěte J xarctgxdx.
EEI   EJ   q 133
©Lenka Přibylová, 2006 Q
Vypočtěte J xarctgxdx.
x arctg x dx
[ Jedná se o součin polynomu a funkce arkustangens. |
Vypočtěte J xarctgxdx. j
x arctg x dx
u = arctg x    u' = — & 1
+ x-
X'
v — x
v —
Budeme integrovat metodou per partes. Budeme integrovat polynom a derivovat arkus tangens.
EBJ   El   Q   jgg (c)Lenka Přibylová, 2006
Vypočtěte J x arctg xdx.
u - arctg x    u -
1 + x:
x arctg x dx
v — x
v —
xz 1 r xL
= — arctg x - ---~
2      6      2 J 1 + x2
dx
uvf dx = uv — J u!v dx
g|   q ©Lenka Přibylová, 2006
Vypočtěte J x arctg x dx. j
x arctg x dx
u = arctg x    u —
v — x
1 + x:
X'
v =
XZ 1   ľ XL
= — arctg x - ---~
2      6      2 y 1 + x2
dx
x               1 ľ,        1 j = — arctg x — - / 1 —--ô dx
2      6      2 J       1 + x2
Racionální funkci, která není ryze lomená, dělíme:
(x2 + l) -1     x2 + l
X2 + 1
x2 + l
X2 + 1      X2 + 1
= 1 -
x2 + l
bbi Ei la laa
©Lenka Přibylová, 20061
Vypočtěte J x arctg xdx.j
x arctg x dx
u = arctg x    u —
1 + x:
V  — X
V —
xz 1 r xL
= — arctg x - ---~
2      6      2J1 + X2
dx
x2 1 r \ A
= — arctg x — - / 1 —--~ dx
2      6      2 7       1 + x2
x2 1 / \
= — arctgx — - yx — arctgxj + c.
K dokončení zbývá integrovat jedničku a jeden parciální zlomek. To provedeme pomocí příslušných vzorců.
El   13   133 © Lenka Přibylová, 20061
Vypočtěte
©Lenka Přibylová, 2006 Q
Funkci je součinem polynomu a logaritmické funkce:
1 • ln x dx.
Integrujeme per partes při volbě u = ln x a vf = 1.
EEJ   Q   Q   JSa^*^*^*^*^*^*^*^*^*^*^*^*^*^*^*^*^*^*^*^*^*^*^^^™ (rU,pnka Přibylová. 20061
u - v' dx = u - v — / u' - v dx
Užijeme vztah — x = 1.
x
u = In x    u' = -
1 • In x dx
x
= x ln x — / 1 dx
z/ = l
17 = x
= xlnx — x + c
1 • ln x dx
u = ln x    uf = -
vf = l
x
17 = X
= x ln x — / 1 dx
x ln x — x + c x(lnx — 1) + c
| Hotovo.
EBl   EJ   Q 133
©Lenka Přibylová, 2006
Vícenásobná per partes
bei q q rag
©Lenka Přibylová, 2006 Q
Vypočtěte J (x2 + 1) sinxdx
ebi ej q igg
©Lenka Přibylová, 2006 Q
Vypočtěte J (x2 + 1) sinxdxj
(x2 + 1) • sinxdx
2  i  -i /
U = X + 1     u =
vf = sin x
v =
Funkce je součinem polynomu a funkce sinus. Budeme integrovat per partes podle vzorce
u - v1 dx = u - v — / u' - v dx
při volbě u = (x2 + 1) a v1 = sinx.
©Lenka Přibylová, 20061
Vypočtěte J (x2 + 1) sinxdx
(x2 + 1) • sinxdx
u = x2 + 1    t/7 = 2x
vf = sin x
z? = — cos x
(x2 + l)' = 2x sin x dx = — cos x
v_
©Lenka Přibylová, 20061
(x2 + 1) • sinxdx
u — x2 +1    u1 = 2x
vf = sin x
z? = — cos x
= — (x2 + 1) cos x + 2 J x - cos x dx
u • vf dx = u • v — j u' - v dx Konstantní násobek 2 a znaménko minus dáme před integrál.
EH   Q   Jä~TBa^BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB^^^^^^^^^cll,er)ka Přibylová. 20061
Vypočtěte J (x2 + 1) sinxdxj
(x2 + 1) • sinxdx
u = x2 + 1    u1 = 2x
vf = sin x
v — — cos x
= — (x2 + 1) cos x + 2 J x - cos x dx
1/	= x	l/ =
z/	= cos x	17 =
| Ještě jednou integrujeme per partes. Nyní u — x a v' — cos x.
©Lenka Přibylová, 20061
Vypočtěte J (x2 + 1) sinxdxj
(x2 + 1) • sinxdx
u	= x2 + l	u' = 2x	
v'	= sin x	v — — COS x	
	-(x2 + l)cosx + 2 J		x • c
u	= x	u' = 1	
v1	= cos x	v = sin x	
(c) Lenka ťnbylova, 20061
Vypočtěte J (x2 + 1) sinxdxj
(x2 + 1) • sinxdx
u	= x2 + l	u' = 2x	
v'	= sin x	v — — cos x	
	-(x2 + l)cosx + 2 J		x • c
u	= x	u' = 1	
v1	= cos x	z; = sin x	
= — (x2 + 1) cos x + 2 ^x sin x — J sin x dx
t/ • z/ dx = u - v — / u' - v dx
©Lenka Přibylová, 20061
Vypočtěte J (x2 + 1) sinxdxj
(x2 + 1) • sinxdx
u	= x2 + l	u' = 2x	
v'	= sin x	v — — cos x	
	-(x2 + l)cosx + 2 J		x • c
u	= x	u' = 1	
v1	= cos x	z? = sin x	
= — (x2 + 1) cos x + 2 ^x sin x — J sin x dx = — (x2 + 1) cos x + 2 ^x sin x — (— cosx)^ + c
Integrujeme sinus: J sin x dx = — cos x
©Lenka Přibylová, 20061
Vypočtěte J (x2+ 1) sinxdx
(x2 + 1) • sinxdx
u	= x2 + l	u' = 2x	
v'	= sin x	v — — cos x	
	-(x2 + l)cosx + 2 J		x • c
u	= x	u' = 1	
v1	= cos x	z? = sin x	
= — (x2 + 1) cos x + 2 ^x sin x — J sin x dx
= — (x2 + 1) cos x + 2 ^x sin x — (— cosx)^ + c = (1 — x2) cos x + 2xsinx + c_
Upravíme.
©Lenka Přibylová, 2006
Vypočtěte J(x2 + l)e x dx.
©Lenka Přibylová, 2006 Q
Vypočtěte J(x2 + l)e x dx.
J (x2 + l)-e~x dx
[ Integruje
ruje součin polynomu a exponenciální funkce.
©Lenka Přibylová, 2006
Vypočtěte J(x2 + l)e x dx.
(x2 + l)-e~x dx
u = x2 + 1    u! = 2x
vf = e x
v = — e
—x
Integrujeme per partes.
Polynom budeme derivovat a exponencielu integrovat.
Nezapomeňme, že Je x dx = —e
■X
bei ei ia laa
©Lenka Přibylová, 2ÜÜ6
Vypočtěte J(x2 + l)e x dx.
(x2 + l)-e~x dx
u - x2 + 1    u! = 2x
vf = e x
v — — e
—x
= - (x2 + l)e~x + 2 J xe~x dx
Vzorec je
u • v
1dx =
u - v —
u' - v dx
Vypočtěte J(x2 + l)e x dx.
(x2 + l)-e~x dx
u = x2 + 1    u! = 2x
vf = e x
v = — e
—x
(x2 + l)e~x + 2 J xe~x dx
u	= X	u' = 1
v'	_ e-x	— T u = —c
• Opět polynom krát exponenciální funkce.
• Opět integrujeme per partes. Opět derivujeme polynom.
(c) Lenka Přibylová, 20061
Vypočtěte J(x2 + l)e x dx.
(x2 + l)-e~x dx
u = x2 + 1    u! = 2x
vf = e x
v = — e
—x
(x2 + l)e~x + lj xe~x dx
u	= X	u' = 1
v'	_ e-x	— T z? — — e
(x2 + l)e~x + 2^-xe~x + j e~x dx^j
Vzorec pro červenou část je J uvr dx = uv — j urv dx, zbytek zůstane.
bej   Q   Q   JŠ^^MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM^~rc^)T,erika Přibylova. zwwhfa
Vypočtěte J(x2 + l)e x dx.
(x2 + l)-e~x dx
u = x2 + 1    u! = 2x
vf = e x
v = — e
—x
(x2 + l)e~x + 2 J xe~x dx
u	= X	u' = 1
v'	_ e-x	— T u = —c
= - (x2 + l)e~x + 2^-xe~x + J e~x dx^j
= -(x2 +        + 2(-xč~x - e~x) +c
3BI    BI IS
e J dx = —e x
©Lenka Přibylová, 2006
Vypočtěte J(x2 + l)e x dx.
(x2 + l)-e~x dx
u = x2 + 1    u! = 2x
vf = e x
v = — e
—x
(x2 + l)e~x + 2 J xe~x dx
u	= X	u' = 1
v'	_ e-x	— T u = —c
= - (x2 + l)e~x + 2^-xe~x + J e~x dx^j
= -(V +        + 2(-xč~x - e~x) + c = -e~x(x2 + 2x + 3) + c,
| Vytkneme (—e x)
©Lenka Přibylová, 2006
Vypočtěte
EEi ej q igg
©Lenka Přibylová, 2006 Q
Vypočtěte J ln2xdx|
	u = ln2 x	uf =
/ 1 • ln2 x dx		
	v' = l	v =
r
• Je zde součin polynomu a druhé mocniny logaritmu.
• Upravíme funkci ln2x na součin (1) • (ln2x) a integrujeme per partes při volbě u — ln2 x a v1 — 1
©Lenka Přibylová, 200č
1 • In x dx
u = In x    u' =
2 In x
x
z/ = l
17 = x
(ln x)r = 21nx(lnxV = 21nx-
x
1 dx = x
1 • In x dx
u — In2 x    u' -
2 In x
x
= x ln2 x — 2 J ln x dx
v' = l
v = x
t/ • v' dx = t/ • v — I u' - v dx
1 • ln x dx
u = ln2 x    u' =
z/ = l
21nx
= x ln2 x — 2 J ln x dx
v = x
u = lnx    uf =
z/ = l
17 =
Tento trik již známe: Napíšeme funkci ln x jako součin (1) • ln x a integrujeme per partes při volbě u = ln x a z/ = 1.
©Lenka Přibylová, 20061
1 • In x dx
u = In2 x    u' =
2 In x
= x In2 x — 2 y ln x dx
z/ = l
v = x
u = \nx    iL = -
x
z/ = l
17 = x
(ln*)' = -
x
1 dx = x
1 • In x dx
u = In2 x    u' =
2 In x
= x In2 x — 2 y ln x dx
z/ = l
v = x
u — \rvx    iĽ = -
z/ = l
x
z? = x
= x ln2 x — 2 ^x ln x — y 1 dx
t/ • z/ dx = t/ • z? — / t/7 • v dx
1 • ln x dx
u = ln x    u' =
21nx
x
= x ln2 x — 2 y ln x dx
z/ = l
u = lnx
z/ = l
17 = x
x
17 = x
= x ln2 x — 2 ^x ln x — y 1 dx = x ln2 x — 2 ^x ln x — x^ + c
Dopočítáme integrál z jedničky.
EEI   Q   Q 133
©Lenka Přibylová, 2006
1 • ln x dx
u = ln x    u' =
21nx
x
= x ln2 x — 2 y ln x dx
z/ = l
u = lnx
z/ = l
z; = x
x
z; = x
= x ln2 x — 2 ^x ln x — y 1 dx
= x ln2 x — 2 ^x ln x — x^ + c = x ln2 x — 2x ln x + 2x + c
Upravíme. Hotovo.
EEI  El 13 133
©Lenka Přibylová, 2006
Najděte J x3 sinxdx. j
EEi ej q igg
©Lenka Přibylová, 2006 Q
derivace_derivace_dprivarp_derivace
U = Xú
3r
6x
O
x3 sin xdx =
integrace integrace integrace integrace
v' = sin x        — cos x      ^ — sin x'     ^ cos x      ^ sin x
• Třikrát integrujeme per partes, ale všechno zapíšeme do jednoho schématu.
v
• Žlutá šipka reprezentuje derivování. Derivujeme až na nulu.
• Červená šipka reprezentuje integrování.
bbi bi ia ras
1ST ©Lenka Přibylová, 20061
x3 sin x dx =	U = xú	3x	6x 6	0
	v' = sin x	— cos x	— sin x        cos x	sin x
= —x3 cosx—(—3x2 sin x)+6x cosx—6 sin x + c
Násobíme ve směru šipek. Součinům ve směru žlutých šipek znaménko ponecháme, součinům ve směru červených šipek znaménko změníme a všechny součiny sečteme.
©Lenka Přibylová, 20061
Najděte j x3 sinxdx.j
x3 sin x dx =
U = Xú	3x2	6x	6	0
v' = sin x	— cos x	— sin x	cos x	sin x
—x3 cos x—(—3x2 sinx)+6x cos x—6 sin x + c (—x3 + 6x) cos(x) + (3x2 — 6) sin x + c
Upravíme.
©Lenka Přibylová, 2006
esi   ej   13 133
©Lenka Přibylová, 2006 Q
(x3 + 2x)e xdx
derivace
derivace_derivace_derivace
U = X3 + 2x
3x2 + 2
6x
O
v' = e x
integrace ---
integrace    integrace integrace
—e
■x
e x
e x
r
Třikrát integrujeme per partes, ale všechno zapíšeme do jednoho schématu.
v
Žlutá šipka reprezentuje derivování. Derivujeme až na nulu. Červená šipka reprezentuje integrování.
bh h ia iaa
©Lenka Přibylová, 20061
(x3 + 2x)e xdx
= -(x3 + 2x)e~x-(3x2 + 2)e~x+(-6xe~x)-6e~x + c
Násobíme ve směru šipek. Součinům ve směru žlutých šipek znaménko ponecháme, součinům ve směru červených šipek znaménko změníme a všechny součiny sečteme.
©Lenka Přibylová, 20061
J (x3 + 2x)e~x dx
u = x3 + 2x	3x2 + 2	6x	6	0
v' = e~x	—e~x		—e~x	e-x
= -(x3 + 2x)e~x-(3x2 + 2)e~x+(-6xe~x)-6e~x + c = -e~x(x3 + 2x + 3x2+ 2 + 6x + 6) +c = -e~x(x3 + 3x2 + 8x + 8) + c
[ Upravíme._
EEI   ej   Q   OS ©Lenka Přibylová, 2006
Řešení pomocí rovnice
©Lenka Přibylová, 2006 Q
Vypočtěte
©Lenka Přibylová, 2006 Q
čx-cosxdx
[ Integrujeme součin exponenciální a goniometrické funkce. |
EBJ   El   13   I8l^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^-'il onk.i 1'íiln lov.-), ií>(>(■>fa
čx-cosxdx
u	_ ex	ur = ex
v1	= COS X	v = sin x
551    Lil 19
Integrujeme per partes. Je jedno, jak zvolíme u a z/, i m ^^^^^^^^^^^^^
©Lenka Přibylová, 20061
čx-cosxdx
u	_ ex	ur = ex
v1	= COS X	v — sin x
= ex sin x — I ex sin x dx
X
Vzorec je
u - v' dx = u - v — / u' - v dx
3BI    El 19
©Lenka Přibylová, 2006
čx-cosxdx
u	_ ex	ur = ex
v1	= COS X	v = sin x
= čx sin x — I ex sin x dx
1/		u' = čx
v'	= sinx	u = — COS X
Opět součin exponenciální a goniometrické funkce.
Integrujeme per partes, nyní musíme zachovat stejnou volbu u a v'.
bbI ei la iaa
©Lenka Přibylová, 20061
čx-cosxdx
u	_ ex	ur = ex
v1	= COS X	v = sin x
= ex sin x — I ex sin x dx
1/		u' = čx
v'	= sinx	z? = — cos X
= čx sin x — í —ex cos x — / —ex cos x dx
*0C
X
Vzorec pro červenou část je J uvr dx = uv — j urv dx, zbytek zůstane.
bej   Q   Q   Jg^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^~rc^)T,enka Přibylova. zwwť>fa
ex cos x dx = ex sin x + ex cos x —    ex cos x dx
Po dvou per partes jsme se dostali zpátky k integrálu, který chceme spočítat.
El   13   133 ícT)Lenka Přibylová. 2flfl6
ex cos x dx = ex sin x + ex cos x —    ex cos x dx
2 I ex cos x dx = ex sin x + ex cos x + c
Řešíme jako rovnici s neznámým integrálem, proto jej převedeme na levou stranu. Připíšeme integrační konstantu.
EBJ   Q   m^S^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^mTc') I ,enka Přibylová. 20061
ex cos x dx = ex sin x + ex cos x —    ex cos x dx
2 I ex cos xdx = ex sin x + ex cos x + c
Z4 čx
/ ex cos x dx = — (sin x + cos x) + c
Dělíme dvěma a dostáváme výsledek.
esi   ej   Q   q3j ©Lenka Přibylová, 2006
Konec
eei ej q igg
©Lenka Přibylová, 2006 Q