Matematika I. a II. Robert Mařík a Lenka Přibylová 23. května 2011 ©Lenka Přibylová, 2011 Q Obsah Základy matematické logiky 9 Základní množinové pojmy 13 Množina reálných čísel a její podmnožiny 16 Funkce 18 Složená funkce 20 Vlastnosti funkcí 22 Inverzní funkce 37 Komplexní čísla 42 Polynomy 56 BBI Q Q ©Lenka Přibylová, 2011Q Celočíselné kořeny 59 Racionální lomená funkce 82 Číselné vektory 84 Lineární kombinace vektorů 101 Lineární závislost a nezávislost vektorů. 102 Matice 104 Operace s maticemi 108 Hodnost matice 127 Inverzní matice 132 Determinant matice 139 BBI Q Q ©Lenka Přibylová, 2011Q Soustavy lineárních rovnic 154 Gaussova eliminační metoda 159 Cramerovo pravidlo 160 Analytická geometrie v rovině 161 Kuželosečky 168 Analytická geometrie v prostoru 174 Významné plochy v prostoru 183 Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 185 Limita funkce 187 Jednostranná limita 190 BBI Q Q OS ©Lenka Přibylová, 2011Q Nevlastní body 194 Nevlastní limita 196 Limita v nevlastním bodě 199 Spojitost funkce 200 Pravidla pro počítání s limitami 202 Výpočet limity funkce 206 Derivace funkce 208 Vzorce a pravidla pro derivování 214 Diferenciál funkce 217 Derivace vyšších řádů 219 EBI Q Q ©Lenka Přibylová, 2011Q Užití derivací k výpočtu limit 221 Monotónnost funkce. Lokální extrémy. 223 Konvexnost a konkávnost. Inflexní body. 226 Asymptoty funkce 229 Průběh funkce 231 Taylorův polynom 232 Integrální počet funkcí jedné proměnné 235 Základní vzorce a pravidla 237 Metoda per partes 240 Substituční metoda 242 □ □ 199 ©Lenka Přibylová, 2011Q Integrace racionálních lomených funkcí 245 Integrace goniometrických funkcí. 249 Integrace iracionálních funkcí. 250 Integrace složené exponenciální funkce 252 Určitý integrál 253 Newtonova-Leibnizova formule 257 Vlastnosti určitého integrálu 258 Výpočet určitého integrálu 259 Geometrické aplikace určitého integrálu 260 Nevlastní integrál 263 BBI Q Q OS ©Lenka Přibylová, 2011Q Diferenciální počet funkcí dvou proměnných 266 Parciální derivace 272 Diferenciál a tečná rovina plochy 274 Lokální extrémy funkcí dvou proměnných 276 Absolutní extrémy 280 Integrální počet funkcí dvou proměnných 282 ©Lenka Přibylová, 2011 Q Základy matematické logiky Definice: Výrok je sdělení o jehož pravdivosti můžeme rozhodnout. Pravdivostní hodnotou výroku V je číslo p (V) = 1, pokud je výrok V pravdivý a p (V) = 0, pokud je výrok V nepravdivý Logické spojky umožňují z jednotlivých výroků tvořit složitější. negace -i A není pravda, že A konjunkce A A B A a zároveň B disjunkce A v B A nebo B implikace A ^ B jestliže A, pak B ekvivalence A 44> B A právě když B ©Lenka Přibylová, 2011 Q Tabulka pravdivostních hodnot základních výroků: p(A) p(B) p(^A) p(AAB) p(AVB) 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 p(A) p(B) p(A B) p(A ^ B) 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 ©Lenka Přibylová, 2011 Q Definice: Tautologie je složený výrok, který má vždy pravdivostní hodnotu 1 bez ohledu na to, jaké jsou pravdivostní hodnoty výroků, z nichž je utvořen. Veta: Následující výroky jsou tautologie: A v -iA, A 45 A, -i(A v B) 45 (->A a -iß), -i(A =5 B) 45 (A a -iß), A 45 A, (A =>• ->A) =5 - -i(A a B) 45 (->A v -iß) (A 45 B) 45 (->A 45 -.B) .A ©Lenka Přibylová, 2011 Q Sdělení "celé číslo x je větší než ľ'není výrok, protože nelze rozhodnout o jeho pravdivosti či nepravdivosti. Teprve když za x dosadíme nějakou přípustnou konstantu, dostaneme výrok. Takovéto sdělení se nazývá výroková forma. Je-li V{x) výroková forma, pak její definiční obor je množina těch oc takových, že V{oc) je výrok. Obor pravdivosti výrokové formy V{x) je množina těch oc z definičního oboru, že V{oc) je pravdivý výrok. Z výrokové formy můžeme vytvořit výrok dosazením konstanty z definičního oboru nebo tzv. kvantifikací proměnných. Kvantifikovaný výrok vytvoříme z výrokové formy tak, že udáme počet objektů, pro něž z výrokové formy utvoříme výrok pomocí kvantifikátoru "každý"(V), "alespoň jeden"(3), "nejvýše dva", "právě tři"atd. =4> Příklady z logiky <= ©Lenka Přibylová, 2011 Q Základní množinové pojmy Množina je soubor nějakých věcí nebo objektů, které nazývme prvky množiny. Přitom o každém objektu lze jednoznačně rozhodnout, zda do dané množiny patří. Množiny značíme zpravidla velkými písmeny A, B,C,..., jejich prvky malými písmeny a,b,c,x,____Příslušnost, resp. nepříslušnost, prvku x do množiny A značíme x G A, resp., x i A Množiny můžeme popsat např. výčtem prvků A = {1,4,7} nebo zadáním pravidla, které určí, zda daný prvek do množiny patří nebo ne A = {x : x je sudé a 0 < x < 7} = {0,2,4,6} ©Lenka Přibylová, 2011 Q Definice: Sjednocením množin A a. B nazýváme množinu AU B = {x : x e AV x e B}, průnikem množin A a B nazýváme množinu A n B = {x : x e A A x e B}, rozdílem množin A a B nazýváme množinu A - B = {x : x e A A x £ B}. Prázdná množina je množina, která neobsahuje žádný prvek. Značíme ji 0. Množina, která obsahuje konečný počet prvků se nazývá konečná. Množina, která obsahuje nekonečný počet prvků se nazývá nekonečná. ©Lenka Přibylová, 2011 Q Základní číselné množiny mají pevně dohodnutá označení: ŕ- Definice: N = {1,2,3,...}... množina přirozených čísel Z = {..., —3, —2, — 1,0,1,2,3,...}... množina celých čísel Q=< — : m G Z, n G N > ... množina racionálních čísel l n J R = (—oo, oo)... množina reálných čísel I = R — Q ... množina iracionálních čísel C = {a + ib : a, b G R} ... množina komplexních čísel ©Lenka Přibylová, 2011 Q Množina reálných čísel a její podmnožiny Definice: Podmnožinou B množiny A rozumíme libovolnou množinu, jejíž všechny prvky jsou obsaženy v množině A. Tuto vlastnost množiny B zapisujeme takto: B C A Množinu R zobrazujeme jako přímku. Typickými podmnožinami množiny R jsou intervaly. ©Lenka Přibylová, 2011 Q Otevřený interval (a, b) označujeme kulatými závorkami a na přímce úsečkou s prázdnými krajními body. 9-? a < x < b i i -1-1- a b uzavřený interval (a, b) označujeme hranatými závorkami a na přímce úsečkou s plnými krajními body. Ť-1 a y. Množina D = D(/) se nazývá definiční obor funkce /. Množina všech y G H, pro která existuje x G D s vlastností f (x) = y se nazývá obor hodnot funkce / a označujeme jej H (f). Pokud jsou D (f) a H(/) podmnožiny R, mluvíme o reálné funkci jedné reálné proměnné. Operace s funkcemi: Funkce lze sčítat, odčítat, násobit a dělit. Platí komutativní, asociativní ©Lenka Přibylová, 2011 Q a distributivní zákon. (f±g)(x)=f(x)±g(x) if-g)(x)=f(x)-g(x) Definiční obor nové funkce je průnikem definičních oborů původních funkcíD(/)nD(g). Definiční obor nové funkce je průnikem definičních oborů původních funkcí mimo bodů, kde je jmenovatel nulový: D(f)nD(g)-{x:g(x)=0}. Další operací je skládání f uncí. ©Lenka Přibylová, 2011 Q Složená funkce Definice: Nechť u = g{x) je funkce s definičním oborem D(g) a oborem hodnot H(g). Nechť y = f(u) je funkce s definičním oborem D(/) D H(g). Složenou funkcí (f ° g)(x) = f(g(x)) rozumíme přiřazení, které Vx G D(g) přiřazuje y = f(u) = f(g(x)). Funkci g nazýváme vnitřní složkou a funkci / vnější složkou složené funkce. f°g ©Lenka Přibylová, 2011 Q Definice: Grafem funkce rozumíme množinu všech uspořádaných dvojic [x, / (*)]/ x označujeme jako nezávislou proměnnou a y jako závislou proměnnou. ©Lenka Přibylová, 2011 Q Vlastnosti funkcí v. Definice: Nechť/ je funkce a M C D (f) podmnožina definičního oboru funkce /. v 1. Řekneme, že funkce / je na množině M zdola ohraničená, jestliže 3 d G R takové, že pro M x G M platí d < f (x). 2. Řekneme, že funkce / je na množině M shora ohraničená, jestliže 3 h G R takové, že pro M x G M platí /(x) < /z. 3. Řekneme, že funkce / je na množině M ohraničená, je-li na M ohraničená zdola i shora. Nespecifikujeme-li množinu M, máme na mysli, že uvedená vlastnost platí na celém definičním oboru funkce /. 5BI Cl 19 ias ©Lenka Přibylová, 2011 Graf zdola ohraničené funkce leží nad nějakou vodorovnou přímkou: y y = /(*) o x d 5BI Cl 19 ias ©Lenka Přibylová, 2011 Graf shora ohraničené funkce leží pod nějakou vodorovnou přímkou: y h o x y = /(*) 5BI Cl 19 ias ©Lenka Přibylová, 2011 Graf ohraničené funkce leží mezi nějakými dvěma vodorovnými přímkami: ©Lenka Přibylová, 2011 Q Definice: 1. Řekneme, že funkce / je sudá, pokud pro Vx G D (f) platí, že -xeD(f) a f(-x)=f(x). v 2. Řekneme, že funkce / je lichá, pokud pro Vx G D(/) platí, ze -xgD(/) a /(-*) = -/(*)■ ©Lenka Přibylová, 2011 Q Graf sudé funkce je symetrický podle osy y: 5BI Cl 19 ias ©Lenka Přibylová, 2011 Graf liché funkce je symetrický podle počátku: y = /O) 5BI Cl 19 ias ©Lenka Přibylová, 2011 v Definice: Nechť p e R, p > 0. Řekneme, že funkce / je periodická s periodou p, pokud pro Vx e D (/) platí x + peD(/) a f(x)=f(x + p). y y = /O) sol ci ia ias ©Lenka Přibylová, 2011 r Definice: Nechť/je funkce a M C D(/) podmnožina definičního oboru funkce /. v 1. Řekneme, že funkce / je na množině M rostoucí, pokud pro Vxi,X2 G M splňující Ji < X2 platí/(xi) < f(x2). v 2. Řekneme, že funkce / je na množině M klesající, pokud pro Vx\,X2 G M splňující Ji < X2 platí/(xi) > f(x2). 3. Funkci / nazýváme ryze monotónní na množině M , je-li bud7 rostoucí nebo klesající. ©Lenka Přibylová, 2011 Q Graf rostoucí funkce: BEI Q Q VSS ©Lenka Přibylová, 2011 Q Graf klesající funkce: BEI Q Q VSS ©Lenka Přibylová, 2011 Q r Definice: Nechť/je funkce a M C D(/) podmnožina definičního oboru funkce /. v 1. Řekneme, že funkce / je na množině M neklesající, pokud pro Vx\,X2 G M splňující x\ < x^_ platí/(xi) < f{x^). 2. Řekneme, že funkce / je na množině M nerostoucí, pokud pro Vx\,X2 G M splňující Xi < x^ platí/(xi) > ffo). 3. Funkci / nazýváme monotónní na množině M , je-li bud7 nerostoucí nebo neklesající. V. ©Lenka Přibylová, 2011 Q Graf neklesající funkce: BEI Q Q VSS ©Lenka Přibylová, 2011 Q Graf nerostoucí funkce: Následující on-line kviz obsahuje také otázky na vlastnosti funkcí, které budou teprve probrány, lze se k němu tedy později vrátit. Interaktivní kvizy na vlastnosti funkcí. ©Lenka Přibylová, 2011 Definice: Nechť/je funkce a M C D(/) podmnožina definičního oboru funkce /. Řekneme, že funkce / je na množině M prostá, pokud pro Vxi, G M splňující Ji 7^ X2 platí /(xi) 7^ fixi)- Graf prosté funkce protínají všechny vodorovné přímky nejvýše jednou: ©Lenka Přibylová, 2011 Q Inverzní funkce Definice: Nechť / je prostá funkce. Funkci která každému y G H (f) přiřazuje právě to x G D (f), pro které platí y = f (x), nazýváme inverzní funkcí k funkci /. ©Lenka Přibylová, 2011 Q 1. V* e D(/), Vy e H(f) platí/-1(/(x))= ia/(f1(í/))= y. 2. Grafy funkcí / a /_1 jsou symetrické podle osy prvního kvadrantu: ©Lenka Přibylová, 2011 Q =4> Elementární funkce <= =4> Interaktivní kvizy na grafy funkcí v posunutém tvaru. <= Poznámka 1 (výpočet inverzní funkce). Inverzní funkci k funkci y = f (x) určíme takto: zaměníme formálně v zadání funkce proměnné x a y, máme tedy x = f(y). Z této rovnice vyjádříme proměnnou y (pokud to lze). Protože je funkce / prostá, je toto vyjádření jednoznačné. =4> Příklad na nalezení inverzní funkce <= ©Lenka Přibylová, 2011 Q U základních elementárních funkcí je inverzní funkce jiná základní elementární funkce: Vzájemě inverzní elementární funkce: y = \fx y = x , x > 0 y = x3 y = ex y = ln x y = ax,a > 0,a ^ 1 y = log, * y = sin x, x G ( — 71/2, tí/2) y = arcsinx y — cos x, x G (0, tí) y = arccos x y — tgx, x G { — n 12, n 12) y = arctgx y = cotg x, x G (0,7i) y = arccotgx ©Lenka Přibylová, 2011 Q Poznámka 2. Platí tedy například: Vx^ = x \n(ex) = x elnx = x arcsin(sinx) = x Příklad . Vypočtěte, pro které x platí ln x = 3. Použijeme inverzní funkci k logaritmické, kterou je funkce exponenciální a dostaneme: ln x = 3 x = e3 = 20.0855 ©Lenka Přibylová, 2011 Q Komplexní čísla Definice: Komplexním číslem rozumíme uspořádanou dvojici reálných čísel a, b zapsanou ve tvaru z = a + bi (algebraický tvar komplexního čísla). Číslo a — Re z nazýváme reálnou, číslo b — Im z imaginární částí komplexního čísla z. Číslo z — a — bi nazýváme číslem komplexně sdruženým s číslem z. Definujeme operace součet a součin takto: zi + z2 = (fli + «2) + (Pí + b2)i ziz2 — (#i#2 &1&2) + (#1^2 + aib\)i Tyto operace vycházejí ze základní definice z = v—T. Platí tedy především i2 = -1. ©Lenka Přibylová, 2011 Q r Věta: Pro komplexní čísla Z\, zi, Z3 platí Z\ + Z2 = Z2 + Z\ Z\Zy_ — ZjZ\ Zi + (z2 + 23) = (21 + 22) + 23 zl(z2z3) = {z\zl)z3 Zi(z2 +Z3) = ZxZ2 +2!23 Poznámka 3. Podíl — dvou komplexních čísel Zi,Z2, Z2 7^ 0, je komplexní 22 číslo, které vyjádříme v algebraickém tvaru a + fez tak, že zlomek — rozšíříme ^2 číslem Z2 ©Lenka Přibylová, 2011 Příklad. 2 + 5/ 3-4ž ©Lenka Přibylová, 2011 Q Příklad. 2 + 5? _ (2 + 5Q (3 + 4í) 3 — 4i ~ (3 - 4z) (3 + 4z) Zlomek rozšíříme číslem 3 + 4i, protože je komplexně sdružené s jmenovatelem 3 — 4ž. El 13 ©Lenka Přibylová, 2011 Příklad. 2 + 5/ _ (2+ 5/) (3+ 4/) _ -14 + 23/ 3-4/ " (3 - 4/) (3 + 4/) " 9 + 16 Roznásobíme, přitom 5/ • 4/ = —20 a ve jmenovateli použijeme vzorec (a + b)(a-b) =a2-b2, kde (4/)2 = —16. Jmenovatel je tedy nutně reálné číslo. v^,__ BBI SP^9 ©Lenka Přibylová, 2011 Příklad. 2 + 5i _ (2 + 5i)(3 + 4d) _ -14 + 23i _ 14 23. 3 — 4i ~ (3 - 4z)(3 + 4z) ~ 9 + 16 ~ ~25 + 25* | Dostáváme tak vždy výsledek v algebraickém tvaru._ BBI Q Q (c) Lenka Přibylová, 2011 Geometrické znázornění komplexních čísel. Komplexní číslo z = a + bi znázorňujeme v Gaussově rovině: ©Lenka Přibylová, 2011 Q Absolutní hodnotou komplexního čísla z = a + bi rozumíme reálné číslo |z| = \/ d2 + b2. V Gaussově rovině představuje \z\ vzdálenost z od počátku. Platí z = VZZ, Z1Z2 Z\ Z2 Im 4 Z\ + Z2 ©Lenka Přibylová, 2011 Q Goniometrický tvar komplexního čísla Každé nenulové komplexní číslo z = a + bi lze jednoznačně zapsat v goniometrickém tvaru z = r(cos (p + i sin cp), kde r = \z\ a (p je úhel, který svírá průvodič komplexního čísla z s reálnou osou, platí tedy cos cp = Rez z , srn cp — Im z z Číslo

+ i sin q>) = relcp. Věta: Je-li z\ = r\ (cos oc + i sin ct) a z2 = r2(cos j8 + z sin j8), pak zi -z2 = ri^'a-r2^ = rir2^(a+r) = rir2(cos(a + ]8) +isin(a + ]8)) ©Lenka Přibylová, 2011 Q Poznámka 4. Pomocí násobení komplexních čísel lze elegantně odvodit základní goniometrické vzorce pro násobné argumenty, např. cos(2a) + isin(2a) = é1* = = ek • ei(X = = (cos(a) +zsin(a)) • (cos(a) + isin(#)) = = cos a: — sin a + i2 sin a cos a: Věta (Moivreova věta): Je-li z = r(cos

) = reZ(p, pak pro m G Z platí zm = rmelcpm = rm(costn(p + i sinmcp). ©Lenka Přibylová, 2011 Q Věta (Odmocnina z komplexního čísla): n-tá odmocnina z komplexního čísla z = |z| (cos

) leží na kruhu s poloměrem \fz a jejich průvodiče rozdělují kruh na n stejných částí. Průvodič první z hodnot svírá s (p reálnou osou úhel —. n Im m z2 BBI Q 13 199 ©Lenka Přibylová, 2011 Q Polynomy Definice: Funkci P(x) = anxn + an_\Xn~ + • • • + a\X + a§, kde an ý1 0, ao,...,an G R nazýváme polynom stupně n. Čísla ao,...,an nazýváme koeficienty polynomu P(x). Koeficient Uq se nazývá absolutní člen. Definice: Kořenem polynomu P(x) je číslo Xq G C, pro které platí P(x0) = 0. ©Lenka Přibylová, 2011 Q Definice: Je-li Xq kořenem polynomu, pak lineární polynom {x — Xq ) s proměnnou x nazýváme kořenový činitel příslušný kořenu Xq. Číslo Xq je fc-násobným kořenem polynomu P, jestliže P(x) = (x — Xo)kG(x), kde G je polynom a Xq již není jeho kořenem. Věta (Základní věta algebry): Polynom stupně n má právě n komplexních kořenů. ©Lenka Přibylová, 2011 Q Věta: Kvadratická rovnice ax + bx + c = 0 má právě dva kořeny, a to *1,2 = -b± Vb2 -4ac 2a ©Lenka Přibylová, 2011 Q Celočíselné kořeny Věta (Hornerovo schéma): Nechť f(x) = anxn + an-\xn 1 + • • • + a\x + uq, g(x) = bn_ixn 1 + bn-2xn 1 H-----K b\x + bo jsou polynomy. Je-li f(x) = {x — + b-\, pak platí #n = bn_i a = abfc + flfc, pro fc = 0,1,..., n — 1 n-2 Hornerovo schéma se používá k vypočtení funkční hodnoty polynomu v daném bodě. V případě, že je funkční hodnota nulová, je dané číslo kořenem polynomu. ©Lenka Přibylová, 2011 Q Nalezněte hodnotu polynomu Pn(x) = x — 4x — 4x + 7 v x — —3 ©Lenka Přibylová, 2011 Q ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ Nalezněte hodnotu polynomu Pn(x) = x4 — 4x3 — 4x2 + 7 v x = —3. 1_4_4 0 7 Do záhlaví tabulky sepíšeme sestupně všechny koeficienty. B8P Q ©Lenka Přibylová, 2011 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ Nalezněte hodnotu polynomu Pn{x) = x4 — 4x3 — 4x2 + 7 v x = —3. 1 -4 -4 0 7 Číslo -3 zapíšeme vlevo do záhlaví řádku. ©Lenka Přibylová, 2011 Nalezněte hodnotu polynomu Pn(x) = x — 4x — 4x + 7 v x — —3 1 -4 -4 0 7 1 Sepíšeme hlavní koeficient. Nalezněte hodnotu polynomu Pn(x) = x — 4x — 4x + 7 v x — —3 1 -4 -4 0 7 1 -7 Násobíme záhlaví řádku a poslední číslo v řádku a přičteme následující koeficent: -3-1-4= -7 188 ©Lenka Přibylová, Nalezněte hodnotu polynomu Pn(x) = x — 4x — 4x + 7 v x — —3 1 -4 -4 0 7 -3 1 -7 17 Násobíme záhlaví řádku a poslední číslo v řádku a přičteme následující koeficent: -3- (-7) - 4 = 17 ©Lenka Přibylová, 2011 Nalezněte hodnotu polynomu Pn(x) = x — 4x — 4x + 7 v x — —3 1 -4 -4 0 7 -3 1 -7 17 -51 Násobíme záhlaví řádku a poslední číslo v řádku a přičteme následující koeficent: -3-17-0 = -51_ (č) LenkaPřTbylovX Nalezněte hodnotu polynomu Pn(x) = x — 4x — 4x + 7 v x — —3 1 -4 -4 0 7 -3 1 -7 17 -51 160 Násobíme záhlaví řádku a poslední číslo v řádku a přičteme následující koeficent: -3- (-51)+ 7 = 160 ©Lenka Přibylová, 2011 Nalezněte hodnotu polynomu Pn(x) — x4 — 4x3 — 4x2 + 7 v x = ~3- j 1 -4 -4 0 7 -3 1 -7 17 -51 160 Na posledním místě v řádku dostaneme hodnotu polynomu P(-3) = 160. ^ ^ ©Lenka Přibylová, Celočíselné kořeny polynomu Pn(x) s celočíselnými koeficienty lze pomocí Hornerova schématu hledat mezi děliteli absolutního členu an, jak je vidět z následujícího roznásobení: 2(x -2)(x + 3) (x2 + 5) = 2(x2 + x - 6) (x2 + 5) = 2x4 + ... -60. Homérovo schéma je také výhodné pro nalezení rozkladu na kořenové činitele, protože v případě dosazení kořene oc (tedy b-\ = 0) po řádcích dělí polynom příslušným kořenovým činitelem {x — oc). ©Lenka Přibylová, 2011 Q Řešte v oboru celých čísel x5 + x4 — 5x3 — 9x2 — 24x — 36 = 0. ©Lenka Přibylová, 2011 Q Řešte v oboru celých čísel x5 + x4 — 5x3 — 9x2 — 24x — 36 = 0. | Děliteli čísla 36 jsou ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18 a ±36. Vypíšeme dělitele čísla 36 (i záporné). B8P Q ©Lenka Přibylová, 2011 Řešte v oboru celých čísel x5 + x4 — 5x3 — 9x2 — 24x — 36 = 0. | Děliteli čísla 36 jsou ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18 a ±36. 1 1-5-9 -24 -36 Budeme počítat hodnoty pomocí Hornerova schématu. Připravíme si proto koeficienty polynomu z levé strany rovnice do tabulky. Řešte v oboru celých čísel x5 + x4 — 5x3 — 9x2 — 24x — 36 = 0. Děliteli čísla 36 jsou ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18 a ±36. 1 1 -5 -9 -24 -36 1 1 2 -3 -12 -36 -72 Dosadíme x = 1. Je-li P(x) polynom z pravé strany rovnice, vidíme, žeP(l) = —72 a toto číslo x = 1 není kořenem. Řešte v oboru celých čísel x5 + x4 — 5x3 — 9x2 — 2Ax — 36 = 0. Děliteli čísla 36 jsou ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18 a ±36. ] 1 1 -5 -9 -24 -36 1 1 1 1 2 -3 -12 -36 -72 0 -5 -4 -20 -16 Podobně ani x = — 1 není kořenem. ©Lenka Přibylová, 2011 Řešte v oboru celých čísel x5 + x4 — 5x3 — 9x2 — 24x — 36 = 0. ] Děliteli čísla 36 jsou , ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18 a ±36. 1 1 -5 -9 -24 -36 1 1 2 -3 -12 -36 -72 1 1 0 -5 -4 -20 -16 2 1 3 1 -7 -38 /o Ani x = 2 není kořenem. BŽP Q 1831 ©Lenka Přibylová, 2011 Řešte v oboru celých čísel x5 + x4 — 5x3 — 9x2 — 2Ax — 36 = 0. Děliteli čísla 36 jsou , ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18 a ±36. ] 1 1 -5 -9 -24 -36 1 1 2 -3 -12 -36 -72 -1 1 0 -5 -4 -20 -16 2 1 3 1 -7 -38 /o -2 1 -1 -3 -3 -18 0 ISÍyní jsme zjistili, že x = —2 je kořenem. Levou stranu rovnice je tedy možno přepsat do tvaru (x + 2)(x4 - x3 - 3x2 -3x- 18) = 0. Dál zkoumáme jenom polynom, který stojí v tomto součinu jako ^ruhý. ©Lenka Přibylová, 2011 Řešte v oboru celých čísel x5 + x4 — 5x3 — 9x2 — 24x — 36 = 0. ] Děliteli čísla 56 jsou , ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18 a ±36. -2 1 -1 -3 -3 -18 -2 1-3 3-9 0 Dosadíme opět x = —2. Opět je toto číslo kořenem a levou stranu rovnice je možno přepsat do tvaru (x + 2)2(x3 - 3xz + 3x - 9) = 0. v. Řešte v oboru celých čísel x5 + x4 — 5x3 — 9x2 — 24x — 36 = 0. ] Děliteli čísla 36 jsou , ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18 a ±36. -2 -2 1 -3 3 -9 -2 1 -5 13 -35 Dosadíme opět x = —2. Nyní již se o kořen nejedná. Protože na konci polynomu, do kterého nyní dosazujeme, stojí číslo 9, zajímáme se jen o dělitele tohoto čísla. v Řešte v oboru celých čísel x5 + x4 — 5x3 — 9x2 — 2Ax — 36 = Děliteli čísla 36 jsou 7Í37 7±97 TU a -2 -2 1-3 3-9 -2 3 1 -5 13 -35 10 3 0 Vyškrtneme čísla která nedělí číslo 9 a dosazujeme další na řadě, x = 3. Vidíme, že x = 3 je kořenem. 5BI Cl 19 ©Lenka Přibylová, 2011 Řešte v oboru celých čísel x5 + x4 — 5x3 — 9x2 — 24x — 36 = Děliteli čísla 36 jsou 7±3ľ 3 a -2 -2 3 1 0 3 Polynom má dvojnásobný kořen x = — 2 a jednoduchý kořen x Koeficienty 1,0,3 znamenají, že v součinu stojí polynom x2 + Ox + 3, který nemá reálné kořeny = 3. (č) Lenka^řibyTova^ 2011 Řešte v oboru celých čísel x5 + x4 — 5x3 — 9x2 — 24x — 36 = Děliteli čísla 36 jsou 7±3ľ 3 a -2 -2 3 1 0 3 Rozklad na součin je (j + 2)2(x-3)(x2 + 3) = 0. ©Lenka Přibylová, 2011 Q Racionální lomená funkce Definice: Funkce R(x) = /M^l / kde P, Q jsou polynomy stupně >2m [X ) n, m, je racionální funkce. Je-li n > m, nazývá se funkce R(x) neryze lomená, je-li n Příklady na dělení polynomu polynomem <= =4> Příklady na rozklad na parciální zlomky <= =4> Interaktivní kvizy na racionální funkce a dělení polynomů.<(= =4> Interaktivní kvizy na rozklad na parciální zlomky. <= ©Lenka Přibylová, 2011 Q Číselné vektory Ve fyzice a technických disciplínách se zkoumají veličiny • skalární: představují velikost - hmotnost, čas, teplota,... • vektorové: mají více složek, mohou popisovat kromě velikosti také směr a orientaci - síla, okamžitá rychlost, posunutí..., nebo mohou představovat data - časová řada, barva (RGB), souřadnice pozice ... ©Lenka Přibylová, 2011 Q Definice: Množinu R uspořádaných n-tic reálných čísel a = (#1, #2/ • • • / fln) s operacemi sčítání a násobení reálným číslem definovanými (#1,02/ • • -fan) + (bi,b2, ...,bn) = (fli + bi,02 + &2/ • • - /^n + &n) k{cL\, &2,. . ., ##) = (kíli, fc^2/ • • • / pro všechna/: G R a [a\,a2,... ,an), {b\, b2/ • • >,bn) G Rn nazýváme lineárním vektorovým prostorem. Prvky tohoto prostoru, tj. us- pořádané n-tice reálných čísel nazýváme vektory. Čísla a\,... ,an nazýváme složky vektoru a. Číslo n nazýváme dimenze (rozměr) vektoru a. Vektor (0,0,..., 0) dimenze n nazýváme nulovým vektorem. ©Lenka Přibylová, 2011 Q Poznámka 6. Geometricky 2 a 3-rozmerné vektory zobrazujeme jako orientované průvodiče bodů: y > A= [1,2] = [2,1.5] //\2,15) 0 ^^(1, -0.5) x Vektor v = AB je orientovaná úsečka spojující bod A s bodem B. Složky vektoru v jsou dány rozdílem souřadnic B — A. BBI EJ 19 199 ©Lenka Přibylová, 2011 Q Operace s vektory n =(1,2,1), b = (3,0,-1), c =(2,1,0) a + 2-b-c ©Lenka Přibylová, 2011 Q Operace s vektory a = (1,2,1), b= (3,0,-1), c = (2,1,0) a + 2-b-c= (1,2,1)+ 2- (3,0,-1)- (2,1,0) = (1,2,1)+ (6,0,-2)-(2,1,0) Dosadíme za vektory a vynásobíme vektor b dvěma (násobíme tedy každý prvek tohoto vektoru dvěma). BbP Q ©Lenka Přibylová, 2011 Operace s vektory n =(1,2,1), b = (3,0,-1), c =(2,1,0) a + 2-b-c = (1,2,1)+ 2- (3,0,-1)- (2,1,0) = (l,2,l) + (6,0,-2)-(2,l,0) = (1 + 6-2,2 + 0-1,1-2-0) Operace s vektory n =(1,2,1), b= (3,0,-1), c =(2,1,0) a + 2-b-c = (1,2,1) + 2- (3,0,-1)- (2,1,0) = (l,2,l) + (6,0,-2)-(2,l,0) = (1 + 6-2,2 + 0-1,1-2-0) = (5,1,-1) Upravíme. Operace s vektory n =(1,2,1), b= (3,0,-1), ?= (2,1,0) a + 0 | Přičteme-li k libovolnému vektoru nulový vektor,_ BgW*EÍ~Í5""fel frMpnka Přibylová. 7011 Operace s vektory n =(1,2,1), b = (3,0,-1), c =(2,1,0) a + 0= (1,2,1) + (0,0,0) ©Lenka Přibylová, 2011 Q Operace s vektory a = (1,2,1), £=(3,0,-1), c= (2,1,0) a + 0 = (1,2,1) + (0,0,0) = (1,2,1) =a původní vektor se nemění, protože ke každé komponentě přičteme nulu. BBi El Q T^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^i. .1 .-nki Přibylová 70TT Operace s vektory a = (1,2,1), £=(3,0,-1), c= (2,1,0) a + 0 = (1,2,1) + (0,0,0) = (1,2,1) = a 0-a + 0-b + 0-c | Násobení skalární nulou_ El 13 ©Lenka Přibylová, 2011 Operace s vektory n =(1,2,1), b = (3,0,-1), c =(2,1,0) a + 0= (1,2,1) + (0,0,0) = (1,2,1) =a O-a + 0-b + O-c = (0,0,0) = Ô je nulový vektor, protože každý vektor po vynásobení nulou přejde na nulový vektor a součet nulových vektorů je opět nulový vektor. Operace s vektory n =(1,2,1), b = (3,0,-1), c =(2,1,0) a + 0= (1,2,1) + (0,0,0) = (1,2,1) =a O-a + 0-b + O-c = (0,0,0) = 0 a + b-2-c | Někdy nulový vektor dostaneme i jako součet nenulových vektorů, j BBJ Q Q ^ ©Lenka Přibylová, 2011 g| Operace s vektory n =(1,2,1), b = (3,0,-1), c = (2,1,0) a + 0 = (1,2,1) + (0,0,0) = (1,2,1) = a 0-a + 0-b + 0-c = (0,0,0) = 0 a + b-2-c = (1,2,1) + (3,0,-1) - (4,2,0) = (0,0,0) ©Lenka Přibylová, 2011 Q Definice: Vektor —a = — 1 • a nazýváme vektorem opačným k vektoru a. Definice: Velikostí vektoru a nazveme nezáporné číslo n a a% + a% + ľ i=l Cľ Vektor a nazveme jednotkovým vektorem, jestliže \a\ = 1 Velikost vektoru a = (-2,1,4,0,-3) je \a\ = V4 + 1 + 16 + 9 = V30. BEI EJ Q VSS ©Lenka Přibylová, 2011 Q Definice: Skalárním součinem vektorů a — (a\,ai,.. .,an), b (pi* bi* - - - / bn) nazýváme číslo n a • b = CL\ • b\ + ^2 • Č?2 + ' ' ' + an ' bn = ai^i- i=l Skalární součin je možné vyjádřit také jako číslo a • b = \a • b • cos (p, kde cp je úhel, který svírají vektory a ab. Naopak tedy pro nenulové vektory platí, že svírají úhel cp, pro který platí cos cp = a • b a b (p = arccos a • b a b ©Lenka Přibylová, 2011 Q Úhel, který svírají vektory a = (2, —1,3,2), b = (1, —2, —2,1) splňuje 2+2-6+2 0 cos (p = - - = = 0, V4 + 1 + 9 + 4 Vl +4 + 4 + 1 VTŠ^IO m = J = 90° r 2 Vektory jsou kolmé (ortogonální) 44> je jejich skalární součin roven nule. ©Lenka Přibylová, 2011 Q Lineární kombinace vektorů Definice: Nechť u\, Ui,... ,un jsou vektory stejné dimenze a k\, ki, • • • / kn G R. Vektor n v = fcitTi + kjUi + • • • + knun = ^ k i=l nazýváme lineární kombinací vektorů Příklady na lineární kombinaci vektorů. 5BI Cl 19 ias ©Lenka Přibylová, 2011 Lineární závislost a nezávislost vektorů. Definice: Vektory u\, u^,... ,un nazýváme lineárně závislé, je-li aspoň jeden z vektorů lineární kombinací ostatních. V opačném případě je nazýváme lineárně nezávislé. Věta: Vektory u\, u^,..., un jsou lineárně nezávislé 44> nulový vektor je právě jen jejich nulovou lineární kombinací, tj. 0 = k\iľ\ + kiUi + • • • + knu n právě pro k\, k^_, ..., kn = 0. ©Lenka Přibylová, 2011 Q Věta: Platí-li O = k\U\ + kjU2 + • • • + knun a alespoň jedno k\ je nenulové, jsou vektory U\, U2,...,un lineárně závislé. Poznámka 7. Vektory jsou jistě závislé, pokud • je mezi nimi alespoň jeden nulový. • jsou mezi nimi dva vektory stejné. • je-li některý vektor násobkem jiného. Definice: Báze vektorového prostoru dimenze n je libovolná lineárně nezávislá soustava n vektorů. Věta: Libovolný vektor vektorového prostoru je lineární kombinací vektorů báze. Báze tedy generuje celý vektorový prostor. ©Lenka Přibylová, 2011 Q Matice Definice: Maticí typu m x n rozumíme uspořádané schéma A = 1011 012 013 021 022 a23 \0ral fi-ml kde 0/y G R pro z = 1,..., m a / = 1,..., n. Množinu všech reálných matic typu m x n označujeme symbolem Rmxn. Zkráceně zapisujeme AmXn = ifiij) • BBI Q 13 199 ©Lenka Přibylová, 2011 Q Je-li m = n nazývá se matice A čtvercová matice a často říkáme, že je řádu n místo typu n x n. Je-li A čtvercová matice, nazýváme prvky tvaru au, tj. prvky, jejichž řádkový a sloupcový index jsou stejné, prvky hlavní diagonály Definice: Matice Amx n — (aij),kdeaij = 0 pro všechna z = 1,... ,m a] = 1,...,n se nazývá nulová matice. Definice: Jednotková matice je čtvercová matice, která má na hlavní diagonále jedničky a na ostatních místech nuly. Jednotkovou matici značíme L Definice: Schodovitá (stupňová) se nazývá matice, jejíž každý řádek začíná větším počtem nul než předcházející. BBI EJ Q VSS ©Lenka Přibylová, 2011 Q 3 4 2-11 2 A = lo 3 1 1 1-2 0 0 0 2 0 1 3 4 2-11 2 B = I 0 0 1 1 1-2 0 0 2 2 0 1 Matice A je schodovitá, matice B není schodovitá - druhý a třetí řádek začíná stejným počtem nul. Definice: Buď A = (au) g Rmxn. Matice AT = (aji) g Rnxm, tj. matice, která vznikne záměnou řádků a sloupců matice A, se nazývá matice transponovaná k matici A. ©Lenka Přibylová, 2011 Q /2 -1 3 1 -2 2 0 1 \4 -2 1/ / 2 3 2 4 \ AT = -1 1 0-2 \ 2 -2 1 1 / ©Lenka Přibylová, 2011 Q Operace s maticemi Definice: Nechť A = (au), B = %) G Rmxn. Součtem matic A a B rozumíme matici C = (c/y) G Rmxn, kde C;y = + b^. Zapisujeme C = A + B. A = (aij) G Rmxn a fc G R. Součinem čísla k a matice A rozumíme matici D = (d/y) G Rmxnr kde d/y = k • #;y. Zapisujeme D = fcA. S maticemi tedy pracujeme stejně jako s čísly, sčítáme a číslem násobíme jednotlivé prvky Platí proto komutativní, asociativní i distributivní zákon. ©Lenka Přibylová, 2011 Q Sečtěte matice a výslednou matici vynásobte číslem 3. /2 -1 2 \ /l -2 1\ 3 1 -2 + 0 1 3 \2 0 1 / \2 4 1/ ©Lenka Přibylová, 2011 Q Sečtětematice a výslednou matici vynásobte číslem 3. | '2-1 2 \ /l -2 1\ /3 -3 3~ 3 1 -2+0 1 3|= 2 0 1 / \2 4 1 Při sčítání sčítáme odpovídající komponenty zvlášť. BbP~BÍ Q VŠ3 ©Lenka Přibylová, 20ÍT Sečtěte matice a výslednou matici vynásobte číslem 3. | '2-1 2 \ /l -2 1\ /3 -3 3~ 3 1 -2 + 0 1 3 | = ( 3 2 1 2 0 1 \2 4 1 Při sčítání sčítáme odpovídající komponenty zvlášť. BbP~BÍ Q VŠ3 ©Lenka Přibylová, 20ÍT Sečtěte matice a výslednou matici vynásobte číslem 3. | '2-1 2 \ /l -2 1 3 1 -2+0 1 3|= 2 0 1 \2 4 1 Při sčítání sčítáme odpovídající komponenty zvlášť. BbP~BÍ Q VŠ3 ©Lenka Přibylová, 20TT Sečtěte matice a výslednou matici vynásobte číslem 3. + ©Lenka Přibylová, 2011 Q Sečtěte matice a výslednou matici vynásobte číslem 3. + Při násobení matice číslem násobíme každou položku matice samostatně. Lenka Přibylová, 2011 r Definice: A = (aíy) g Rmx? a B = (bř7) g R?xn. Součinem matic I1 A a B (v tomto pořadí) rozumíme matici C = (czy) g Rwxn, kde qy = flzlbl7- + ai2b2j H-----h fl/pb^y = aikbkj = az- • by fc=i pro všechna z = 1,..., m, y = 1,..., n, tj. prvek na z-tém řádku a /-tém sloupci vznikne jako skalární součin z-tého řádku matice A a y-tého sloupce matice B. Zapisujeme C = AB (v tomto pořadí). eei ej q iaa ©Lenka Přibylová, 2011 Q 3 1 -2-12 2 0 1 / V 3 1 A-B = C, Cij = aikbk} ©Lenka Přibylová, 2011 1 -2 O 1 -1 2 3 1 '2-2+ (-1) • (-l) + 2-3 Na místě // ve výsledné matici C je skalární součin z-tého řádku matice A a /-tého sloupce matice £>. Uvedený maticový součin je tedy možno chápat jako šest skalárních součinů. BI H 133 ©Lenka Přibylová, 2ÔTT 1 -2 O 1 -1 2 3 1 '2-2+(-1) • (-1)+ 2-3 2-4-1-2 + 2-1 Na místě // ve výsledné matici C je skalární součin z-tého řádku matice A a /-tého sloupce matice £>. Uvedený maticový součin je tedy možno chápat jako šest skalárních součinů. BI H 133 ©Lenka Přibylová, 2ÔTT 1 -2 O 1 -1 2 3 1 '2-2+(-1) • (-1)+ 2-3 2-4 3-2 + 1 • (-1) -2-3 -1-2 + 2-1 Na místě ij ve výsledné matici C je skalární součin z-tého řádku matice A a /-tého sloupce matice B. Uvedený maticový součin je tedy možno chápat jako šest skalárních součinů. El 181 188 ©Lenka Přibylová, 2ÔTT 1 -2 O 1 -1 2 3 1 '2-2+(-1) • (-1)+ 2-3 2-4-1-2 + 2-1 3-2 + 1 • (-1)-2-3 3-4 + 1-2-2-1 Na místě // ve výsledné matici C je skalární součin z-tého řádku matice A a /-tého sloupce matice £>. Uvedený maticový součin je tedy možno chápat jako šest skalárních součinů. BI H 133 ©Lenka Přibylová, 2ÔTT 1 -2 O 1 -1 2 3 1 '2-2+(-1) • (-1)+ 2-3 2-4-1-2 + 2-1 3-2 + 1 • (-1)-2-3 3-4 + 1-2-2-1 2-2 + 0-(-l) + l-3 Na místě // ve výsledné matici C je skalární součin í-tého řádku matice A a /-tého sloupce matice £>. Uvedený maticový součin je tedy možno chápat jako šest skalárních součinů. BI H 133 ©Lenka Přibylová, lôn 1 -2 O 1 -1 2 3 1 '2-2+(-1) • (-1)+ 2-3 2-4-1-2 + 2-1 3-2 + 1 • (-1)-2-3 3-4 + 1-2-2-1 2-2 + 0-(-l) + l-3 2-4 + 0-2 + 1-1 Na místě // ve výsledné matici C je skalární součin z-tého řádku matice A a /-tého sloupce matice B. Uvedený maticový součin je tedy možno chápat jako šest skalárních součinů. El 18! 188 ©Lenka Přibylová, 2ÔTT 1 -2-12 O 1 / \ 3 1 '2-2+(-1) • (-1)+ 2-3 2-4-1-2 + 2-1 3-2 + 1 • (-1)-2-3 3-4 + 1-2-2-1 2-2 + 0-(-l) + l-3 2-4 + 0-2 + 1-1 Sečteme. ^ □ BT*^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^- iVllftika Přibylová 7(111 2 -1 2 3 1 -2 2 0 1 '2-2+(-1) • (-1)+ 2-3 2-4-1-2 + 2-1 3-2 + 1 • (-1)-2-3 3-4 + 1-2-2-1 2-2 + 0-(-l) + l-3 2-4 + 0-2 + 1-1 2 -1 2 3 1 -2 2 0 1 Pro matice NEPLATÍ komutativní zákon. Násobíme-li matice v opačném pořadí, ■ El 13 W -^™^~-- 3 1 -2-12 2 0 1 / \ 3 1 '2-2+(-1) • (-1)+ 2-3 2-4-1-2 + 2-1 3-2 + 1 • (-1)-2-3 3-4 + 1-2-2-1 2-2 + 0-(-l) + l-3 2-4 + 0-2 + 1-1 2 -1 2 3 1 -2 2 0 1 neodpovídají dokonce ani počty členů skalárního součinu. Komutativní zákon ale neplatí ani pro čtvercové matice. El 181 188 ©Lenka Přibylová, 2ÔTT Věta: Součin matic je asociativní a distributivní zprava i zleva vzhledem ke sčítání, tj. platí A{BC) = {AB)C A(B + C) = AB + AC (B + C)A = BA + CA (asociativita) (levý distributivní zákon) (pravý distributivní zákon) vždy, když tyto operace mají smysl. Součin matic není komutativní. Věta: Bud7 A matice. Pak platí IA = A a AI = A vždy, když je tento součin definovaný. ©Lenka Přibylová, 2011 Q Hodnost matice Definice: Buď A matice. Hodností matice rozumíme maximální počet lineárně nezávislých řádků matice. Hodnost matice A označujeme h (A). Věta: Hodnost matice, která je ve schodovitém tvaruje rovna počtu jejích nenulových řádků. ©Lenka Přibylová, 2011 Q A = (2 2 O O O O \0 O 2 1 O O je ve schodovitém tvaru a h (A) = 3. 3 -1 5\ 0 0 3 -12 1 0 0 Oj (2 2 2 3 -1 5 \ 0 0 1 0 0 3 003 -1 2 1 \0 0 0 1 1 -2/ není ve schodovitém tvaru a její hodnost na první pohled nepoznáme. ©Lenka Přibylová, 2011 Q r Definice: Následující úpravy nazýváme ekvivalentní: záměna pořadí řádků vynásobení libovolného řádku nenulovým číslem přičtení řádku (nebo jeho násobku) k jinému řádku vynechání řádku složeného ze samých nul Definice: Dvě matice A, B nazýváme ekvivalentní, jestliže lze matici A převést na matici B konečným počtem ekvivalentních úprav. Značíme A ~ B. Věta: Ekvivalentní matice mají stejnou hodnost. 5BI Cl 19 ias ©Lenka Přibylová, 2011 Poznámka 8. Ekvivalentní matice mají stejnou nejen hodnost, ale také řádky matice jako vektory generují stejný vektorový prostor. Matice vznikly původně pro zjednodušený zápis soustav rovnic. Řádek matice odpovídá jedné rovnici soustavy. Ekvivalentní úpravy matice jsou totéž jako úpravy, které provádíme s řádky soustavy při hledání řešení (záměna pořadí řádku - rovnic, vynásobení řádku - rovnice nenulovým číslem, atd.). Matice jsou tedy ekvivalentní ve smyslu zachovávání řešení odpovídající soustavy rovnic. x\ + 3x2 — X3 = 0 • (—2) 2x\ + X2 + X3 = 0 přičteme k druhé rovnici x\ + 3x2 — X3 = 0 —5x2 + 3x3 = 0 ^21 1 j \p -5 3) ©Lenka Přibylová, 2011 Q Věta: Libovolnou matici lze konečným počtem ekvivalentních úprav převést do schodovitého tvaru. Věta: Transponování nemění hodnost matice. v Definice: Čtvercová matice typu n x n, která má hodnost n, se nazývá regulární. =4> Příklady na výpočet hodnosti matice. <= ©Lenka Přibylová, 2011 Q Inverzní matice Definice: Buď A e Rwxw čtvercová matice řádu n. Jestliže existuje čtvercová matice A-1 řádu n, splňující vztahy A'1 A = I = AA~l, nazýváme matici A inverzní matici k matici A. Věta: Nechť matice A je čtvercová. Potom inverzní matice A existuje právě tehdy, když je matice A regulárni, tj. má nezávislé řádky. ©Lenka Přibylová, 2011 Q A ■ X = B ©Lenka Přibylová, 2011 Q Násobení inverzní maticí je inverzní operací k maticovému násobení J A ■ X = B A'1 ■(A-X)=A~1 -B | Vynásobíme zleva maticí inverzní._ BSP~BÍ Q VŠ3 ©Lenka Přibylová, 2ÔTT Násobení inverzní maticí je inverzní operací k maticovému násobení J A ■ X = B A'1 ■(A-X)=A~1 -B (A-1 • A) - X = A'1 -B Použijeme asociativní zákon pro násobení. BbP~BÍ Q VŠ3 ©Lenka Přibylová, 20TT Násobení inverzní maticí je inverzní operací k maticovému násobení A - X = B A'1-{A-X) = A~l -B (A~1-A)-X = A'1-B I • X = A"1 • B Použijeme definici inverzní matice. 2ÔTT Násobení inverzní maticí je inverzní operací k maticovému násobení J A ■ X = B A'1 ■(A-X)=A~1 -B (A~l • A)-X = A'1-B I-X = A~1 -B X = A'1 ■ B ŕ • Jednotková matice je neutrálním prvkem vzhledem k násobení. • Teď už vidíme, že pokud bychom násobili inverzní matici zprava, obdrželi bychom vztah A-X-A'1 = B-A'1, ze kterého hledané X nelze vyjádřit. S« H Q Br^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^frvTpnka Přibylová ?Í\U\ Poznámka 9. Inverzní matici k regulární čtvercové matici A hledáme pomocí řádkových ekvivalentních úprav tak, že převádíme matici A na matici jednotkovou a tytéž úpravy současně provádíme na vedle zapsané jednotkové matici. Z jednotkové matice takto vznikne matice inverzní A-1. =^> Příklady na výpočet inverzní matice. <= BBi Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2011 Q Determinant matice Definice: Permutací o n-prvcích rozumíme uspořádanou n-tici k\, k2, • • •, kn, která vznikla přeskládáním čísel 1,2,..., n. Inverzí rozumíme záměnu z-tého a y-tého prvku v permutaci. Definice: Bud7 A G Rnxn čtvercová matice řádu n. Determinant matice A je reálné číslo det A = £(-1)^1^02*2 • "ankn přes všechny permutace sloupcových indexů. Číslo p je počet inverzí dané permutace. Zapisujeme také det A = |A| = \ciij\. ©Lenka Přibylová, 2011 Q Poznámka 10. Podle definice je determinant číslo, které vznikne jako součet všech možných součinů prvků ze všech řádků, ale různých sloupců. Tato definice není příliš vhodná pro výpočet determinantu matice vysokého řádu, protože počet sčítanců rychle roste. Pro matici řádu n je počet permutací n\. Pro matici řádu 1 a 2 je podle definice výpočet determinantu jednoduchý: n — \\ det A — a\\ n — 2 : det A = #n#22 012021 Pro matici řádu 2 říkáme předpisu pro determinant křížové pravidlo, protože prvky matice násobíme do kříže: 011 #12 021 022 — 011^22 — 012021 ©Lenka Přibylová, 2011 Q Sarussovo pravidlo: Pro matici řádu 3 platí #11 #12 #13 #21 #22 a23 #31 a32 #33 #11#22#33_#11#23#32 —#12#21#33 +#12#23#31+#13#21#32 —#13#22#31 Determinant je číslo, které vznikne jako součet všech součinů prvků v různých řádcích a soupcích a ±1. BbW Q VŠ3 ©Lenka Přibylová, 2on Sarussovo pravidlo: Pro matici řádu 3 platí #11 #12 #13 #21 #22 a23 #31 a32 #33 #11#22#33_#11#23#32 —#12#21#33 +#12#23#31+#13#21#32 —#13#22#31 #11 #21 #31 #11 #21 #12 #22 #32 #12 #22 #13 #23 #33 #13 #23 Jednoduchý způsob, jak všechny tyto členy najít je tzv. Sarussovo pravidlo, kdy nejprve opíšeme první dva řádky matice pod determinant, ©Lenka Přibylová, 2011 Sarussovo pravidlo: Pro matici řádu 3 platí 011 0i2 013 021 #22 #23 031 032 033 #11#22#33_#11#23#32—#12#21#33 +#12#23#31+#13#21#32 —#13#22#31 011 021 #31 #11 #21 #12 #22 #32 #12 #22 #13 #23 #33 #13 #23 #11#22#33 | sečteme součiny na všech diagonálách bbI bi q igg ©Lenka Přibylová, 2011 Sarussovo pravidlo: Pro matici řádu 3 platí #11 #12 #13 #21 #22 a23 #31 a32 #33 #11#22#33_#11#23#32 —#12#21#33 +#12#23#31+#13#21#32 —#13#22#31 #11 #21 #31 #11 #21 #12 #22 #32 #12 #22 #13 #23 #33 #13 #23 #11#22#33 + #21#32#13 sečteme součiny na všech diagonálách b8P~BÍ Q 1851 ©Lenka Přibylová, 2011 Sarussovo pravidlo: Pro matici řádu 3 platí 011 012 013 021 022 023 031 032 033 011022033 —011023032 —012021033 +012023031+013021032 — 013022031 011 021 031 011 021 012 022 032 012 022 013 023 033 013 023 011022033 + 021032013 + 031012023 [ sečteme součiny na všech diagonálách 1 ©Lad.J—Pl , li, -Ull Sarussovo pravidlo: Pro matici řádu 3 platí #11 #12 #13 #21 #22 a23 #31 a32 #33 #11#22#33_#11#23#32 —#12#21#33 +#12#23#31+#13#21#32 —#13#22#31 #11 #21 #31 #11 #21 #12 #22 #32 #12 #22 #13 #23 #33 #13 #23 #11#22#33 + #21#32#13 + #31#12#23 -#31#22#13 a odečteme součiny na protisměrných diagonálách. (č) Lenka^řibylova^ 2ÔTT Sarussovo pravidlo: Pro matici řádu 3 platí 011 012 013 021 022 023 031 032 033 011022033 — 011023032 — 012021033 +012023031+013021032 — 013022031 011 021 031 011 021 012 022 032 012 022 013 023 033 013 023 011022033 + 021032013 + 031012023 -031022013 — 011032023 a odečteme součiny na protisměrných diagonálách. (č) Lenkal^řibylova^ Sarussovo pravidlo: Pro matici řádu 3 platí #11 #12 #13 a21 a22 a23 #31 a32 #33 #11#22#33_#11#23#32 —#12#21#33 +#12#23#31+#13#21#32 —#13#22#31 #11 #21 #31 #11 #21 #12 #22 #32 #12 #22 #13 #23 #33 #13 #23 #11#22#33 + #21#32#13 + #31#12#23 -#31#22#13 #11#32#23 " #21#12#33 a odečteme součiny na protisměrných diagonálách. (č) Lenka^řibylova^ 2ÔTT Věta: Následující operace nemění hodnotu determinantu matice: přičtení lineární kombinace ostatních řádků (sloupců) k jinému řádku (sloupci) ponechání jednoho řádku (sloupce) beze změny a opakované přičtení libovolných násobků tohoto řádku (sloupce) k ostatním řádkům (sloupcům) matice transponování matice ©Lenka Přibylová, 2011 Q Věta: Následující operace mění hodnotu determinantu popsaným způsobem: přehozením dvou řádků (sloupců) determinant mění znaménko vydělíme-li jeden řádek (sloupec) nenulovým číslem a, zmenší se hodnota determinantu a-krát (tj. z řádku nebo sloupce lze vytýkat) Poznámka 11. Podle předchozí věty, platí 2 4 8 1 2 4 1 2 1 -1 2 4 = 2 -1 2 4 = 2-4- -1 2 1 0 1 12 0 1 12 0 1 3 ©Lenka Přibylová, 2011 Q v Věta: Čtvercová matice A má závislé řádky 44> det A = 0. Věta: Ke čtvercové matici A existuje matice inverzní A je regulární, tj. 44> det A ^ 0. Věta: Determinant matice, která je ve schodovitém tvaru je roven součinu prvků v hlavní diagonále. EEI EJ Q VSS ©Lenka Přibylová, 2011 Q Definice: Necht7 A je čtvercová matice řádu n. Vynecháme-li v matici A i-tý řádek a j-ty sloupec, označujeme determinant vzniklé submatice M/y a nazýváme jej minor příslušný prvku a^. Číslo A» = (-l)^M nazýváme algebraický doplněk prvku a l1 ©Lenka Přibylová, 2011 Q r Věta (Laplaceův rozvoj determinantu): Pro libovolný sloupec, resp, řádek, determinantu A platí n det A = ayAy + a2jA2j H-----h anjAnj = a^A^, i=l n det A = anAn + ai2Ai2 H-----h fl/n^m = I]) #/yAy/ tj. determinant se rovná součtu všech součinů prvku a jeho algebraického doplňku libovolného sloupce nebo řádku. Poznámka 12. Řádek nebo sloupec, podle kterého provádíme rozvoj, je vhodné volit tak, aby obsahoval co nejvíce nulových prvků. Příklady na výpočet determinantu matice. eei ej Q VSS ©Lenka Přibylová, 2011 Q Soustavy lineárních rovnic Uvažujme následující tři problémy: Najděte všechna reálná čísla X\, %i, splňující: 4xi + 5x2 = 7 Úloha 1 : x\ — 2x2 — 4 Úloha 2 : Úloha 3 : Všechny problémy jsou ekvivalentní a jedná se o jiný zápis téhož. ©Lenka Přibylová, 2011 Q r Definice: Soustavou m lineárních rovnic o n neznámých nazýváme soustavu rovnic #11*1 + #12*2 + #13*3 + ' ' ' + #ln*n = b\ #21*1 + #22*2 + #23*3 + ' ' ' + #2n*n = &2 #31*1 + #32*2 + #33*3 + ' ' ' + #3n*n = ^3 #ml*l fl-mlXl #m3*3 H~ " " " H~ #mn*n — b m Proměnné x\, Xi, • • • r xn nazýváme neznámé. Reálná čísla nazýváme koeficienty levých stran, reálná čísla bj koefi- a cienty pravých stran soustavy rovnic. Řešením soustavy rovnic rozumíme uspořádanou n-tici reálných čísel [t\, ti,..., tn] po jejichž dosazení za neznámé (v tomto pořadí) do soustavy dostaneme ve všech rovnicích identity. 5BI Cl 19 ias ©Lenka Přibylová, 2011 r Definice: Matici A = / #11 #12 #13 #21 #22 #23 V#ml #m2 #m3 nazýváme maticí soustavy. Matici Ar — / #11 #12 #13 #21 #22 #23 V #ml #m2 #m3 #ln\ #2n a mn #ln #2n a mn b2 bm J nazýváme rozšířenou maticí soustavy. ©Lenka Přibylová, 2011 Q Poznámka 13 (maticový zápis soustavy lineárních rovnic). / 011 012 021 022 \0ral 0m2 01n\ #2 n X2 a mn J \XnJ \bmj Ax = b. Definice: Platí-li v soustavě Ax = b bx = b2 = • • • = bm = 0, tedy Ax = 0, nazývá se soustava homogenní. ©Lenka Přibylová, 2011 Q Poznámka 14. Homogenní soustava lineárních rovnic Ax = 0 je vždy řešitelná. Po dosazení okamžitě vidíme, že n-tice X\ = 0, x^_ = 0, ..., xn = 0 je řešením. Toto řešení nazýváme triviální. U homogenních soustav lineárních rovnic tedy buď existuje pouze triviální řešení, nebo existuje nekonečně mnoho řešení. Věta (Frobeniova věta): Soustava lineárních rovnic Ax = b je řešitelná právě tehdy, když matice soustavy A a rozšířená matice soustavy Ar = (A\b) mají stejnou hodnost, tj. h(A) = h(Ar). • Soustava nemá řešení, pokud h (A) ^h(Ar). • Soustava má právě jedno řešení, pokud h(A) = h(Ar) = n. • Soustava má nekonečně mnoho řešení, pokud h (A) = h(Ar) < n. Tato řešení lze vyjádřit pomocí (n — h (A)) nezávislých parametrů. ©Lenka Přibylová, 2011 Q Gaussova eliminační metoda Převedením rozšířené matice soustavy na schodovitý tvar zjistíme, zda je soustava rovnic řešitelná (Frobeniova věta). V případě, že h (A) =h(Ar), řešíme soustavu tzv. Gaussovou eliminační metodou, kdy neznámé vyjadřujeme z rovnic odpovídajících řádkům matice ve schodovitém tvaru, které jsou ekvivalentní původním rovnicím. Vyjadřování provádíme odspodu soustavy. =4> Příklady na Gaussovou eliminační metodou. <= ©Lenka Přibylová, 2011 Q Cramerovo pravidlo Věta (Cramerovo pravidlo): Je-li matice A čtvercová a regulární, má soustava Ax = b jediné řešení a pro z-tou složku Xj tohoto řešení platí: kde D = det A a D; je determinant matice, která vznikne z matice A výměnou z-tého sloupce za sloupec b. ^ Příklady na Cramerovo pravidlo. <= ©Lenka Přibylová, 2011 Q Analytická geometrie v rovině Věta: Libovolnou přímku p v rovině lze vyjádřit rovnicí ax + by + c = 0, kde a, b, c jsou konstanty, přičemž a, b nejsou současně rovny nule. Vektor n = [a, b) je kolmý k přímce p. Naopak každá rovnice tvaru ax + by + c = 0, kde a2 + b2 > 0, představuje přímku p v rovině kolmou k vektoru n = (a, b). EEI EJ Q VSS ©Lenka Přibylová, 2011 Q Definice: Rovnice ax + by + c = 0 se nazývá obecná rovnice přímky, vektor n = (a, b) se nazývá normálový vektor přímky. Každý nenulový vektor, který je k normálovému vektoru kolmý se nazývá směrový vektor přímky. Jedním ze směrových vektorů je např. vektor s = (—b, a), protože skalární součin vektorů s a n je roven nule. Definice: Směrnicí přímky p o rovnici ax + by + c = 0, která není rovnoběžná s osou y, tj. b ^ 0, rozumíme podíl k — —j. Směrnice k — tg oc, kde oc je úhel, který přímka svírá s kladnou osou x. V případě, že b ^ 0, tj. přímka je rovnoběžná s osou y, řekneme, že přímka p nemá směrnici. Přímku p se směrnicí k je možné vyjádřit ve směrnicovém tvaru y = kx + q. ©Lenka Přibylová, 2011 Q Přímku, která protíná souřadné osy v bodech různých od počátku souřadnic, lze vyjádřit také rovnicí v tzv. úsekovém tvaru x y - + - = 1, V q kde p 7^ 0 je úsek vyťatý přímkou na ose x, q ^ 0 je úsek vyťatý přímkou na ose y. ©Lenka Přibylová, 2011 Q Přímku p, která prochází bodem A = [xq,i/o] se směrovým vektorem s = (si,S2) má parametrické rovnice x = x0 + M/ y = yo + s2í/ kde ŕ G (—oo, oo) je parametr. r- Věta: Přímka určená body A a £> = \%i,yi\ má obecnou rovnici X X~y y-yi = 0. %2 — X\ yi-yi Je-li %\ ^ Xi, má přímka směrnici a lze ji zapsat ve tvaru 2/2-yi y-yi = (x — X\). Přímka určená bodem A = má obecnou rovnici J2 — *1 X\,y{\ a směrovým vektorem s = {s\,$ 0, představuje rovinu p kolmou k vektoru n = (a, b, c). Definice: Rovnice ax + by + cz + d = 0 se nazývá obecná rovnice roviny, vektor n = (a, b, c) se nazývá normálový vektor roviny. Rovinu, která protíná souřadné osy v bodech různých od počátku souřadnic, lze vyjádřit také rovnicí v tzv. úsekovém tvaru x V z - + - + - = 1, p q r kde p 0 je úsek vyťatý přímkou na ose x, q ^ 0 je úsek vyťatý přímkou na ose y a r ^ 0 je úsek vyťatý přímkou na ose z. Animace roviny. Rovina p určená bodem A = [xo/J/O/Zo] a dvěma nekolineárními vektory u = {u\, u2, u$) a v = {v\, v2, v3) má parametrické rovice x = xq + u\s + v\t, y = yo + + v2t, z — zq + u^s + v^t kde s, t G (—oo, 00) jsou parametry ©Lenka Přibylová, 2011 Q Věta: Rovina určená body A = \x\,y\,z-\\, B = [X2,yifzi] a C = má obecnou rovnici x — x\ y — yi z — z\ x2 -x1 y2 - yi z2 - z1 X3 -x\ y3 - yi z3 - z\ = 0. Rovina určená bodem A = \x\,y\,z-\\ a nekolineárními vektory u = {u\, U2, U3) a v = {v\, V2, v 3) má obecnou rovnici x — x\ y — yi z — zi ^1 IÍ2 U3 V\ v2 v3 = 0. ©Lenka Přibylová, 2011 Q r Definice: Vzdálenost bodů A = \x\,y\,z-\\ a B = [*2/3/2/^2] v 3-rozměrném kartézském souřadném systému je délka úsečky AB a je dána vztahem AB| = y/(x2 - *i)2 + (y2 - yi)2 + (z2 - ^i)2. Pro vzdálenost d bodu A = [xo,yo/Zo] od roviny p o rovnici ax + by + cz + d = 0 platí d = axo + by q + czq + d V a2 + b2 + c2 Dvě roviny o rovnicích a\x + b\y + c\z + d\ = 0 a #2* + č^y + C2Z + ^2 = 0 svírají úhly (p a. n — (p, přičemž platí #1^2 + bib2 + c\c2 cos

kde (p je úhel, který svírají vektory u a v, tj. vektorový součin má velikost rovnu obsahu rovnoběžníku určeného těmito vektory a směrový vektor je k nim kolmý. Věta: Buď dána rovina p : ax + by + cz + d = 0 a přímka p se směrovým vektorem s = {s\, s2, S3). právě tehdy, když normálový vektor roviny je kolmý ke směrovému vektoru přímky, tj. n • s = as\ + bs2 + cs^ = 0, právě tehdy, když jsou vektory s a n kolineární, tj, CL\ b\ C\ S\ s2 s3 má hodnost 1. Definice: Uhlem, který svírá přímka p s rovinou p, rozumíme úhel Tí

0. Hyperbolický paraboloid s vrcholem v počátku souřadnic má rovnici 2 2 x V --v— = 2z, kde p • q > 0. Kužel s vrcholem v počátku souřadnic má rovnici 2 2 2 xA y zz --h----=0 a2 b2 c2 ©Lenka Přibylová, 2011 Q Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Definice: Okolím bodu Xq E IR rozumíme libovolný otevřený interval í, který tento bod obsahuje. Nejčastěji se používá interval, jehož je bod Xq středem. Xq — S Xq Xq + ô -o | o- Takovýto interval nazýváme ^-okolím bodu Xq a označujeme 0$(xq). Jestliže z ^-okolí bodu Xq vyjmeme bod xq, mluvíme o ryzím ^-okolí bodu Xq a budeme jej značit Os(xq). Xq — S Xq Xq + ô -0 0 0- ©Lenka Přibylová, 2011 Q Pravým ryzím ^-okolím bodu Xq rozumíme otevřený interval Ôs(x0) = (x0,x0 + S) Xq Xq + ô a levým ryzím ^-okolím bodu Xq rozumíme otevřený interval Ôj(xo) = (x0-S,x0). Xq — s Xq ©Lenka Přibylová, 2011 Q Limita funkce Definice: Nechť x0, L e R a / : R v nějakém ryzím okolí bodu Xq. R je funkce / definovaná v Řekneme, že funkce / má v bodě Xq limitu rovnu číslu L, jestliže Vč > 0 existuje 30 > 0 takové, že pro x g Oj(xo) platí /(x) g Oe(L). Píšeme lim /(x) = L. ©Lenka Přibylová, 2011 Q ©Lenka Přibylová, 2011 Q y = f(x) ©Lenka Přibylová, 2011 Q Jednostranná limita Definice: Nechť Xq,L g R a / : R —> R. Dále nechť je funkce / definovaná v nějakém pravém ryzím okolí bodu xq. Řekneme, že funkce / má v bodě Xq limitu zprava rovnu číslu L, jestliže ke každému e > 0 existuješ > 0 takové, že pro M x g O^(xq) platí f (x) g Oe(L). Píšeme lim f (x) = L. _v -y + 0 Analogicky definujeme limitu zleva. ©Lenka Přibylová, 2011 Q ©Lenka Přibylová, 2011 Q ©Lenka Přibylová, 2011 Q Věta: Funkce má v každém bodě nejvýše jednu limitu (limitu zprava, limitu zleva). Věta: Funkce má v bodě Xq G R limitu právě tehdy když lim f(x) = lim f(x). Xv I 0 o ©Lenka Přibylová, 2011 Q Nevlastní body Definice: Rozšířenou množinou reálných čísel R rozumíme množinu reálných čísel R rozšířenou o body ±00. Označujeme R* =RU {00,-00} Prvky ±00 nazýváme nevlastní body, body množiny R nazýváme vlastní body. Pro a G R definujeme: a + 00 = oo, a — 00 = —00, 00 + 00 = 00, 00 • 00 = —00.(—00) = 00, —00 — 00 a a 00 .(—00) = —00, — = —00 = O 00 —00 —00 < a < 00, zb 00 = 00, 5BI Cl 19 ias ©Lenka Přibylová, 2011 Je-li a > O definujeme a • oo = oo a • (—00) = — 00, a je-li a < O definujeme a • 00 = —00 a • (—o°) = °°. Poznámka 19. Nejsou tedy např. definovány operace: ±00 oo — oo, zboo.O a -— ±00 Takovýmto výrazům rikame neurčíte výrazy. Poznamenejme, ze samozřejmě není definováno dělení nulou. ©Lenka Přibylová, 2011 Q Nevlastní limita V Definice: Říkáme, že funkce f(x) má v bodě Xq nevlastní limitu +00 (—oo), jestliže pro VM > 0 existuje 5 > O takové, že pro Vx G Ój(x0) platí/(x) > M (resp./(x) < —M). Píšeme lim /(x) = +00(—00). ©Lenka Přibylová, 2011 Q ©Lenka Přibylová, 2011 Q Poznámka 20. Aby existovala limita v bodě Xq G R, nemusí být funkce sin x f v bodě Xn definována. Například limita funkce lim- existuje, i když x^o x tato funkce není definována v bodě 0. Funkce naopak musí být definována v nějakém ryzím okolí (nebo jednostranném ryzím okolí, v případě jednostranné limity) bodu a. Není tedy definována například lim \/1 — 3x2, nebo x—>1 lim ln(x). =4> Příklad na numerický výpočet limity <= ©Lenka Přibylová, 2011 Q Limita v nevlastním bodě ©Lenka Přibylová, 2011 Q Spojitost funkce Definice: Řekneme, že funkce / : R —> R je spojitá v bodě xq, jestliže Xq G D(/) a lim /(x) = /(*o) . X^Xq Řekneme, že funkce / : R —> R je spojitá zprava (spojitá zleva) v bodě xq, jestliže Xq G D(/) a lim /(x) = /(*o) ( lim /(*) = /(xq)). _v y I y_v y 0 o Definice: Řekneme, že funkce je spojitá na intervalu {a,b), (a,b) (a,b) (a, b), je-li spojitá v každém jeho vnitřním bodě a v krajních bodech (pokud tam patří) je spojitá zprava, resp. zleva. ©Lenka Přibylová, 2011 Q Věta: Spojitá funkce nabývá v uzavřeném intervalu (a, b) své ne-jvyšší a nejnižší hodnoty a také všech hodnot mezi nimi. b x b x Věta: Nechť/(x) je spojitá funkce v uzavřeném intervalu (a,b) a platí f (a) • f(b) < 0. Pak existuje alespoň jedno číslo c G (a, b) takové, že f{c) = 0. ©Lenka Přibylová, 2011 Q Pravidla pro počítání s limitami r Věta: Buď a G IR*, k G R, /, g : R —> R. Jestliže mají / a g v bodě a vlastní limitu, pak platí lim k x^a = k x^a lim (f(x) ± g(x X ^ í7 lim(/(x) -g(x)) \imk-f(x) x^a lim x^a g(X) lim/(x) ± limg(x) X ^ Cl X ^ Cl lim/(x) • limg(x) X ^ d X k • lim fix) x^aJ lim/(x) x^a limg(x) pro limg(x) 7^ 0, x^a x^a ©Lenka Přibylová, 2011 Q Zobecněním základních pravidel dostáváme linearitu limity: lim(fci/i(x) H-----\-knfn(x)) = fci lim H-----\-kn \imfn(x) S využitím předchozí věty lze počítat následující limity -11./ \ 71 ^ 71 1. lim (arctgx + arccotgx) = — + 0 = — 2. lim — cos x = x^o" X — 00 • 1 = —00 3. lim 1 x 00 - 00 00 Větu nelze použít pro výpočet limity 1 lim ( —h ln x ), x^0+ V x protože bychom obdrželi neurčitý výraz 00 — 00 5BI Cl 19 ias ©Lenka Přibylová, 2011 Věta: Je-li funkce g je spojitá, platí limog(/(x))=g(limo/(x)) Totéž platí i pro jednotlivé jednostranné limity. Dále tedy platí např. lim \f(x)\ = | lim/(x) x^a lim x^a x^a x^a lim(/(x))n = (lim/(x x^a n f (x) = n/lim f (x) lim bfW = b x^a limx^ f (x) Wlogb/(x)) = logh(hmf(x)) x^a x^a ©Lenka Přibylová, 2011 Q Příklad. Uvedenou větu lze použít pro výpočet následujících limit: 1 1. lim ln[ — x^0+ V x ln oo = 00 2. lim arctg(e x) = ||arctgoo X^ — OQ 71 3. lim ln(sinx) = ||ln(0+) = —oo ©Lenka Přibylová, 2011 Q Výpočet limity funkce • V bodě, ve kterém je funkce definovaná a spojitá vypočteme limitu přímým dosazením. V bodě, ve kterém funkce není definovaná nebo není spojitá mohou dosazením vznikat výrazy typu k Ô 0 Ô , které vedou k nevlastní limitě, oo 00 , což jsou neurčité výrazy, které lze řešit většinou pomocí I/Hospitalova pravidla nebo pomocí úprav. ©Lenka Přibylová, 2011 Q > Interaktivní kvizy na limity elementárních funkcí < Interaktivní kvizy na základních operace s limitami =4> Příklady na výpočet limit <= ©Lenka Přibylová, 2011 Q Derivace funkce v Definice: Nechť Xq E D(f). Řekneme, že funkce / má v bodě Xq derivaci rovnu f7(xo), jestliže existuje konečná limita /'(*o) = Hm /(*o + *)-/(*o). , „ /z Neexistuje-li tato limita, říkáme, že funkce f{x) nemá v bodě Xq derivaci. ©Lenka Přibylová, 2011 Q ©Lenka Přibylová, 2011 Q y = /0) f(x0 + h) f(xo) } f(xo + h)-f(xo) Í) I x0 xq + h x ©Lenka Přibylová, 2011 Q Poznámka 21. Geometrický význam derivace: Sečna ke grafu funkce / procházející body [*0//(*o)] a [xo + h,/(xq + h)] ■f í J£ _|_ fo\ _ f í J£ \ :~: —-—-. Jestliže se s bodem (xq + h) blížíme k bodu ma smernici h Xq (tj. provádíme-li limitní přechod lim), přejde sečna v tečnu v bodě [*0//(*o)]- Limitní hodnota, tj. směrnice tečny, je potom rovna derivaci f'(x0). Poznámka 22. Má-li funkce / v bodě Xq derivaci, je rovnice tečny ke grafu funkce v bodě [xq, f(xo)\ y = f(x0)(x-x0) + f(x0). ©Lenka Přibylová, 2011 Q ©Lenka Přibylová, 2011 Q Definice: Nechť má funkce / derivaci v každém bodě otevřeného intervalu L Předpisem, který každému bodu x z intervalu I přiřadí derivaci funkce / v bodě x je na I definována funkce, kterou nazýváme derivací funkce / na intervalu I a označujeme f7. Často označujeme derivaci mimo ff také jako yf nebo dy dx' Funkci, která má v bodě xq, resp. na intervalu í, derivaci, nazýváme diferencovatelnou v bodě xq, resp. na intervalu I. Příklad . Vypočtěte f'(x) funkce f{x) = x. f'(x) — lim X ^—- = lim \ = 1 h^o h h^oh f(X) = (x)' = 1. ©Lenka Přibylová, 2011 Q Vzorce a pravidla pro derivování Věta: Nechť/, g jsou funkce a c £ R konstanta. Platí \f(x)±g(x) [f(x)g(x) c/'(x) /'(*)±s'(*) /'(x)g(x)+/(xV(x) £20) r g(x) Z 0. Derivace elementárních funkcí jsou dány následujícími vztahy a jsou definovány pro všechna x z definičního oboru elementární funkce: ©Lenka Přibylová, 2011 Q k' = O (cos x)' = — sin x 1 cos2 x 1 0X)7 = ex (cotg*)' = —: sin2 x 1 {ax)f — ax\na (arcsinx)7 = y/l ^ 2 1 1 (ln x)7 = — (arccosx)7 = — 1 1 (log^xV = —— (arctgxV =--^ v &a 7 x lna v 07 1 + x2 1 (sin x)7 = cos x (arccotexV = —--~ v 7 v & 7 1 + x2 5Bi bi isi ias Příklady na základní vzorce pro derivování. ©Lenka Přibylová, 2011 Věta: Pro složenou funkci platí Lf(s(*))]W'(s(*M*), kde existence derivace vlevo plyne z existence derivací vpravo. Poznámka 23. Výraz f'(g(x)) v předchozí větě znamená derivaci funkce / vypočtenou v bodě g(x). Příklady na derivování složené funkce. Interaktivní kvizy na metodu derivování. =4> Příklady na výpočet derivace funkce. <= Interaktivní kvizy na výpočet derivace funkce. ©Lenka Přibylová, 2011 Q Diferenciál funkce Definice: Nechť funkce f(x) je spojitá v nějakém okolí O(xo) bodu Xo a nechť existuje derivace /'(xq). Nechť Xq + h e O(xq). Diferenciálem funkce f(x) v bodě Xq rozumíme výraz df(xo) = f(xo) -h. y = f(x) ©Lenka Přibylová, 2011 Poznámka 24. Pro různé hodnoty h dostáváme různé hodnoty diferenciálu df(xo). Diferenciál df(xo) je tedy funkcí proměnné h (evidentně funkcí lineární). Pokud budeme uvažovat obecný bod x, v němž existuje derivace f'(x), bude diferenciál df(x) funkcí dvou proměnných x a h. Protože pro funkci f(x) = x platí df(x) — d x — 1 ■ /z, můžeme použít vztahu h — dx pro obvyklý historický zápis diferenciálu a derivace funkce y = f(x)\ df(x) — dy — f[x)dx, tj. ©Lenka Přibylová, 2011 Q Derivace vyšších řádů Derivací 2.řádu (druhou derivací) funkce f(x) nazýváme funkci (/ ) , tj. derivaci první derivace funkce y = f (x). Podobně derivaci 3.řádu definujeme jako derivaci 2. derivace. Definice: Derivaci n-tého řádu funkce f{x) definujeme jako derivaci derivace řádu n — 1, tj. = |y(n_1) (x)] Vyšší derivace označujeme takto: d2y d3y dny dx2' dx3' " ' ' dxn' ©Lenka Přibylová, 2011 =4> Příklady na derivace vyšších řádů. <= ©Lenka Přibylová, 2011 Q Užití derivací k výpočtu limit r Věta: ľHospitalovo pravidlo: Nechťa G R* a nechťfunkce /a g jsou definovány v nějakém ryzím okolí bodu a a mají zde derivaci. Necht7dále platí bud7 lim f (x) = limg(x) = 0 nebo lim \g(x) x^a = oo. Pak platí Um M = Um x^a g(x) x"agf(x)' pokud limita na pravé straně rovnosti existuje. Totéž platí i pro obě jednostranné limity. ©Lenka Přibylová, 2011 Q Poznámka 25. Předchozí větu lze použít na všechny neurčité výrazy. Lze je převést na výrazy typu 0 nebo oo - ô OO takto: 0 • oo 0 0 nebo 0 • oo oo co l/oo Ô 1/0 co 00 — 00 ze převést na spol. jmenovatel do tvaru 0 nebo 00 ô 00 1 oo Jnl oo ,oo-ln 1 a stejný trik lze použít na výrazy typu O = e 00° oo-o =4> Příklady na užití 1'Hospitalova pravidla. <= ©Lenka Přibylová, 2011 Q Monotónnost funkce. Lokální extrémy. r Věta: Nechť/(x) je na (a, b) spojitá a má derivaci v každém jeho vnitřním bodě. Pak platí: Funkce f{x) je na (a,b) konstantní 44> Vx g platí /'(*)=0. Jestliže Vx g (a, b) platí/'(x) > 0, pak je funkce f{x) na (a, b) rostoucí. Jestliže Vx g (a, b) platí/'(x) < 0, pak je funkce f{x) na (a, b) klesající. ©Lenka Přibylová, 2011 Q Definice: Řekneme, že f(x) má v bodě Xq lokální maximum (minimum), resp. lokální extrém, jestliže Vx z nějakého okolí Xq platí f(x) < f(x0) (f(x) > f(x0)). Pokud pro x Xq platí ostré nerovnosti, nazýváme lok. extrém ostrým. y ©Lenka Přibylová, 2011 Q Věta: Nechť/7(xo) = O a f"(xo) 7^ 0. Pak má f{x) v Xq lokální extrém, a to • lokální maximum, je-li f"{xq) < 0, • lokální minimum, je-li//7(xo) > 0. Definice: Je-li ff(xo) = 0, pak bod [*0//(*o)] nazýváme stacionárním bodem. Příklady na výpočet lokálních extrémů. ©Lenka Přibylová, 2011 Q Konvexnost a konkávnost. Inflexní body. Definice: Funkci nazveme konvexní (konkávni) v bodě xq, jestliže její graf leží v okolí Xq nad (pod) tečnou v tomto bodě. Funkci nazveme konvexní (konkávni) na intervalu l, je-li konvexní (konkávni) v každém jeho bodě. Věta: Nechť/7 (x) je diferencovatelná na [a, b). Pak jestliže Vx G (a, b) platí fn(x) > 0 ^> /je konvexní na (a,b), jestliže Vx G [a, b) platí fn(x) < 0 ^> /je konkávni na (a,b). 5BI Cl 19 ias ©Lenka Přibylová, 2011 Definice: Funkce / má v bodě Xq inflexní bod, jestliže má v Xq tečnu a f"(x) zde mění znaménko (graf funkce přechází z konvexity do konkávity nebo naopak). Důsledek: Funkce f(x) může mít inflexní bod v tzv. kritickém bodě Xq kde fff(xo) — 0/ nebo tam, kde /"(xq) neexistuje. ©Lenka Přibylová, 2011 Q y y = /O) Příklad na výpočet inflexních bodů, konvexnosti a konkávnosti. 5BI BI ISi ias ©Lenka Přibylová, 2011 Asymptoty funkce Definice: Asymptota je přímka, která je tečnou ke grafu funkce v některém nevlastním bodě. Věta: Funkce má asymptotu bez směrnice x = Xq 44> má / v bodě Xq nevlastní limitu zleva nebo zprava. asymptotu se směrnicí y = kx + q pro x —> ±00 ^ f(x) k = lim J-^ G R a a = lim (f(x) -kx) G R ©Lenka Přibylová, 2011 Q =4> Příklad na výpočet asymptot. <^= ©Lenka Přibylová, 2011 Q Průběh funkce Postup při vyšetřování průběhu funkce: 1. Určíme D(/), sudost, resp. lichost, periodičnost funkce a průsečíky grafu funkce se souřadnými osami. Najdeme intervaly, kde je funkce kladná a kde záporná. 2. Vyšetříme chování funkce v nevlastních bodech a najdeme asymptoty. 3. Vypočteme fnajdeme stacionární body, intervaly monotónnosti a nalezneme lokální extrémy. 4. Vypočteme ff>', najdeme kritické body, intervaly konvexnosti a konkávnosti a nalezneme inflexní body. 5. Načrtneme graf. =4> Příklady na průběh funkce. <= ©Lenka Přibylová, 2011 Q Taylorův polynom Funkční hodnotu dovedeme přesně vypočítat pouze u polynomů a racionálních lomených funkcí s racionálními koeficienty. U ostatních funkcí je třeba použít pro výpočet numerické hodnoty některou z aproximačních metod. Základní aproximační metodou je použití Taylorova polynomu příslušného dané funkci. Definice: Nechť funkce / má v okolí bodu Xq spojité derivace až do řádu n + 1. Taylorovým polynomem n-tého stupně příslušným funkci f(x) v bodě Xq rozumíme polynom r Tn(x) =/Oo) + /'(*<>) (X - Xq) + (X — Xq)2 + . . . ©Lenka Přibylová, 2011 Q Poznámka 26. Taylorův polynom stupně n má v bodě Xn stejnou funkční hodnotu a také všechny derivace až do řádu n jako funkce /, tj. Tn(x0) = f(x0), Tn'(x0) = f'(x0), TM(")(x0)=/(")(x0). =4> Animace Taylorova polynomu. <= ©Lenka Přibylová, 2011 Q r Věta (Taylorova věta): Nechť funkce / má v okolí O(xq) bodu Xq spojité derivace až do řádu n + 1. Pak existuje vhodné číslo c, které leží mezi xq a x takové, že Vx G O(xq) platí f(x) = Tn(x) +Rn+1(x), kde Tn(x) je Taylorův polynom a Kn+i(x) je polynom stupně alespoň n + 1 v proměnné (x — Xq), který nazýváme zbytkem. Zbytek může být např. tvaru R n+1 Příklady na výpočet Taylorova polynomu. =4> Jak být lepší než kalkulačka... <= ©Lenka Přibylová, 2011 Q r Integrální počet funkcí jedné proměnné Definice: Buď I otevřený interval, / a F funkce definované na L Jestliže platí F' (x) = f[x) pro Vx G I, nazývá se funkce F primitivní funkcí k funkci /, nebo též neurčitý integrál funkce / na intervalu L Zapisujeme J f (x) dx = F(x). v. Poznámka 27. Z existence derivace primitivní funkce F(x) vyplývá, že je vždy spojitá na I. ©Lenka Přibylová, 2011 Q Věta (postačující podmínka existence neurčitého integrálu): Ke každé spojité funkci existuje neurčitý integrál. r Věta (jednoznačnost primitivní funkce): Primitivní funkce je na daném intervalu k dané funkci určena jednoznačně, až na libovolnou aditivní konstantu. Přesněji, platí následující: 1. Je-li F primitivní funkcí k funkci / na intervalu I, platí totéž i pro funkci G(x) = F(x) + c, kde c G R je libovolná konstanta nezávislá na x. 2. Jsou-li FaG primitivní funkce k téže funkci / na intervalu í, liší se obě funkce na intervalu I nejvýše o aditivní konstantu, tj. existuje c G R takové, že F(x) = G(x) + c pro všechna x G I. Základní vzorce a pravidla Věta: Nechť/, g jsou funkce integrovatelné na l, c nechťje reálné číslo. Pak na intervalu I platí f(x) + g(x) dx = J f{x) dx + J g(x) dx, J c f {x) dx — c J f (x) dx. Základní vzorce pro nalezení primitivní funkce vyplývají ze vztahů pro derivace elementárních funkcí a jsou dány následujícími vztahy. Primitivní funkce jsou definovány pro všechna x z definičního oboru integrované funkce: ©Lenka Přibylová, 2011 Q Odx = c ex dx — ex + c X 1 dx = x + c x d.x — x n+1 n + 1 + c — dx — ln x + c x sin x dx = — cos x + c cos x dx = sin x + c • 2 sin x COS2 X la las dx — — cotg x + c dx — tg x + c ax dx = t1--h c, 1 7^ a > 0 X lna -r-- = — arcte — + c x2 + A1 A A 1 X = = arcsin — + c V A2 - x2 A Vx2±B 1 = ln x + \/x2 ± B + c dx = A2 - x2 "" 2A f'(x) ln A + x A-x + c dx = ln \f(x) \ + c ©Lenka Přibylová, 2011 Věta (speciální případ složené funkce): Nechť / je funkce inte-grovatelná na I. Pak J f(ax + b) dx = -F(ax + b), kde F je funkce primitivní k funkci / na intervalu L Platí pro ta x, pro která je ax + b E I. =4> Příklady na přímou metodu integrace. <= =4> Kvizy na přímou metodu integrace. <= ©Lenka Přibylová, 2011 Q Metoda per partes umožňuje derivovat některé součiny. Vychází z pravidla pro derivaci součinu: (u • v)' = u'v + uv' J {u • v)' áx — J u'v dx + J uv' dx uv = j ufvdx + J uv'dx J uv' dx — uv — J u'v dx BBI Q Q ©Lenka Přibylová, 2011Q Poznámka 28 (integrály typické pro výpočet metodou per-partés). Buď P (x) polynom. Metodou per-partés integrujeme například integrály následujících typů J P(x)eocx dx, J P(x) sm(ocx) dx, J P (x) > Příklady na metodu per partes. <^= =4> Kvizy na metodu per partes. <^= ©Lenka Přibylová, 2011 Q Substituční metoda Věta: Nechť/(ř) je funkce spojitá na intervalu l, nechť funkce Příklady na substituční metodu. <= =4> Kvizy na substituční metodu. <= ©Lenka Přibylová, 2011 Q Integrace racionálních lomených funkcí Při integraci neryze lomené funkce vždy rozkládáme funkci na součet polynomu a ryze lomené funkce, a to pomocí dělení polynomů se zbytkem nebo trikovým doplněním čitatele. Polynom pak integrujeme a ryze lomenou funkci rozkládáme na jednodušší ryze lomené funkce, tzv. parciální zlomky. Dostaneme jednoduché integrály, z nichž některé typy uvádíme: a) 1 b) 1 c) 1 ax + b (ax + b)k ax1 + bx + c d) Mx + N ax2 + bx + c ©Lenka Přibylová, 2011 Q a) Substituce ř = ax + b nebo vzorec J f(ax + b) dx 1 pro funkci/(x) = - dává x 1 1 -- dx = - ln ax + b + c ax + b a b) Substituce ř = ax + b nebo vzorec J f(ax + b) dx pro funkci f(x) — x~k dává 1 -F(ax + b) a 1 -F(ax + b) a 1 , + 7-7T7 dx = ---r—!—--h C (ax + b)k a -k + 1 ©Lenka Přibylová, 2011 Q c) Jmenovatel doplníme na čtverec a integrujeme podle vzorce 1 1 x o ."9 = ~r arctg — + c x2 + A2 A A nebo 1 A2 - x2 dx = 1 2Ä ln A + x A-x + c. =^> Příklad na integraci rac. lomené funkce typu c). 4= v d) Čitatel zlomku rozložíme na 2 sčítance tak, že první je derivací jmenovatele a druhý konstanta, pak integrujeme zvlášť ^> Příklady na integraci rac. lomené funkce typu d). <= ©Lenka Přibylová, 2011 Q =4> Kvizy na rozeznání typu parciálního zlomku. <= =4> Kvizy na formální tvar rozkladu na parciálni zlomky. <= =4> Kvizy na integraci pomocí rozkladu na parciálni zlomky. <= BBI Q Q ©Lenka Přibylová, 2011Q Integrace goniometrických funkcí. J R (cos x) sin x dx zavádíme substituci ř = cos x J R (sin x) cos x dx zavádíme substituci ř = sin x R(sin x), resp. R(cos x), jsou rac. lomené funkce jen v sinu, resp. kosinu. Většinou je třeba integrand na tento typ převést užitím goniometrických vzorců nebo rozšířením zlomku. =4> Příklady na integraci goniometrických funkcí. <= Poznámka31. Univerzální metodou k výpočtu J R(sinx, cosx) dx je sub- x stituce ř = tg—. V případě pouze sudých mocnin funkcí sinus a kosinus je jednodušší substituce ř = tgx. BBI Q Q ©Lenka Přibylová, 2011Q Integrace iracionálních funkcí. Některé jednoduché iracionální funkce (tj. funkce, které obsahují odmocniny) již umíme integrovat: J Vx^dx = J j3 = ... základním vzorcem pro integraci mocniny, / , dX = /(4x + 9)"2 dx = ... J + 9 J v J s použitím věty o integraci speciální složené funkce nebo substitucí t = 4x + 9, y 2xa/x2 + 1 dx = ... substitucí ř = x2 + 1. ©Lenka Přibylová, 2011 Q Nechť r je racionální lomená funkce. Jr(x, n\fj(x), n^J{x)/..^dx/ kde f(x) = x, f(x) = ax + b nebo f(x) = ^ řešíme substitucí J J J cx + a ts = f{x), kde s je tzv. společný odmocnitel, tj. nejmenší společný násobek čísel ri\, n2,____ r{x, v a2 — x2)dx řešíme substitucí x — a sin t r(x, v a2 + x2)dx řešíme substitucí x — a tg ř a r(x, yx2 — a2)dx řešíme substitucí x — — srn ř =4> Příklady na integraci iracionání funkce. <= BBI Q Q ©Lenka Přibylová, 2011Q Integrace složené exponenciální funkce Nechť .R je racionální lomená funkce. J R(ex)dx řešíme substitucí t — ex =4> Kvizy na určení metody integrace. <= =4> Další příklady na výpočet integrálů. <^= ©Lenka Přibylová, 2011 Q Určitý integrál Spočítat obsah plochy je jedna ze základních matematických úloh. Lidé potřebovali znát velikost pozemku, odhadnout úrodu nebo umět rozdělit majetek. Až do konce 17. století však používali přibližnou metodu, známou již ze starověku. Průmyslovou revoluci svým způsobem odstartoval objev Isaaca Newtona a Gottfrieda Wilhelma Leibnize - diferenciální a integrální počet. Formule, která dnes nese jejich jména, totiž slouží k přesnému stanovení obsahu útvaru omezeného křivkou y = f (x) a osou x na intervalu (a, b). Dnes ji najdete v pozadí veškerých technických vymožeností, protože je základem většiny fyzikálních a technických vzorců. Lze s její pomocí spočítat např. množství energie vytvořené vodní elektrárnou, únosnost pilířů mostu, statické i dynamické vlastnosti moderních staveb nebo také dobu, za kterou sinice zamoří přehradu. ©Lenka Přibylová, 2011 Q Než se seznámíme s objevem přesného výpočtu obsahu, vrátíme se ke v starým Rekům. Ti počítali přibližně obsah plochy pod křivkou y = f (x) tak, že útvar rozsekali na kousky, které byly podobné obdélníkům, spočítali jejich obsahy a sečetli je. Rozdělíme tedy interval (a, b) na dílky a = Xq < X\ < • • • < xn = b. Na obrázku je n = 6. Obsah i-tého obdélníku je přibližně f(íi)(xi ~ xi-i)r kde £z- G je tzv. reprezentant. BBI Q Q ©Lenka Přibylová, 2011Q Součet všech obdélníků a přibližný obsah útvaru je n i=l Tomuto číslu dnes říkáme integrální součet. Je zřejmé, že na našem obrázku dostaneme pro n > 6 přesnější odhad obsahu útvaru pod křivkou. První důležitý krok, který Newton a Leibniz provedli, byl limitní přechod n —> co. Dílky dělení Axj = x 2 x 2_^ pak mají délku konvergující k 0 a označujeme je dx (už jsme se s tímto symbolem setkali, jde o diferenciál x). Formálně tak dostáváme zápis kde znak integrálu původně opravdu znamenal protáhlé písmeno S -suma. i=l ©Lenka Přibylová, 2011 Q Definice: Buď (a, b) uzavřený interval a / funkce definovaná a ohraničená na (a, b). Řekneme, že funkce / je integrovatelná na intervalu (a, b), jestliže existuje číslo í, které je limitou n I = lim Sn = lim Y"!/(£/)Ax i=l pro libovolnou posloupnost dělení s délkou dílků konvergující k 0, při libovolné volbě reprezentantů. Číslo I nazýváme určitý integrál funkce / na intervalu (a, b) a označujeme f(x) dx. a Animace k definici určitého integrálu. ©Lenka Přibylová, 2011 Q Newtonova-Leibnizova formule Pro výpočet obsahu útvaru pod křivkou bylo tedy nutné vytvořit nejprve pojem limity a poté diferenciální a integrální počet, který nezávisle na sobě pro výpočet obsahu vytvořili Newton s Leibnizem. Teprve integrální počet je totiž tím nástrojem, který lze pro výpočet obsahu útvaru pod křivkou skutečně použít. Věta (Newtonova-Leibnizova formule): Nechť funkce f{x) je inte-grovatelná na (a, b). Nechť F (x) je funkce spojitá na (a, b), která je na intervalu (a, b) primitivní k funkci f{x). Pak platí /bf(x)dx=[F(x)£ = F(b)-F(a) ©Lenka Přibylová, 2011 Vlastnosti určitého integrálu Z Newtonovy-Leibnizovy věty vyplývají následující vlastnosti určitého integrálu: rb rb rb / [f(x)+g(x)]dx= / f(x)dx + / g (x) dx Ja Ja Ja rb rb / C - f(x) dx = C - / f (x) dx Ja Ja >a / f(x)dx = 0 Ja rb ra / f (x) dx — — j f {x) dx Ja Jb rb rC rb I f{x)dx— I f(x)dx+ / f (x) dx, pro c G (u, b) Ja Ja Jc 5Bi bi ia las ©Lenka Přibylová, 2011 Výpočet určitého integrálu Najít primitivní funkci umíme. V Newtonově-Leibnizově větě je ale také podmínka spojitosti funkce na intervalu (a, b), což je nutné zkontrolovat. =4> Příklady na výpočet určitého integrálu. <^= ©Lenka Přibylová, 2011 Q Geometrické aplikace určitého integrálu • Obsah rovinné plochy omezené spojitou nezápornou funkcí y = f (x), osou x a přímkami x = a a x = b: =4> S = / f (x) dx • Obsah rovinné plochy omezené spojitými funkcemi y = a y = h (x), které na intervalu (a, b) splňují d (x) < h (x), a přímkami x = a a x = b: =4> S = / (/z(x) — dx <^= ©Lenka Přibylová, 2011 Q • Ob j em rotačního tělesa vzniklého rotací plochy omezené spojitou nezápornou funkcí y = f (x), osou x a přímkami x = a a x = b: ^V = n f2(x) dx J a • Objem rotačního tělesa vzniklého rotací plochy omezené spojitými funkcemi y = d (x) a y = h (x), které na intervalu (a, b) splňují d (x) < h (x), a přímkami x = a a x = b: => V = ti ŕ(h2(x) - d2(x)) dx 4= ©Lenka Přibylová, 2011 Q Délka rovinné křivky y = f (x), x G (a, b), která je na intervalu a, b) diferencovatelná. => L = a yjl+\f'(x)]2dx Obsah pláště rotačního tělesa vzniklého rotací plochy omezené spojitou nezápornou funkcí y = f{x), osou x a přímkami x = a a x — b\ P = 271 ŕf(x)^l + [f(x)]2dx Ja v Kvizy na určitý integrál. ©Lenka Přibylová, 2011 Q Nevlastní integrál Nevlastní integrál je rozšířením pojmu určitého integrálu. Určitý integrál je definovaný pouze pro ohraničené funkce a konečné obory integrace. Body, ve kterých funkce není ohraničená a nevlastní body ±00, budeme souhrnně nazývat singularitami. Integrál / f (x) dx nazýváme nevlastní, pokud alespoň jedno z čísel Ja a, b je rovno ±00, nebo funkce f (x) není ohraničená na uzavřeném intervalu (a, b) (tj. alespoň v jednom bodě intervalu funkce má singularitu - nemusí jít vždy o body a nebo b, ale singulární bod může být i uvnitř intervalu). Následující definice je současně i návodem, jak nevlastní integrál vypočítat. ©Lenka Přibylová, 2011 Q r Definice: Nechť f (x) má singularitu v horní mezi b (resp. dolní mezi a). Existuje-li konečná limita rt rb lim / f (x) dx (resp. lim / f (x) dx) t^b~ Ja t^a+ J t říkáme, že nevlastní integrál konverguje (existuje) a definujeme rb rt / f (x) dx = lim / f (x) dx, Ja t^b~ Ja rb rb (resp. / f (x) dx = lim / f(x)dx). Ja t^a+ J t Pokud limita neexistuje, nebo je nevlastní, říkáme, že integrál f (x) dx neexistuje, nebo diverguje. a ©Lenka Přibylová, 2011 Q =4> Příklady na výpočet integrálu nevlastního vlivem meze. <= =4> Příklady na výpočet integrálu nevlastního vlivem funkce. <= =4> Složitější příklad na výpočet nevlastního integrálu. <^= =4> Další příklady na výpočet nevlastních integrálů. <= BBI Q 19 199 ©Lenka Přibylová, 2011| Diferenciální počet funkcí dvou proměnných Definice: Nechťjsou dány neprázdné množiny D C R a H C R. Pravidlo /, které každému prvku [x, y] G D přiřazuje právě jeden prvek z G H, se nazývá funkce. Zapisujeme z = f (x, y). Množina D = D (f) se nazývá definiční obor funkce /. Množina všech z G H, pro která existuje [x, y] G D s vlastností f (x, y) = z, se nazývá obor hodnot funkce / a označujeme jej H (f). Jde o stejnou definici funkce, kterou jsme již probírali. Vzhledem k tomu, že D(/) C R2 a H (f) C R, mluvíme o reálné funkci dvou reálných proměnných. ©Lenka Přibylová, 2011 Q Definice: Grafem funkce z = f(x,y) rozumíme množinu všech uspořádaných trojic [x, y,f{x, y)],x a.y označujeme jako nezávislé proměnné a z jako závislou proměnnou. ©Lenka Přibylová, 2011 Q .. ry *0/í/oJ £ ÍR bod, ô\ > 0 a Ô2 > 0 čísla. Množinu 2 : |x — Xq| < ^1/ |y ~~ 1/01 < ^2} nazýváme okolím Definice: Bud O = {[x,y] G R bodu [jQ,yo]. Ryzím okolím bodu [xo/í/o Ô = O - {[x0,y0]}. rozumíme množinu ž/ 2/0+ £ ž/o Vo ~ h okolí _^o, 2/0. x0 - íl x0 ©Lenka Přibylová, 2011 Q Definice: Nechť [x0,i/o] g R2, L g R a / : R2 definovaná v nějakém ryzím okolí bodu [xo,i/o R je funkce Řekneme, že funkce / má v bodě [xo,i/o] limitu rovnu číslu L, jestliže Vč > 0 existuje ryzí okolí O bodu [xo/í/o] (3^1/^2 > 0 z předchozí definice) takové, že pro [x,y] g O platí /(x) g Oe(L). Píšeme lim /(x) = L. [^y]^[^o/yo] Poznámka 32. Definice limity funkce dvou proměnných má formálně stejné znění jako definice limity funkce jedné proměnné. Proto také pro limitu funkce dvou proměnných platí analogické věty jako pro limitu funkce jedné proměnné. ©Lenka Přibylová, 2011 Q Definice: Řekneme, že funkce / : R2 —> R je spojitá v bodě [xo/í/o jestliže [x0,y0] G D(/) a lim /(x,y) = /(x0/í/o) • [x,y]^[xo,yo] Věta: Součet, rozdíl a součin dvou funkcí spojitých v bodě [xo/í/o] je funkce spojitá v bodě [xo,yo]- Podíl dvou funkcí spojitých v bodě [xo,yo] je funkce spojitá v bodě [xo,yo]/ pokud funkce ve jmenovateli je v tomto bodě různá od nuly. ©Lenka Přibylová, 2011 Q Definice: Nechťu — g{x,y) a v — h(x,y) jsou funkce definované v množině M, nechť f(u,v) je funkce definovaná v množině D a nechť pro každý bod [x,y] G M platí \g(x,y),h(x,y)] G D. Pak funkce přiřazující každému bodu [x,y\ G M číslo f[g(x,y),h(x,y)\ se nazývá složená funkce. Tato funkce je definovaná na množině M, funkce / se nazývá její vnější složka, g{x, y), h(x, y) její vnitřní složky. ©Lenka Přibylová, 2011 Q Parciální derivace Definice: Buď f(x,y) funkce a [xo,i/o] bod. Funkce g(x) = f{x,y$) je funkcí jedné proměnné x. Má-li funkce g{x) v bodě Xq derivaci gf(xo), nazýváme ji parciální derivací funkce f{x,y) podle x v bodě [xo,yo] a značíme ji /x(^0/í/o) nebo Analogicky definujeme parciální defivaci podle y. Podle definice derivace tedy platí A i^O/i/oj - Aim--- f(r 1/ ^-iím /(^yo + fr)-/(^yo) Mxo,yoJ - lim-^- ©Lenka Přibylová, 2011 Q =4> Geometrický význam parciální derivace. <= =4> Příklady na parciální derivace <= =4> Interaktivní kvizy na parciální derivace <= Parciální derivace vyšších řádů můžeme definovat analogicky Má-li např. funkce fx{x,y) v bodě [xo/í/o] parciální derivaci podle x, značíme ji fxx(xO'yo) nebo (^O/j/o) ^ Má4i funkcey) v bodě [xo/Vo] parciální derivaci podle y, značíme ji /™(*0/ y o) nebo df2(xo,yo) Podobně definujeme a značíme i derivace vyšších řádů. Věta: Nechť má funkce f{x,y) parciální derivace /™(*0/3/o) a fyX(xo,yo) spojité v bodě [xo,yo]- Pak platí yx fxyiXO'Vo) - fyx(xO'Vo)- xyK^wyvj jyx v_ ©Lenka Přibylová, 2011 Q Diferenciál a tečná rovina plochy Definice: Nechť je funkce f{x,y) spojitá v okolí O bodu [xo/í/o a nechť existují parciální derivace /x(^0/í/o) a /y(xO/í/o)- Nechť bod [x, y] = [Jq + /z, yo + /c] e O. Totálním diferenciálem funkce f{x,y) v bodě [xq/Í/o] rozumíme výraz df(x0,y0) = fx(x0,y0) 'h + fý(x0/y0) -k. Poznámka 33. Analogicky jako u diferenciálu funkce jedné proměnné lze psát h = dx a k = dy a totální diferenciál v obecném bodě má tvar df(x,y) = f'x(x,y)dx + f'y{x,y)dy. ©Lenka Přibylová, 2011 Q Věta: Má-li funkce f{x, y) v bodě [xq, y o] totální diferencál, pak má graf funkce z = f{x,y) v bodě [*0/yo//(*0/3/o)] tečnou rovinu o rovnici z = f(xQ/yo) +ffx(x0/y0) • (x - x0) + fý(x0,y0) • (y-y0) Totální diferenciál je vlastně přírůstek na tečné rovině při přechodu z bodu [xo/yo] do bodu Xq + h,yo + k.V dostatečně malém okolí bodu XO/yo] lze přírůstek funkce nahradit totáním diferenciálem, tj. A/(x0,yo) = f(xo + h,yo + k)-f(x0,yo) =df(x0,yo)> ©Lenka Přibylová, 2011 Q Lokální extrémy funkcí dvou proměnných r Definice: Buď/(x,y) funkce definovaná v nějakém okolí O bodu XO/yo] a nechť pro každé [x,y] G O platí f(x,y) < f(xQ/yo) resp./(x,y) > f(x0,y0). Pak říkáme, že funkce f{x, y) má v bodě [xq, y o] lokální maximum, resp. lokální minimum, mluvíme o lokálním extrému funkce. Platí-li v uvedených vztazích ostré nerovnosti, nazýváme lokální extrém ostrým. ©Lenka Přibylová, 2011 Q Věta: Nechťfunkce f{x, y) má v bodě [xq, yo] lokální extrém a nechť zde má parciální derivace fx(xo,yo) a fý(xo,yo). Pak platí fx(xo,yo) =fý(x0,y0) =0. Poznámka34. Bod [xo/í/o]> který splňuje vlastnost fx(x0,y0) =fý(x0,y0) =0 nazýváme stejně jako u funkcí jedné proměnné stacionárním bodem. Podobně jako u funkcí jedné proměnné neplatí obrácení předchozí věty. Stacionární bod nemusí být lokálním extrémem. ©Lenka Přibylová, 2011 Q Definice: Má-li funkce /(x, y) parciální derivace 2. řádu, nazýváme matici druhých derivací _ j fxx(x'V) fxi/(x'y) Jyx(x' V ) fyy(X' V) Hessovou maticí funkce /(x, y). Její determinant se nazývá hessián. Věta: Nechť má funkce f{x, y) ve stacionárním bodě [xq, y o] a jeho okolí spojité parciální derivace 1. a 2. řádu. Jestliže je hessián v bodě [xo,yo] kladný, má funkce f{x,y) v tomto bodě ostrý lokální extrém. Je-li naopak hessián v bodě [xo,yo] záporný, nemá funkce /(x,y) v tomto bodě ostrý lokální extrém, bod [xo,yo případě nazýváme sedlem. v tomto ©Lenka Přibylová, 2011 Q Poznámka 35. Najdeme-li pomocí hessiánu v bodě [xq,i/o] lokálni extrém, můžeme o maximu, resp. minimu, rozhodnout pomocí druhých parciálních derivací. Je-li v řezu ve směru např. osy x funkce konvexní, tj. pokud fxX(xo,yo) > 0, nastává v tomto bodě lok. minimum. V opačném případě maximum. ^ Lokální extrém. =4> Sedlo. Příklady na lokální extrémy funkcí dvou proměnných =4> Interaktivní kvizy na lokální extrémy <= BBI Q 13 199 ©Lenka Přibylová, 2011 Q Absolutní extrémy Definice: Buď M G R množina v rovině, [xo/J/o] bod, f(x,y) funkce definovaná na množině M. Řekneme, že funkce f(x,y) má v bodě [xo,i/o] absolutní maximum, resp. absolutní minimum, jestliže pro V[x,y] G M platí f (x,y) < f(xo,yo), resp. j {x,y) > /(^O/l/o). Věta: NechťM ^ 0 je množina v rovině, [xo,yo] G M bod, j [x,y) funkce definovaná na množině M. Pokud má funkce j [x,y) v bodě [xo,yo] absolutní extrém, pak bod [xo,yo] leží bud7 na hranici množiny M nebo v něm má funkce j [x,y) lokálni extrém. ©Lenka Přibylová, 2011 Q Budeme-li tedy hledat absolutní extrémy funkce, porovnáváme funkční hodnoty ve všech • stacionárních bodech (v nich může nastat lokální extrém), • dále ve stacionárních bodech vázaných hranicemi množiny M • a ve vrcholech (pokud existují). Absolutní extrém. 4= =4> Příklady na absolutní extrémy <^= BBI Q 19 199 ©Lenka Přibylová, 2011 Q Integrální počet funkcí dvou proměnných Tak jako u integrace funkce jedné proměnné představoval určitý integrál na nějakém intervalu obsah plochy pod křivkou danou touto funkcí na tomto intervalu, tak i pro funkce dvou proměnných určitý integrál (říkáme mu dvojný integrál) představuje objem pod plochou danou funkcí dvou proměnných na nějaké rovinné podmnožině. Ne vždy takový dvojný integrál existuje, ale my se tímto tématem nebudeme zabývat. Uvedeme si pouze jednu konkrétní metodu výpočtu dvojného integrálu pro spojité funkce dvou proměnných a takzvané elementární množiny - nej jednodušší typ tzv. měřitelných množin. Dvojný integrál z funkce (x,y) na rovinné podmnožině O =4> Dvojný integrál. <^= značíme // (x,y) dxdy. ©Lenka Přibylová, 2011 Q r Věta (Fubiniova věta): Nechť a < b, funkce /, g funkce jedné proměnné spojité na (a, b) a (x,y) funkce spojitá na elementární množině Cíx — |[x,y] G R2 : a < x < b, f(x) < y < g(x) j. Pak pro dvojný integrál platí X Analogicky na elementární množině Oy — | [x,y\ G R2 : a < y < b, f (y) < x < g (y) j platí fj<í>(x,y) áxáy — J f J (x,y) dx\ dy. y 5BI BI 19 ias ©Lenka Přibylová, 2011 Z této věty vyplývá, že dvojný integrál na obdélníkové oblasti O = [a, b] x [c, d] r r f(x,y) dxdy o je podle Fubiniovy věty roven integrálu -d respektive integrálu 'd / rb Je-li navíc funkce f(x,y) součinem funkce proměnné x a funkce proměnné y, pak platí rb rd g(x)h(y) dxdy= / g(x) dx / h(y) dy. J a J c O ©Lenka Přibylová, 2011 5BI Cl 19 ias Interaktivní příklady na výpočet dvojných integrálů. V některých případech je pro výpočet dvojného integrálu vhodné provést transformaci proměnných. Jde ve své podstatě o substituční metodu integrace. Zavedeme-li nové proměnné regulární transformací q>: x = g(u,v), y = h(u,v), pak platí f{x,y) áxáy — J J f(g(u,v),h(u,v))\J(u,v)\dudv,