Průběh funkce Lenka Přibylová 28. července 2006 Obsah y = x + 4x + 5x 3 2(x2-x + l) Tx~^T) y= k:, :2j........................ 43 2 y=ln{—2)......................... 91 y=(x + l)ex........................... 152 EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 q EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 q Definiční obor je celá množina R. sa h tas ©Lenka Přibylová, 2006 y = x3 + 4x2 + 5x D(f) = R; ani sudá ani lichá, není periodická /(-x) = (-x)3 + 4(-x)2 + 5(-x) = -x3j\-4x2-5x ^ ±/(x)| sa h tas ©Lenka Přibylová, 2006 y = x3 + 4x2 + 5x D(f) = R; ani sudá ani lichá, není periodická průsečík s osou y je [0,0 ©Lenka Přibylová, 2006 y = x3 + 4x2 + 5x D(f) = R; ani sudá ani lichá, není periodická průsečík s osou y je [0,0 x3 + 4x2 + 5x = 0 Řešením rovnice y = 0 dostaneme průsečík s osou x. } ©Lenka Přibylová, 2006 y = x3 + 4x2 + 5x D(f) = R; ani sudá ani lichá, není periodická průsečík s osou y je [0,0 x3 + 4x2 + 5x = 0 x(x2+4x + 5) = 0 Vytkneme x. Součin je roven nule právě tehdy, když některý z činitelů je roven nule. Červený činitel dává triviální řešení, zelený činitel vede na kvadratickou rovnici. ©Lenka Přibylová, 20061 ^^^^f^^^r+^5^J D (f) = R; ani sudá ani lichá, není periodická průsečík s osou y je [0,0] x3 + 4x2 + 5x = 0 x(x2+4x + 5) = 0 x = 0 Kvadrativká rovnice x2 + 4x + 5 = 0 nemá reálné řešení, protože diskriminant je záporný: D = 16 — 20. sa h tas ©Lenka Přibylová, 2006 y = x + 4x + 5x I D (f) = R; ani sudá ani lichá, není periodická průsečík s osou y je [0,0] x3 + 4x2 + 5x = 0 x(x2+4x + 5) = 0 x = 0 Průsečík s osou x je jediný: x = 0. EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 q y = x3 + 4x2 + 5x D(f) = R; ani sudá ani lichá, není periodická průsečík s osou y je [0,0 x3 + 4x2 + 5x = 0 x(x2+4x + 5) = 0 x = 0 0 Na osu x zaneseme průsečík. Nemáme žádné body nespojitosti. EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 q y = x + 4x + 5x I D (/) = R; ani sudá ani lichá, není periodická průsečík s osou y je [0,0] x3 + 4x2 + 5x = 0 x(x2 +4x + 5) = 0 x = 0 0 /(-l) = -1+4-5 = -2 < 0 Funkční hodnota/(—l) je záporná a protože se znaménko na intervalu (—oo, Q) nemůže změnit, je funkce záporná na celém tomto intervalu, j ©Lenka Přibylová, 2006 y = x3 + 4x2 + 5x D(f) = R; ani sudá ani lichá, není periodická průsečík s osou y je [0,0 x3 + 4x2 + 5x = 0 x(x2 +4x + 5) = 0 x = 0 + 0 /(-l) = -1+4-5 = -2 < 0 /(l) = 10 > 0 Funkce je kladná v x = 1, tedy také na (0, oo). EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 q y = x3 + 4x2 + 5x I D (f) = R; ani sudá ani lichá, není periodická průsečík s osou y je [0,0] lim x + 4x + 5x = oo Vypočteme limity v ±oo. Začneme limitou v +oo. Protože platí oo + oo = oo, je výsledek zřejmý. sa h tas ©Lenka Přibylová, 2006 y = x3 + 4x2 + 5x D(f) = R; ani sudá ani lichá, není periodická průsečík s osou y je [0,0 lim x + 4x + 5x = oo lim x3 + 4x2 + 5x X^ — oo Pro —oo není výsledek na první pohled vidět, protože dostáváme neurčitý výraz oo — oo. sa h tas ©Lenka Přibylová, 2006 y = x3 + 4x2 + 5 x I D (f) = R; ani sudá ani lichá, není periodická průsečík s osou y je [0,0] lim x + 4x + 5x = oo J^OO lim x3 + 4x2 + 5x = lim x3 X—> — oo x—> —oo /-í- Vytkneme-li nej vyšší mocninu x , dostáváme x3 + 4x2 + 5x = x3(l + - + 4-)/ x xz kde druhý činitel konverguje k jedné. Obecně platí pravidlo, že u polynomu (i racionálni lomené funkce) se chování v nevlastních ^bodech nemění, jestliže zanedbáme členy s nižšími mocninami._ ©Lenka Přibylová, 2006 sa h tas y = x3 + 4x2 + 5x D(f) = R; ani sudá ani lichá, není periodická průsečík s osou y je [0,0 lim x + 4x + 5x = oo J^OO lim x3 + 4x2 + 5x = lim x3 = —oo X—> — oo x—> —oo EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 q y = x3 + 4x2 + 5x D(f) = R; ani sudá ani lichá, není periodická průsečík s osou y je [0,0 lim x + 4x + 5x = oo J^OO lim x3 + 4x2 + 5x = lim x3 = —oo X—> — oo x—> —oo Asymptota bez směrnice neexistuje, protože je funkce definovaná na celém R. Asymptota se směrnicí také neexistuje, protože x3 | 4jf2 | 5jc Zc = lim - = lim x2 + 4x + 5 = oo. X^±oo X X^±oo ©Lenka Přibylová, 2006 sa h tas y = x3 + 4x2 + 5x| D(/) = R; ani sudá ani lichá, není periodická průsečík s osou y je [0,0] /(+oo) = oo, /(-oo) = -oo; -1—Z. 0 EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 q y = x3 + 4x2 + 5x I D (f) = ]R; ani sudá ani lichá, není periodická průsečík s osou y je [0,0] f (+00) = 00, f (-00) = -00; —Z—1—i o y' = (x3 + 4x2 + 5x)' Vyšetříme chovaní derivace. EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 q y = x + 4x + 5x I D (/) = R; ani sudá ani lichá, není periodická průsečík s osou y je [0,0] /(+oo) = oo, /(-oo) = -oo; -1-1—+- 0 y' = (j3 + 4x2 + 5x)' = 3x2 + Sx + 5 Derivujeme každý člen zvlášť. | ©Lenka Přibylová, 2006 y = x3 + 4x2 + 5x D(f) = R; ani sudá ani lichá, není periodická průsečík s osou y je [0,0] /(+oo) = oo, /(-oo) = -oo; -Z-1—í- 0 y' = (j3 + 4x2 + 5x)' = 3x2 + Sx + 5 3x2 + 8x + 5 = 0 Hledáme stacionární body, proto položíme derivaci rovnu nule. sol ci ia las ©Lenka Přibylová, 2006 y = x + 4x + 5x I D (/) = R; ani sudá ani lichá, není periodická průsečík s osou y je [0,0] /(+oo) = oo, /(-oo) = -oo; -Z-,—í- 0 y' = (j3 + 4x2 + 5x)' = 3x2 + Sx + 5 3x2 + 8x + 5 = 0 -8 ± V64 - 60 -8 ±2 *U =-7-= —^ Vyřešíme kvadratickou rovnici. | ©Lenka Přibylová, 2006 q y = x + 4x + 5x I D (/) = R; ani sudá ani lichá, není periodická průsečík s osou y je [0,0] /(+oo) = oo, /(-oo) = -oo; -Z-,—í- 0 y' = (j3 + 4x2 + 5x)' = 3x2 + Sx + 5 3x2 + 8x + 5 = 0 -8 ± V64 - 60 -8 ±2 *w =-6-= -6— 5 , Vyřešíme kvadratickou rovnici. | ©Lenka Přibylová, 2006 q y = x3 + 4x2 + 5x D(f) = R; ani sudá ani lichá, není periodická průsečík s osou y je [0,0] /(+oo) = oo, /(-oo) = -oo; -1-í— 0 yf = 3x2 + 8x + 5; _|_l_ _5 -1 3 Na reálnou osu zaneseme stacionární body. Nemáme žádné body nespojitosti. sa h las ©Lenka Přibylová, 2006 y = x3 + 4x2 + 5x D(f) = R; ani sudá ani lichá, není periodická průsečík s osou y je [0,0 /(+oo) = oo, /(-oo) = -oo; -1—+ y' = 3x + 8x + 5; 0 S N S -1-1- _5 -1 3 ©Lenka Přibylová, 2006 y = x3 + 4x2 + 5x I D (f) = R; ani sudá ani lichá, není periodická průsečík s osou y je [0,0] /(+oo) = oo, /(-oo) = -oo; -Z-1-í- 0 . MAX \ y/ = 3x2 + 8x + 5; x | N x 5 -1 3 50 /(-5/3) = -g 5 Ve stacionárním bodě x = — - nastává lokální maximum. Dopočteme v tomto bodě funkční hodnotu. EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 q y = x3 + 4x2 + 5x D(f) = R; ani sudá ani lichá, není periodická průsečík s osou y je [0,0] /(+oo) = oo, /(-oo) = -oo; -1-í- 0 a MAX \ . y» y' = 3x2 + 8x + 5;__,_^_T - _5 -1 3 /(-5/3) = -g /(-l) = -2 Ve stacionárním bodě x = —1 nastává lokální minimum. Dopočteme v tomto bodě funkční hodnotu. sa h tas ©Lenka Přibylová, 2006 y = x3 + 4x2 + 5x D(f) = R; ani sudá ani lichá, není periodická průsečík s osou y je [0,0] /(+oo) = oo, /(-oo) = -oo; -1-í- 0 a MAX \ . ^ y'= 3x2 + 8x + 5; _C._,_^_T ^ _5 -1 3 /(-5/3) = -| /(-l) = -2 y" = 6x + 8 Spočteme druhou derivaci a vyšetříme její chovaní. EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 q y = x3 + 4x2 + 5x D(f) = R; ani sudá ani lichá, není periodická průsečík s osou y je [0,0] /(+oo) = oo, /(-oo) = -oo; -Z-1-í- 0 * MAX \ . x y =3x +8x + 5; x_|_* | x 5 -1 3 /(-5/3) = -52 /(-l) = -2 y" = 6x + 8 6x + 8 = 0 Položíme druhou derivaci nule._ ©Lenka Přibylová, 2006 q y = x3 + 4x2 + 5x D(f) = R; ani sudá ani lichá, není periodická + průsečík s osou y je [0,0] /(+oo) = oo, /(-oo) = -oo; -Z-1_ 0 * MAX \ . x y =3x +8x + 5; x_|_* | x _5 -1 3 /(-5/3) = -| /(-l) = -2 y" = 6x + 8; _|_ 4 3 Nakreslíme reálnou osu s kritickým bodem. Nemáme žádný bod nespojitosti, proto se druhá derivace může měnit pouze v inflexním bodě. sol ci ia tas ©Lenka Přibylová, 2006 y = x3 + 4x2 + 5x I D (f) = R; ani sudá ani lichá, není periodická průsečík s osou y je [0,0] /(+oo) = oo, /(-oo) = -oo; -Z-1-í- 0 * MAX \ . x y =3x +8x + 5; x_|_* | x _5 -1 3 /(-5/3) = -| /(-l) = -2 y" = 6x + 8; _G_i_ _4 ,-3- í 4\ Funkce ke na intervalu I — oo, — - j konkávni, protože -2e|-oo,-|j a y"(-2)=6-(-2)+8 = -4<0. EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 q y = x3 + 4x2 + 5x D(f) = R; ani sudá ani lichá, není periodická průsečík s osou y je [0,0] /(+oo) = oo, /(-oo) = -oo; -Z-1-í- 0 * MAX \ . x y =3x +8x + 5; x_|_* | x _5 -1 3 f'(-5/3) = -| /(-l) = -2 y" = 6x+8; _g_i_y_ _4 3 4 \ / 4 Funkce je konvexní na intervalu ( —-,oo j, protože 0 G I —-,oo ) a y"(0) = 8 > 0. ©Lenka Přibylová, 2006 y = x3 + 4x2 + 5x D(f) = R; ani sudá ani lichá, není periodická průsečík s osou y je [0,0] /(+oo) = oo, /(-oo) = -oo; -Z-1-í- 0 * MAX \ . x y =3x +8x + 5; x_|_* | x _5 -1 3 f'(-5/3) = -| /(-l) = -2 y" = 6x + 8; _n 7' u_ _4 3 /(-4/3) = -| EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 q /(O) = o /(+oo) = oo f (-00) = -00 /(-l) = -2 Shrneme dosažené výpočty. sol ci ia las ©Lenka Přibylová, 2006 /(0)=0 /_5\_50 /_4\=_52 /(+oo) = 00 V 3/ 27 \3y 27 /(-co) = -00 /(-l) = -2 0 Nakreslíme souřadný systém. ] EBI Q 13 133 I ©Lenka Přibylová, 2006 q /(O) = o /(+«>) = /(-oo) = oo —oo 52 27 Označíme průsečík s osou x: x = 0. Funkce v tomto bodě roste. o EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 q /(0)=0 /_5\_50 /_4\=_52 /(+oo) = 00 V 3/ 27 \3y 27 /(-co) = -00 /(-l) = -2 / Nakreslíme značky v blízkosti nevlastních bodů. Funkce roste v okolí 1 obou nevlastních bodů. -? / / 0 EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 q /(0)=0 /_5\_50 /_4\=_52 /(+oo) = 00 V 3/ 27 \3y 27 /(-co) = -00 /(-l) = -2 / Nakreslíme lokální minimum a maximum. ] -5/3 -1 i i f i I > i i j j 0 -2 EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 q /(0)=0 /_5\_50 /_4\=_52 /(+oo) = 00 V 3/ 27 \3y 27 /(-co) = -00 /(-l) = -2 / Nakreslíme inflexní bod. Funkce v něm klesá. ] -5/3 -4/3 -1 I L L f III > I I I j | | / 0 -2 EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 q /(O) = o /(+«>) = /(-oo) = oo —oo 52 27 EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 q y = 2(x2-x + l) (X-l)2 BBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 q y = 2(x2 -x + 1) (X -l)2 D(/)=]R\{1}, '^Určíme definiční obor z podmínky x - 1 / 0. Platí x/1. V_ EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 y = 2(x2 -x + 1) (X -l)2 D(/)=]R\{1}, 2(0-0 + 1) y(0)= (0-1)2 =2 /- • Určíme průsečík s osou y. • Dosadíme x = 0 a hledáme y(0) ©Lenka Přibylová, 2006 D(/)=]R\{l},y(0)=2, 2(x2 - x + 1) (X-l)2 = O x- • Určíme průsečík s osou x. • Dosadíme y = 0 a řešíme rovnici s_ si ci ia las ©Lenka Přibylová, 2006 D(/)=]R\{l},y(0)=2, 2(x2 - x + 1) = O (x-1)2 x2 - x + 1 = O Čitatel musí být nula. ©Lenka Přibylová, 2006 D (f) = R \ {1}, y(0) = 2, není průs. s osou x 2{x2 - x + 1) = 0 (X -l)2 x2 -x+ 1 = 0 Tato kvadratická rovnice nemá řešení, protože má záporný diskriminant. D = b2 - 4ac = 2 - 4.1.1 = -2 < 0 ©Lenka Přibylová, 2006 y = 2(x2-x + l) (x-1)2 D (f) = R \ {1}, y(0) = 2, není průs. s osou x 1 Nakreslíme osu x a bod nespojitosti x = 1. EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 q D (f) = R \ {1}, y(0) = 2, není průs. s osou x + -e- Víme, že y(0) = 2 > 0. Funkce je kladná na (—oo, 1). ©Lenka Přibylová, 2006 D (f) = R \ {1}, y(0) = 2, není průs. s osou x + + -e- 2(4-2 + 1) Vypočteme y (2) = —K——2 > 0. Funkce je kladná na (l,°o). sa h tas ©Lenka Přibylová, 2006 D (f) = R \ {1}, y(0) = 2, není průs. s osou x + -e- + lim X->1 + lim 2(x2-x + l) (X-l)2 2(x2-x + l) (X-l)2 Určíme jednostranné limity v bodě nespojitosti EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 q D (f) = R \ {1}, y(0) = 2, není průs. s osou x + -e- + lim lim 2(x2-x + l) (x-1)2 2(x2-x + l) (x-1)2 Dosadíme x = 1. EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 q D (f) = R \ {1}, y(0) = 2, není průs. s osou x + + -e- lim lim 2(x2-x + l) (x-1)2 2(x2-x + l) (x-1)2 = +00 = +00 Jmenovatel je v obou případech kladné číslo. EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 q D (f) = R \ {1}, y(0) = 2, není průs. s osou x + + -e- lim lim lim 2(x2- -x + 1) 2 (x +0 2(x2- 2 (x -l)2 +0 2(x2- -x + 1) (x -l)2 = +00 = +00 Určíme limity v ±oo. EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 q D (f) = R \ {1}, y(0) = 2, není průs. s osou x + + -e- lim lim lim 2(x2- -x + 1) 2 (x +0 2(x2- 2 (x -l)2 +0 2(x2- -x + 1) lim :—>±oo (x -l)2 ~x = +00 = +00 2x2 Uvažujeme jenom vedoucí členy. EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 q D (f) = R \ {1}, y(0) = 2, není průs. s osou x + + -e- lim lim lim 2(x2-x + l) (x-1)2 2(x2-x + l) (x-1)2 2(x2-x + l) (x-1)2 2 +0 2 +0 v 2x2 nm = lim - = 2 Funkce má limitu v =boo. Přímka y = 2 je asymptotou ke grafu v =boo. | EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 q D (f) = R \ {1}, y(0) = 2, není průs. s osou x X2 — X + 1 (x-1)2 Vypočteme derivaci. sa h tas ©Lenka Přibylová, 2006 D (f) = R \ {1}, y(0) = 2, není průs. s osou x y = 2 = 2 x2 — x + 1 (X -l)2 (2x -l){x- l)2 - (x2 - x + l)2(x - 1)(1 - 0) ((^-l)2)2 Užijeme vzorec pro derivaci podílu, y—j = — hd — UV I Užijeme vzorec pro derivaci složené funkce při derivování výrazu (x-1)2. EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 q D (f) = R \ {1}, y(0) = 2, není průs. s osou x y = 2 = 2 x2 — x + 1 (X -l)2 (2x -l){x- l)2 - (x2 - x + l)2(x - 1)(1 - 0) = 2(x- 1) ((X-1)2)2 (2x - 1) (x - 1) - (x2 - x + 1)2 (*-l)4 Vytkneme (x — 1). ■a EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 q D (f) = R \ {1}, y(0) = 2, není průs. s osou x y = 2 = 2 x2 — x + 1 (X -l)2 (2x -l){x- I)2 - (x2 - x + 1)2(* - 1)(1 - 0) = 2{x-l) ((X-1)2)2 (2x - 1) (x - 1) - (x2 - x + 1)2 = 2 (X-l)4 2x2 - 2x - x + 1 - (2x2 - 2x + 2) (x-l)3 Roznásobíme závorky a zkrátíme (x — 1). EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 q D (f) = R \ {1}, y(0) = 2, není průs. s osou x y = 2 = 2 x2 — x + 1 (X -l)2 (2x -l){x- l)2 - (x2 - x + l)2(x - 1)(1 - 0) = 2(x- 1) ((X-1)2)2 (2x - 1) (x - 1) - (x2 - x + 1)2 = 2 = 2 (x -l)4 2x2 - 2x - x + 1 - (2x2 - 2x + 2) (x - 1) —x — 1 (X-l)3 EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 q D (f) = R \ {1}, y(0) = 2, není průs. s osou x y = 2 = 2 x2 — x + 1 (X -l)2 (2x -l){x- l)2 - (x2 - x + l)2(x - 1)(1 - 0) = 2(x- 1) ((X-1)2)2 (2x - 1) (x - 1) - (x2 - x + 1)2 = 2 (X-l)4 2x2 - 2x - x + 1 - (2x2 _ 2x + 2) „ -x - 1 2---77 = -2 (x-l)3 x + 1 (x-l); (x-1) EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 q y'= -2 x + l (X -l)3' D(/) = R \ {1}, y(0) = 2, není průs. s osou x —2-'-= 0 (X-l)3 Rešíme rovnici y = 0. ■ BEI Q 13 133 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ ©Lenka Přibylová, 2006 q D (f) = R \ {1}, y(0) = 2, není průs. s osou x y'= -2 x + l (X -l)3' -2 x + l {X -l)3 x + l = 0 x = —1 = 0 v I Čitatel musí být nula. Stacionárním bodem je tedy x = — 1. sa h las ©Lenka Přibylová, 2006 D (f) = R \ {1}, y(0) = 2, není průs. s osou x -e- -1 Zakreslíme stacionární bod a bod nespojitosti. sa h tas ©Lenka Přibylová, 2006 D (f) = R \ {1}, y(0) = 2, není průs. s osou x = -1 -e- -1 /- Určíme y7(—2). 7/ _ \ ^ —2 + 1 záporná hodnota y (—2) = -27--^ttt = -2—- < 0 (—2 — 1)J záporná hodnota ©Lenka Přibylová, 2006 D (f) = R \ {1}, y(0) = 2, není průs. s osou x = -1 -e- -1 /- Určíme y7(0). N ^ 0 + 1 ^ kladná hodnota y'(0) = -2, NQ = -2- > 0 (0 — l)0 záporná hodnota sa h tas ©Lenka Přibylová, 2006 D (f) = R \ {1}, y(0) = 2, není průs. s osou x V = N, = —1... lok. minimum, y( —1) = - 3 2 mm -i -e- Lokální minimum pro x = — 1. Funkční hodnota je _ 2((-l)2-(-!) + !) _ 23 _ 3 yl j~ (-1-1)2 ~ 4 ~2' ©Lenka Přibylová, 2006 sa h tas D (f) = R \ {1}, y(0) = 2, není průs. s osou x = —1... lok. minimum, y( —1) = - 3 2 mm -i Ni -e- © Lenka Přibylová, 2006 D (f) = R \ {1}, y(0) = 2, není průs. s osou x x + 1 y = —2--—w, Xi = —1... lok. minimum, y(—l) = - y (x-1)3 yK ' 2 V" = -2 x + 1 (x-1)3 Vypočteme druhou derivaci. sa h tas ©Lenka Přibylová, 2006 2(x2 — x +1) y = ——-—~—- I D (f) = ]R \ {1}, y(0) = 2, není průs. s osou x x +1 ^ i/' = —2t-Xi = —1... lok. minimum, y(—l) = - v (x-1)3 yK ' 2 y" = -2 = -2 x + 1 V (x-1)3 l(x - l)3 - (x + l)3(x - 1)2(1 - 0) ((*-l)3)2 /- • Použijeme pravidlo pro derivaci podílu. • Jmenovatel budeme derivovat jako složenou funkci. SBi ci ia las ©Lenka Přibylová, 2006 y = D (f) = R \ {1}, y(0) = 2, není průs. s osou x ■2t——7tô, x-i = —1... lok. minimum, y(—l) = ^ (x-1)3 yK ' 2 y" = = -2 = -2 x + 1 (x-iy l(x - l)3 - (x + l)3(x - 1)2(1 - 0) = -2(x-l) 2 (x •1) l)3)2 (x+ 1)3 (x-1)1 Vytkneme (x — 1) v čitateli. EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 q D (f) = R \ {1}, y(0) = 2, není průs. s osou x y' = —2 ,X x-i = —1... lok. minimum, y(—1) = ^ y (x-1)3 yK ' 2 y II = -2 = -2 x + 1 (x-1)3 l(x-l)3- (x + l)3(x-l)2(l -o) = -2(x-l) ((X-1)3)2 2 (x - 1) - (x+ 1)3 (x-1)1 = -2 -2x -4 (X-l)4 Upravíme. ] EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 q D (f) = R \ {1}, y(0) = 2, není průs. s osou x y' = —2 ,X x-i = —1... lok. minimum, y(—1) = ^ y (x-1)3 yK ' 2 V" = -2 = -2 x +1 (x-1)3 l(x-l)3- (x + l)3(x-l)2(l -o) = -2(x-l) ((*-1)3)2 2 (x - 1) - (x+ 1)3 _ -2x - 4 = -2--rr = 4 (x-1)6 x + 2 (x-1)4 (x-1) Obdrželi jsme druhou derivaci. EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 q (x -l)4' D (f) = R \ {1}, y(0) = 2, není průs. s osou x = —1... lok. minimum, y( —1) = - 3 2 x + 2 (X-l)4 = 0 Rešíme y" = 0. ©Lenka Přibylová, 2006 D (f) = R \ {1}, y(0) = 2, není průs. s osou x = —1... lok. minimum, y(—1) = - y = (X -l)4 3 2 = -2 4 X+2 =0 (X-I)4 x + 2 = 0 x = -2 Jediné řešení je x = — 2. ©Lenka Přibylová, 2006 q D (f) = R \ {1}, y(0) = 2, není průs. s osou x —1... lok. minimum, y( —1) = - y = (X -l)4 = -2 -2 Určíme intervaly konvexnosti a konkavity. ©Lenka Přibylová, 2006 D (f) = R \ {1}, y(0) = 2, není průs. s osou x = —1... lok. minimum, y(—1) = - 3 2 y = (X-l)4 = -2 n -2 y"(_3) = 4-ití-< 0 kladná hodnota sa h tas ©Lenka Přibylová, 2006 D (f) = R \ {1}, y(0) = 2, není průs. s osou x = —1... lok. minimum, y( —1) = - 3 2 y = (X-l)4 = -2 n u -2 ©Lenka Přibylová, 2006 D (f) = R \ {1}, y(0) = 2, není průs. s osou x = —1... lok. minimum, y( —1) = - 3 2 y = (X-l)4 = -2 n in. U -2 Inflexní bod v bodě x = — 2. Funkční hodnota je y(-2) = 14 ©Lenka Přibylová, 2006 D (f) = R \ {1}, y(0) = 2, není průs. s osou x = —1... lok. minimum, y(—1) = - 3 2 y = (X-l)4 = -2 n in. U -o- U -2 EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 q + + Njmin/* \, H in. U U -e- -1-e- -1-e- 1 -11 -2 1 /(O) = 2 /(1±) = +co /(±oo)=2 /("!) = § Shrneme dosavadní znalosti. EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 q /(O) = 2 /(±oo) = 2 /(1±) = +00 /(-2) = 14 Nakreslíme souřadnou soustavu. 1 1 i to 1 1 -2 -1 i ~ sa h las ©Lenka Přibylová, 2006 /(O) = 2 /(±oo) = 2 /(1±) = +00 /(-2) = 14 Vyznačíme průsečík s osou y. 2 i i i to ■ i -2 -1 i ~ sol ci ia las ©Lenka Přibylová, 2006 /(O) = 2 /(±oo) = 2 /(1±) = +00 /(-2) = 14 Funkce v tomto bodě roste. 2 i i i to i i -2 -1 i ^ sol ci ia las ©Lenka Přibylová, 2006 /(O) = 2 /(±oo) = 2 /(1±) = +00 /(-2) = 14 Nakreslíme funkci v okolí svislé asymptoty. 2 ■ ■ -2 i -1 1 sa h las ©Lenka Přibylová, 2006 /(O) = 2 /(±oo) = 2 /(1±) = +00 /(-2) = 14 Nakreslíme funkci v okolí vodorovné asymptoty. -2 -1 EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 q /(O) = 2 /(±oo) = 2 /(1±) = +00 /(-2) = 14 Nakreslíme lokální minimum funkce. -2 -1 EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 q ©Lenka Přibylová, 2006 2 XA Funkce y (x) je definována pro x + 2 7^ 0 a ^ > 0. EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 q 2 y = ln ( — - j I D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá; Plyne z nesymetričnosti definičního oboru. ©Lenka Přibylová, 2006 Hledáme průsečíky s osou x. | EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 q Položíme funkci y (x) rovnu 0 . J EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 q Odlogaritmováním dostaneme kvadratickou rovnici. | EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 q x2 = x + 2 Vynásobíme jmenovatelem x + 2 | sa h tas ©Lenka Přibylová, 2006 x2 = x + 2 x2 -x-2 = O a převedeme na levou stranu. sa h tas ©Lenka Přibylová, 2006 x2 = x + 2 x2 -x-2 = O 1±Vl+8 xl,2 = -ô- Podle vzorce vypočítáme kořeny. ©Lenka Přibylová, 2006 q D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá; 2 X = 0^>-- = 1 x + 2 x2 = x + 2 x2 -x-2 = 0 1±Vl+8 *U =-2- X! = 2 e D(/) EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 q x2 = x + 2 x2 - x-2 = O *i,2 =-2- Xl=2eD(f) x2 = -ie D(J) Oba leží v definičním oboru funkce. EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 q 2 y = ln ( — - j I D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá; + I-h -2 -1 0 Na reálnou osu naneseme nulové body a body, kde funkce není definována EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 q 2 y = ln ( — - j I D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá; + I-h -2 -1 0 a dosazením bodů z jednotlivých intervalů zjistíme znaménko funkce. sa h las ©Lenka Přibylová, 2006 2 y = ln ( — - j I D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá; + I-h -2 -1 0 a dosazením bodů z jednotlivých intervalů zjistíme znaménko funkce. SBi bi ia iae ©Lenka Přibylová, 2006 2 y = ln ( — - j I D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá; + - - + I-1-1-1- -2-10 2 a dosazením bodů z jednotlivých intervalů zjistíme znaménko funkce. sa h las ©Lenka Přibylová, 2006 Vypočteme limitu funkce v +00 | EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 q Podle věty o limitě složené funkce zaměníme pořadí limity a logaritmu. EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 q Pro řešení limity použijeme např. L'Hospitalovo pravidlo. | EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 q Funkce ln x pro x —> oo diverguje. | EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 q 2 XA y = ln ( — - j I D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá; lim ln [ X ] = ln lim [ X ] = ln lim ^ = oo lim ln ( X x^-2+ \X + 2 Chování funkce na levém okraji definičního oboru určíme výpočtem limity funkce v bodě —2 zprava. sa h tas ©Lenka Přibylová, 2006 Zaměníme pořadí limity a logaritmu, | EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 q 2 y = ln ( — - j I D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá; lim ln ( X ] = ln lim [ X ] = ln lim ^ = oo x^oo \ x + 2y x^oo yx + 2y x^oo l lim ln ( X . ^ = ln lim f % . ^ = ln lim ^ x^-2+ Vx + 2y x^-2+V^ + 2y x^-2+X + 2 částečně dosadíme a_ ©Lenka Přibylová, 2006 y = ln x + 2 D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá; 0cx lim ln ' x^oo \ x + 2 = ln lim _____-- = ln lim — = oo X^oo \ X + 2 / X^oo 1 x^ lim ln j x^-2+ V X + 2 x^ = ln lim j x^-2+ \X + 2 = ln lim-- x^-2+ X + 2 o + dostáváme limitu typu O + EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 q y = ln x + 2 D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá; 0cx lim ln ' x^oo \ x + 2 = ln lim _____-- = ln lim — = oo X^oo \ X + 2 / x^oo 1 x^ lim ln j x^-2+ V X + 2 = oo x^ = ln lim j x^-2+ V X + 2 = ln lim-- x^-2+ X + 2 o + což je nekonečno. EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 q y = ln x + 2 D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá; Xx lim ln ' x^oo \ x + 2 r xj lim ln j x^-2+ V X + 2 = oo .2 = ln lim _____-- = ln lim — = oo X^oo V X + 2 / x^oo 1 X' = ln lim . x^-2+ V x + 2 = ln lim-- x^-2+ X + 2 0+ lim ln x^0± X' x + 2 Chování funkce v okolí dalšího nedefinovaného bodu O určíme výpočtem limity funkce v bodě O zprava a zleva. sa h tas ©Lenka Přibylová, 2006 y = ln x + 2 D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá; lim ln ' X x^oo \ x + 2 xá lim ln j x^-2+ V X + 2 = oo .2 = ln lim _____-- = ln lim — = oo x^oo y x + 2 / x^oo 1 r = ln lim . x^-2+ y x + 2 = ln lim-- x^-2+ X + 2 0+ lim ln . x^o± y x + 2 x' ln lim x^o± y x + 2 Zaměníme pořadí limity a logaritmu, EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 q y = ln x + 2 D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá; lim ln ' X x^oo \ x + 2 xá lim ln j x^-2+ V X + 2 = oo .2 = ln lim _____-- = ln lim — = oo x^oo y x + 2 / x^oo 1 r = ln lim . x^-2+ y x + 2 = ln lim-- x^-2+ X + 2 0+ lim ln . x^o± y x + 2 x' ln lim . x^o± y x + 2 x = ln lim — x^o± 2 částečně dosadíme a EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 q 2 XA y = ln ( — - j I D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá; Xx lim ln ' x^oo \ x + 2 r xj lim ln j x^-2+ V X+ 2 = oo .2 = ln lim _____-- = ln lim — = oo X^oo V X + 2 / X^oo 1 r = ln lim . x^-2+ V X + 2 = ln lim-- x^-2+ X+ 2 0+ lim ln x^0± X' x + 2 = ln lim x \ x _____ ,-- = ln lim — = ln x^o± V x + 2 J x^o± 2 O + v obou případech dostáváme typ EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 q 2 Xz y = ln ( — - j I D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá; Xx lim ln ' x^oo \ x + 2 r X' lim ln j x^-2+ V X + 2 = oo .2 = ln lim X \ iv * _____-- = ln lim — = oo X^oo V X + 2 / x^oo 1 X' = ln lim . x^-2+ V x + 2 = ln lim-- x^-2+ X + 2 0+ lim ln x^0± X' x + 2 = ln lim x \ x _____ ,-- = ln lim — = ln x^o± V x + 2 J x^o± 2 O + = —00 proto lze dosadit do logaritmu, který je definován pouze pro pravé okolí nuly. EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 q 2 y = ln ( — - j I D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá; , _ x + 2 2x(x + 2) -r V " (x + 2)2 Funkce y (x) je složená, proto nejdříve derivujeme vnější složku sa h tas ©Lenka Přibylová, 2006 2 y = ln ( — - j I D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá; , _ x + 2 2x(x + 2) - r V " (x + 2)2 a násobíme derivací vnitřní složky. Tu derivujeme jako podíl. ©Lenka Přibylová, 2006 2 XA y = ln ( — - j I D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá; , _ x + 2 2x(x + 2) -r V " (x + 2)2 1 x2 + 4x ~ x2 x + 2 Zelené části se zkrátí, sa h tas ©Lenka Přibylová, 2006 2 XA y = ln ( — - j I D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá; , _ x + 2 2x(x + 2) -r V " (x + 2)2 1 x2 + 4x ~ x2 x + 2 x (x + 4) ~~ x2(x + 2) v čitateli vytkneme x EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 q 2 XA y = ln ( — - j I D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá; , _ x + 2 2x(x + 2) -r V " (x + 2)2 1 x2 + 4x ~ x2 x + 2 x (x + 4) ~~ x2(x + 2) _ x + A ~ x(x + 2) a zkrátíme. EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 q x(x + 2)' D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá; y' = 0 Hledáme stacionární body. sa h tas ©Lenka Přibylová, 2006 x(x + 2)' D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá; y' = 0 x + 4 x(x + 2) = 0 Dosadíme vypočtenou derivaci funkce. sa h h tas ©Lenka Přibylová, 2006 x(x + 2)' D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá; y' = 0 x + 4 x(x + 2) x + 4 = 0 = 0 Zlomek je roven nule právě tehdy, když je roven nule jeho čitatel. EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 q x(x + 2)' D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá; y' = 0 x + 4 = 0 x(x + 2) x + 4 = 0 x = -4 i D (J) Vypočtená hodnota neleží v definičním oboru funkce, proto funkce nemá žádný stacionární bod. ©Lenka Přibylová, 2006 q D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá; x(x + 2)' -2 0 Znaménko derivace se tedy muže měnit jen v bodech, kde není definována. sa h tas ©Lenka Přibylová, 2006 D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá; x(x + 2)' -2 0 Do červeně označené derivace dosadíme body z jednotlivých intervalů. Kladné znaménko znamená, že zde funkce roste, záporné, že klesá. ©Lenka Přibylová, 2006 sa h tas D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá; x(x + 2)' y1 -2 0 Do červeně označené derivace dosadíme body z jednotlivých intervalů. Kladné znaménko znamená, že zde funkce roste, záporné, že klesá. ©Lenka Přibylová, 2006 ^ h h tas D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá; x(x + 2)' y" = x + 4 x(x + 2) Druhou derivaci dostaneme derivací první, sa h tas ©Lenka Přibylová, 2006 D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá; x(x + 2)' 7/ y = x + 4 x(x + 2) x (x + 2) - (x + 4) (2x + 2) x2(x + 2)2 kterou derivujeme jako podíl. SBi bi ia lae ©Lenka Přibylová, 2006 D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá; x(x + 2)' 7/ y = x + 4 x(x + 2) x (x + 2) - (x + 4) (2x + 2) x2(x + 2)2 x2 + 2x- 2x2 -8x-2x-8 x2(x + 2)2 V čitateli nelze nic vytknout, proto jej roznásobíme EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 q x(x + 2)' D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá; y" = x + 4 x(x + 2) x (x + 2) - (x + 4) (2x + 2) x2(x + 2)2 x2 + 2x- 2x2 -8x-2x-8 x2(x + 2)2 x2 + 8x + 8 x2(x + 2)2_ a příslušné mocniny sečteme. EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 q D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá; x2 + 8x + 8 x(x + 2)' x2(x + 2)2 ' y" = o Hledáme inflexní body. sol bi ia lae ©Lenka Přibylová, 2006 D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá; x2 + 8x + 8 x(x + 2)' x2(x + 2)2 ' y" = o x2 + 8x + 8 x2(x + 2)2 = 0 Dosadíme vypočtenou druhou derivaci funkce. ©Lenka Přibylová, 2006 D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá; x(x + 2)' x2 + 8x + 8 x2 {x + 2)2 ' f = 0 x2 + 8x + 8 x2(x + 2)2 x2 + 8x + 8 = 0 = 0 Zlomek je roven nule právě tehdy, když je roven nule jeho čitatel. EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 q D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá; , _ x + 4 „ _ x2 + 8x + 8 y — ..í.. , n,\> y —' x(x + 2)' x2{x + 2)2 ' y" = o x2 + 8x + 8 x2(x + 2)2 ~ x2 + 8x + 8 = 0 Xl,2 = -8 ± V64 - 32 Podle vzorce vypočítáme kořeny kvadratické rovnice. EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 q D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá; x(x + 2)/ Upravíme. x2 + 8x + 8 x2{x + 2)2 ' Xl,2 = y" = o x2 + 8x + 8 x2(x + 2)2 ~ x2 + 8x + 8 = 0 -8 ± V64 - 32 x1/2 = -4 ± 2 V2 EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 q x(x + 2)' D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá; x2 + 8x + 8 x2(x + 2)2 ' X\ = -4-2V2 t D (J) X\ není inflexní bod, protože neleží v definičním oboru funkce, ©Lenka Přibylová, 2006 D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá; x2 + 8x + 8 x(x + 2)' x2 = x2(x + 2)2 ' xi = -4-2\/2 i D (f) 4 + lV2= -1.17 G D(/) X2 leží v definičním oboru funkce. ©Lenka Přibylová, 2006 q D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá; x2 + 8x + 8 x(x + 2)' x2 = x2(x + 2)2 ' xi = -4-2\/2 i D (f) 4 + 2V2= -1.17 G D(/) ■ i i -2 -4 + 2v/2 0 Znaménko druhé derivace se tedy muže měnit jen v bodech, kde není definována a v bodě X2- EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 q D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá; x2 + 8x + 8 x(x + 2)' x2 = x2(x + 2)2 ' xi = -4-2\/2 i D (f) 4 + lV2= -1.17 G D(/) I--1-1- -2 -4 + 2^2 0 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ Do červeně označené druhé derivace dosadíme body z jednotlivých intervalů. Kladné znaménko znamená, že je zde funkce konvexní, záporné, že je konkávni. EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 H D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá; x2 + 8x + 8 x(x + 2)' x2 = x2 (x + 2)2 ' xi = -4-2\/2 i D (f) 4 + 2V2= -1.17 G D(/) U n -2 -4 + 2^ 0 funkce se v Xi mění z konvexní na konkávni, ©Lenka Přibylová, 2006 D (f) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá; x2 + 8x + 8 x(x + 2)' x2 = x2(x + 2)2 ' xi = -4-2\/2 i D (f) 4 + 2V2= -1.17 G D(/) U in. n -2 -4 + 2^ 0 X2 je proto inflexním bodem, sa h tas ©Lenka Přibylová, 2006 D (/) = (—2,0) U (0, oo); není ani sudá ani lichá; x2 + 8x + 8 x2{x + 2)2 ' xi = -4-2\/2 i D (f) ■4 + lV2= -1.17 G D(/) U in. n n -2 -4 + 2^ 0 ©Lenka Přibylová, 2006 q + - - I-1-1- -2 -1 O /(-i) = o f (2) = O H- I-1- 2 -2 0 /(oo) = 00 /(0±) = -co u in. n n i-1-1— -2-4 + 2^ 0 /(-4 + 2v/2) = 0.505 Vypíšeme nej důležitější výsledky. ©Lenka Přibylová, 2006 q + I-h + -2 -1 O Ni i-1- -2 O u m. n n i-1-1— "2-4 + 2^ 0 /(-1)=0 f (2) = O /(oo) = 00 /(0±) = oo /(-4 + 2V2 0.505 1 v{ i -i 1 1 0 1 1 1 h 1 1 i -2 1 1 Zakreslíme souřadný systém. Pro hodnoty menší nebo rovny -2 a v 0 funkce není definována. EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 q -2 -1 0 2 -2 0 -2_4 + 2V2° /(-1)=0 /(oo)=oo /(-4 + 2V2) = f (2) = 0 /(0±) = -oo 0.505 i y < i -i 0 1 i -2 1 —n Vyznačíme průsečíky s osou x. Funkce klesá v bodě - la roste v bodě 2. ] EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 q + I-h- -2 -1 + O Ni i-1- -2 O U in. n n -2-4 + 2^ 0 /(-!)= O /(oo)=oo /(-4 + 2V2) = f (2) = O /(0±) = -oo 0.505 !\ y { i -i 0 1 i -2 \ 1 —n i Nakreslíme funkci v okolí svislých asymptot. ] EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 q -2 -1 0 2 -2 0 -2_4 + 2V2° /(-1)=0 /(oo)=oo /(-4 + 2V2) = f (2) = 0 /(0±) = -oo 0.505 íl V ' ^^^^^ 2 ^ Vyznačíme inflexní bod a spojíme graf. | EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 q ©Lenka Přibylová, 2006 q D (f) = R; Definiční obor je celá množina R. sa h tas ©Lenka Přibylová, 2006 D (f) = R; průsečík s osou y je [0,1], sa h tas ©Lenka Přibylová, 2006 D (f) = R; průsečík s osou y je [0,1], (x + l)ex = 0 Řešením rovnice y = 0 dostaneme průsečík s osou x. sa h tas ©Lenka Přibylová, 2006 D (f) = R; průsečík s osou y je [0,1], (x + l)ex = 0 x + 1 = 0 Součin je roven nule právě tehdy, když je roven nule jeden z činitelů. Činitel ex je vždy kladné číslo. sa h las ©Lenka Přibylová, 2006 D (f) = R; průsečík s osou y je [0,1], průsečík s osou y je [-1,0], (x + l)ex = 0 x + 1 = 0 x = — 1 Průsečík s osou x je x = —1. ©Lenka Přibylová, 2006 D (f) = R; průsečík s osou y je [0,1], průsečík s osou yje [-1,0], (x + l)ex = 0 x + 1 = 0 x = — 1 _-1 /- • Na osu x zaneseme průsečík. • Nemáme žádné body nespojitosti. ©Lenka Přibylová, 2006 D (f) = R; průsečík s osou y je [0,1], průsečík s osou y je [-1,0], (x + l)ex = 0 x + 1 = 0 x = — 1 /(-2) = (-2 +1) • e~2 = -e~2 < 0 t Funkční hodnota /(—2) je záporná a protože se znaménko na intervalu (—oo, — 1) nemůže změnit, je funkce záporná na celém tomto intervalu. EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 H D (f) = R; průsečík s osou y je [0,1], průsečík s osou y je [-1,0], (x + l)ex = 0 x + 1 = 0 x = — 1 + -1 /(-2) = (-2 +1) • e~2 = -e~2 < 0 /(O) = 1 > 0 Funkce je kladná v x = 0, tedy také na ( —1, oo) ■a EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 q D (f) = R; průsečík s osou y je [0,1], průsečík s osou yje [-1,0], lim (x + l)ex = oo • oo = oo Vypočteme limity v ±oo. Začneme limitou v +oo. Platí oo + 1 = oo a lim e = oo. sa h tas ©Lenka Přibylová, 2006 D (f) = R; průsečík s osou y je [0,1], průsečík s osou yje [-1,0], lim (x + l)ex = oo • oo = oo lim (x + ľ)ex = (-oo) • e'00 = (-00) • O X^ — oo Vypočteme limitu v —oo. "Dosadíme" x = —oo a dostaneme —oo + l = —00a lim ex = 0. Dostáváme neurčitý výraz O x oo. K x^—00 výpočtu tedy musíme použít jinou metodu. ©Lenka Přibylová, 2006 sa h tas D (f) = R; průsečík s osou y je [0,1], průsečík s osou yje [-1,0], lim (x + l)ex = 00 • 00 = 00 lim (x + ľ)ex = (-oo) • e'00 = (-00) • O X^ — oo = lim x +1 —00 X^ — OO £ * 00 Přepíšeme výraz na zlomek . Limita je ve tvaru, kdy je možno použít L'Hospitalovo pravidlo. ©Lenka Přibylová, 2006 D (f) = R; průsečík s osou y je [0,1], průsečík s osou yje [-1,0], lim (x + l)ex = 00 • 00 = 00 lim (x + \)ex = (-oo) • e"00 = (-oo) . O x + 1 X^ — oo = lim x^—co C x 1 — 00 00 = lim x^—oo —e —x Použijeme L'Hospitalovo pravidlo (derivujeme zvlášť čitatel a jmenovatel). Funkci e~x derivujeme jako složenou:(e~x)' = e~x(—x)' = e~x • (-1) ©Lenka Přibylová, 2006 D (f) = R; průsečík s osou y je [0,1], průsečík s osou yje [-1,0], lim (x + l)ex = 00 • 00 = 00 lim (x + \)ex = (-oo) • e"00 = (-oo) . O x + 1 X^ — oo = lim x^—co C x 1 — 00 00 = lim x^—oo —e —x lim —e X^—oo x Zjednodušíme. EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 q D (f) = R; průsečík s osou y je [0,1], průsečík s osou yje [-1,0], lim (x + l)ex = 00 • 00 = 00 lim (x + \)ex = (-oo) • e"00 = (-oo) . O x + 1 X^ — oo = lim x^—co C x 1 — 00 00 = lim x^—oo —e —x lim —e X^—oo x = -e-°° = o sa h tas ©Lenka Přibylová, 2006 D (f) = R; průsečík s osou y je [0,1], průsečík s osou yje [-1,0], /(+oo) =oo,/(-oo) =0; + -1 Vyšetříme chování derivace. sa h tas ©Lenka Přibylová, 2006 D (f) = R; průsečík s osou y je [0,1], průsečík s osou yje [-1,0], /(+oo) =oo,/(-oo) =0; + -1 y' = (* + !)'• e*+ (* + !)• (e*)' Funkci y = (x + 1) • ex derivujeme jako součin: (u ■ v)' = u' ■ v + u ■ v' SBi bi ia lae ©Lenka Přibylová, 2006 D (f) = R; průsečík s osou y je [0,1], průsečík s osou yje [-1,0], /(+oo) =oo,/(-oo) =0; + -1 ý = {x + iy-ex + (x + l)-{exy = 1 • ex + (x +1) • ex EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 q D (f) = ]R; průsečík s osou y je [0,1], průsečík s osou oo) = 0; | + -1 y' = (x + i)'.e* + (x + l) . (e*)' = 1 • ex + (x +1) • ex = ex(l + x + l) | Vytkneme e . _| EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 H yje [-1,0], /(+oo) =oo,/( D (f) = R; průsečík s osou y je [0,1], průsečík s osou yje [-1,0], /(+oo) =oo,/(-oo) =0; + -1 y' = (x + 1)'. g* + (* + i) = 1 • ex + {x + 1) • ex = ex(l + x + l) = ex(x + 2) (ex)' Zjednodušíme. EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 q D (f) = R; průsečík s osou y je [0,1], průsečík s osou yje [-1,0], /(+oo) =oo,/(-oo) =0; y' = ex(x + 2); + -1 Dostáváme derivaci. ©Lenka Přibylová, 2006 q D (f) = R; průsečík s osou y je [0,1], průsečík s osou yje [-1,0], /(+oo) =oo,/(-oo) =0; + -1 y' = ex(x + 2); stac. bod je x = -2; f (-2) = -e~2 = -0.14 Derivace je rovna nule právě tehdy, když (x + 2) = 0 , jelikož e +- 0. Dostáváme stacionární bod x = — 2. Dosadíme /(— 2) = (—2 + l)e = —e a s pomocí kalkulátoru dostaneme/(—2) = —0.14. sa h tas ©Lenka Přibylová, 2006 D (f) = R; průsečík s osou y je [0,1], průsečík s osou yje [-1,0], /(+oo) =oo,/(-oo) =0; + -1 y' = ex(x + 2); stac. bod je x = -2; f (-2) = -e~2 = -0.14 -2 Na reálnou osu zaneseme stacionární bod. Nemáme žádné body nespojitosti. ©Lenka Přibylová, 2006 q D (f) = R; průsečík s osou y je [0,1], průsečík s osou yje [-1,0], /(+oo) =oo,/(-oo) =0; + -1 y' = ex(x + 2); stac. bod je x = -2; /(-2) = -e~ = -0.14 -2 Zvolíme např. x = —3 a dosadíme do první derivace: y7(-3) = 0. Funkce v bodě roste x = 0 a to také platí na celém intervalu (—2, oo). ©Lenka Přibylová, 2006 D (f) = R; průsečík s osou y je [0,1], průsečík s osou yje [-1,0], /(+oo) =oo,/(-oo) =0; + -1 y' = ex(x + 2); stac. bod je x = -2; f (-2) = -e~2 = -0.14 Ni mm -2 V bodě x — —2 má funkce lokální minimum. sa h tas ©Lenka Přibylová, 2006 D (f) = R; průsečík s osou y je [0,1], průsečík s osou yje [-1,0], /(+oo) =oo,/(-oo) =0; + -1 y' = ex(x + 2); stac. bod je x = -2; f (-2) = -e~2 = -0.14 Ni mm -2 y" = ex ■ (x + 2) + ex ■ 1 Spočteme y". Derivujeme y' = ex ■ (x + 2) jako součin (m • v)' = u' • v -\- u • v' ©Lenka Přibylová, 2006 D (f) = R; průsečík s osou y je [0,1], průsečík s osou yje [-1,0], /(+oo) =oo,/(-oo) =0; + -1 y' = ex(x + 2); stac. bod je x = -2; f (-2) = -e~2 = -0.14 Ni mm -2 y = ex ■ (x + 2) + e ex(x + 2 + 1) e* (x+ 3) Zjednodušíme. EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 q D (f) = R; průsečík s osou y je [0,1], průsečík s osou yje [-1,0], /(+oo) =oo,/(-oo) =0; + -1 y' = ex(x + 2); stac. bod je x = -2; f (-2) = -e~2 = -0.14 Ni mm -2 y" = ex(x + 3); Máme druhou derivaci. ©Lenka Přibylová, 2006 q D (f) = R; průsečík s osou y je [0,1], průsečík s osou yje [-1,0], /(+oo) =oo,/(-oo) =0; + -1 y' = ex(x + 2); stac. bod je x = -2; f (-2) = -e~2 = -0.14 Ni mm -2 y" = ex(x + 3); y" = 0 pro x = -3, /(-3) = -2e~ó = -0.01 -3 Hledáme bod, ve kterém platí y" = 0. Protože ex je vždy různá od nuly, musí platit (x + 3) = 0, proto x = —3. /(-3) = (-3 + l)ť?"3 = -2e"3 = -0.01 ©Lenka Přibylová, 2006 D (f) = R; průsečík s osou y je [0,1], průsečík s osou yje [-1,0], /(+oo) =oo,/(-oo) =0; + -1 y' = ex(x + 2); stac. bod je x = -2; f (-2) = -e~2 = -0.14 Ni mm -2 y" = ex(x + 3); y" = 0 pro x = -3, f (-3) = -2e~ó = -0.01 -3 -3 Nakreslíme reálnou osu s kritickým bodem. Nemáme žádný bod nespojitosti, proto se druhá derivace může měnit pouze v bodě x = —3. EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 q D (f) = R; průsečík s osou y je [0,1], průsečík s osou yje [-1,0], /(+oo) =oo,/(-oo) =0; + -1 y' = ex(x + 2); stac. bod je x = -2; f (-2) = -e~2 = -0.14 Ni mm -2 y" = ex(x + 3); y" = 0 pro x = -3, /(-3) = -2e~ó = -0.01 -3 n -3 Funkce ke na intervalu (—co, —3) konkávni, protože —4 G (—co, —3) a y"(-4) = e-4(-4 + 3) = -e~á < 0. ©Lenka Přibylová, 2006 D (f) = R; průsečík s osou y je [0,1], průsečík s osou yje [-1,0], /(+oo) =oo,/(-oo) =0; + -1 y' = ex(x + 2); stac. bod je x = -2; f (-2) = -e~2 = -0.14 Ni mm -2 y" = ex(x + 3); y" = 0 pro x = -3, /(-3) = -2e~ó = -0.01 -3 n u -3 Funkce je konvexní na intervalu (—3, oo), protože —2 G (—3, oo) a v bodě x = —2 je lok. minimum a y"(—2) = e (—2 + 3) = e > 0. EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 q D (f) = R; průsečík s osou y je [0,1], průsečík s osou yje [-1,0], /(+oo) =oo,/(-oo) =0; + -1 y' = ex(x + 2); stac. bod je x = -2; f (-2) = -e~2 = -0.14 Ni mm -2 y" = ex(x + 3); y" = 0 pro x = -3, /(-3) = -2e~ó = -0.01 -3 n in. U -3 Bod x = —3 je tedy inflexní. ©Lenka Přibylová, 2006 q /(O) = 1 f (-2) = -0.14 f (+oo) = oo /(-1)=0 /(-3) = -0.01 /(-oo)=0 Shrneme dosažené výpočty. | sa h tas ©Lenka Přibylová, 2006 /(O) = 1 f (-2) = -0.14 f (+oo) = oo /(-1)=0 /(-3) = -0.01 /(-oo)=0 — + \min/ Q in. U -1- -1- -1- -1 -2 -3 /(O) = 1 f (-2) = -0.14 f (+oo) = oo /(-1)=0 /(-3) = -0.01 /(-oo)=0 Označíme průsečík s osou x: x = — 1. Funkce v tomto bodě roste. 1 1 -3 -2 -1 i i 1 1 /Ť 5Bi Ei ia iaa o x ©Lenka Přibylová, 2006 E — + \min/ Q in. U -1- -1- -1- -1 -2 -3 /(O) = 1 /(-1)=0 f (-2) = -0.14 /(-3) = -0.01 /(+oo) = 00 /(-«>) =0 sa h las o x ©Lenka Přibylová, 2006 /(O) = 1 f (-2) = -0.14 f (+oo) = co /(-1)=0 /(-3) = -0.01 /(-oo)=0 Nakreslíme značky v blízkosti asymptoty v — oo. Je třeba si uvědomit, | že v blízkosti — oo je funkce záporná a klesající, proto bude graf pod asymptotou. J 1 i 1 ? 1 -3 -2 -1 -1-1-^- -► EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 H /(O) = 1 f (-2) = -0.14 f (+oo) = oo /(-1)=0 /(-3) = -0.01 /(-oo)=0 y Nakreslíme lokálni minimum v bodě x = —2. 1 I 1 1 7 1 -3 -2 -1 i i jS -- 1 1 i i sei bi ia iaa o x\ ©Lenka Přibylová, 2006 q Konec EBI Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 q