Integrace rac. lomené funkce typu
Mx + N
ax2 + bx + c
Robert Mařík a Lenka Přibylová 28. července 2006
ESI   Q   Q 133
©Lenka Přibylová, 2006 Q
Obsah
x+ 5
dx
x2 +4
—~---- dx............................ 7
x2 - 4x + 9
©Lenka Přibylová, 2006 Q
©Lenka Přibylová, 2006 Q
/ \
• Derivace jmenovatele je 2x, v čitateli však není násobek této funkce.
f ť(x)
• Vzorec /    . , dx nelze přímo použít.
J j(x)
• Rozdělíme zlomek na dva.
El   Q   W^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^Tenka Přibylová. 20061
V prvním zlomku je v čitateli polovina derivace jmenovatele. Proto první zlomek vynásobíme a vydělíme dvěma.
ESI   Q   Q fSS
©Lenka Přibylová, 20061
Najděte
x + 5 x2 +4
dx.
1 =
x + 5 x2 +4
dx
1
2
2x
x^ + 4
:2 .2
+
x2 +4
dx
= ^ln(x2+4)+5^arctg| + C
J =
x + 5
x1 - 4x + 9
dx
©Lenka Přibylová, 2006 Q
T I X+5 A
x2 - 4x + 9 (2x - 4)
x2 - 4x + 9
dx
[ V čitateli potřebujeme derivaci jmenovatele, t). výraz (2x — 4).
ESI   Q   Q ©Lenka Přibylová, 2006
I   =      / ry    X"Í~5        _ dX
x — 4x + 9 i(2x - 4)
x2 - 4x + 9
dx
r
Musíme upravit zlomek tak, aby se zlomky v prvním a druhém integrálu rovnaly
K těmto úpravám použijeme jenom multiplikativní a aditivní konstanty (nenadělají "moc velkou neplechu" při integraci).
1
Přidáním násobku - máme ve druhém zlomku v čitateli výraz 1
- (Ix — 4) = x — 2. Koeficient u x je v pořádku.
BBI   EJ   Í5~T8^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^*P7c^Lenka Přibylová. 20061
J =
x + 5
dx
x2 - 4x + 9 ^(2x-4)+2 x2 - 4x + 9
dx
1
• -(2x -4) = x -2 1
• -(2x -4) + 2 = x
• Nyní je v čitateli jenom x. Chybí číslo 5.
5bT bi   Q ©Lenka Přibylová, 2006*
T I X+5 A
x — 4x + 9 ±(2x-4)+2+5 x2 - 4x + 9
dx
r \
1
• -(2x -4) = x -2 1
• -(lx -4) +2 = x 1
• -(2x-4) + 2 + 5 = x+ 5
• První a druhý zlomek jsou stejné, nedopustili jsme se žádné úpravy, která by změnila hodnotu zlomku.
2E1    0    Í5~TSI^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ u'il,en kn Přibylová. 2006
I = f  o X —- d x x2 - 4x + 9
±(2x-4)+2+5
x2 - 4x + 9 1 2x-4
dx
+
2 + 5
2  x2 - 4x + 9    x2 - 4x + 9
dx
Rozdělíme zlomek na dva.
©Lenka Přibylová, 20061
J =
x + 5
dx
x2 - 4x + 9
±(2x-4)+2+5
x2 - 4x + 9 1 2x-4
dx
+
2 + 5
2  x2 - 4x + 9    x2 - 4x + 9
1 9
= -ln |x -4x + 9| +
dx
A*) /(*)
= ln|/(x)| +C
© Lenka Přibylová, 2ÔÔ61
J =
x + 5
dx
x2 - 4x + 9
±(2x-4)+2+5
x2 - 4x + 9 1 2x-4
dx
+
2 + 5
2  x2 - 4x + 9    x2 - 4x + 9
7
dx
= ^ ln |x2 -4x + 9| + J
(x-2)2 + 5
dx
Doplníme na čtverec ve jmenovateli druhého zlomku.
x2 - 4x + 9 = x2 - 2 • 2 • x + 22 - 4 + 9 = (x - 2)2 + 5
BbI   Q   Q   Í38 (c)Lenka Přibylová, mm
J =
x + 5
dx
x2 - 4x + 9
±(2x-4)+2+5
x2 - 4x + 9 1 2x-4
dx
+
2 + 5
2  x2 - 4x + 9    x2 - 4x + 9
7
dx
= ^ ln |x2 -4x + 9| + y
dx
(x-2)2 + 5
1 i 2, „ rr       1 X-21
= - ln x — 4x + 9 + 7 • —= arctg —— • -
2 V5 V5 1
1 1 x
-~ dx = —- arctg —, kde v našem případě A = v5,
A2 + x2 A      ^ A r r
/ /(ax + b) dx = -F(ax + b), v našem případě a = 1
©Lenka Přibylová, 20061
J =
x + 5
dx
x1 - 4x + 9
±(2x-4)+2+5
x2 - 4x + 9 1 2x-4
dx
+
2 + 5
2  x2 - 4x + 9    x2 - 4x + 9
dx
= -ln |x2 -4x + 9| +
1,9
= — ln x — 4x + 9+7
7
dx
1 7
= - ln x2 — 4x + 9 H---=
2
(x-2)2 + 5 1 x-2 1
7Sarctg "Tr' í
x-2
arctg
+ c
Upravíme.
EEI  El 13 133
©Lenka Přibylová, 2006
Konec
©Lenka Přibylová, 2006 Q