A.
1.
Najděte definiční obor funkce
Řešení:
lnx ^ 0 =>- x ^ 1
4-x2 > 0 => 4 > x2 => 2 > Ixl
3x —1
arcsm -
/(*) = -\-— + V4-x2
lnx
x > 0
_1 < 3x~1 < l =>. -2 < 3x - 1< 2 =>- -1< 3x < 3 =>- -i < x < 1 _2_ _ _ __ 3 - -
D(/) = (0,1)
i 9-
T-1—i-1-T
■*-1-II       0       I-*•
_I_l_l_I_I_
2 10       1 2
~3
2.
V trojúhelníku AABC je dáno a = 3, b = 7, 7 = 60°. Vypočtěte c a cc s přesností na minuty. Řešení:
sin g _ sin 7
c = a + b — 2ab cos 7 ~   — ~
c2 = 9 + 49-2-3 -7-i = 37      sina =   3   . V3 ^ Z V37 2
a = 25.285° = 25°17'
37
3.
Řešte rovnici v C:
-r = 3 + Z
Z + /
Řešení:
z + 1 = (3 + z')(z + z) 2-3i 2-z
z + 1 = 3z + 3i + iz - 1 Z     2 + i 2-i
-2z-iz = 3i-2 4 - 2i - 6z - 3     1 8.
z =-=-= - — -1
z(2 + i) = 2 - 3i
5 5
4.
Vydělte polynomy: Řešení:
(x4 + 3x3 - 2x + 1) : (x2 + 3x - 1)
(x4 +3x3-2x+l): (x2 + 3x-l) = x2 + 1 -       5x + 2
4        3      2 X2 + 3x — 1
x2  -2x +1 -(x2+3x-l) -5x +2
5.
Najděte rozklad polynomu na kořenové činitele (kořeny jsou celá čísla):
P(x) = x4 + 10x3 + 24x2 - lOx - 25
Řešení:
	1	10	24	-10	-25
1	1	11	35	25	0
-1	1	10	25	0	
P(x) = (x-l)(x + l)(x2 + 10x + 25) = (x-l)(x + l)(x + 5)2
-10 ± vioo-ioo
x12 = -ô- = —5
Rozložte na parciálni zlomky:
x2 - 3x + 2 (x + l)(x2 + 2)
Řešení:
x2 - 3x + 2
Bx + C
(x + l)(x2 + 2) ~ x + 1     x2+ 2
- 2 = A(x2 + 2) + (Bx + C)(x + 1) 6 = 3A => A = 2
1 = A + B = 2 + B^B = -1
2 = 2A + C = 4 + C^C=-2
x = —1
^2
7.
Spočtěte X, je-li A =
Řešení:
AX - 2X = 3BA - B (A-27)X = 3BA-B
X= (A-27)-1(3BA-B)
-1 0
1
-1
1 0 0 1
-1 0 0 -1
8.
Vypočtěte inverzní matici k matici
Řešení:
(2   -1 3
0    1 -
\4   -1 1
/2   0 0 0   1 0 \0   0 -1
9.
Vypočtěte determinant
-4
-5
0 0
Řešení: 2 -2 2 0 6 0 8 2
-5
1
-1
2
= 2
-2	-5	1
0	1	-2
0	-1	0
1	1	2
AX + B = 2X + 3BA
0 1\ /l
1 oj vo
0 3
BA = 3BA- B = (A-27) =
1 0 0 1
A =
1 0
-2 3
2
-1 0
3 1 0
-1 -1
0
1
2 0
X =
-1 o
0 2 2 3 -1 1 0 -1 1\ /0 2 lj \2 3
= 2-2>
2	-2	-5	1					
2	0	1	-2					
6	0	-1	0					
8	2	2	4					
1	-2	-5	1		5	0	-3	5
1	0	1	-2		1	0	1	-2
3	0	-1	0	= 4	3	0	-1	0
2	1	1	2		2	1	1	2
-2 -5 -2 -3
4-l-(-l)4+2
5-3 5 11-2 3   -1 O
10.
Řešte soustavu rovnic
= 4(-5 + 18 + 15 - 10) = 4 • 18 = 72
Xi + 3x2—4x3 + 9x4 =15 — Xi — %2 +3X3 + 2x4 =2 2xi        —5x3 + 13x4=7
2X1+4X2 — 7X3 + 5X4 =11
Řešení:						
í1	3	-4	9	15^		r1
-1	-1	3	2	2		0
2	0	-5	13	7		0
\2	4	-7	5	lij		
	-1	3	2	2\		
°	2	-1	11	17		
	0	0	1			
-1
2
-2 2
2	2^			(-1	-1	3	2	2\
11	17			0	2	-1	11	17
17	11			0	0	0	28	28
9	15j				0	0	-2	-v
i(Ar) = 3    =>    úloha má řešení 4 neznámé, 3 nezávislé rovnice => nekonečně mnoho řešení s jedním parametrem.
X4 = 1
2X2 ~~ x3 + Hx4 = 17 ~xl — X2 + 3X3 + 2X4 = 2
2x2-x3 + ll = 17      -xi - ř + 3(2ř-6)+2 = 2
2x2 ~~ x3 = 6 Xi = 5r — 18
X2 = ŕ x3 = 2r - 6
B.
Najděte definiční obor funkce
/(x) = ln(9 — x2) + Vlnx — arccos
2x +1
Řešení:
lnx > 0 =>- x > 1
9-x2 > 0 => 9 > x2 => 3 > |x|
x > 0
-1 < ~~~r—"~~ < 1 =^ -3 < 2x + 1 < 3 =^ -4 < 2x < 2 =^ -2 < x < 1
= {1}
-2
V trojúhelníku AABC je dáno b = 4, c = 5, a = 45°. Vypočtěte a a jS s přesností na minuty. Řešení:
2 = b2 + c2 — 2bc cos a
a'
a2 = 16 + 25 - 2 • 4 • 5 ~ = 12.7 a = 3.566
smjt sin/
srna
a 4
3.566  f " 0793
!(,.,.      Vi Ví. Spočtete z ,je-li z =      + —^-i
Řešení:
V2\2 , /V2
<P = arct§      = a^S1 = 4
Vydělte polynomy: Řešení:
2
z10 = l10 • (cos 10? + i sin 10?)
v        4 4
Tí      .   . TT
cos — + / sin — = z 2 2
2
(2x3 + x2 - x + 3) : (x2 - 2)
(2x3 +x2 -x +3): (x2 - 2) = 2x + 1 -
-(2x3       -4x ) x2  +3x +3 -(x2 -2) 3x +5
3x + 5 ^2
Najděte rozklad polynomu na kořenové činitele (kořeny jsou celá čísla):
P(x) = x4 + 3x3 - 3x2 -llx-6
Řešení:
	1	3	-3	-11	-6
1 -1	1 1	4 2	1 -5	-10 -6	-16 0
-1	1	1	-6	0	
P(x) = (x + l)2(x2 + x -6) = (x + l)2(x + 3)(x -2)
-1^x71+24 *i,2 = -=-= -3, 2
Rozložte na parciální zlomky:
Řešení:
x2 — x + 3 x2(x — 1)
x2-x + 3     A     B C
7.
/4 -1
Spočtěte X, je-li A = I ^
Řešení:
X2(x — 1) X       X2       X — 1
t2 - 3x + 2 = A(x2 + 2) + (Bx + C) (x + 1) x = 0: 3 = -B ^ B = -3 x = 1 : 3 = C
x2: l = A + C = A + 3^A = -2
0 1
-1 0/
XA-B = 3X-2BA
0    1\ /4 -1
XA - 3X = B - 2BA X(A-37) = B-2BA
X = (B -2BA)(A-37)_1
BA = B - 2BA = (A-3I) =
0 4
-i oy ^o 4 y ~ ^-4 i
0    l\ _ / 0    8\     /O -7 -1   OJ     V-8   2J ~ V7 -2 4   -l\ _(3   0\     A -1 0    4 j    V 0   3 J     V 0 1
1 o O 1
1 o O 1
1 1
O 1
X =
O -7 7 -2
1 1 O 1
O -7 7 5
8.
Vypočtěte inverzní matici k matici
A
Řešení:
3	-2	4	1 0
-1	2	-1	0 1
CO	4	-4	0 0
-1	0	0	-2
0	-2	0	-1
0	0	-1	1
A =
-2 -1 -1
2
1
2
,-1
0
0
1
-4
0
3
-2 -3 -3
3
1
2
-2y
Vypočtěte determinant
1-522
-2 10-4 0-124
4 2    0 8
Řešení:
1	-5 2	2		1	-5	2	2		1	-5	1	1
-2	1 0	-4	_ O	-2	1	0	-4	_ 0     0 0	-2	1	0	-2
0	-1 2	4	— Z	0	-1	2	4	— Z • Z • Z •	0	-1	1	2
4	2 0	8 -2	i	2 -2	1	0	4		2	1	0	2
M	(-1)1+3	-1 2	4 1	1 2	= 8(	-16-	f 2	+ 2 + 16 + 2	+ 2)	= 64		
1-5 1 -2 10 -14 0
2 10
1
-21
1
2
10.
Řešte soustavu rovnic
1%\ + 4X2    +3X3 + 4X4 =1
2xi + %2    +2x3 — 2x4 =8
4xi — %2      +3X3 + 11X4=2
8*1 + 10x2+10x3 + x4 =21
Řešení:
/2
/z(A) =
4 neznámé, 3 nezávislé rovnice => nekonečně mnoho řešení s jedním parametrem.
X4 = —1
í2	4	3	4	
2	1	2	-2	8
4	-1	3	11	2
\8	10	10	1	21/
/2	4	3	4	1
0	-3	-1	-6	7
\o	0	0	1	-1
3	4	1\		(2    4 3	4	1 \
-1	-6	7		0   -3 -1	-6	7
-3	3	0		0    0 0	21	-21
-2 -	-15	17yi		[0   0 0	-3	3 /
h(Ar	= 3		úloha má řešení,			
-3x2 — X3 — 6x4 = 7 —3x2 — X3 + 6 = 7
— 3X2 — X3 = 1 X2 = ŕ
x3 = -
2xi + 4x2 + 3x3 + 4x4 = 1 2x!+4ŕ + 3(-3ŕ-l)-4 = l
5r + 8
3r