Integrace goniometrických funkcí. Lenka Přibylová 28. července 2006 ESI q q 133 ©Lenka Přibylová, 2006 Q Obsah sin x n - dx............................. 3 cosz x +1 sin2 x cos3 x dx ............................ 11 1 1 -—dx................................ 20 smx ©Lenka Přibylová, 2006 Q ©Lenka Přibylová, 2006 Q smi Najděte / -=-dx. J cosz x + 1 siní dx cos2 x +1 Funkce je vzhledem k funkci cos x rac. lomená a v násobení se sin x. Najděte siní cos2 x + 1 dx. siní cos2 x + 1 dx = cos x = t I Zavedeme substituci cos x = ř. eeI El □ iaa- ©Lenka Přibylová, 2006 Najděte siní cos2 x + 1 dx. smx cos2 x +1 dx = cos x = ř — sin x dx = dř Diferencujeme. es B I ©Lenka Přibylová, 2006 i Najděte siní cos2 x + 1 dx. smx cos2 x +1 cos x — t dx = — sin x dx = dř sin x dx = — dt Vyjádříme sin x dx. ©Lenka Přibylová, 2006 i Najděte siní cos2 x + 1 dx. smx cos2 x +1 cos x = ř dx = — sin x dx = dř sin x dx = — dř dř ř2 + l | Dosadíme. ©Lenka Přibylová, 2006 1 siní cos2 x + 1 cos x — t dx = — sin x dx = dŕ sin x dx = — dŕ dt t2 + l = — arctg ŕ + c Integrujeme. eh q | ©Lenka Přibylová, 20061 siní cos2 x + 1 cos x — t dx = — sin xdx — dt sin xdx — — dt dt t2 + l = — arctg t + c = — arctg(cos x) + c Navrátíme se k původní proměnné. ©Lenka Přibylová, 2006 i Najděte J sin2 x cos3 x dx. j J sin2 x cos3 x dx = ©Lenka Přibylová, 2006 Q J sin2 x cos3 x dx = J sin2 xcos2 x cos x dx Funkce, které jsou vzhledem ke cos x v liché mocnině, je vhodné rozepsat vytknutím cos x EB^^e^T5~J38^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^enTcá Přibylová. 20061 Najděte ^sin^^os^^^j J sin2 x cos3 x dx = J sin2 xcos2 x cos x dx = j sin2x(l — sin2x)cosxdx a přepisem pomocí vzorce cos x = 1 — sin x (analogicky pro sin x). bej q q (c) Lenka Přibylová, 20061 Najděte J sin2 x cos3 x dx. j J sin2 x cos3 x dx = J sin2 xcos2 x cos x dx = J sin2 x(l — sin2 x)cos x dx = sin x = t | Zavedeme substituci sin x" = t. © Lenka Přibylová, 2ÔÔ6 i Najděte ysin2^cos3xdxj sin2 x cos3 x dx = J sin2 xcos2 x cos x dx = / sin2x(l — sin2x)cosxdx — sin x = t cos xdx — dt [ Diferencuj EBI EJ q 133 eme. ©Lenka Přibylová, 2006 Najděte ysin2^cos3xdxj sin2 x cos3 x dx = J sin2 xcos2 x cos x dx = / sin2x(l — sin2x)cosxdx — = / ŕ2(l - ŕ2) dŕ sin x = t cos xdx = dt | Dosadíme. ©Lenka Přibylová, 2006 Najděte ^sin^^os^^^j sin2 x cos3 x dx = J sin2 xcos2 x cos x dx = / sin2 x(l — sin2 x)cos x dx = ŕ2(l - ŕ2) dŕ = y t2-ŕdt sin x = ŕ cos xdx — dt | Roznásobíme. ©Lenka Přibylová, 20061 Najděte ysin2^cos3xdxj sin2 x cos3 x dx = J sin2 xcos2 x cos x dx = / sin2x(l — sin2x)cosxdx — r2(l - ŕ2) dŕ = J t2-ŕdt sin x = t cos xdx = dt f3 ŕ 3"5+C [ Integrujeme. ©Lenka Přibylová, 2006 Najděte ysin2^cos3xdxj sin2 x cos3 xdx = J sin2 xcos2 x cos x dx = j sin2 x(l — sin2 x)cos xdx = = J ř2(i - ř2) dř = J t2-řdt-- sin x — t cos xdx — dt f3 ŕ 3"5+C sin3 x sin5 x + c Navrátíme se k původní proměnné. ebi Ei ia laa ©Lenka Přibylová, 2006 ©Lenka Přibylová, 2006 Q t Integrand je vzhledem k funkci sin x v liché mocnině, proto budeme volit substituci ř = cos x. Musíme tedy dostat do čitatele sinx. dx = siní siní • 2 sin x dx Rozšíříme zlomek. (c)Lenka Přibylová. 20061 dx = siní siní sin2 x dx = siní 1 — COS2 X dx Jmenovatel přepíšeme pomocí vzorce sin2 x = 1 — cos2 x. EBI b q 138 ©Lenka Přibylová, 20061 dx = siní siní sin2 x dx = siní 1 — COS2 X dx cos x = t Zavedeme substituci cos x = t. SBl El la lae ©Lenka Přibylová, 2006 dx = siní siní sin2 x dx = siní 1 — cos2 x dx cos x — t — sin xdx — dt Diferencujeme. m B I ©Lenka Přibylová, 2006 i dx = siní siní sin2 x dx = siní 1 — cos2 x dx cos x — t — sin xdx — dt sin xdx — — dt Vyjádříme sin x dx. ebi bi q igg ©Lenka Přibylová, 2006 dx = siní siní sin2 x dx = siní 1 — cos2 x dx cos x — t — sin xdx — dt sin xdx — — dt dt 1-t2 | Dosadíme. ©Lenka Přibylová, 2006 1 dx = siní siní sin2 x dx = siní 1 — cos2 x dx cos x — t — sin xdx — dt sin xdx — — dt dt 1-t2 I- 1 + ŕ 1-ŕ + c Integrujeme. eh q | ©Lenka Přibylová, 20061 dx = siní siní sin2 x dx = siní 1 — cos2 x dx cos x — t — sin xdx — dt sin xdx — — dt dt 1-t2 I- 1 + t 1-t + c I- 1 + COS x 1 — cos x + c = Navrátíme se k původní proměnné. ©Lenka Přibylová, 2006 i dx = siní siní sin2 x dx = siní 1 — cos2 x dx cos x — t — sin xdx — dt sin xdx — — dt dt 1-t2 I- 1 + t 1-t + c I- 1 + COS x 1 — cos x + c = - ln 1 — cos x 1 + cos x + c Lze upravit. ©Lenka Přibylová, 20061 Konec ©Lenka Přibylová, 2006 Q