Úlohy ze střední školy
Lenka Přibylová
19. září 2006
ppi   El   19 raa
©Lenka Přibylová, 2006 Q
Obsah
Reste nerovnici v IR......................... 3
Reste nerovnici vM......................... 11
Reste rovnici vC.......................... 17
Reste rovnici v IR.......................... 23
ppi   El   19 raa
©Lenka Přibylová, 2006 Q
x + 3
Reste nerovnici v K : - > 2
x — 1
EH    B    B B9
©Lenka Přibylová, 2006 Q
Abychom nemuseli rozdělovat úlohu na dvě části - kdy je x — 1 kladné a kdy záporné, převedeme 2 nalevo. Pokud chcete násobit výrazem x — 1, musíte si uvědomit, že v případě, že je záporný, obracíme znaménko nerovnosti.
X — 1
Upravíme.
(členka Přibylová,
i
x + 3
Reste nerovnici v K : -
x — 1
x + 3-2(x- 1)
x — 1
—x + 5 x — 1
> 0
-e-e-
1
Součin či podíl je kladný, pokud jsou oba činitele kladné, nebo oba záporné. Hranicí jsou tedy čísla 5 v čitateli a 1 ve jmenovateli. Ani číslo 1 ani číslo 5 ale nerovnici nevyhovuje.
©Lenka Přibylová,
x + 3-2(x-l) x — 1
> O
—x + 5 x — 1
> O
■e-1
■e-
Spočteme hodnotu levé strany např. v 0:
5
-1
nerovnice tedy není splněna.
< 0
x + 3
Reste nerovnici v K : -
x — 1
x + 3-2(x- 1)
x — 1
—x + 5 x — 1
> 0
+
-e-1
ne-
spočteme hodnotu levé strany např. ve 2:
5 „
T>o,
nerovnice je splněna.
(c).Lenka Přibylová, 2006
x + 3-2(x-l) x — 1
> O
—x + 5 x — 1
> O
+
■e-1
■e-
Spočteme hodnotu levé strany např. v 10:
-5
9
nerovnice tedy není splněna.
< 0,
bi la
(c).Lenka Přibylová, 2006
x + 3
Reste nerovnici v K : -
x — 1
x + 3-2(x- 1)
x — 1
—x + 5 x — 1
> 0
+
-e-e-
1
x G (1,5).
Dostáváme takto interval, kde nerovnice platí.
©Lenka Přibylová,
i
Reste nerovnici v K : - < -
3     ~ 12
ppi   El   19 raa
©Lenka Přibylová, 2006 Q
Reste nerovnici v K : - < -
_3     ~ 12
4x + 4x2 < 3 + 4x
Můžeme násobit kladným číslem 12.
-řs- ..t™x + x2 3 + 4x Reste nerovnici v K : - < -
3     - 12
4x + 4x2 < 3 + 4x
4x2 < 3
I Odečteme 4x.
(c)L,enkä~~FrTB^ôva^
-ŕs- • •   ttt,   x + z2     3 + 4x
Reste nerovnici v K : - < -
_3     ~ 12
4x + 4x2 < 3 + 4x
Ax1 < 3
x2 <
4
Upravíme
-ŕS- •     • TTT, X  + X 3  + 4X
Reste nerovnici v K : - < -
3     _ 12
4x + 4x2 < 3 + 4x
Ax1 < 3
x2 <
4
x
<
Při odmocnění vždy dostáváme kladné číslo, tedy absolutní hodnotu
©Lenka Přibylová,
3y •
-ŕs- • •   ttt,   x + z2     3 + 4x
Reste nerovnici v K : - < -
_3     ~ 12
4x + 4x2 < 3 + 4x
Ax1 < 3
x2 <
4
x
<
Vš
x e ( -
Vš Vš
ppi   El   19 raa
©Lenka Přibylová, 2006 Q
Řešte rovnici v C : x3 — 3x2 + 2x = 6
]
ppi   El   19 raa
©Lenka Přibylová, 2006 Q
Reste rovnici v C : x — 3x + 2x = 6
xá - 3x2 + 2x - 6 = 0
Převedeme všechny členy vlevo.
Reste rovnici v C : x — 3x + 2x = 6
xá - 3x2 + 2x - 6 = 0
x2(x - 3) + 2(x - 3) = 0
Vytkneme z prvních dvou členů        druhých 2.
Reste rovnici v C : x — 3x + 2x = 6
xó - 3x2 + 2x - 6 = 0
x2(x - 3) + 2(x - 3) = 0
(ar - 3){x2 +2) = 0
Vytkneme společnou závorku (x — 3).
Reste rovnici v C : x — 3x + 2x = 6
xó - 3x2 + 2x - 6 = 0
x2(x-3) + 2(x-3) = 0
(x-3)(x2 + 2) = 0
x\ = 3,
Součin je roven nule, pokud alespoň jeden činitel je roven nule. První činitel je vynulován pro x = 3,
(členka Přibylová,
Reste rovnici v C : x — 3x + 2x = 6
xó - 3x2 + 2x - 6 = 0
x2(x-3) + 2(x-3) = 0
(x-3)(x2 + 2) = 0
xi = 3,   x2,3 = ±iV2
druhý pro x2 = —2. Máme najít komplexní řešení. Protože i2 = —1, platí x2 = — 1 • 2 = i2 • 2, tedy |x| = z\/2.
Ta ©Lenka Přibylová,
v 2 2 I
Reste rovnici v IR : log x + log x =3
ppi   El   19 raa
©Lenka Přibylová, 2006 Q
2 2
Reste rovnici v IR : log x + log x = 3
]
(log x)2 + 2 log x = 3
Použijeme vztah loga = 6 log a.
3BI     El 13
©Lenka Přibylová,
1
2 2
Reste rovnici v IR : log x + log x = 3
]
(log x) + 2 log x = 3
y2 + 2y - 3 = 0
Zavedeme substituci y = log x
v 2 2 I
Řešte rovnici v IR : log x + log x =3
(log x) + 2 log x = 3
^ + 2y - 3 = 0 (2/ + 3)(ž/-l) = 0
Kvadratickou rovnici řešíme buď vzorcem, nebo rozkladem na % součin._
PPI     PI     ■d~~!81^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^?TLt-iiika Přibylova. 200(j
2 2
Reste rovnici v IR : log x + log x = 3
]
(log x) + 2 log x = 3
y2 + 2y - 3 = 0
(í/ + 3)(ž/-l)=0
l/i = -3,    í/2 = l
Součin je roven nule, pokud alespoň jeden činitel je roven nule.
(c)Lenka HřiTĎyTo^^
i
2 2
Reste rovnici v IR : log x + log x = 3
]
(log x)2 + 2 log x = 3
y2 + 2y - 3 = 0
(y + 3)(y-l) = 0
yi = -3,   y2 = 1
logxi = -3,   logx2 = 1
Dosadíme zpátky ze substituce.
3BI     El ia
©Lenka Přibylová,
i
2 2
Reste rovnici v IR : log x + log x = 3
]
(log x)2 + 2 log x = 3
y2 + 2y - 3 = 0
(y + 3)(y-l) = 0
yi = -3,   y2 = 1
logxi = -3,   logx2 = 1
Xl = 10 3,   x2 = 10.
Základem dekadického logaritmu je samozřejmě číslo 10...
©Lenka Přibylovy
3QI     El ia
i
Konec
ppi   El   19 raa
©Lenka Přibylová, 2006 Q