Substituční metoda
Lenka Přibylová 28. července 2006
Obsah
íe2x+7dx................................ 3
/ xe1'*1 áx................................ 11
/-—== dx........................... 19
J (2 + x)Vl + x
©Lenka Přibylová, 2006 Q
Vypočtěte í e2x+7 dx
©Lenka Přibylová, 2006 Q
e2x+7dx
Vnitřní složka je 2x + 7.
EEI   B   13   133 ©Lenka Přibylová,
Vypočtěte í e2x+7 dx
>2x+7 dx =
2x + 7 = t
Zavedeme substituci 2x + 7 = ř.
©Lenka Přibylová, 2006
>2*+7 dx =
2x + 7 = t 2 dx = dt
Nalezneme vztah mezi dx a dt.
©Lenka Přibylová, 2006 Q
>2x+7 dx =
2x + 7 --	= t
2 dx =	dt
dx = -	dt
2	
efldt 2
Dosadíme substituci.
>2x+7 dx =
2x + 7 --	= t
2 dx =	dt
dx = -	dt
2	
efldt 2
Integrujeme.
ES  B I
©Lenka Přibylová, 2006
Použijeme substituci k návratu k proměnné x. Došli jsme k témuž výsledku jako při použití vztahu / f(ax + b) dx = -F(ax + b).
J (X
JB        Q ©Lenka Přibylová, 2006
Vypočtěte
©Lenka Přibylová, 2006 Q
Vypočtěte / xe1 x" dx.
xč d.x
Výraz je součinem polynomu a složené exponenciální funkce.
EĚÍ   B   □ (c) Lenka Přibylová,
1 - xl = t
1 2
Zkusíme substituovat za vnitřní složku složené funkce e .
~FŠ3 ©Lenka Přibylová, 2006
3BI   El 19
Xč d.x
1 - xl = t —2xdx = dt
Hledáme vztah mezi diferenciály. Derivujeme obě strany substituce.
EEP^EÍ   la   HI^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^Tc^Lenka Přibylová. 2()()hfa
Xč dx
1-x2	= t
—2xdx	= dt
x dx — ~~	-Idt
	2
Vyjádříme odsud výraz x dx, který figuruje uvnitř integrálu.
©Lenka Přibylová, 2006
xe
l~xl dx
1 -x2	= t
—2xdx	= dt
oc d.oc — ~~	-lát
	2
= ~ I efdt 2
| Dosadíme.
©Lenka Přibylová, 2006
xe
l~xl áx
1-x2	= t
—2xdx	= dt
	-Idt
	2
= ~ I efdt
2 „
-L f
Vypočtěte integrál pomocí vzorce.
©Lenka Přibylová, 2006
xe
l~xl áx
1-x2	= t
—2xdx	= dt
	-Idt
	2
= ~ I efdt
2 .
-L f
= -\e1~xl + c
[ Použijerr
eme substituci pro návrat k původní proměnné.
©Lenka Přibylová, 2006
Vypočtěte / -. dx
Jť ' (2 + x)v/TTx
©Lenka Přibylová, 2006 Q
-. dx
(2 + x)a/1 + x
Příklady s odmocninou z lineárního členu řešíme vždy druhou substituční metodou. Zbavujeme se tak nepříjemné odmocniny.
B    H ~Íä5~^^—————^ ícM ,enka Přibylová. 20061
Vypočtěte
(2 + x)vTTx
dx
VT+x = t
(2 + x)vTTx
dx =
[ Zavedeme proto substituci t — Vl + x.
©Lenka Přibylová, 2006
Vypočtěte
(2 + x)vTTx
dx
(2 + x)vTTx
dx =
VT+x = t
l + x = t2
Odmocninu vždy převedeme umocněním na tvar bez odmocniny, přecházíme takto vlastně k inverzní funkci.
©Lenka Přibylová, 20061
Vypočtěte
(2 + x)vTTx
dx
(2 + x)vTTx
dx =
VT+x = t
l + x = t2 x = t2 - 1
[ Inverzní funkce bude v přepisu také třeba.
EBI   EJ   Q 133
©Lenka Přibylová, 2006
Vypočtěte
(2 + x)vTTx
dx
(2 + x)vTTx
dx =
\/l + x = t l + x = t2 x = t2 -1 dx = 2ŕdŕ
Hledáme vztah mezi diferenciály Derivujeme obě strany inverzní substituce.
©Lenka Přibylová, 2006
Vypočtěte
(2 + x)vTTx
dx
(2 + x)vTTx
dx =
VT+x = t
l + x = t2 x = t2 - 1 dx = 2řdř
(2 + ŕ2 - 1)
Všechny výrazy s x zaměníme pomocí substituce za ekvivalentní výrazy s t. Nejdříve použijeme za x inverzní substituce.
©Lenka Přibylová, 20061
Vypočtěte
(2 + x)vTTx
dx
(2 + x)vTTx
dx =
VT+x = t
l + x = t2 x = t2 - 1 dx = 2řdř
(2 + ŕ2 - l)ŕ
[ Odmocnina odpovídá t.
©Lenka Přibylová, 20061
Vypočtěte
(2 +x) VI + x
dx
(2 + x)\/TTx
dx =
Vl + x = t 1 + x = ř2 x = ř2 - 1 dx = 2ř dř
(2 + ř2-l)ř
•2řdř
[ Diferenciál také substituujeme. Všechny členy s x jsme nahradili. |
Vypočtěte
(2 +x) VI + x
dx
(2 + x)v/TTx
dx =
VT+x = t
l + x = t2
X = t2 - 1
dx = 2ŕdŕ
(2 + ř2-l)ř
•2řdř = 2
1 + ř2
dř
Zkrátíme a konstantu převedeme před integrál.
©Lenka Přibylová, 2006
Vypočtěte
(2 + x)vTTx
dx
(2 + x)vTTx
dx =
VTTx = t
l + x = t2 x = t2-l dx = 2tdt
(2 + ŕ2 - l)ŕ 2 arctg ř + c
•2řdř = 2
1 + ř2
dř
Integrujeme.
ES  B I
©Lenka Přibylová, 2006
Vypočtěte
(2 +x) VI + x
dx
(2 +x) VI + x
dx =
Vl + x = t l + x = t2
x = t2 - 1
dx = 2tdt
(2 + ř2 - l)ř
•2řdř = 2
1 + ř2
dř
= 2 arctg t + c = 2 arctg Vi + x + c
Navrátíme se k původní proměnné.
ebi Ei ia iaa
©Lenka Přibylová, 2006