Taylorův polynom
Lenka Přibylová
28. července 2006
Obsah
Najděte T2n(x) pro funkci f(x) = e−x+3
v bodě x0 = 3 . . . 3
Najděte T4(x) pro funkci f(x) = e−x2
v bodě x0 = 0 . . . . 9
Najděte Tayl. polynom st. 2n pro f(x) = e−x+3
v bodě x0 = 3.
f(x) = e−x+3
f(3) = 1
f′
(x) = e−x+3
· (−1) f′
(3) = −1
f′′
(x) = −e−x+3
· (−1) f′′
(3) = 1
f′′′
(x) = e−x+3
· (−1) f′′′
(3) = −1
Taylorův polynom sudého stupně je tvaru:
T2n = 1 +
−1
1!
(x − 3) +
1
2!
(x − 3)2
+
−1
3!
(x − 3)3
+ . . .
· · · +
−1
(2n − 1)!
(x − 3)2n−1
+
1
(2n)!
(x − 3)2n
.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
Najděte Tayl. polynom st. 2n pro f(x) = e−x+3
v bodě x0 = 3.
f(x) = e−x+3
f(3) = 1
f′
(x) = e−x+3
· (−1) f′
(3) = −1
f′′
(x) = −e−x+3
· (−1) f′′
(3) = 1
f′′′
(x) = e−x+3
· (−1) f′′′
(3) = −1
Taylorův polynom sudého stupně je tvaru:
T2n = 1 +
−1
1!
(x − 3) +
1
2!
(x − 3)2
+
−1
3!
(x − 3)3
+ . . .
· · · +
−1
(2n − 1)!
(x − 3)2n−1
+
1
(2n)!
(x − 3)2n
.Vypočteme funkční hodnotu funkce f(x) v bodě x0:
f(3) = e−3+3
= e0
= 1.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
Najděte Tayl. polynom st. 2n pro f(x) = e−x+3
v bodě x0 = 3.
f(x) = e−x+3
f(3) = 1
f′
(x) = e−x+3
· (−1) f′
(3) = −1
f′′
(x) = −e−x+3
· (−1) f′′
(3) = 1
f′′′
(x) = e−x+3
· (−1) f′′′
(3) = −1
Taylorův polynom sudého stupně je tvaru:
T2n = 1 +
−1
1!
(x − 3) +
1
2!
(x − 3)2
+
−1
3!
(x − 3)3
+ . . .
· · · +
−1
(2n − 1)!
(x − 3)2n−1
+
1
(2n)!
(x − 3)2n
.
Spočítáme první derivaci. Funkční hodnota se liší pouze
znaménkem.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
Najděte Tayl. polynom st. 2n pro f(x) = e−x+3
v bodě x0 = 3.
f(x) = e−x+3
f(3) = 1
f′
(x) = e−x+3
· (−1) f′
(3) = −1
f′′
(x) = −e−x+3
· (−1) f′′
(3) = 1
f′′′
(x) = e−x+3
· (−1) f′′′
(3) = −1
Taylorův polynom sudého stupně je tvaru:
T2n = 1 +
−1
1!
(x − 3) +
1
2!
(x − 3)2
+
−1
3!
(x − 3)3
+ . . .
· · · +
−1
(2n − 1)!
(x − 3)2n−1
+
1
(2n)!
(x − 3)2n
.
Spočítáme druhou derivaci. Funkční hodnota se od první liší
zase pouze znaménkem.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
Najděte Tayl. polynom st. 2n pro f(x) = e−x+3
v bodě x0 = 3.
f(x) = e−x+3
f(3) = 1
f′
(x) = e−x+3
· (−1) f′
(3) = −1
f′′
(x) = −e−x+3
· (−1) f′′
(3) = 1
f′′′
(x) = e−x+3
· (−1) f′′′
(3) = −1
Taylorův polynom sudého stupně je tvaru:
T2n = 1 +
−1
1!
(x − 3) +
1
2!
(x − 3)2
+
−1
3!
(x − 3)3
+ . . .
· · · +
−1
(2n − 1)!
(x − 3)2n−1
+
1
(2n)!
(x − 3)2n
.
Další derivace se budou chovat podobně. Derivace lichého řádu
budou mít v bodě x0 = 3 hodnotu −1 a sudé +1.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
Najděte Tayl. polynom st. 2n pro f(x) = e−x+3
v bodě x0 = 3.
f(x) = e−x+3
f(3) = 1
f′
(x) = e−x+3
· (−1) f′
(3) = −1
f′′
(x) = −e−x+3
· (−1) f′′
(3) = 1
f′′′
(x) = e−x+3
· (−1) f′′′
(3) = −1
Taylorův polynom sudého stupně je tvaru:
T2n = 1 +
−1
1!
(x − 3) +
1
2!
(x − 3)2
+
−1
3!
(x − 3)3
+ . . .
· · · +
−1
(2n − 1)!
(x − 3)2n−1
+
1
(2n)!
(x − 3)2n
.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
Najděte Tayl. polynom st. 4 pro f(x) = e−x2
v počátku.
f(x) = e−x2
f(0) = 1
f′
(x) = e−x2
(−2x) f′
(0) = 0
f′′
(x) = e−x2
(−2x)2
+ e−x2
(−2)
= e−x2
(4x2
− 2) f′′
(0) = −2
f′′′
(x) = e−x2
(−2x)(4x2
− 2) + e−x2
(8x)
= e−x2
(−8x3
+ 12x) f′′′
(0) = 0
f(4)
(x) = e−x2
(−2x)(−8x3
+ 12x)+
+e−x2
(−24x2
+ 12)
= e−x2
(16x4
− 48x2
+ 12) f(4)
(0) = 12
Víme tedy, že⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
Najděte Tayl. polynom st. 4 pro f(x) = e−x2
v počátku.
f(x) = e−x2
f(0) = 1
f′
(x) = e−x2
(−2x) f′
(0) = 0
f′′
(x) = e−x2
(−2x)2
+ e−x2
(−2)
= e−x2
(4x2
− 2) f′′
(0) = −2
f′′′
(x) = e−x2
(−2x)(4x2
− 2) + e−x2
(8x)
= e−x2
(−8x3
+ 12x) f′′′
(0) = 0
f(4)
(x) = e−x2
(−2x)(−8x3
+ 12x)+
+e−x2
(−24x2
+ 12)
= e−x2
(16x4
− 48x2
+ 12) f(4)
(0) = 12
Víme tedy, že
Vypočteme funkční hodnotu funkce f(x) v bodě x0:
f(0) = e0
= 1.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
Najděte Tayl. polynom st. 4 pro f(x) = e−x2
v počátku.
f(x) = e−x2
f(0) = 1
f′
(x) = e−x2
(−2x) f′
(0) = 0
f′′
(x) = e−x2
(−2x)2
+ e−x2
(−2)
= e−x2
(4x2
− 2) f′′
(0) = −2
f′′′
(x) = e−x2
(−2x)(4x2
− 2) + e−x2
(8x)
= e−x2
(−8x3
+ 12x) f′′′
(0) = 0
f(4)
(x) = e−x2
(−2x)(−8x3
+ 12x)+
+e−x2
(−24x2
+ 12)
= e−x2
(16x4
− 48x2
+ 12) f(4)
(0) = 12
Víme tedy, že
Spočítáme první derivaci a její funkční hodnotu.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
Najděte Tayl. polynom st. 4 pro f(x) = e−x2
v počátku.
f(x) = e−x2
f(0) = 1
f′
(x) = e−x2
(−2x) f′
(0) = 0
f′′
(x) = e−x2
(−2x)2
+ e−x2
(−2)
= e−x2
(4x2
− 2) f′′
(0) = −2
f′′′
(x) = e−x2
(−2x)(4x2
− 2) + e−x2
(8x)
= e−x2
(−8x3
+ 12x) f′′′
(0) = 0
f(4)
(x) = e−x2
(−2x)(−8x3
+ 12x)+
+e−x2
(−24x2
+ 12)
= e−x2
(16x4
− 48x2
+ 12) f(4)
(0) = 12
Víme tedy, že
Druhou derivaci počítáme jako součin.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
Najděte Tayl. polynom st. 4 pro f(x) = e−x2
v počátku.
f(x) = e−x2
f(0) = 1
f′
(x) = e−x2
(−2x) f′
(0) = 0
f′′
(x) = e−x2
(−2x)2
+ e−x2
(−2)
= e−x2
(4x2
− 2) f′′
(0) = −2
f′′′
(x) = e−x2
(−2x)(4x2
− 2) + e−x2
(8x)
= e−x2
(−8x3
+ 12x) f′′′
(0) = 0
f(4)
(x) = e−x2
(−2x)(−8x3
+ 12x)+
+e−x2
(−24x2
+ 12)
= e−x2
(16x4
− 48x2
+ 12) f(4)
(0) = 12
Víme tedy, že
Upravíme.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
Najděte Tayl. polynom st. 4 pro f(x) = e−x2
v počátku.
f(x) = e−x2
f(0) = 1
f′
(x) = e−x2
(−2x) f′
(0) = 0
f′′
(x) = e−x2
(−2x)2
+ e−x2
(−2)
= e−x2
(4x2
− 2) f′′
(0) = −2
f′′′
(x) = e−x2
(−2x)(4x2
− 2) + e−x2
(8x)
= e−x2
(−8x3
+ 12x) f′′′
(0) = 0
f(4)
(x) = e−x2
(−2x)(−8x3
+ 12x)+
+e−x2
(−24x2
+ 12)
= e−x2
(16x4
− 48x2
+ 12) f(4)
(0) = 12
Víme tedy, že
Dosadíme x = x0 = 0.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
Najděte Tayl. polynom st. 4 pro f(x) = e−x2
v počátku.
f(x) = e−x2
f(0) = 1
f′
(x) = e−x2
(−2x) f′
(0) = 0
f′′
(x) = e−x2
(−2x)2
+ e−x2
(−2)
= e−x2
(4x2
− 2) f′′
(0) = −2
f′′′
(x) = e−x2
(−2x)(4x2
− 2) + e−x2
(8x)
= e−x2
(−8x3
+ 12x) f′′′
(0) = 0
f(4)
(x) = e−x2
(−2x)(−8x3
+ 12x)+
+e−x2
(−24x2
+ 12)
= e−x2
(16x4
− 48x2
+ 12) f(4)
(0) = 12
Víme tedy, že
Třetí derivaci počítáme také jako součin.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
Najděte Tayl. polynom st. 4 pro f(x) = e−x2
v počátku.
f(x) = e−x2
f(0) = 1
f′
(x) = e−x2
(−2x) f′
(0) = 0
f′′
(x) = e−x2
(−2x)2
+ e−x2
(−2)
= e−x2
(4x2
− 2) f′′
(0) = −2
f′′′
(x) = e−x2
(−2x)(4x2
− 2) + e−x2
(8x)
= e−x2
(−8x3
+ 12x) f′′′
(0) = 0
f(4)
(x) = e−x2
(−2x)(−8x3
+ 12x)+
+e−x2
(−24x2
+ 12)
= e−x2
(16x4
− 48x2
+ 12) f(4)
(0) = 12
Víme tedy, že
Upravíme.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
Najděte Tayl. polynom st. 4 pro f(x) = e−x2
v počátku.
f(x) = e−x2
f(0) = 1
f′
(x) = e−x2
(−2x) f′
(0) = 0
f′′
(x) = e−x2
(−2x)2
+ e−x2
(−2)
= e−x2
(4x2
− 2) f′′
(0) = −2
f′′′
(x) = e−x2
(−2x)(4x2
− 2) + e−x2
(8x)
= e−x2
(−8x3
+ 12x) f′′′
(0) = 0
f(4)
(x) = e−x2
(−2x)(−8x3
+ 12x)+
+e−x2
(−24x2
+ 12)
= e−x2
(16x4
− 48x2
+ 12) f(4)
(0) = 12
Víme tedy, že
Dosadíme x = x0 = 0.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
Najděte Tayl. polynom st. 4 pro f(x) = e−x2
v počátku.
f(x) = e−x2
f(0) = 1
f′
(x) = e−x2
(−2x) f′
(0) = 0
f′′
(x) = e−x2
(−2x)2
+ e−x2
(−2)
= e−x2
(4x2
− 2) f′′
(0) = −2
f′′′
(x) = e−x2
(−2x)(4x2
− 2) + e−x2
(8x)
= e−x2
(−8x3
+ 12x) f′′′
(0) = 0
f(4)
(x) = e−x2
(−2x)(−8x3
+ 12x)+
+e−x2
(−24x2
+ 12)
= e−x2
(16x4
− 48x2
+ 12) f(4)
(0) = 12
Víme tedy, že
Čtvrtou derivaci počítáme také jako součin.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
Najděte Tayl. polynom st. 4 pro f(x) = e−x2
v počátku.
f(x) = e−x2
f(0) = 1
f′
(x) = e−x2
(−2x) f′
(0) = 0
f′′
(x) = e−x2
(−2x)2
+ e−x2
(−2)
= e−x2
(4x2
− 2) f′′
(0) = −2
f′′′
(x) = e−x2
(−2x)(4x2
− 2) + e−x2
(8x)
= e−x2
(−8x3
+ 12x) f′′′
(0) = 0
f(4)
(x) = e−x2
(−2x)(−8x3
+ 12x)+
+e−x2
(−24x2
+ 12)
= e−x2
(16x4
− 48x2
+ 12) f(4)
(0) = 12
Víme tedy, že
Upravíme.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
Najděte Tayl. polynom st. 4 pro f(x) = e−x2
v počátku.
f(x) = e−x2
f(0) = 1
f′
(x) = e−x2
(−2x) f′
(0) = 0
f′′
(x) = e−x2
(−2x)2
+ e−x2
(−2)
= e−x2
(4x2
− 2) f′′
(0) = −2
f′′′
(x) = e−x2
(−2x)(4x2
− 2) + e−x2
(8x)
= e−x2
(−8x3
+ 12x) f′′′
(0) = 0
f(4)
(x) = e−x2
(−2x)(−8x3
+ 12x)+
+e−x2
(−24x2
+ 12)
= e−x2
(16x4
− 48x2
+ 12) f(4)
(0) = 12
Víme tedy, že
Dosadíme x = x0 = 0.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
Najděte Tayl. polynom st. 4 pro f(x) = e−x2
v počátku.
Víme tedy, že
f(0) = 1, f′
(0) = 0, f′′
(0) = −2, f′′′
(0) = 0, f(4)
(0) = 12.
Taylorův polynom 4.stupně v počátku je tedy tvaru:
T4 = 1 +
0
1!
(x − 0) +
−2
2!
(x − 0)2
+
0
3!
(x − 0)3
+
12
4!
(x − 0)4
T4 = 1 − x2
+
1
2
x4
.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
Najděte Tayl. polynom st. 4 pro f(x) = e−x2
v počátku.
Víme tedy, že
f(0) = 1, f′
(0) = 0, f′′
(0) = −2, f′′′
(0) = 0, f(4)
(0) = 12.
Taylorův polynom 4.stupně v počátku je tedy tvaru:
T4 = 1 +
0
1!
(x − 0) +
−2
2!
(x − 0)2
+
0
3!
(x − 0)3
+
12
4!
(x − 0)4
T4 = 1 − x2
+
1
2
x4
.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×