Určitý integrál
Lenka Přibylová 28. července 2006
ESI   Q   Q 133
©Lenka Přibylová, 2006 Q
Obsah
•i
(3x2 + 2x-9)dx.......................... 3
-2 1 1
- dx................................. 14
i x
ô--dx............................... 16
f3 x2 - 4
xlnxdx................................ 24
i
71
sin2 x cos x dx............................ 32
©Lenka Přibylová, 2006 Q
Najděte J (3x2 + 2x - 9) dx.J
©Lenka Přibylová, 2006 Q
Najdět^ - 9) dx. J
j   (3x2+2x-9) dx
Počítáme určitý integrál z polynomu na intervalu (—2,1). Polynom je spojitá funkce na celém IR, proto můžeme k výpočtu použít Newton-Leibnitzovu větu.
EBJ   Q   Íä~T8^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^TcN)l,erika Přibylová. 2006]
Najděte J (3x2 + 2x - 9) dx. J
■1
-2
(3x2+2x-9) dx =
r
Najdeme primitivní funkci k danému polynomu.
©Lenka Přibylová, 2006
Najděte J (3x2 + 2x - 9) dx. J
■1
-2
(3x2+2x-9) dx =
o 2
3—+2—
Najdeme primitivní funkci k danému polynomu
©Lenka Přibylová, 2006
Najdět^ - 9) dx. J
■1
-2
(3x2+2x-9) dx =
3 2        "i 1
3T+2y-9x
J -2
a zapíšeme ji do hranatých závorek s dolní a horní mezí intervalu. Tento zápis značí odčítání F(l) — F( —2). Integrační konstantu nemusíme psát, protože by se v rozdílu stejně odečetla.
©Lenka Přibylová, 20061
Najděte J (3x2 + 2x - 9) dx. J
■1
-2
(3x2+2x-9) dx =
3 2        "i 1
3T+2y-9x
J-2
n 1
x + x — 9x
Před dosazováním upravíme.
EEI  El 13 133
©Lenka Přibylová, 2006
Najděte J (3x2 + 2x - 9) dx. J
J   (3x2+2x-9) dx =
-, 1
J -2
n 1
x3 + x2 — 9x
=1+1-9
Dosadíme do primitivní funkce horní mez
6Q
bi   ia laa
©Lenka Přibylová, 200
Najděte ^^(3x2 + 2x - 9) dx. j
J   (3x2+2x-9) dx =
■x 2        "i 1
3-+2--0*
n 1
x3 + x2 — 9x
= 1 + 1-9-(-8 + 4 + 18)
a odečteme hodnotu v dolní mezi.
©Lenka Přibylová, 200'
Najděte J (3x2 + 2x - 9) dx. J
j   (3x2+2x-9) dx =
3 2        "i 1
3T+2y-9x
J -2
n 1
x + x — 9x
= 1 + 1 - 9 - (-8 + 4 + 18) = -7 - 14 = -21
Dostali jsme výsledek, kterým je vždy číslo, protože představuje obsah plochy pod křivkou y = 3x2 + 2x — 9.
ÉSÍ   □   □   133 ©Lenka Přibylová, 2006
Najděte J (3x2 + 2x - 9) dx. J
j   (3x2+2x-9) dx =
3 2        "i 1
3T+2y-9x
J -2
n 1
x + x — 9x
= 1 + 1 - 9 - (-8 + 4 + 18) = -7 - 14 = -21
Proč je určitý integrál záporný?
i_
EBr BI   Q Isa
©Lenka Přibylová, 2006
Najdět^ - 9) dx. J
y = 3x + 2x —
Graf funkce je pod osou x,
n
proto v integrálním součtu ^/(£z)Axz- je /(£/) záporné číslo. Integrální
i=l
součet je tedy záporný a také jeho limita - určitý integrál - je záporné číslo. Obsah útvaru omezeného osou x a křivkou na daném intervalu je tedy absolutní hodnota určitého integrálu: S = 21.
ESI   Q   Q 133
©Lenka Přibylová, 2006 Q
1 1
Najděte /   — dx.
©Lenka Přibylová, 2006 Q
Funkce není na intervalu spojitá, jelikož v bodě 0 není definovaná. Určitý integrál neexistuje.
©Lenka Přibylová, 2006 Q
Funkce není definovaná a spojitá v bodech, kde je jmenovatel nulový:
x — 4 = 0. Není tedy definovaná v bodech 2 a —2. Na celém intervalu (3,7) je tedy funkce definovaná a spojitá, můžeme proto použít ^Newton-Leibnitzovu formuli._
BEJ   Q   Q   0g    ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^) Len Li Piibvlowt, 200b
Jde o ryze lomenou funkci. V čitateli vytvoříme derivaci jmenovatele
(x2 -4)' = 2x.
"0   Q ©Lenka Přibylová, 2006
Použijeme vzorec
f(x)
dx = ln \f(x)
©Lenka Přibylová, 20061
Najděte
x
'3 x2 - 4
dx.
x
J3 x2 - 4
dx = -
2x
2J3 xl - 4
dx =
1 9 -ln x - 4
2
-, 7
= -ln45 2
© Lenka Přibylová, 20061
| a dolní mez: 32 — 4 = 5
bbi   El   13 iag
©Lenka Přibylová, 20061
Při úpravě použijeme vzorec pro práci s logaritmy:
a
ln a — ln b = ln -
v
2E1   Q   ia ©Lenka Přibylová, 2006
Najděte
x
'3 x2 - 4
dx.
x
f3 x — 4
dx = -
2x
2J3 x1 - 4
dx =
1 1 -ln 45--ln 5
2 2
1 9 -ln x - 4
2
-In9 = ln3 2
n 7
I a další v;
^ 0 iaa
vzorec a ln   = ln č/*.
©Lenka Přibylová, 2006
El  El 13 133
©Lenka Přibylová, 2006 Q
Funkce je součinem polynomu a logaritmické funkce. Tyto funkce jsou na intervalu (1,2) spojité. Použijeme Newton-Leibnitzovu formuli.
Najděte / xlnxdx. i
xlnxdx =
i / 1
u = In x    u = -
X'
v =
Primitivní funkci hledáme per partes pomocí vzorce
u - v' dx = u - v — / u' - v dx
kde u = ln x a v1 = x.
bei q q igg
©Lenka Přibylová, 20061
^Primitivní funkci hledáme per partes pomocí vzorce
u^6x = u-v-ju'-véx
kde u = ln x a vf = x. První část vzorce u • v už je součástí primitivní funkce, proto ji musíme zapsat do hranatých závorek. Druhá část je určitý integrál, musíme tedy psát meze.
x ln x dx =
u = ln x
u' = -
x
X'
v = x
17 =
X'
i2
lnx
Ji
'2x2l J
r     ~T--dX
i 2 x
4        1        1 r2
- In 2 — - ln 1 — - / xdx 2 2 2 A
Dosadíme horní mez a odečteme hodnotu v dolní mezi.
EEI   EJ   Q 133
©Lenka Přibylová, 2006
x ln x dx =
u = ln x
u' = -
x
X'
v = x
17 =
X'
i2
lnx
Ji
'2x2l J
r     ~T--dX
i 2 x
4        1        1 r2 1
-ln2--lnl--/ xdx = 21n2--2 2 2 A 2
rx2^2
Ji
Najdeme primitivní funkci.
©Lenka Přibylová, 2006
x ln x dx =
u = ln x
1
u = -
x
X'
17  = X
V =
X'
i2
lnx
Ji
'2x2l J
r     ~T--dX
i 2 x
-ln2 2
= 21n2-
1 1 2lnl"2
2 V 2
x dx = 2 ln 2 — -
'i
1
2
rx2^2
Ji
| Dosadíme.
EEI   EJ   Q 133
©Lenka Přibylová, 2006
x ln x dx =
u = ln x
1
u = -
x
X'
17  = X
V =
X'
i2
lnx
Ji
'2x2l J
r     ~T--dX
i 2 x
-ln2 2
= 21n2-
1 1 2lnl"2
2 V 2
x dx = 2 ln 2 — -
'i
1
2
rx2^2
Ji
= 21n2--
3
4
Upravíme.
"H  Q 13 133
©Lenka Přibylová, 2006
Tľ
2
Najděte /   sin2 x cos x dx.
eei ej q igg
©Lenka Přibylová, 2006 Q
71
sin2 xcos x dx
ji
Funkce je spojitá na celém IR, tedy i na intervalu (0, —). Můžeme použít Newton-Leibnitzovu formuli.
El   13   133 © Lenka Přibylová, 20061
Tľ
2
Najděte /   sin2 x cos x dx
K 2
sin2 xcos x dx =
r0
sin x — t
Primitivní funkci nalezneme pomocí substituce t = sin x, protože jde o funkci goniometrickou typu K(sin x) cos x.
h ia iaa
©Lenka Přibylová, 20061
71
Najděte /   sin2 x cos x dx
71
sin2 xcos x dx =
r0
siní cos x dx
= t = dt
[ Diferencuj
erne.
©Lenka Přibylová, 2006
71
Najděte /   sin2 x cos x dx
o
sin2 xcos x dx =
r0
siní cos x dx
= t = dt
= / ťdt
| Dosadíme.
eei   Q   13 133
©Lenka Přibylová, 2006
Tľ
2
Najděte j   sin2 x cos x dx
K 2
sin2 xcos xdx =
r0
sin x =	t
cos xdx —	: dŕ
t\ — sin 0	= 0
	
ti = srn — 2	= 1
1
= I t2dt
o
71
Pro původní proměnnou x integrujeme na intervalu (0, —). Při
přechodu k proměnné t musíme spolu s proměnnou x změnit i její interval integrace, protože t G (0,1).
bej   Q   Q (c) Lenka Přibylová, 2006^
Tľ
2
Najděte /   sin2 x cos x dx
K 2
sin2 xcos x dx =
r0
sin x =	t
cos x dx =	: dŕ
t\ — sin 0	= 0
	
ti = srn — 2	= 1
1
= / ŕ2 dŕ =
o
rŕ3ni
Jo
Integrujeme v proměnné ŕ.
eh f^~~^~~^mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm
©Lenka Přibylová, 20061
71
2
Najděte j sin2xcosxdx
Tt
2
sin2 xcos x dx =
r0
sinx =	ř
cos xdx —	: dt
t\ — sin 0	= 0
• tt	
ti = srn — 2	= 1
1
= / t2dt =
o
rř3ni
Jo
1
3
Dosadíme meze proměnné t. Získáváme tedy výsledek aniž bychom se vraceli k původní proměnné.
Konec
©Lenka Přibylová, 2006 Q