Derivace vyšších řádů
Lenka Přibylová 28. července 2006
Obsah
y = 5x3 + 6x2 + 7x
x2
y =
x — í
Vypočtěte derivace vyšších řádů y = 5x3 + 6x2 + 7x.
51 IS
©Lenka Přibylová, 2006
Vypočtěte derivace vyšších řádů y = 5x3 + 6x2 + 7x.
y' = (5x3 + 6x2 - 7x)' = 15x2 + Í2x - 7
Nejprve vypočteme první derivaci. j
51 IS
©Lenka Přibylová, 2006
Vypočtěte derivace vyšších řádů y = 5x3 + 6x2 + 7x. |
yr = (5x3 + 6x2 - 7x)' = 15x2 + Í2x - 7 y" = (I5x2 + Í2x - 7)' = 30x + 12
Druhá derivace je derivací první derivace. |
51 K
©Lenka Přibylová, 2006
Vypočtěte derivace vyšších řádů y = 5x3 + 6x2 + 7x. |
y' = (5x3 + 6x2 - 7x)f = Í5x2 + 12x-7
y" = (15x2 + I2x - 7)' = 30x + 12 y'" = (30x + 12)' = 30
51 IS
©Lenka Přibylová, 2006
Vypočtěte derivace vyšších řádů y = 5x3 + 6x2 + 7x.
y'
y"
= (5x3 + 6x2 - 7x)' = 15x2 + 12x - 7
= (15x2 + 12x - 7)' = 30x + 12 y"> = (30x + 12)' = 30
yW = 30' = 0
©Lenka Přibylová, 2006
Vypočtěte derivace vyšších řádů y = 5x3 + 6x2 + 7x. |
yr = (5x3 + 6x2 - 7x)' = 15x2 + Í2x - 7 y" = (I5x2 + Í2x - 7)' = 30x + 12 ym = (30x + 12)' = 30
yW = 30' = 0
^y(n) =0   pro všechna n > 4.
Všechny vyšší derivace jsou také rovny 0. |
51 K
©Lenka Přibylová, 2006
©Lenka Přibylová, 2006
y =
,     !   x    \      2x(x — í) — X'
x — í J (x — í)
Vypočteme první derivaci podle pravidla pro derivaci podílu. |
©Lenka Přibylová, 2006
Vypočtěte 2. derivaci y =
x2
x — í
, ..2
f
y =
x"   \      2x(x — 1) — x2     2x2 — 2x — x
x-í J (x-í)2 (x - 1)
Výraz před dalším derivováním upravíme. |
51 K
©Lenka Přibylová, 2006
Vypočtěte 2. derivaci y =
x2
x — í
, ..2
v =
x"   \      2x(x — 1) — x2     2x2 — 2x — x2     x2 — 2x
x-lj (x - l)2 (x- l)2 (x - 1)
51 K
©Lenka Přibylová, 2006
Vypočtěte 2. derivaci y =
x2
x — í
, ..2
v =
y" =
x"   \      2x(x — 1) — x2     2x2 — 2x — x2     x2 — 2x
x-lj (x - l)2 (x- l)2 (x - 1)
x2 — 2x x ' {x - l)2
51 K
©Lenka Přibylová, 2006
Vypočtěte 2. derivaci y =
x2
y =
y" =
X — í
x2  \ '     2x{x — 1) — x2     2x2 — 2x — x2     x2 — 2x
x-í J (x-í)2 (x-í)2 (x-í)2
x2 - 2x V _ (2x- 2){x - l)2 - {x2 - 2x)2{x - 1) (x - l)2 J ~ (x - l)4
Druhou derivaci vypočteme také podle pravidla pro derivaci podílu.
51 K
©Lenka Přibylová, 2006
Vypočtěte 2. derivaci y =
x2
x — í
/ x2
y =
x"   \      2x(x — 1) — x2     2x2 — 2x — x2     x2 — 2x
y" =
x-lj {x-ľ)2 {x- ľ)2 {x - ľ)2
x2 - 2x V _ {2x- 2){x - ľ)2 - {x2 - 2x)2{x - 1)
{X - l)2 J   ~ [x - l)4
(x - l)[(2x - 2){x - 1) - 2{x2 - 2x)\
(x-1)
4
Při úpravě vždy nejprve vytýkáme !!!
51 K
©Lenka Přibylová, 2006
Vypočtěte 2. derivaci y =
x2
x — í
, x2
y =
y" \   ^ O y (y _ 1 A _ y 2 O y 2 _ O y _ y 2 y*2 _ O y-
«Xy \ \ t Aj J. i «Xy L4tXj L^tXj t Aj t Aj «X/
y" =
x-lj {x-ľ)2 {x- ľ)2 {x - ľ)2
x2 - 2x V _ {2x- 2){x - ľ)2 - {x2 - 2x)2{x - 1)
{X - l)2 J   ~ [x - l)4
(x - l)[(2x - 2){x - 1) - 2(x2 - 2x)\
(x - l)4
2x2 - 2x - 2x + 2 - 2rc2 + 4r
(aj - l)3
Zkrátíme člen [x — 1). ]
31 18
© Lenka Přibylová, 2006
Vypočtěte 2. derivaci y =
x2
x — 1
x2 \ '    2x(x — í) — x2     2x2 — 2x — x2     x2 — 2x
V  = 1 X-l)   =        (X - l)2        =       (X - l)2       = (X - I)2
x2 - 2x V    (2rc - 2)(aj - l)2 - (x2 - 2x)2(x - 1)
y" =
{x - l)2 y (a? - l)4
(x - l)[(2z - 2){x - 1) - 2(rc2 - 2x)\
(x - l)4
2rc2 - 2rc - 2x + 2 - 2rc2 + 4x _ 2
(aj - l)3 ~ (x - 1)
Upravíme.
iSa © Lenka Přibylová, 2006
]
31 18