Témata miniprojektů


Vždy stručný popis matematického pozadí problému (1-5 stran), implementace programu v Pythonu,
stručný komentář k výsledkům. Vše posléze prezentovat během 3-5 minut. Lze používat jakékoli
„pomůcky“, včetně ChatGPT.


Matematici a informatici: Petr Bakeš, Pavol Biačko, Ladislav Pittner

·         Implementace (v Pythonu) rychlé Fourierovy transformace pro analýzu signálu – např.
zvuku, EKG, obrazu… provést Fourierovu analýzu, zkusit odfiltrovat vyšší frekvence a sledovat, jak
se mění kvalita signálu

·         Deterministický chaos – Lorenzův model počasí, vykreslit fázové trajektorie a ukázat
graficky závislost vývoje systému na odchylce v počátku, dokumentovat tzv. motýlí efekt

·         Numerické řešení jednorozměrné difúzní rovnice

·         Implementace výpočtu inverzní matice pomocí Gaussovy eliminace v Pythonu - změřit
závislosti doby trvání programu na velikosti matice, tuto rychlost vynést v grafu pomocí Matplotlib


Chemici: Jan Gistr, Jaromír Šándor

·         Odvození vztahů pro difrakční obrazec při odrazu vlnění na dvojvrstvé mřížce atomů +
číselný výpočet a nakreslení difrakčního obrazce v Pythonu, ozřejmit závislost na vzdálenosti atomů

·         Oscilační chemické reakce (vybrat si jednu) – matematický popis + simulace v Pythonu
(fázový portrét)

·         Numerické řešení jednorozměrné difúzní rovnice


Ostatní studenti

Imunitní systém vs HIV virus – popis diferenciálních rovnic + řešení a vykreslení v pythonu (fázové
portréty)

SIR model epidemie (např.  COVID-19)

Model predátor – kořist  – popis diferenciálních rovnic + řešení a vykreslení v pythonu (fázové
portréty)

Matematické kyvadlo – odvození rovnice (jednak pro aproximaci sinus x = x, jednak bez aproximace) +
numerické řešení a simulace v Pythonu

Určit prvních 10 kladných kořenů funkce y =sin x / x numerickými metodami

Vyřešit nelineální diferenciální rovnici pomocí Eulerovy metody a metody podle Runge a Kutta –
porovnání rychlosti řešení dle přesnosti řešení

Modely růstu počtu bakteriální či nádorové populace – diferenciální rovnice + řešení pomočí pythonu

Trojuhelniky či obdélníky pomocí Fourierových řad – odvodit F. řadu a namalovat v Pythonu

Matematický popis fyziologických regulačních systémů – diferenciální rovnice + vykreslení v pythonu

o    CO2 – dýchání

o    Inzulín, glukoza

o    Arteriální tlak, baroreceptory


Taylorův rozvoj distribuční funkce Gaussova rozdělení – odvození, vykreslení v Pythonu a porovnání
s numerickým řešením Gaussovy funkce


Model růstu bohatství v ekonomice: Dynamika bohatství mezi dvěma skupinami v populaci může být
popsána diferenciálními rovnicemi. Například ekonomický model dvou tříd – bohatých a chudých – může
sledovat tok bohatství mezi těmito třídami.

Model šíření inovací (Bassův model): V sociálních a ekonomických vědách lze popsat šíření inovací
(nové technologie, produkty) mezi spotřebiteli. Bassův model je jedním z nejznámějších modelů,
který popisuje přijetí inovací jako dynamický proces mezi dvěma skupinami: inovátory a imitátory.