Matematika pro nematematiky podzimní semestr 2024
Matematika pro nematematiky - Úlohy 4
Termín zadání: 9.10.2024
1 Derivace složených funkcí
Zderivujte následující funkce.
1. f(x) = sin(x3 + 3x2 − 1) + 1
2. f(x) = 4 ln2
(x3)
3. f(x) = x5 + sin x. ln x
4. f(x) = e2x+1
x2−1
5. f(x) = 4x
6. f′(x) = sin2(x3)
Řešení:
1. f′(x) = cos(x3 + 3x2 − 1).(3x2 + 6x)
2. f′(x) = 4.2 ln x3. 1
x3 .3x2 = 24ln x3
x
3. f′(x) = 5x4 + cos x. ln x + sin x
x
4. f′(x) = 2e2x+1.(x2−1)−2x.e2x+1
(x2−1)2
5. f′(x) = (4x)′ = eln 4
x ′
= ex. ln 4
′
= ex. ln 4. ln 4 = eln 4
x
. ln 4 = 4x. ln 4
6. f′(x) = sin2(x3) = 2 sin(x3) cos(x3).3x2
2 Rychlost procesů
1. Na počátku, v čase t = 0, mějme 1000 atomových jader, které se rozpadají, přičemž jejich
počet N klesá podle rovnice
N = 1000.e−0,002.t
,
kde t je čas v minutách. Vypočítejte bez použití kalkulačky (!!), kolik jader se přibližně
rozpadně během prvních 5 minut.
2. Zrychlený pohyb volně padajícího kamene popisuje rovnice h = h0 − 1
2gt2, kde h0 je
počáteční výška, h je aktuální výška, g je gravitační zrychlení a t je čas. Vypočtěte rychlost
kamene jednak jako funkci času, jednak jako funkci výšky h.
Řešení:
1. Okamžitá rychlost poklesu počtu jader je (záporná) derivace N podle t, −dN/dt.
−
dN
dt
= −1000.(−0.002)e−0,002.t
= 2.e−0,002.t
1
V čase t=0 se tedy rozpadnou zhruba 2 jádra za minutu. Během prvních 5 minut se tedy
rozpadne zhruba 10 jader. Přesná hodnota by byla N(0) − N(5) = 1000 − 1000.e−0,002.5 =
1000.(1 − e−0,01) = 1000.(1 − 0, 9900498) ≈ 10.
2. Rychlost je derivace polohy podle času, v = dh/dt.
v =
dh
dt
= −gt
Záporná hodnota značí, že kámen padá dolů, tedy opačně, než roste h. Pokud za čas
dosadíme, získáme
v = −gt = −g.
2(h0 − h)
g
= − 2(h0 − h)g
3 Průběh funkce
Představme si, že hodíme kámen rychlostí v pod úhlem α. Lze odvodit, že kámen dopadne o
s =
v2. sin 2α
g
dále. Pod jakým úhlem je třeba kámen hodit, aby dopadl co nejdál?
Řešení: Vnímáme tedy s jako funkci úhlu α, s(α), ostatní parametry jsou konstanty. Chceme
zjistit maximum funkce s(α). Proto ji zderivujeme podle α a položíme rovnu nule.
0 =
ds
dα
=
v2
g
.2. cos 2α
Tedy cos 2α = 0. Protože kosinus je nulový pro 90°, musí být 2α = 90°. Kámen je tedy třeba
hodit pod úhlem 45°.
4 Jednoduché integrály
Vypočtěte následující neurčité integrály (primitivní funkce). Výsledek též vždy zderivujte, abyste
si ověřili správnost řešení.
1. 2e3x dx
2. 2x2 + 3x3 dx
3. sin 2x dx
4. cos x/2 dx
Řešení:
1. 2e3x dx = 2
3e3x + c
2. 2x2 + 3x3 dx = 2
3x3 + 3
4x4 + c
3. sin 2x dx = −1
2 cos 2x + c
4. cos x
2 dx = 2 sin x
2 + c
2
5 Integrace substituční metodou
Najděte a použijte vhodnou substituci a vypočtěte následující neurčité integrály (primitivní
funkce). Výsledek též vždy zderivujte, abyste si ověřili správnost řešení.
1. xex2
dx
2. sin x cos x dx
Řešení: Později.
6 Integrace metodou per partes
Použijte metodu per partes a vypočtěte následující neurčité integrály (primitivní funkce). Výsledek
též vždy zderivujte, abyste si ověřili správnost řešení.
1. x sin x dx
2. x2 ln x dx
3. sin x cos x dx
Řešení: Později.
7 Určité integrály
Vypočtěte následující určité integrály.
1. 2
0 e2x dx
2. 2
−2 x2 − x dx
3. π
−π sin 2x dx
Řešení:
1. 2
0 e2x dx = 1
2e2x
2
0
= 1
2e2.2 − 1
2e2.0 = 1
2.(e4 − 1) ≈ 27
2. 2
−2 x2 − x dx = 1
3x3 − 1
2x2
2
−2
= 23
3 − 22
2 − (−2)3
3 + (−2)2
2 = 16
3
3. π
−π sin 2x dx = −1
2 cos 2x
π
−π
= −1
2.(cos 2π − cos(−2π)) = 0
8 Plochy pod křivkou
1. Vypočítejte plochu pod křivkou funkce x3 pro x mezi 1 a 3.
2. Vypočítejte plochu pod křivkou funkce e−|x| (pro x od −∞ do +∞).
3. Představme si kužel výšky H a průměru základny taktéž H. Odvoďte vztah pro výpočet
objemu kužele jako funkce H, tedy V (H).
Nápověda: Představte si, že se kužel skládá z mnoha velmi nízkých válců naskládaných na
sebe, s postupně klesajícím průměrem válců.
Řešení:
1. Plocha pod křivkou je rovna určitému interálu. Tedy
3
1
x3
dx =
1
4
x4
3
1
=
1
4
(34
− 14
) =
80
4
= 20
3
2. Funkci si rozdělíme na kladnou a zápornou část a uvědomíme si, že jsou symetrické podle
osy y. Stačí tedy integrovat kladnou část od 0 do +∞ a výsledek vynásobit 2. Kladná část
přitom odpovídá funkci e−x.
+∞
0
e−x
dx = −e−x +∞
0 = −e−∞
− (−e0
) = 0 + 1 = 1
Plocha pod křivkou je tedy 2.
3. Kužel si rozdělíme na nízké (mini)válce o výšce dh. Ve výšce h má přitom (mini)válec
průměr taktéž h. Válec ve výšce h má tedy (mini)objem dV = πh2
4 .dh. Všechny miniobjevy
sečtece, provedeme tedy určitý integrál od 0 do H. Tím získáme objem celého válce.
V = dV =
πh2
4
.dh =
π
4
h2
dh =
π
4
H
0
h2
dh =
π
4
1
3
h3
H
0
=
πH3
12
4