Matematika pro nematematiky podzimní semestr 2024
Matematika pro nematematiky - Úlohy 4
Termín zadání: 9.10.2024
1 Derivace funkcí
Zderivujte následující funkce.
1. f(x) = sin(x3 + 3x2 − 1) + 1
2. f(x) = 4 ln2
(x3)
3. f(x) = x5 + sin x. ln x
4. f(x) = e2x+1
x2−1
5. f(x) = 4x
6. f(x) = sin2(x3)
2 Rychlost procesů
1. Na počátku, v čase t = 0, mějme 1000 atomových jader, které se rozpadají, přičemž jejich
počet N klesá podle rovnice
N = 1000.e−0,002.t
,
kde t je čas v minutách. Vypočítejte bez použití kalkulačky (!!), kolik jader se přibližně
rozpadně během prvních 5 minut.
2. Zrychlený pohyb volně padajícího kamene popisuje rovnice h = h0 − 1
2gt2, kde h0 je
počáteční výška, h je aktuální výška, g je gravitační zrychlení a t je čas. Vyjádřete rychlost
kamene jednak jako funkci času t, jednak jako funkci výšky h.
3 Průběh funkce
Představme si, že hodíme kámen rychlostí v pod úhlem α. Lze odvodit, že kámen dopadne o
d =
v2. sin 2α
g
dále. Pomocí derivace zjistěte, pod jakým úhlem je třeba kámen hodit, aby dopadl co nejdál?
4 Jednoduché integrály
Vypočtěte následující neurčité integrály (primitivní funkce). Výsledek též vždy zderivujte, abyste
si ověřili správnost řešení.
1. 2e3x dx
1
2. 2x2 + 3x3 dx
3. sin 2x dx
4. cos x/2 dx
5 Integrace substituční metodou
Najděte a použijte vhodnou substituci a vypočtěte následující neurčité integrály (primitivní
funkce). Výsledek též vždy zderivujte, abyste si ověřili správnost řešení.
1. xex2
dx
2. sin x cos x dx
6 Integrace metodou per partes
Použijte metodu per partes a vypočtěte následující neurčité integrály (primitivní funkce). Výsledek
též vždy zderivujte, abyste si ověřili správnost řešení.
1. x sin x dx
2. x2 ln x dx
3. sin x cos x dx
7 Určité integrály
Vypočtěte následující určité integrály.
1. 2
0 e2x dx
2. 2
−2 x2 − x dx
3. π
−π sin 2x dx
8 Plochy pod křivkou
1. Vypočítejte plochu pod křivkou funkce x3 pro x mezi 1 a 3.
2. Vypočítejte plochu pod křivkou funkce e−|x| (pro x od −∞ do +∞).
3. Představme si kužel výšky H a průměru základny taktéž H. Odvoďte vztah pro výpočet
objemu kužele jako funkce H, tedy V (H).
Nápověda: Představte si, že se kužel skládá z mnoha velmi nízkých válců naskládaných na
sebe, s postupně klesajícím průměrem válců.
2