Matematika pro nematematiky podzimní semestr 2024
Matematika pro nematematiky - Úlohy 6
Termín zadání: 01.11.2024
1 Řešení algebraických rovnic numerickými metodami
Aplikujte programy, které jste zčásti vytvořili během semináře (NumerickaMatematika1.ipynb)
a vyřešte následující rovnice pomocí všech 3 metod, o nichž jsme hovořili:
A) Metoda půlení intervalů
B) Metoda prosté iterace
C) Newtonova metoda tečen
Všechny 3 metody jsou též popsány ve skriptech.
Zkuste zvolit různé počáteční hodnoty x0 a pozorujte chování programu. Stane se, že řešení
někdy diverguje (t.j. nekonverguje)? Závisí rychlost konvergence, tedy počet iterací, podstatně
na volbě x0?
1. sin x = x
2. ln x = −x2 + 3
3. x3 + 3x = 2
Řešení: Metodou tečen mohou být rovnice vyřešeny např. takto:
# metoda te č en
import numpy as np
def g(x): # definice funkce
return x − np.sin(x)
# np . log (x) + x ∗∗2 −3
# x ∗∗3 + 3∗x − 2
def gdev(x): # definice derivace funkce
return 1 − np.cos(x)
# 1/ x + 2∗x
# 3∗x ∗∗2 + 3
iterace = 0
x0 = 1 # zvolen á po čá te ční hodnota
x1 = x0−g(x0)/gdev(x0)
epsilon = 0.001
while abs(x0−x1) > epsilon:
x0 = x1
1
x1 = x0−g(x0)/gdev(x0)
iterace += 1
print(x0)
print(x1)
print(iterace)
2 Numerická integrace
Aplikujte programy, které jste zčásti vytvořili během semináře (NumerickaMatematika1.ipynb)
a vyřešte následující integrály pomocí metod, o nichž jsme hovořili:
A) Součet centrovaných obdélníků
B) Simsonovo pravidlo
C) Monte Carlo integrace
Integrály též vyřešte analyticky a porovnejte přesnost řešení.
1.
π/2
0 sin x dx
2. 2
0 x3 dx
Řešení: Aplikací Simpsonova pravidla může být 1. integrál vypočten např. takto:
# simpsonovo pravidlo
import numpy as np
def g(x):
return np.sin(x)
def simpson(a,b): # aproximace polynomem 2. řá du
return (b−a)∗(g(a)+4∗g((a+b)/2)+g(b))/6
a = 0
b = np.pi/2
dx = 0.01
x = a
S = 0
while x<b:
S += simpson(x,x+dx)
x += dx
print(S)
Při zadaném kroku dx = 0.01 je výsledkem S = 1.009203, exaktní hodnota S = 1.
3 Určení hodnoty π pomocí metody Monte Carlo
V Pythonu napiště program obdobný metodě Monte Carlo integrace, který spočítá plochu kruhu
o poloměru 1 cm.
2
Řešení:
Kruh o poloměru 1 cm umístíme do čtverce o délce strany 2 cm. Náhodně generujeme body ve
čtverci (se souřadnicemi x a y) a zjištujeme, kolik z nich leží v kruhu (x2 + z2 ≤ 1).
# vý po č et obsahu kruhu pomoc í Monte Carlo simulace
import numpy as np
import random # modul pro generov ání ná hodn ý ch čí sel
def g(x,y): # vzd á lenost od st ř edu
return x∗∗2 + y∗∗2
S = 0
N = 100000 # po č et ná hodn ý ch simulac í
# Ná hodn é čí slo
for i in range(N):
x = random.uniform(−1, 1) # ná hodn é x mezi −1 a 1
y = random.uniform(−1, 1) # ná hodn é y mezi −1 a 1
if g(x,y) <= 1: # bod le ží v kruhu
S +=1 # sčítá pří pady , kdy bod padne do kruhu
S = 2∗2∗S/N
print(S)
4 Numerické derivování
V souboru NumerickaMatematika1.ipynb je uveden program pro numerickou derivaci funkce
sinus pomocí metody dopředných diferencí. Narozdíl o předchozích úloh nejsou hodnoty derivace
počítány postupně ve for cyklu nebo while cyklu, nýbrž "najednou"jako rozdíl vektorů numpy.
Výsledek derivace společně s funkcemi sinus a cosinus jsou nakresleny v grafu.
Zkuste program přeformulovat pro derivaci metodou zpětných diferencí a metodou centrálních
diferencí. ChatGPT vám pomůže.
Řešení:
Řešení může být následující:
# numerick é derivov á ni
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def f(x):
return np.sin(x)
x = np.linspace(0,5,50)
y = f(x)
z = np.cos(x)
h = x[1] − x[0]
3
derivace = (y[1:49]−y[0:48])/h
derivaceCentr = (y[2:49]−y[0:47])/(2∗h)
fig, ax = plt.subplots(nrows=1, ncols=1, figsize=(10, 10))
ax.plot(x, z, color = "black", label = ’cosinus’)
ax.plot(x[0:48], derivace , ’b’, label =
’dopředná diference’, linestyle=’−.’)
ax.plot(x[1:49], derivace , ’r’, label =
’zpětná diference’, linestyle=’−.’)
ax.plot(x[1:48], derivaceCentr , ’g’, label =
’centrální diference’, linestyle=’−.’)
ax.legend()
Je vidět, že metoda centrálních diferencí poskytuje téměř přesnou shodu s analytickým řešením
(obr. 1).
Obrázek 1: Metody numerické derivace
4