Link: OLE-Object-Data 1 - 1 1. STATISTICKÝ CHARAKTER JADERNÉHO ZÁŘENÍ 1. Zadání A) Najděte empirické pravděpodobnostní rozdělení F(N[i]) pro daný detektor. Ze srovnání průběhu F(N[i]) a Poissonova rozdělení P(N[i]) udělejte závěr o fungování aparatury. B) Zhodnoťte přesnost jednoho měření četnosti impulzů. 2. Přístroje a zařízení Detekční aparatura jaderného záření (obr.1.1) Obr.1.1 Blokové schéma detekčního zařízení 3. Definice veličin - Frekvenční diagram (1.1) (empirické pravděpodobnostní rozdělení), kde x[i] značí, kolikrát z celkového X opakovaných měření počtů impulzů byla naměřena právě hodnota N[i] počtu impulzů. Pracuje-li aparatura správně, je průběh F(N[i]) blízký Poissonovu statistickému rozdělení pro malá N[i] a Gaussovu rozdělení pro střední hodnotu N[i] > 60 impulzů za minutu. - Četnost impulzů, , (1.2) kde N je počet impulzů zaznamenaných aparaturou za dobu , [n] = . 4. Metoda měření a) Radioaktivní přeměny atomových jader jsou náhodné procesy vyznačující se: - nízkou pravděpodobností p přeměny určitého jádra, - velkým počtem m jedinců (atomových jader), ve kterých může jev přeměny nastat. Je-li pravděpodobnost přeměny jádra , pak pravděpodobnost, že tento jev nenastane je zřejmě . Obecně pravděpodobnost toho, že při Y pokusech rozpad v prvních y případech nastane a v následujících Y - y pokusech nenastane je: (1.3) Pokud nás zajímá pouze počet případů v nichž rozpad nastane, bez ohledu na pořadí, musíme vzorec (1.3) vynásobit počtem všech možných kombinací daného jevu, a to . Na základě toho lze zformulovat obecný vztah pro pravděpodobnost, že při Y opakování nezávislých pokusů se v y případech jádro rozpadne. Tato pravděpodobnost je dána vztahem 1 - 2 , (1.4) což je tzv. Bernoulliho rozdělení [7]. Mějme vzorek radioaktivní látky a předpokládejme, že obsahuje Y atomů, a nechť pravděpodobnost rozpadu jednoho atomu za jednotku času je p. Řešme problém, jaká je pravděpodobnost, že za jednotku času zaregistrujeme y rozpadů. Protože z hlediska výsledného záření je úplně lhostejné, který atom se právě rozpadl, je celková pravděpodobnost toho, že za jednotku naměříme y impulsů, dána Bernoulliovým rozdělením (1.4). Za předpokladu, že Y >> y, tj. že počet rozpadlých atomů za jednotku času vůči celkovému počtu atomů ve vzorku lze zanedbat, platí [7]: , , (1.5) takže námi hledanou pravděpodobnost lze upravit na tvar , (1.6) což je Poissonovo rozdělení. Při měření je spíše dostupná střední hodnota počtu rozpadů než počet atomů ve vzorku a pravděpodobnost rozpadu jednoho atomu za časovou jednotku. Tyto veličiny nahradíme ve vztahu (1.6) vypočtenou střední hodnotou. Označíme-li střední hodnotu počtu rozpadů za jednu sekundu , pak (1.7) Takže po dosazení do (1.6) dostáváme tvar pro Poissonovo rozdělení ve tvaru: . (1.8) Náhodný (statistický) charakter radioaktivních přeměn znamená, že pokud bychom mohli zjišťovat počty jaderných přeměn v jistém zářiči opakovaně za stejné časové intervaly , obdržíme různé hodnoty. Jaderné přeměny jsou doprovázeny emisí částic a je zřejmé, že fluktuovat budou i počty částic vyzářených ze zářiče za dobu . Zaznamenáváme-li opakovaně počty impulzů N[i] odpovídajících detektorem detekovaným částicím v určité vzdálenosti od zářiče, budou fluktuovat i údaje detekční aparatury. Předpokládejme, že jsme vykonali "všechna možná" měření veličin N[i] (teoreticky nekonečně mnoho měření) a obdrželi tak úplný statistický soubor, z něhož lze zpracovat pravděpodobnostní (rozdělovací) funkce diskrétní náhodné proměnné N[i]. Funkci označíme. P(N[i] ). Vzhledem k (1.8) by funkce měla mít průběh Poissonova rozdělení [1,3,6], pak , (1.9) kde má význam střední hodnoty veličin N[i] , má význam pravděpodobnosti, že náhodně vybrané měření počtu impulzů dá N[i]. Mírou rozptylu dalších naměřených hodnot v okolí střední hodnoty je směrodatná odchylka . Pro Poissonovo rozložení platí . (1.10) 1 - 3 Pokud náš úplný soubor měření bude splňovat vztah (1.9) a (1.10), tj. má Poissonovo rozdělení, můžeme říci, že naše aparatura je v pořádku, protože sleduje statistický charakter jaderného záření. V opačném případě rušivě zasahuje do měření nějaký jev, např. chybná funkce aparatury. Problémem je okolnost, že nemůžeme vykonat nekonečný počet měření, ani hodně velký počet, např. několik tisíc měření. Statistická teorie nám nabízí následující postup. Naměříme-li pouze výběrový (menší) soubor a ten splňuje určité podmínky, můžeme z jeho vlastností usuzovat na vlastnosti úplného souboru. Předpokládejme tedy, že naměříme výběrový (malý) soubor N[1],N[2],...N[x], kde X je 100 až 200. Z výsledků sestrojíme frekvenční diagram (empirické pravděpodobnostní rozdělení) F(N[i]), Dále vypočítáme výběrový (empirický) aritmetický průměr , (1.11) o kterém budeme předpokládat, že se blíží střední hodnotě úplného souboru . Směrodatnou odchylku úplného souboru nahradíme výběrovou (empirickou) směrodatnou odchylkou . (1.12) Splňují-li a alespoň přibližně relaci analogickou (1.10), tj. = , (1.13) můžeme také o F(N[i]) předpokládat, že je blízké P(N[i]), což nám dovoluje charakterizovat úplný soubor výsledky získané z (1.11) a (1.12). Jsou-li F(N[i]) a P(N[i]) blízké, můžeme učinit závěr, že aparatura pracuje dobře. Hlavními výsledky uvedeného postupu je možnost posoudit správnost funkce aparatury a dále učinit odhad přesnosti ojedinělého měření, které je v praxi obvyklejší, než mnohokrát opakované. . b) V případě jediného měření nám nezbývá nic jiného, než výběrový aritmetický průměr (tj. který je nejbližší střední hodnotě měřeného počtu impulzů) nahradit právě jedním vykonaným měřením N[1]. To znamená, že předpokládáme = N[1] a = . Velikost (výběrová směrodatná odchylka) ukazuje odhad, o kolik se střední hodnota liší od hodnoty četnosti N[1] získané z jediného měření. V tomto smyslu budeme nazývat výběrovou směrodatnou odchylkou (nejistotou) měřeného počtu impulzů N[1]. 1 - 4 Relativní nejistotou měřeného počtu impulzů N[1] nazýváme veličinu . (1.14) Ze vztahu (1.14) můžeme k žádané velikosti relativní nejistoty stanovit potřebný počet impulzů N[1], resp. dobu měření. Např. má-li být = 1 %, je potřeba naměřit 10^4 impulzů. Často budeme potřebovat místo počtu impulzů četnost n, kterou vypočítáme podle (1.2). Zanedbáme-li nejistotu měření času, bude směrodatná odchylka (nejistota) jednoho měření četnosti = a relativní nejistota = = . (1.15) Ve většině případů musíme naměřenou četnost korigovat o četnost impulzů způsobených pozadím (např. kosmickým zářením apod.) četnost impulzů od zářiče = celková četnost - četnost od pozadí . (1.16) Pro směrodatnou odchylku četnosti od zářiče pak platí . (1.17) Má-li být chyba minimální je nutno volit doby měření tak, aby platilo (viz [3]) . (1.18) Z rozboru (1.17) a (1.18) dále plyne [2], je-li četnost impulzů od pozadí nejméně o jeden řád nižší než četnost impulzů od zářiče , je možno nejistotu pozadí zanedbat. Ze vztahu (1.15) a (1.18) také plyne, jak volit délku časového intervalu , abychom měření četnosti obdrželi s požadovanou přesností. 5. Pokyny pro měření a) Zářič umístěte do takové vzdálenosti, aby počet impulzů od zářiče splňoval podmínku . b) Měřte soubor N[1],N[2],...N[x], vždy za vhodně zvolenou dobu s ohledem na to, že počet opakovaných měření X má dosáhnout počtu 100 až 200 . Měření hned zaznamenávejte do grafu, který bude mít na ose x hodnoty z intervalu (nejmenší číslo z N[1], N[2],...N[x] ; největší číslo z N[1],N[2],...N[x] ). Na ose y vynášejte počet výskytů x[i] hodnot N[i] . 1 -- 5 c) Zjistíme orientačně četnosti a , abychom podle (1.18) zvolili optimálně doby měření a s ohledem na čas, který máme k dispozici, zadanou přesnost apod. d) Na základě předchozího rozboru změříme veličiny potřebné k výpočtu četnosti impulzů od zářiče (1.16). Poznámka: Je také možno měřit pouze četnosti od pozadím pokud je splněna podmínka . 6. Pokyny pro zpracování a) Pomocí (1.1) sestrojte v tabelární a grafické formě rozdělovací funkci F(N[i]) b) Podle (1.11) vypočítejte c) Ze vztahu (1.12) vyjádřete d) Ověřte, zda platí (1.13). V kladném případě dosaďte do (1.9) za parametr vypočítaný a do grafu F() zakreslete také e) Prostým srovnáním obou průběhů funkcí vyvoďte závěr pro funkci aparatury. Tj. jsou-li průběhy blízké, aparatura pracuje dobře, a naopak. Pozn.: pokud umíte pro srovnání a uplatnit některý z testů dobré shody (např.), učiňte tak. Podrobněji viz např. [4,5]. f) Podle (1.17) vyjádříte nejistotu měření . Takto získaná hodnota nás informuje o tom, že veličina n[z ] leží s pravděpodobností asi 68% v intervalu ( - , +), je-li n[z] >1. g) Naměřené a vypočítané veličiny uspořádejte do vhodných tabulek. Použitá literatura: [1] Šeda J.a kol.: Dozimetrie ionizujícího záření, SNTL 1983 [2] Šeda J., Sabol J., Kubálek J.: Jaderná elektronika SNTL 1977 [3] Knoll F.G.: Radiation Detection and Measurement, Wiley, New York, 1989 [4] Rektorys K. a kol.: Přehled užité matematiky I a II, PROMETHEUS 1995 [5] Matyáš V.: Základy teorie chyb měření VUT 1979 [6] Meloun M., Militký J.: Statistické zpracování experimentálních dat, PLUS Praha, 1994 [7] Škrášek J.: Úvod do počtu pravděpodobnosti a matematické statistiky, 2.vydání, S-2703, VA Brno, 1971 Klíčové výrazy: Četnost impulzů n [3], četnost impulzů od zářiče [3], četnost imulzů od pozadí [3], frekvenční diagram [3], [4], [5], nejistota měření [4], [5], nejistota měření relativní [4], [5], pozadí (viz četnost impulzů od pozadí) [3], přesnost jednoho měření počtu impulzů [3], [4], [5], přesnost opakovaného měření počtu impulzů [3], [4], [5], statistické rozdělení Poissonovo [3], [4], [5], [7], výběrová směrodatná odchylka [3], [4], [5]. 1 -- 6 Návrh tabulek pro zápis naměřených hodnot a jejich zpracování: Tabulka 1 X[i ]50 . . . . . . . . . . . . 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 . . . 30 N[i Počet měření: 1 2 3 4 5 6 . . . ]25 26 27 28 29 30 31 50 51 52 53 54 55 56 75 76 77 78 79 80 81 . . . 100 Tabulka 2 Jméno: Datum: Čas měření: Laboratorní podmínky: Atm.tlak b[0] (kPa): Teplota t (^0C): Rel.vlhkost p (%): i N[i x[i F(N[i]) N F(N[i]).(N[i] - l[e])^2 P(N[i]) [i].F(N[i]) 0 ] ] 1 2 3 . . . 30