Relace zobrazení z množiny do množiny

Def. Relace R z množiny M do množiny N se nazývá relace zobrazení z M do N, právě když (a   M)(b,b´  N) ( ([a,b] R    [a,b´]R)  b b´ ),

                 nebo:  ((aM)(b,b´N) ( ([a,b]R   b  b´)   [a, b´]  R).

Jestliže ve výše uvedené definici je M = N, pak mluvíme o zobrazení v množině M.
Z definice zobrazení z množiny M do množiny N plyne, že ke každému aM existuje nejvýše jeden prvek bN takový, že platí [a,b]R. Prvek aM se nazývá vzor, prvek bN jeho obraz.

Typy zobrazení  (rozlišujeme 4 typy)
Zobrazení z množiny M do množiny N, které 
1. není zobrazením celé množiny M, ani zobrazením na celou množinu N,
2. je zobrazením nikoliv celé množiny M na celou množinu N,
3. je zobrazením celé množiny M do nikoliv celé množiny N,
4. je zobrazením celé množiny M na celou množinu N

Def.  Zobrazení  R z množiny M do množiny N se nazývá prosté, právě tehdy, když relace 
R-1  je zobrazení z množiny N do množiny M.
(Jinak: Zobrazení R je prosté právě tehdy, mají-li každé dva různé prvky definičního oboru různé obrazy.)

1. Rozhodněte, zda následující relace jsou zobrazení z množiny M do množiny N, 
 M = {a,b,c,d,e}, N = {1,3,5,7,9}
 a)  R1 = { [a,5], [b,3], [c,9], [d,7], [e,3] } 
 b)  R2 = { [d,7],[e,9],[b,1],[a,5]}
 c)  R3 = {[b,9],[a,7],[c,5],[b,1],[e,3]}
 d)  R4 = {[e,1],[d,7],[c,3],[b,9],[a,5],}  
 Určete typy zobrazení a rozhodněte, která jsou prostá.

2. Určete, které z následujících relací v množině M = {0,1,2, ...,6} jsou zobrazení. V případě  zobrazení zapište definiční obor a obor hodnot. Zobrazení znázorněte graficky.
a)  R1 =  {[2,3], [3,4], [1,3], [4,5], [0,3]} 
b)  R2 =  {[3,2], [2,3], [1,5], [3,4], [1,2]}.

3. Je dána množina  A = {xZ: x36 }    kde  Z = {1, 2, 3, ...,20}. Doplňte uspořádané dvojice  [2,  ], [  ,9], [4,   ], [  ,2], [12,  ] tak, aby  vzniklo a) zobrazení v množině A, které  je prosté, b) zobrazení v množině A, které není prosté.

4.  Relace R v množině M = {0,1,2, ...,8} obsahuje všechny uspořádané dvojice [a,b], kde b je zbytek při dělení čísla a třemi. Určete relaci R výčtem prvků, graficky ji znázorněte a určete zda R je zobrazení v množině M. Pokud ano, určete přesně jeho typ a rozhodněte zda je prosté.

5. Jsou dány množiny M = {1,2,3,4} a N = {a,b,c,d}.
a) Definujte výčtem prvků relaci R z množiny M do množiny N, která není zobrazením. Dále definujte relaci Z, která je zobrazením z množiny N do množiny M. Zapište výčtem prvků relaci R o Z a rozhodněte zda je tato relace zobrazením. Pokud ano určete jeho typ.

b) Definujte výčtem prvků vždy alespoň dvě zobrazení R1, R2 (pokud existují), pro která platí:
-	Jde o zobrazení z množiny M do množiny N, které není zobrazením celé množiny M, ani na celou množinu N.
-	Jde o zobrazení (celé) množiny M do množiny N, které není zobrazením na celou množinu N.
-	Jde o zobrazení z množiny M na (celou) množinu N, které není zobrazením celé množiny M.
-	Jde o zobrazení množiny M na množinu N.
Sestrojte uzlový graf každého z těchto zobrazení a rozhodněte zda je či není prosté.

6. Jsou dány množiny A = {1,2,3,a,b},  B = {a,b,c,d}. Definujte (pokud to lze) všechny typy zobrazeni z množiny A do množiny B. V každém případě rozhodněte, zda se jedná o zobrazení prosté.

7. Jsou dány množiny A = {a,b,c},  B = {1, -1}. Určete výčtem prvků všechna zobrazení, která jsou zobrazením celé množiny A do nikoliv celé množiny B.

8. Je dána množina M = {1,2,3}. V množině M jsou dány binární relace R, S takto:
R = {[x,y] MM: x  3  y = 1 },    S = { [1,2], [2,3],[3,1]}.
Jsou relace R, S  zobrazení v množině M ? Pokud ano, určete přesně jejich typ a rozhodněte zda jsou prostá. Dále určete RoS, SoR a rozhodněte, zda jsou tyto složené relace zobrazení v množině M.

9. Je dána množina A = { -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 }. V množině A jsou definovány dvě binární relace R, S takto:  R = { [x,y]  A2 : y = |x| },  S = { [x,y]  A2: y = - x}. Relace R a S určete výčtem prvků a rozhodněte, zda se jedná o zobrazení v množině A. Pokud ano, rozhodněte zda jsou prostá a určete přesně jejich typ. Jsou zobrazením v množině A relace RoS, R-1, S-1 ?

10. Je dána množina M = {1,2,3}. V této množině jsou definovány binární relace 
R = {[x,y]  M2 : x y  x = y }, S = { [1,3], [2,1], [3,2]}. Rozhodněte a zdůvodněte, zda jsou tyto relace permutace množiny M. Je některá z relací R, S uspořádáním v množině M ? Na množině M  definujte další permutaci T a ověřte, že platí vztah:
 Ro (So T )  =  (R oS) o T .

11.  Jsou dány relace 
R =  { [x,y]  R2 : y = x }
S =  { [x,y]  R2 : y = |x| }
T =  { [x,y]  R2 : x2 + y2 = 4 }. 
Rozhodněte, která z těchto relací je zobrazení v množině  R všech reálných čísel. Sestrojte kartézský graf  každé zadané relace.

12. Definujte alespoň jedno zobrazení z množiny A do množiny B, je-li:
A - množina všech osob přítomných v určité místnosti
B - množina všech jihomoravských měst

A - množina všech mužů
B - množina všech žen

A - množina všech občanů ČR                          
B - množina všech rodných čísel  (v ČR).
Ekvivalence množin

Def.: Říkáme, že dvě množiny A, B jsou ekvivalentní právě tehdy, když existuje prosté zobrazení množiny A na množinu B. Zapisujeme A  B.

1.  Jsou dány množiny    A= {0, 1, 2, ...,6},    B = {k, l, m, n, o},    C = {m, n, l, k, o} 
     a  D = {2, 3, 4, ...,8}. Rozhodněte, zda platí:  AB,   BC,   BD,   DA,   B = C.

2. Určete, zda jsou množiny A, B ekvivalentní. Své rozhodnutí zdůvodněte. 
    A =  { x  N:  x  0 },       B =  {x  C:   2x     x  0 }.

3. Zdůvodněte, že pro libovolné množiny A, B platí:
    A A,     AB  BA,    (AB  BC)    AC.

4. Ukažte, že množina N všech přirozených čísel je ekvivalentní
    a) s množinou  A trojnásobků všech přirozených čísel
    b) s množinou B všech přirozených čísel větších než 10
    c) s množinou S všech přirozených čísel sudých
    d) s množinou L všech přirozených čísel lichých.

Def.: Množina A je konečná právě tehdy, když není ekvivalentní s  žádnou svou vlastní podmnožinou. Množina, která není konečná se nazývá nekonečná.  Tzn., že množina B je nekonečná právě tehdy, když existuje alespoň jedna vlastní podmnožina množiny B, která je s množinou B ekvivalentní.

5. Zdůvodněte (užitím definice), že množina M = {a, b, c, d} je konečná a množiny A, B, S,       
    L  z příkladu 4 jsou množiny nekonečné.

Podobnost lineárně uspořádaných množin

Def. Množiny (M, R1), (N, R2) jsou dvě lineárně uspořádané množiny. Zobrazení Z (celé) množiny M na (celou) množinu N, které má vlastnost
(x,y M)   x    y    Z(x)    Z(y) ,
                                                                                              R1                      R2
se nazývá podobné zobrazení lineárně uspořádané množiny (M, R1) na  lineárně uspořádanou množinu (N, R2).  Existuje-li podobné zobrazení lu množiny (M,R1) na lu množinu (N, R2) pak říkáme, že  lu množiny (M, R1) , (N, R2) jsou podobné a zapisujeme  (M, R1)    (N, R2).

6. Jsou lineárně uspořádané množinyA,  B podobné ? Odpověď zdůvodněte.
a)  A = {5,6,7,8,9 } ,   B = {t,s,r,q, p} 
b]  A = {a,b,c,d} ,       B  = {, , }
c] (A,  ), (B,  ), kde    A = {7,3,1,4},  B = {15, 2, 5, 8}.

7. Je dána množina K =  xC:  x5  a relace R1 definovaná v této množině vztahem y  x, tj. R1 = x,y KK:  y  x. 1. Určete množinu K výčtem prvků a dokažte, že R1 je lineární uspořádání množiny K. Dále je dána množina L = aN:  a8 a v ní relace
 R2 = a,bN: a  b.  2. Dokažte, že R2  je lineární uspořádání mn. L.  3. Definujte podobné zobrazení lu množiny (K, R1) na lu množinu (L, R2) a dokažte, že (K,R1)   (L,R2) .

8. Rozhodněte o pravdivosti následujících výroků:
a) Jsou-li dvě množiny podobné, pak jsou obě lineárně uspořádané. b) Mají-li dvě lu množiny první prvek, pak jsou podobné. c)  Dvě podobné konečné množiny mají stejný počet prvků.
d) Platí-li (A, R1)   (B, R2), pak A   B.