soustavu souřadnic, pak v této soustavě mají dvě soumístné události stejné prostorové souřadnice .v, >.az. Soumístné události nemusí nastat ľouSTe ° Z a Pr0t°ÍÍm mÚŽe P"S)U'et °beCné rÚZná Časová Události, které se odehrály ve zvolené vztažné soustavě ve stejném okamžiku, se nazývají současné. Současné události mají v této soustavě stejnou časovou souřadnici t; prostorové souřadnice dvou současných udalostí mohou být obecně různé. ' ► PŘÍKLAD 4 (udá Jt //? í Z ° byI/ySlfn Ze Zemé mi M™c světeI»ý záblesk (událost U,). Svetlo se odraz.lo od Měsíce (událost U2) a část energie odrazeného svetelného záření byla opět zaregistrována měřice přistrojí na Zenu (událost U?). Zvolte soustavu souřadnic podle obr 1-7 a určete v ni souřadnice událostí [/„ V2 a Ua Průměrná vzdálenost Měsíce od Země je asi 384 000 km. " ' Oör. L-7 Řešení Událost Ut (vyslání světelného záblesku) má souřadnice x, - 0, >'i 0, z, -Oaf, =0. Světlo dorazí na Měsíc vzdáleny 384 000 km W i S/i ms__ za dobu h - * « i^üOlm - 1,28 s a vrátí se zpět na Zem c 3.10*m.s-' v okamžiku ř, = 2r, = 2 56 s Událnst // m.; *- ^ - , ■ ,JO Si uoaiost U2 ma tedy souřadnice 22 l 0,y2 = 3,84.10s m,z, = 0aí, = 1,28 s; událost U3 má souřad-iiKL- x3 = 0,y3 = 0, z3 — 0ať3 = 2,56 s. Pit/námka Pokus s vysláním světelného záblesku k Měsíci byl uskutečněn již tu i' ilikrát pomocí kvantového generátoru světla (lasem). ► PŘÍKLAD 5 Auto záchranné služby vysílá při jízdě ulicemi města světelné Mi-iializační záblesky. Jsou tyto záblesky soumístné události? Řešení Zvolíme-li za vztažnou soustavu Zemi, pak vzhledem k ní wnikají jednotlivé záblesky na různých místech; zvolíme-li však za Vztažnou soustavu jedoucí auto záchranné služby, pak v této soustavě l'.ou všechny záblesky soumístné. ľoziiámka Z příkladu plyne, že bez udání vztažné soustavy nelze rozhodnout, zda incite události jsou, nebo nejsou soumístné; soumístnost událostí je relativní pojem. I'.! lalivnost soumístnosti událostí je důsledkem relativnosti polohy bodu. ► PŘÍKLAD 6 Dotkněte se tužkou určitého bodu na stole a asi po jedné sekundě tento dotyk opakujte. Odehrály se obě události (tj. první i druhý dotyk) na stejném místě? Řešení Otázku opět nelze jednoznačně zodpovědět, neboť není udána vztažná soustava, vzhledem k níž je třeba určovat polohu bodu. Obě události jsou přirozeně soumístné v soustavě souřadnic spojené se Zemí. V heliocentrické soustavě souřadnic, jejíž počátek leží ve středu Slunce a souřadnicové osy míří ke hvězdám, obíhá Země kolem Slunce rychlostí asi 30 km. s"', a proto se v této soustavě oba dotyky odehrály ve dvou různých bodech, vzdálených od sebe asi 30 km. Poznámka V praxi jsme zvyklí podvědomě vztahovat většinu dějů k Zemi, a proto představa, že obě události, které se odehrály na stejném místě vzhledem k Zemi, nejsou soumístné v jiné vztažné soustavě, je pro nás dosti neobvyklá. Nesmíme však zapomínat, že z fyzikálního hlediska je zemská vztažná soustava jen jednou z mnoha jiných vztažných soustav, a proto výrokům, které plaví jen v zemské vztažné soustavě, nesmíme přisuzovat absolutní platnost. 23 15 RELATlVNOST POHYBU A KLIDU při mechanickém pohybu se mění poloha určitého tělesa vzhlede <" k M*0 tě'esům {vzhledem k vztažné soustavě). Kdykoli hovonrf»e ° pohybu ncbo ^u, musíme současně udat vztažnou soustav^ k níž se pohyb nebo klid tělesa vztahuje; pohyb a klid tělesa jsou rcÜ1*'™1 P°Íniy- P(1hyb určitého telesa můžeme vztahovat k různým vztažným soustava z kinematického hlediska však neprobíhá pohyb téhož tělesa v různých vztažných soustavách stejně. Např. těleso vypuštěná z letadl» bicího ve vodorovném směru konstantní rychlostí se pohybuje vzhledem k Zemi po parabole, vzhledem k letadlu padá volným Pádem a v S0llstílvě souřadnic spojené s padajícím tělesem je toto těle*0 v klidu- °tázka> P« jaké trajektorii se těleso pohybuje ..ve skutečna"' nemá smysl; všechny trajektorie téhož tčlesa v různých vztažnýc11 soustavách jsou stejnč skutečné. Absolutní trajektorie tčlesa v prostoru neexistuje; trajektorie je vždy relativní. Relativní jsou také někíeré veličiny, jako např. dráha s nebo rychlost v. Vztažnou soustavu a s ní spojenou soustavu souřadnic můžeme volit IibCvolné' v Praxi vSak vol'me vztažnou soustavu a soustavu souřadnic tak> aby síudíUm daného pohybu bylo co nejjednodušší. Dva následující příklady ukazují řešení kinematických úloh v různýct1 vztažných soustavách. ^ PŘÍKLAD 7 DvíJ motorové čluny pluly po řece ve směru proudu různými rychlosti^- Rychlost vodního proudu vzhledem k břehu je v0, rychlost člunů vzH!edem k vodč Je *i a v2 (»i > v2). V okamžiku, kdy byly oba čluny vcíilc sebe' byly z obou clunu shozeny záchranné kruhy. Za určitou dobu od toiloto Okamžiku se oba čluny současně obrátily a stejně \'S]kÝmi rychlostmi *, a v2 (vzhledem k vodě) se vracely proti proudu naZPět* Ktery číun se setká se svým záchranným kruhem dříve? 24 Řešení Příklad lze řešit v soustavě souřadnic spojené s břehem nebo s vodou. a) Zvolme podle obr. 1-8 soustavu souřadnic K spojenou s břehem. Označme dobu, která uplyne od okamžiku vyhození záchranných kruhů do okamžiku obrátky obou člunů, r; za tuto dobu urazí kruhy vzhledem k břehu dráhy v0t a čluny dráhy (», + vt))t a (o2 + v0)t (viz obr. l-8a). K f^+VoJ í a K *Q. (/,+*„) t "o t *o£i ( Vi-"o) ti "o, (vJ + ^0)t V„t Y0tt {vi-va)ti w^7^//7///////////////////////////^//^/y/yy^^^^- Obr. 1-8 25 Dobu, která uplyne od okamžiku obrátky až do okamžiku setkání prvního člunu se záchranným kruhem, označme r,; za tuto dobu urazí první člun proti směru proudu dráhu (v] - u0)r] a kruh ve směru proudu dráhu ty, (obr. l-8b). Druhý člun nechť se setká se svým záchranným kruhem za dobu t2 od okamžiku obrátky; za tuto dobu urazí dráhu (v2 - v0)t2 a záchranný kruh dráhu v0t2. Z obr. l-8b pak plyne (r, + v0)t - vat + Ví + (vj -ťi)K> (v2 + u„)r - ty + v0t2 + (v2 - uu)/2. Z první rovnice dostaneme po úpravě t = /,, ze druhé t = t2; oba čluny se tedy setkají se záchrannými kruhy současně (/L - t2). b) Zvolme soustavu souřadnic K' spojenou s vodou (viz obr. 1-9); vzhledem k této soustavě jsou oba kruhy trvale v klidu. Za K' r+ V/fy//////////////////////////////////////////////////// • v. t T3 ___f-________ Td W, V/////////////////////////////////////?////////////////, 0> Obr, 1-9 dobu t, která uplyne od okamžiku vyhození kruhu do okamžiku obrátky, urazí čluny vzhledem k vodě dráhy s, = ty a s2 - v2t. Při zpáteční plavbě se oba čluny vracejí ke kruhům opět po drahách s, a.s2 s původními rychlostmi t>, av2 (vzhledem k vodě); oba čluny proto dostihnou záchranné kruhy současně. Poznámka Při řešení tohoto příkladu je zřejmě výhodnější soustava souřadnic spojená s vodou. 26 » PŘÍKLAD 8 é_» , V klidné vodě jezera se pohybuje čtvercový vor o strane l0 konstantní rychlostí v (viz obr. 1-10). Z bodu D vyplují současné dva plavci; první plave podél voru po dráze DZXD; druhý po dráze DZ2D. \ J ,a se pohybují stálou rychlostí velikosti , > v vzhledem k vode. Který z (,bou plavců se vrátí do bodu D dříve? Řešení . , _ ,__ Příklad lze opět řešit v soustavě souřadnic spojene buď s vodou, ° a)VZvLe nejprve soustavu souřadnic K spojenou s klidnou vodou (obr. 1-1 la). Pro dobu í,, za kterou první plavec dopluje k bo- Obr. 1-11 27 du Z, a vráti se nazpět můžeme psát řx — T^ + r2 kde r, je doba, během níž plavec pluje k bodu Z,, ar; doba, za kterou se vrátí nazpět. Za dobu r, se bod Z, posune o ur, do polohy Z\, takže plavec plující rovnoběžně s vektorem.rychlosti v voru urazí za tuto dobu vzhledem k soustavě K dráhu CT| = /„ + LT, . Plavec se potom vrací k bodu D, který se za dobu r2 posune o vr2 do polohy £>„ (viz obr. 1-1 lb); při návratu urazí tedy plavec vzhledem k soustavě K dráhu cr2 — 11) — vr2. Z obou vztahů určíme dobu tt: c — v c + v er — v 2V 2/0 "'H)" 1 i ~jj> Poněvadž podle přec odtud vyplývá t1>t2. Havec, který plave rovnoběžné se směrem rychlosti v voru, se vrátí do bodu D později než plavec, který plave kolmo ke směru rychlosti v voru, b) Řešme nyní úlohu v soustavě souřadnic K' spojene s vorem (obr 1-13) První plavec plave po dráze DZX rychlostí velikosti D c-v C + V Z, x=x> Obr. 1-13 29 c -v (vzhledem k soustavě K'), nazpět rychlosti velikosti c + v; dráhu DZtD urazí tedy za dobu 'o lo 2/„ c — i1-?) Druhý plavec plave podél stěny DZ2 kolmo ke směru rychlosti v. Velikost jeho rychlosti c, vzhledem k voru neznáme. Poněvadž však rychlost plavce vzhledem k vodě je c a rychlost vody vzhledem k voru je -v, je hledaná rychlost cy určena vektorovým součtem rychlostí a c (obr. 1-14); odtud dostáváme cl = c2 - v2 r2 = 2/(, = ^° = 2/„ fi^2 2/n f1? Obr. 1-14 Poznámka Povšimněte si, že oba plavci se pohybuji' vzhledem k vodě stejnými rychlostmi po různých dráhách, zalímco vzhledem k voru se pohybují různými rychlostmi po stejných dráhách. Příklad s vorem je modelovým příkladem k izv. Micheisonovu pokusu (viz kap. 3}, a proto je třeba ho důkladně prostudovat. ■M) 1.6 INERCIÁLNÍ A NE1NERCIÁLNÍ VZTAŽNÁ SOUSTAVA Podle prvního pohybového zákona setrvává každé těleso v klidu nebo rovnoměrném přímočarém pohybu, dokud není přinuceno působením jiného tělesa tento stav změnit. „Klid" nebo „rovnoměrný přímočarý pohyb" jsou však relativní pojmy vzhledem k volbě vztažné soustavy. Je proto na místě otázka, zda první pohybový zákon platí ve všech vztažných soustavách. Jednoduché příklady a pozorování ukazují, že první pohybový /ikon ve všech soustavách neplatí. Předpokládejme např., že pozorovatel uvnitř vagónu rozjíždějícího se vzhledem k Zemi rovnoměrným zrychleným pohybem položí na ideálně hladkou podlahu vagónu kuličku. Pozorovatel uvnitř vagónu zjistí, že kulička se bude vzhledem k vagónu pohybovat rovnoměrně zrychleným pohybem (proti směru jízdy), i když na ni okolní tělesa nepůsobí silami. To však znamená, že v soustavě souřadnic spojené s rozjíždějícím se vlakem první pohybový zákon neplaň. První pohybový zákon neplatí také v rotující soustavě. Vztažná soustava nebo soustava souřadnic, v níž platí první pohybový zákon, se nazývá inerciální.* Pohybuje-1i se soustava souřadnic K' vzhledem k jiné inerciální soustavě souřadnic K rovnoměrně přímočaře, pak soustava K' je opět inerciální; pohybuje-li se zrychleně, je neinerciální. Těleso (nebo částici), na které okolní tělesa nepůsobí silami, nazýváme těleso volné (volná částice). Z předcházejícího výkladu vyplývá, že v inerciální vztažné soustavě je zrychlení volného tělesa rovno nule. Pozorovatel v určité vztažné soustavě (např. pozorovatel na Zemi, ve vlaku apod.} se může měřením provedeným uvnitř této soustavy přesvědčit, zda se zrychlení volného tělesa rovná nule, nebo je různé od nuly, a podle toho rozhodnout, zda uvažovaná vztažná soustava je, nebo není inerciální. Přístroje používané při měření mají však vždy omezenou citlivost a nedovolují zjistit libovolné malé Z lat. inertia - setrvačnost1 31 ► PŘÍKLAD 1 Za 10 s od okamžiku, kdy se souřadnicové osy inerciálních soustav K' a K ztotožnily, vznikla v bodě o souřadnicích x = 6 in, y = 2 maz' =3 m jiskra. Jaké jsou souřadnice této události v soustavě K, jestliže soustava K' se pohybuje vzhledem k soustavě K v kladném směru osy x konstantní rychlosti o velikosti v = 7 m.s"1? Řešení Dosazením do Galileiho transformace dostáváme x= x' + uť = = 6 m + 7.10 m = 76 m; y = v' = 2 m; z = / = 3 m a t = ť = 10 s ► PŘÍKLAD 2 Z letadla, které se vzhledem k Zemi pohybuje po vodorovné přímce konstantní rychlostí v, je v čase t = 0 vypuštěno těleso. Vyjádřete závislost souřadnic x ä. y padajícího tělesa na čase / nejprve v soustavě K spojené se Zemí. Užitím Galileiho transformace pak najděte závislost souřadnic x' a ý na čase t v soustavě K', která je spojena s letadlem. Jak se pohybuje těleso vzhledem k letadlu? Odpor vzduchu zanedbejte. Řešení Z hlediska pozorovatele v soustavě K lze pád tělesa při g = kořist, označit za vodorovný vrh, pro který platí rovnice x = vt, y^-zSi1 (ODr- 2-3). Z hlediska pozorovatele v soustavě K' (z hlediska m K' 0 x = ví 0' v ■» y r, X=X' Obr. 2-3 38 li tec) má těleso v libovolném okamžiku ť — t souřadnice xf ay', které dostaneme ze souřadnic x a y (viz předcházející dvě rovnice} užitím (íiilileiho transformace x1 = x — vt = vt — vt = 0, 1 A Rovnice x" = 0 ay' —gŕ vyjadřují, že z hlediska pozorovatele v soustavě K' padá teleso volným pádem ve směru osy ý. ► PRÍKLAD 3 Soustava K' (např. soustava spojená s vlakem) se pohybuje v/.hledem k jiné inerciální soustavě K {např. vzhledem k soustavě spojené se Zemí) rovnoměrně přímočaře rychlostí v* V soustavě K' nechť se pohybuje v kladnem směru osy x" těleso P rovnoměrným přímočarým pohybem (např. člověk se pohybuje ve vlaku ve směru jízdy). Rychlost tělesa P vzhledem k soustavě K' označme u. Užitím (ialileiho transformace dokažte, že vzhledem k soustavě K má těleso P rychlost u = u' + v. Řešení Předpokládejme, že v Čase t = ť = 0 souřadnicové osy obou soustav K' a K splývají a těleso P je v jejich společném počátku (obr. 2-4a). Za dobu t přejde těleso rovnoměrným pohybem do bodu .4 a urazí přitom vzhledem k soustavě K' dráhu x", vzhledem k soustavě K dráhu x (obr. 2-4b). Průchod tělesa bodem A je událost, která má v souřadnicové soustavě K' souřadnice x', ť; v soustavě K souřadnice x, t. Z definice rychlosti rovnoměrného přímočarého pohybu Rychlost v je vektorová veličina, a proto při přesnějším vyjadřování by bylo třeba rozlišovat mezi „rychlostí y" a ..velikostí rychlosti r". Termín „velikost rychlosti v" se však ve speciální teorii relativity vyskytuje tak často, že jeho časté opakování by vedlo k t oporné m n a ne p ich lednem u vyjadřováni'. Proto všude tam, kde nemůže dojít k záměně, používáme místo termínu „velikost rychlosti v" stručnější označeni ..rychlost i>". 39 K=DČ1 Ysr H" X=X' Obr. 6-5 K= K' y=r H"® H.Q ".Q 0S0' XäX> K' H' t-0 Obr. 6-6 -v Cut H, N ľ^ vAť "( 'úľ H,tT7Ať Xs y> vane s hodinami H'. Z porovnaní hodin H ( a H" vyplývá, že pohybující se hodiny H, ukazují opět menší čas než hodiny H". Z hlediska pozorovatele v soustavě K' jdou tedy pohybující se hodiny H, opět pomaleji než hodiny, které jsou v soustavě K' v klidu. Soustavy K' a K jsou ve shodě s principem relativity zcela rovnocenné. 86 Z obr. 6-5b užitím Pythagorovy věty dostáváme c\Aťf = c2At2 + J(Aťf, V/hledem k tomu, že y > i, je nyní At < Ať. Platnost vztahu Ať = y At je z hlediska principu relativity samozřejmá, neboť v soustavě K' musí platit stejné zákony jako v soustavě K, tedy i stejný vztah pro dilataci času; změnilo se jen označení časových intervalů. Soustava K se pohybuje vzhledem k soustavě K' rychlostí -v, a proto Lorentzův koeficient y ve vztahu Aľ = yAt zůstává nezávisle na změně orientace rychlosti v stejný (ve wtahu pro Lorentzův koeficient y je velikost rychlosti v ve druhé mocnině). Probíhá-li v místě, kde jsou umístěny hodiny H,, určitý děj, pak Al = Aít, je nyní vlastní čas tohoto děje a Ar' doba trvání tohoto děje v soustavě K'. Experimentální ověření vztahu pro dilataci času. Závěry, které vyplynuly ze speciální teorie relativity o dilataci času, byly experimentálně potvrzeny různými pokusy. Mezi jevy, které vedly k přesvědčivému ověření vztahu pro dilataci času, patří zejména závislost dohy života mezonů na jejich rychlosti a Dopplerův jev. V novější době byla dilatace času ověřena přenášením přesných atomových hodin letadlem. a) Závislost doby života mezonů :r+ na jejich rychlosti Mezony jt+ jsou kladně nabité elementární částice o hmotnosti m = 273m,, (me je hmotnost elektronu), vznikající např. v urychlovačích ostřelováním hliníkového terčíku rychle letícími protony. Me-zon ji+ je nestabilní částice, která se velmi rychle rozpadá na jiné částice; přitom střední doba života částice měřená v klidové soustavě (v laboratoři, vzhledem k níž by se mezon nepohyboval) je r,, -s 2,5.10"s s. Ze zákonů klasické fyziky vyplývá, že kdyby se mezon 87 pohyboval vzhledem k laboratoři rychlostí v—0,9L)r. tira/il by ml okamžiku vzniku do okamžiku rozpadu střední dráhu 4 = t>T(l = 0,99.3. 10*.2.5.10"8 m = 7,4 m. Experimenty v laboratoři však ukázaly, že střední dráhy, které mczol ny jt+ za těchto podmínek do okamžiku svého rozpadu urazí, jsou vj skutečnosti mnohem větší. Chyba předcházejícího výpočtu spočívá v tom. že při rychlostech blízkých rychlosti světla není již možno použít zákonjj klasické fyziky. Pozorovatel, který by se pohyboval společná s mezonem, by zjistil, že střední doba jeho rozpadu je opět 2,5.10""Ä neboť podle principu relativity se v libovolné klidové soustavě musí mezon ji+ rozpadnout za stejnou dobu, Z hlediska pozorovatel« v laboratoři na Zemi, vzhledem k němuž se mezon pohybuje rychlosti 0,99c, je střední doba života r mezon u určena vztahem 7- = —^------2.5-'O'" SA l7j7.10-8s. Jl-ß2 yi-o,y9- Tato doba je větší než r„ - 2,5. 10~8 s, a proto mezon v laboratoři urazí větší střední dráhu /, = ÍT = 0.99.3.10s. 17,7. 10■" m = 53 m. Doba života mezonu v klidové soustavě K' a v laboratorní soustavě K, vzhledem k níž se mezon ji+ pohybuje rychlostí v. je znázorněna na obr. 6-7 ([45]). b} Podélný Doppicrův jev Přijíždí-li pískající lokomotiva k pozorovateli, slyší pozorovatel vyšší kmitočet zvuku (vyšší tón); při vzdalování zdroje zvuku se naopak tento tón sníží. Závislost frekvence vlnění, kterou vnímá pozorovatel, na vzájemné rychlosti zdroje vlnění a pozorovatele, objevil a teoreticky zdůvodnil v r. 1842 rakouský fyzik Ch. Doppler (1803-1853), a nazývá se proto Dopplerův jev. Jestliže vzájemný pohyb zdroje vlnění a pozorovatele nastává ve směru šíření vlnění, hovoříme o podélném Dopplerově jevu. 88 K' ä (D1- Qt,- To=2,5.10-fl s a h i ihr. o-7a Vznik mezonu v soustavě K' Obr. 6-7b Rozpad mezonu v soustavě K' KJ=K' 3T + (T><°= tu E K' f=T>r„ Ob. 6-7c Vznik mezonu v soustavě K Obr. 6-7Ü Za dobu / - r0 se mezon ještě nerozpadl Obr. 6-7e Mezon se rozpadá v soustavě K za dobu r > r„ Kvalitativně lze pochopit Dopplerův jev podle obr. 6-8. Na obr. 6-8a jsou znázorněny vlnoplochy, které vysílá nepohybující se zdroj vlnění po čtyřech po sobě následujících periodách Ta; pozorovatelé P, a P2 zjišťují přitom stejnou vlnovou délku í0, jakou vysílá zdroj vlnění. Na obr. ó-8b jsou znázorněny vlnoplochy, které vysílá zdroj vlnění stálého kmitočtu vn, který se blíží rychlostí v ve směru Z,/1, k pozorovateli P,. Tento pohybující se zdroj vyslal vlnoplochu 1 z místa Z,, vlnoplochu 2 z místa Z2, jehož vzdálenost od místa Z, je 89 přesnějších měřeni ([23]), která přesvědčivě potvrdila platnost vztahu pro frekvenci záření u příčného Dopplerova jevu a tím i správnost relativistického vztahu pro dilataci času. d) Dilatace Času pří přenášení hodin letadlem Při výkladu speciální teorie relativity se často zdůrazňuje, že relativistické jevy se projevují až při rychlostech blízkých rychlosti světla. Soudobá měřicí technika je však již tak vyspělá, že některé relativistické jevy lze zjistit i při rychlostech podstatně menších. Vztah pro dilataci času byt v současné době ověřen již při rychlostech dopravních prostředků. Při tomto pokusu, provedeném v r, 1971 v USA, byly porovnány cesiové atomové hodiny, přenesené letadlem kolem Země, s hodinami, které zůstaly na Zemi. Podle výpočtu založeného na teorii relativity se pohybující hodiny měly opožďovat za hodinami, které zůstaly na Zemi, o 184 ns + 23 ns; při pokusu bylo naměřeno zpoždění 203 ns ± 1Ü ns (l ns = 10 lJ s). Experiment ověřil vztah pro dilataci času asi s 10%ní přesností {[ i 05], [69]). Pokus s přenášením cesiových atomových hodin letadlem má dnes význam spíše jako demonstrace přesného chodu atomových hodin, neboť vztah pro dilataci času je třeba považovat v současné době za ověřený s dostatečnou přesností. Nejpřesnější potvrzení tohoto vztahu {s chybou 1 promile} představuje v současné době měření doby života mionů (druh elementárních částic) pohybujících se rychlostí v = 0,999 4c ([l 05]), Měření, které bylo provedeno v r. 1968 ve výzkumném středisku CERN poblíž Ženevy, ukázalo, že miony, kterejsou vzhledem k laboratoři v klidu, mají ve shodě se vztahem pro dilataci času asi 30krát kratší střední dobu života než miony. které krouží v urychlovači. ► PŘÍKLAD 1 Na kosmické lodi vzdalující se od Země konstantní rychlostí 0,1 c probíhal určitý děj, který podle měření kosmonautu, účastníka letu, trval jednu hodinu. a) Jak dlouho trvá tento děj pro pozorovatele na Zemi? 94 b) Sestrojte na milimetrovém papíru pomocí počítačky graf «adnmc, závislost Lorentzova koeficientu y na poměru íychlostÍ I' -i Y -f iß)- Užitím tohoto grafu pak zjistěte, jak dlouho by pro h'Zľtfh™ ZemÍ trVal děj """NW"« k™mické lodi jednu > nu kdyby se tato loď pohybovala vzhledem k Zemi různými 2S,*,h0 * '< -NěkoHk hodnot těchto rychlost c) Je možné, aby děj, který na kosmické iodi trval 1 hodinu trval > hlediska pozorovatele na Zemi 1 000 000 hodin? Řešte s ôľuž Z labulek Lorentzových koeficientů pausten Řešeni I.....nilwfřr:iice)e "'"'"" ™ '"^ "* ^"^^ " Aí - yAttt . Fl po dosazení za A/„ a v pak vyplývá Ar ± 1 005 h b) Viz obr. 6-11. c) Ziomte Aí-yA/„ kde Alo-l h a Ar- 10" h, dostáváme ££ 1 A/0 TTrp " 10 a S Použit,'m tabulek pak 1 - £ === 5. ur '\ Odtud vyplývá v = c(í - 5.1fr13) =feC- 1,5.K)"4 m s"1 trvat na'zemľ^r, '"??? '^ ^ **" hodÍ11U' může rvát na Zem, 10 h, pohybuje-li se kosmická loď rychlostí jen ip ■ i U m , s menši než rychlost světla. ™"Í* Bí í"'111 í** r = m íe ^mé-že Pfi rychio.^ch , « c dilatace času ústava. Bte-J. se vsak rychlost , rychlosti světla ve vakuu (,, p 1 c, f.í ľ T) nZ I ■ «toota Lorencova koeficientu nade všechny meze ( y . „). Poda * . y múic ,edy ....."* VkStnfnl ^ Af" «*- teoreticky libovolné wlkých todno». Současné 95 y< í s 6 5 k 3 2 ~~~*^^ > -------►* 0,1 0,2 0,3 a/. 0,5 0,6 0,7 0,6 0.9 1,0 Obr, 6-11 kosmické lodi se však ve srovnání s rychlostí světla pohybují rychlostmi velmi malými (řádově asi 10 km . s-1}. K otázce, proč nelze tak snadno urychlit makroskopická tělesa na rychlosti v -* c, se ještě vrátíme (viz či. 10.5. př. 22). Z grafu na obr. 6-1 1 také plyne, že při rychlostech blízkých rychlosti světla odpovídá malé změně veličin r. a ß velká změna Loremzova koeficientu y. Při řešení úloh je proto třeba v těchto případech stanovit veličiny ľ a ß velmi přesně. ► PŘÍKLAD 2 Let letadla pohybujícího se rychlosti 1000 km.h"1 trval podle palubních hodin 1 hodinu. Vypočtěte, jak dlouho trval tento let z hlediska pozorovatele na Zemi. Řešení Rychlosti 1000 km.h_i = 0,3km.s_! = 10"5c odpovídáLoren-tzův koeficient y= 1 + 5.10"13 (viz tabulku I v příloze). Ze vztahu Ar - yAľ(, pak vyplývá, že děj, který v letadle trvá jednu hodinu, trvá pro pozorovatele na Zemi 1,000 000 000 000 5 h = 1 h. 96 j yenios , i _ m í sam vypočítal uzmm nám již známeho P.-.Nižného vztahu _ . , _ ' , Jcnž p]atí H t + x 2 ► PŘÍKLAD 3 Při srážkách částic primárního kosmického záření s atomv S*". ™*y atmosféry vznikají rmony. Jsou to nestabilní čst eT n ľ) a s0UhZ1Tta T" = 2'2' I0_Ŕ S (méř™ V «** «1 ' omi) a s hmotnost, m = 207me (mĽ je hmotnost elektronu) ozorovant pomoct stratosférických balónu a raket ukázala, že 22 v/ntkap ve velkých výškách nad povrchem Země (více než 10 km) a odtud se pohybují k Zemi rychlostí blížící se rychlosti své a Zi «obu života 2,2. 10- s se mion již rozpadľna SSt« Předpokládejme, že mion vznikl ve výšce 15 km a pohybuje se //míľ ry Stl Ľ " °'"98f' MÚŽC tení° mi- doleteľnayS Řešení v m ?e'T T° Ú1°hU Ve Vztažné SOUiitavě pojené se Zemí Vhledem k velké rychlosti mionu v porovnání s fy hlost, větla^ neba pn resem vycházet z poznatku speciální teorie relativit J rozpaS nJtTt mŮŽ\Tn °d okaÄ vzniku do okamžiku ozpadu uraz t, e / = vr, kde z = yTll je střední doba života mionu - 0,999 8; odtud l - ß = 2. Iff- a podle tabulek ľ - 50. Mion tedy uraz, za dobu svého života v zemské vztažné soustavě dráhu ,1T- 97 = třyr0 = 3.10". 50.2.2. lO"6 m = 3,3. IG4 m = 33 km, a proto může být zaregistrován postroji na Zemi. Poznámka Kdyby se neprojevila dilatace času a tas byl absolutní veličina (r = r„), pak by nejrychlejší miony {v « c) mohly od okamžiku vzniku do okamžiku rozpadu urazit jen dráhu lt = vt„ = 3.1(f.2,2.10~6 m - 660 m; to znamená, že by se nemohly dostávat^na povrch Země. V laboratoři na Zemi však můžeme miony vznikající ve velkých výškách zaregistroval; tím je opět experimentálně prokázán jev dilatace Času. Teoretická fyzika nedovede prozatím vysvětlit, proč se mion rozpadá a proč je 1 střední doba jeho Života v klidové soustavě 2,2. 10" s; přesto je však experimentálne potvrzeno, že tato doba je ve shodě s výsledky speciální teorie relativity v různých vztažných soustavách různá. To svědčí o tom. Že jev dilatace času se projeví u každého přírodního jevu; nezávisle na konkrétní povaze sledovaného fyzikálního, chemického nebo biologického jevu platí vždy vztah Aí - yAf„. Dilatace času je tedy jev. který souvisí se základními vlastnostmi prostoru a času. > PŘÍKLAD 4 V laboratořích na dvou kosmických lodích K a K', které považujeme za inerciální vztažné soustavy, jsou umístěny stejné radioaktivní izotopy {např. \Bz). Izotop £Be na lodi K označíme IK, izotop jBe na lodi K' označíme IK . Pozorovatel na lodi K zjistil měřením na svých hodinách, že poločas rozpadu jeho izotopu 1K je 53 dní. Jaký poločas rozpadu izotopu IK zjistí na svých hodinách druhý pozorovatel na lodi K', jestliže se tato loď vzhledem k lodi K pohybuje rychlostí v = 0,98 c? Řešení Poločas rozpadu izotopu IK měřený pozorovatelem na lodi K označme symbolem A% a poločas rozpadu izotopu IK měřený pozo-j rovatelem na lodi K' Ař0K. Z principu relativity pak vyplývá, že Ar0K 1 = AfoK. = 53 dní; oba pozorovatelé zjistí stejnou dobu rozpadu. Doba Ar0 = AřUK = A fo. je vlastní poločas rozpadu radioaktivní látky. Poznámka Uveďme ještě přehledně, jaké jsou poločasy rozpadu obou radioaktivních izotopů IK a lK- 7. hlediska pozorovatelů na lodích K a K'. a) Hledisko pozorovatele v lodi K (obr. 6-12). Podle pozorovatele v lodi K je poločas rozpadu jeho izotopu lK 53 dní; ale poločas rozpadu izotopu ÍK- pohybujícího se vzhledem k pozorovateli v lodi K rychlostí v je AíK - yAti, = 5.53 dní = 265 dní. 98 Ik it|<=265 dní Obr. 6-12 m 53 At0=53d i! Obr. 6 ■13 At0=53dní K' tři b Ik. a:K=265dní b) Hledisko pozorovatele v lodi K' (obr. 6-Í3). Podle pozorovatele v lodi K' je poločas rozpadu jeho izotopu 1K. 53 dní; ale poločas rozpadu izotopu IK pohybujícího se v/hledem k pozorovateli v lodi K' rychlostí —vje Aír. - yAta =5.53 dní = 265 dní. Příklad ilustruje rovnocennost obou inerciálních vztažných soustav K a K'. ► PŘÍKLAD 5 Podle studenta studujícího speciální teorii relativity není možné, aby pozorovatel v soustavě K tvrdil, že hodiny umístěné v soustavě K' jdou pomaleji, zatímco pozorovatel v soustavě K' naopak prohlašoval, že pomaleji jdou hodiny umístěné v soustavě K — v těchto tvrzeních je podle studenta logický rozpor. Student doprovodil svůj názor také náčrtem (obr. 6-14). Zvolíme-li dvojici navzájem se pohybujících hodin H' a H,, pak není možné, aby hodiny H' pohybující se kolem hodin H, ukazovaly menší čas než hodiny H, (hledisko pozorovatele v K — viz obr. 6-14a) a hodiny H( ukazovaly ve stejném bodu menší čas než hodiny H' (hledisko pozorovatele v K' — viz obr. 6-14b); např. momentní fotografie musí ukázat, že je správné jen jedno z obou tvrzení. Rozeberte názor studenta a celý problém správně vysvětlete. Řešení Student má pravdu v tom, že jsou-li vzájemně se pohybující hodiny H' a H, v jednom místě vedle sebe. pak skutečně není možné, 99 0 B 0H m ©h Q H, Obr. 6-14 a} Hledisko pozorovatele v soustavě K b) Hledisko pozorovatele v soustavě K' aby hodiny H' ukazovaly menší čas než hodiny H, a hodiny H, ukazovaly menší čas než hodiny H' — správne může být jen jedno I z obou tvrzení. Porovnaní údajů obou hodin (principiálně např.J pomocí fotografie) by tedy vedlo k jednoznačnému výsledku. Avšak jen z porovnání údajů dvou navzájem se pohybujících hodin na jednom místě (tj. při jejich setkání — viz studentův náčrt) nelze vyvozovat žádné závěry již proto, že oba pozorovatelé mohli ve svých vztažných soustavách uvést své hodiny do chodu v libovolném okamžiku; tj. v libovolném okamžiku mohli nastavit na svých hodinách H' a Hj čas t = 0 a ŕ' -= 0. Kromě toho při setkání dvojice pohybujících se'hodin v jednom místě mohou oba pozorovatelé bezprostředně porovnat jen okamžité údaje obou hodin; avšak jen z tohoto porovnání nelze vyvodit žádný závěr o jejich „chodu", tj. o tom, zda hodiny pohybující se vzhledem k určitému pozorovateli jdou např. pomaleji. Chceme-li z hlediska určitého pozorovatele porovnat chod vzájemně se pohybujících hodin H.aH', musíme nejprve u obou hodin při jejich setkání v jednom bodě nastavit stejný čas (nejlépe t = ť = 0) a po uplynutí určité doby jejich údaje opět porovnat. Po uplynutí této doby nemůže však již pozorovatel v soustavě K údaje hodin H' a H( bezprostředně porovnat, neboť hodiny H' se mezitím posunuly napravo (viz obr. 6-3b); pozorovatel v této soustavě proto užije další 100 hodiny H2 synchronizované s hodinami Hj a pohybující se hodiny H' porovná s hodinami H2. Porovnání chodu pohybujících se hodin H' ■. hodinami rozmístěnými v soustavě K vyžaduje celkem troje hodiny: 11,, H, a H'. Z obr. 6-6 analogicky vyplývá, že pozorovatel v soustavě K', který porovnává pohybující se hodiny H, s hodinami rozmístěnými v soustavě K', k tomu potřebuje opět troje hodiny: H', H" a H,. Porovnáním údajů hodin H' a H2 vysloví pozorovatel v soustavě K pak závěr, že hodiny umístěné v soustavě K' jdou pomaleji; porovnáním údajů hodin Hj a H" vysloví pozorovatel v soustavě K' řávěr, že hodiny umístěné v soustavě K jdou pomaleji; poněvadž se vsak tyto výroky opírají o údaje různých dvojic hodin (H' a H2, H, .i H"), není mezi těmito výroky žádný logický rozpor. ľo/námka Proti tomuto vysvětleni' a proti obr. 6-3 a obr. 6-6 může však student uvést |cště tuto námitku: „Hodiny H, a H: jsou synchronizovány, a proto musí v kterémkoli okamžiku ukazovat stejný čas (viz obr. 6-3b); totéž lze říci o hodinách H' a H" (obr. 6-ňb). Jestliže tedy např. hodiny H' ukazují v určitém okamžiku menší čas než hodiny H, (obr, ó-3b), pak v tomto okamžiku musí kterékoli hodiny umístěné v soustavě l\ ukázat menší čas než hodiny umístěné v soustavě K, neboť hodiny v soustavě K' jsou navzájem synchronizovány. Tento závěr je však v rozporu s obr. 6-6b. kde hodiny H" ukazují větší čas než hodiny H,:" Nesprávnost této úvahy však spočívá v tom, že nerespektuje relativnost současnosti nesou místných událostí a relativnost pojmu ..synchronizace hodin", termíny „současně" nebo „v daném okamžiku", kterými konstatujeme současnost několika nesou místných událostí, mají smysl jen v dané vztažné soustavě; proto ve všech Úvahách o měření času je třeba tuto vztažnou soustavu nejprve zvolit. Zvolímc-li např. /a vztažnou soustavu K (obr. 6-3b), pak hodiny H. a H, jsou v této soustavě ^Tichronizovány, hodiny H'ukazují menší čas než hodiny H,. avšak hodiny soustavy K' jsou synchronizovány jen v soustavě K', nejsou ledy synchronizovány v soustavě K. Není ledy pravda, že když v určitém okamžiku z hlediska pozorovatele soustavy K ukazují hodiny H menší čas než hodiny H,, musí všechny hodiny soustavy K' ukazoval menší tas než hodiny soustavy K. Na tomto chybném tvrzení byla založena studentova námitka. ► PŘÍKLAD 6 Kuře se vylíhne z vajíčka za 21 dní. Předpokládejme, že líheň je umístěna na kosmické lodi pohybující se vzhledem k Zemi rychlostí 101 v = 0,994c. Jakou dobu vylíhnutí kuřete zjistí v tomto případu a} kosmonaut na kosmické lodi. b) pozorovatel na Zemi? Řešení Z principu relativity vyplývá, že kosmonaut na kosmické lodi zjistí stejnou dobu líhnutí kuřete, jaká by byla v líhni na Zemi, tj, Ar„ = 21 dní. Tato doba je vlastní čas uvažovaného děje. Doba vylíhnutí kuřete z vajíčka umístěného na kosmické lodi je pak pro pozemského pozorovatele určena vztahem A/ = yAf„ = 9,142.21 dní = 192 dní. Poznámka Někteří biologové vyslovují občas nesprávný názor, podle kterého vztah pro düataci času lze aplikoval jen na fyzikální děje, nikoli však na děje biologické. Podle tohoto názoru by polty bující se fyzikální hodiny šly ve shodč se speciální teorií relativity pomaleji, avšak u biologických dějů by se dilatace času neprojevovala. Každý biologický děj je však také dějem fyzikálním, na který zákony speciální teorie relativity ize aplikovat. Navíc je možné také ukázat, že kdyby vztah pro dilataci času pro biologické děje neplatil, bylo by to v rozporu s principem relativity, podle kterého žádným pokusem provedeným uvnitř izolované vztažné soustavy nelze rozhodnout, zda se tato soustava vzhledem k jiné inerciální vztažné soustavě pohybuje rovnoměrným přímočarým pohybem, popř, zda je v klidu. Celá situace je znázorněna na obr. 6-15. Předpokládejme, že v pohybující se kosmické laboratoři Ľ máme vedle fyzikálních hodin H' umístěny ještě biologické hodiny H„. tj. určitý organismus, který biologickým dějem odměřuje jistý časový interval (např. dobu líhnutí kuřete, vyklíčení semena, zahojení rány apod.}.* Podle speciální K K y Ľ H-C )®HB ^U 0 ) H,® * t H,0 H'00HB H,0 Obr. 6-15 '' Také délka života člověka představuje určitý údaj biologických hodin. Velmi pěkně to vyjádřil anglický astrofyzik A. Eddington (1882-1944): „My všichni jsme hodinami a naše tváře jsou číselníky let." ([60], sir. 88). 102 i-rie relativity jdou pohybující se týzikální i biologické hodiny ve shodě se vztahem pro .......^xESS&SFŠ^ Obr. 6-16 KTCSäľSK írLL'z ™j «* ****** • **«* 1-l-vbem eož je r,™ n , T™ ^^ ""»^ P»**«*» :lPSÉáÍHÍSiÍiÍ Americký tyzik, laureát Nobelovy ceny R. Feynnan (1918 I QKfň *. t , Feynman tím myslí delší dobu z hlediska pozorovatele na Zemi. 103 ► PŘÍKLAD 7 Všechny děje na kosmické lodi, pohybující se rychlostí jen o málo menší než je rychlost světla, probíhají z hlediska pozorovatele na Zemi pomaleji, než v zemské laboratoři. Znamená to, že kosmonauti uvidí na své lodi probíhat všechny děje asi tak jako ve značně zpomaleném filmu? Odpověď Z principu relativity vyplývá, že pozorovatel na kosmické lodi ani při tak velkých rychlostech nezjistí žádnou změnu; život a všechny děje by probíhaly na kosmické lodi právě tak jako na Zemi. Případné změny by mohly být způsobeny jen změněnými fyzikálními podmínkami (např. odlišným gravitačním nebo magnetickým polem, odlišným tlakem, teplotou apod.). Pro pozorovatele na lodi je tento poznatek samozřejmý; jeho loď je inerciální vztažná soustava a všechny děje v ní probíhají tak jako v kterékoli jiné inerciální vztažné soustavě. Pozorovatel na Zemi si ovšem může klásí otázku, proč pozorovatel na lodi zpomalení svých hodin umístěných na lodi ani zpomalení všech ostatních dějů nepozoruje. Pozorovatel na Zemi si t vysvětluje tím, že se na kosmické lodi všechny hodiny a všechny děje zpomalují stejně, takže vzájemným porovnáváním těchto hodin a dějů nemůže kosmonaut na lodi nic zjistit. Poznámka Okolnost, že pro pozorovatele na lodi probíhají všechny děje právě tak jako na Zemi. však nic nemění na reálnosti jevu dilatace času (viz např. vysvětlení relativistického Dopplerova jevu nebo různou dobu života nestabilních částic vzhledem k různým vztažným soustavám). K jakým dalekosáhlým důsledkům může vést jev dilatace času. ukazuje také následující příklad. ► PRÍKLAD 8 Dvě dvojčata A a B se po oslavě svých dvacátých narozenin rozhodnou, že dvojče A zůstane na Zemi, zatímco dvojče B se vydá na dlouhou kosmickou cestu k hvězdě vzdálené od Země 40 světelných roků; u hvězdy se loď hned obrátí a dvojče B se vrátí nazpět na Zem. Předpokládejme, že kosmická loď, na které dvojče B vykonalo svou cestu, se pohybuje k hvězdě i při zpětném návratu na Zemi konstantní 104 rychlostí i)99c (s výjimkou relativně malého useku n Země a poblíž hvězdy kde se loď pohybuje zrychleně nebo zpomalené). KoSk bude oběma dvojčatům po návratu kosmické lodi? Řešení Při řešení příkladu zvolme za vztažnou soustavu Zemi Kosrmcka Jod se vzhledem k Zemi pohybuje rychlostí, která je Z o jedno procento menší než rychlost světla, a proto dorazí k hvězdě nnbhzne za dobu Ar = 40 let. Na hodinách umístěných na kosmické lodi uplyne mez, tím menší doba At(), neboť hodin v pohybující se vzhledem k Zemi jdou z hlediska pozorovatele na Zem, porn lei Vlašim cas Ař0 mezi startem a příletem k hvězdě lze vypočítat ze vztahu A/ = yAt0, z něhož vyplývá A/0 = IAř * I 40 let ± 5.7 roku. Při zpětném návratu se hodiny na palub/opět zpožďují a vzhledem tomU, se lod vracf nazpĚt stejnou trváJnávraí dIe od,n na 2emi 40 let a podie hodin na Podle >. atace času se tyká všech porodních jevů probíhajících na kosmické omíTT blíf "f* k0Sm0naUÍ {áW'^ B)«**« Proto př ko m,cke ceste o 11,4 roku a bude mu po návratu na Zemi 20 let + no dní T = l' r0kU' DVOJee A' které ZÚSta,u ™ Ze™< starne po dobu kosnucke cesty o S0 let a v okamžiku návratu kosmické lodi mutedy bude 20 let + S0 let . 100 let (pokud se ovšem £%£ Vl,- ^ití?1, gmft! na obr- 6"] i se také snadno přesvědčíme, že při vyssich rychlostech kosmické lodi může být tento věkový' rozdíl ještě ?nl(tTTky !ÍbrVOlně VdÍký); ZatímCU naPf' kosm« zestárne lc, etc let na Zemi Se meZÍti'm mŮŽe ***** -kohk «známka Rozdílný věk obou dvojčat po návratu kosmické lodi na Zemi je jev jistě prekvapuj a neobvvkiý, «f .o však výsledek bgicky protismyslný nebo pľadoÍ *e doid^ľ S"" * Zejmr V °bdobí-^ speciálnítecne relar.vi.v domnívá a dojdeme k logtckym rozporům, zvolím.-ti Při řešen.' tohoto příkladu za vztažnou rychlost« 0.99<. Poněvadž podle pnneipu relativity jsou všechny inerciL vztažné 105 soustavy zcela rovnocenné, vyplývá z analogických úvah, že by nyní dvojče A umístěné na pohybující se Zemi zestárlo méně než dvojče B, umístěné na raketě. To je však logicky rozpor, neboť jsme uvažovali o stejném fyzikálním ději z hlediska dvou vztažných soustav, a proto po návratu rakety na Zemi musíme dospčt ke stejnému výsledku; nem možné, aby po přistání na Zemi dvojče A bylo starší než B a současně dvojče B starší než A. Tento paradox (tzv. paradox dvojčat) však vzniká tím, že jsme obě soustavy nesprávně považovali za inerciální a v důsledku toho jsme také nesprávně tvrditi, že jsou rovnocenné. Zemi můžeme během letu rakety stále považovat za inerciální soustavu;* kosmická loď letící k daleké hvězdě však musť nejprve odstartovat, u hvězdy se zastavit a opět se vrátit zpět, přitom se pohybuje zrychleně, a proto není inerciální vztažnou soustavou. Proto také úvaha v poznámce, v níž jsme před po klád al i, že kosmická loď je stále inerciální soustavou, není správná. Správné zůstává pouze první řešení, tzn. že dvojče B bude po návratu mladší než dvojče A, Podrobnější rozbor těchto problému lze nalézt v literatuře ([83], str. 145). Paradox dvojčat vyvolával zejména v minulosti řadu polemik a diskusí (viz napft knihu [ďO]. která obsahuje 241 odkazů na literaturu týkající se tohoto tématu). Podstata sporů spočívala v tom, zda dvojče, které v kosmické lodi pohybující se rychlostí blízkou rychlosti světla vykoná cestu ke vzdálené hvězdě a vrátí se nazpět na Zemi, huJľ skutečně mladší než dvojče, které zůstane na Zemi, Někteří diskutující se domnívali, že vek obou dvojčat musí být po návratu na Zemi stejný, jiní dokonce považovali paradox dvojčat za přiklad, který vede k logickv protismyslným výsledkům, a poukazuje tedy na nesprávnost speciální teorie relativity. Správné vysvětlení paradoxu dvojčat podal již A. Einstein, který poukázal na nesymetrii tohoto příkladu, spočívající v tom, že kosmickou loď pohybující se od Země ke vzdálené hvězdě a nazpět nemůžeme považovat za inerciální vztažnou soustavu. Dnes převážná většina fyziků zastává názor, že rozdílné tempo stárnutí obou kosmonautu je reálná skutečnost, takže dvojče, které vykoná eestu ke vzdálené hvězdě, se vrátí mladší'. Lety ke hvězdám rychlostí blízkou rychlosti světla však nejsou z technického hlediska reálné. K těmto letům chybí vhodný zdroj energie, který je nutný k urychlení a k zpětnému návratu kosmické lodi a navíc je také obtížné řešil problémy, které by vznikaly při srážkách kosmické lodi pohybující se rychlostí blízkou rychlosti světla s mikročásticemi. Přitom zanedbáváme malá zrychleni Země. která vznikají v důsledku pohybu Země kolem Slunce a její rotace kolem vlastní osy. 106 ► PŘÍKLAD 9 Astronomické objekty, které se nazývají kvazary se vyznačují vclkyir, posuvem spektrálních čar smérem k červenému^ pekr .(.stého kvazaru bylo měřením zjištěno, že frekvence v pSusÍur uíc care jeho spektra se zmenšila v porovnání s frekvencí Sfe čľrv v kterou by vysílal nepohybující se zdroj světla tfikráT uiSľSL?' radiální rychlostí se vzdaluje tento kva ar od Země 'J Řešení Mezi frekvencemi v a ~«m v0 platí vztah pro podélný Dopplerův jev ß a dále vztah 1 ľ - - v„ Odtud po úpravě dostáváme i = -0,8. vesmír rozpíná ' astronomických objektů ukazuje, že se náš ^v,^mt2:ČL^hrelalÍVÍStÍCký VZtah Pr° ^ D°PP'^ jev. 107 dostali bychom po úprave 0_l-!° = l_3 = -2. v Podle klasického vztahu by se tedy daný kvazar vzdaloval od Země dvakrát větší rychlostí než je rychlost světla. Jak však uvidíme později, to nem' možné, neboť podle speciální teorie relativity se žádný materiální objekt nemůže pohyboval větší rychlostí než je rychlost světla ve vakuu. Teorie relativity tedy lépe vysvětluje vlastnosti vesmíru než klasická fyzika* • Úlohy 1. Provedte jednotkovou kontrolu vztahu pro dilataci času Ar = y&i„. 2. Na obr. 6-2b je nakreslena poloha světelného signálu v hodinách H' za zvolenou dobu A/, za niž světelný signál urazí v hodinách H, dráhu od dolního zrcátka k hornímu. Nakreslete tento obrázek za předpokladu. Že hodiny H, „ukazují" čas a} poloviční, b) dvojnásobný v porovnání s dobou Ar. Rychlost v vztažné soustavy K' vzhledem k vztažné soustavě K volte v obou případech stejně jako na obr. 6-2b. 3. Podle obr. 6-2b zjistěte, jakou rychlostí v se pohybují světelné hodiny H' vzhledem k soustavě K. Nakreslete tento obrázek také za předpokladu, že hodiny H' se pohybují vzhledem k soustavě K rychlostí v, větší než o{c> v, > v). Dobu Ar, kterou ukazují synchronizované hodiny H,aH3, volte stejnou jako na obr. 6-2b. Jaký závěr vysloví pozorovatel v soustavě K o závislosti chodu hodin H' na jejich rychlosti? 4. Dokažte, že světelné hodiny se nemohou pohybovat rychlostí světla nebo rychlostí větší, než je rychlost světla. K důkazu využijte obr. 6-2b a princip relativity, z něhož vyplývá, že pro pozorovatele v soustavě K' světelný signál v hodinách H' se při libovolné rychlosti těchto hodin musí pohybovat po jejich ose a odrážet od obou zrcadel právě tak jako napr. na Zemi. 5. Určete periodu a frekvenci světelných hodin o délce /0=5cm: a) v jejich klidové inerciální soustavě K', b) v inerciální vztažné soustavě K, vzhledem k níž se hodiny pohybují rychlostí 0,7c. 6. Nakreslete obr. 6-2b za předpokladu, že světelné hodiny mají délku II) cm a pohybují se vzhledem k soustavě K rychlostí 0,7c. Obrázek nakreslete opět pro okamžik (z hlediska soustavy K), v němž světelné signály v hodinách H, a H, poprvé dorazily k horním zrcátkům. Užitím narýsovaného obrázku pak určete přibližnou * Pro studium vlastností vesmíru je nutná znalost tzv. obecné teorie relativity. Podle této teorie užití speciální teorie relativity na rudý posuv kvazarů není zcela korektní. 108 hodnotu Lorentzova koeficientu v A/ ~ 1 oehc.entu v _ - odpovtdajtc, dané rychlost, ,. a porovnejte ji s hodnotou určenou výpočtem a použitím tabulek Získané hodnoty porovnejte s hod™*,™ , - ľ ' " °'2c; atd az "" " W*. , - ... ť«*«"«!«: s nounotami určenými Dodtetahniir, r,oK„ ■■ , . -pesni pocuaěce. Polohy hodin H< kreslete JSS^ZTjS^S Mněru různými rychlý ml ^T"*- *""*** ****** * v témžé «tažných soustavách K, až K, " * *° ^ (™ní ^ v různých K, ... I0,5s Kj ... 9.8S J> —I Jak ,n„ i ľ pohybuj.ei se vzhledem k Zemi ' hlediska pozorovatele na Zemí " *** ^^^ ™ kos« lodi imaľuÍuľdčj P^lľt^ Se VZhICdem k ZCmÍ ***-' - 2.6. «*■„ S-! I— ä- .Äolého Si, POZOmVatele " Zemi trVai tent° dĚ' 5 «* «* * *«** lodi ^nésZo?^iz™zxz^r trv?,děj *"****r™ vzhledem k Zemi? °' rychlostl se Pohybuje kosmická loď » P™ cestovatele na Jodii * °" h,ödB pm P^—atele na Zemi i^äs^ssääí rieím krzemi*— ***- 'ln-ou délkn a freUcnci ľ zL ' ^^ frekvenci ^ GHz). Jakou okamih «Jí^sisyrr?" fmr> ^P0^-. * 15. 109 A|1 . 434 nm je v jejím spektru posunuta o AA . ,«„. Když 1» »W> Po«»«, «y»-™»1 », ^ ek I j,* j*o «1» 110 7 KONTRAKCE DÉLEK Hovoříme-li o měření délky, obvykle si přitom pít d stavujeme proces, který nemá nic společného s měřením času. Každý ví, že k měření délky nepotřebujeme hodiny, ale např. tyčové měřidlo. Tato představa je skutečně správná, ale jen pro měření délky předmětu, který je vzhledem k pozorovateli v klidu (např. při měření průměru válečku posuvným měřidlem). Jak jsme již poznali v kap. i (viz či. 1.3, př. 3), při měření délky tyče pohybující se vzhledem k soustavě K je třeba v této soustavě vyznačit současnou polohu koncových bodu tyče; pojem „délka pohybujícího se předmětu" tedy úzce souvisí s pojmem „současnost událostí'', a tím i s pojmem času. Vytvoření dvou značek M a N na ose x soustavy K, které vyznačují současnou polohu koncových bodů pohybující se tyče (viz obr, 1-6), jsou však dvě události současné jen z hlediska pozorovatele v soustavě K; tyto události již nejsou současné z hlediska pozorovatelů v jiných inerciálních vztažných soustavách K t, K2, K-, atd., které by se pohybovaly ve směru osy x různými rychlostmi. Obě události nejsou rovněž současné v klidové soustavě K' tyěe. Pozorovatelé v těchto soustavách, kteří by sledovali vytváření značek v soustavě K, by konstatovali, že značky M a. N na. ose* soustavy K nebyly vytvořeny současné, ale postupné za sebou, a v důsledku toho by nepovažovali vzdálenost MN za délku tyěe ve svých soustavách. Předpokládejme však, že kterýkoli z těchto pozorovatelů (např. pozorovatel v libovolně zvolené inerciální soustavě K„) se sám rozhodne změřit délku uvažované tyče, a proto vyznačí současné polohy koncových bodů tyče ve své soustavě K^. Vytvoření dvou značek označujících současnou polohu koncových bodů tyče na ose x soustavy Kn jsou však nyní dvě události, které jsou současné jen v soustavě K]h a nejsou již současné v ostatních soustavách. 111 > H 0' x = x N v libovolné inerciální soustavě K nem' současné z hlediska pozorovatelů v jiných inerciálních soustavách pohybujících se ve směru osy x. Pohybuj c-!i se však tyč kolmá k ose x ve směru této osy (viz obr. 7-3), pak současný záznam poloh koncových bodů tyče v inerciální soustavě K je současný i z hlediska pozorovatelů v jiných inerciálních soustavách pohybujících se ve směru osy jr (viz kap. 5, př. 4). To je také důvod, proč kontrakce délek v tomto případě nenastává a pozorovatelé v různých soustavách by naměřili u téže tyče stejnou délku. Rozměry tělesa pohybujícího se ve směru osy x, kolmé k vektoru jeho rychlosti, se nezkracují. ► PŘÍKLAD 1 Na kosmické lodi vzdalující se od Země konstantní rychlostí je umístěna ve směru pohybu tyč o vlastní délce 1 m. a) Jaká je délka této tyče pro pozorovatele na Zemi, jestliže se loď vzdaluje od Země rychlostí 0,1 cl b) Sestrojte na milimetrovém papíru graf vyjadřující funkci l-f(ß)lß-?-,Osv dostáváme / 10- m = la a Plitím tabulek pak 1 -°-5.l5.1oW, C rychlost světla. J l3Um-s menší, než je - -"epických těfc, (např. u í^toto?* "*" VÍak «*■ -*> ► PŘÍKLAD 2 V letadle letícím rychlostí 1 000 km h-i r ~- tyč o vlastní délce 1 m JakáTe dé kľt ľ *' Ve směru Jeh° tetu Ä m- JaJídJe deika teto tyce vzhledem k Zemi? ^rychlost -I000km.h-,0,3km,-^10-, dostá-vame podle tabulek ±-1 _5 in-n. ., . , 7 X10 , hledaná délka / je tedy * ~h = (I - 5.10-»). I m = 0,9999999999995 m * 1 m. 117 „to*.«*-****-«*""****-"*'** 1 m. , t rtóU* s, pH ry.Uk.stch dopravní* pros**** 1S*2S?SSÄä- v mládí vytváří predstava o acsw ► PŘÍKLAD 3 míifcme '/měřit také tak, že Uu pohybuj sc *k;isXk;iojadíStäk,urych.oS«ív. Äefení n{ž ie poz0rovate1 s hodinami H, i 1 K» 1 © K o c H© «e b a Obr. 7-3 K rychlostí v, má v této která se pohybuje vzhledem k soustavě soustavě délku / = rAí' «rfK'ic tyč v klidu a hodiny H si í0 - ľAí'-kde ř0 je vlastní délka tyče. 118 Zabývejme se nyní otázkou, jaký je vztah mezi časovými intervaly A/ a A/"? Při pohybu tyče vzhledem k soustavě K projde kolem hodin H nejprve bod B a pak bod A. Obě události jsou v soustavě K soumístné a časový interval mezi těmito událostmi Ai měříme na hodinách H, které jsou v soustavě K v klidu; A/ je proto vlastní čas, který uplyne mezi uvažovanou dvojicí událostí. Veličina Ar' je časový interval mezi stejnými událostmi měřený v soustavě K', vzhledem k níž se hodiny H pohybují. V klasické fyzice by bylo A/=Ař', ve speciální teorii relativity platí mezi oběma časovými intervaly vztah pro dilataci času Al' = y At, Pro poměr délek / a /1P pak z výše uvedených rovnic dostáváme / _ vAt _ At _ 1 /„ vAť Ať y a odtud y V c- Poznámka Z příkladu vyplývá, ze i při odlišných způsobech měření délky tyče dostaneme tentýž vztah pro kontrakci délek. ► PŘÍKLAD 4 Jak již víme, neprojevuje se kontrakce u příčných rozměrů tělesa. Dokažte tento poznatek myšlenkovým pokusem s užitím principu relativity. Řešení Předpokládejme, že dvě stejné trubice A a B s velmi tenkými stěnami se pohybují proti sobě rovnoměrné přímočaře tak, že jejich osy splývají. Z hlediska pozorovatele v klidové soustavě K trubice A se trubice B pohybuje rychlostí -v (obr. 7-6a}. Předpokládejme, že u příčných rozměrů pohybující se trubice B nastane kontrakce, takže 119 El Obr. 7-6 poloměr trubice B bude v soustavě K menší než poloměr trubice A. V tomto případě by trubice B prosia vnitřkem trubice A. V klidové soustavě K' trubice B se trubice A pohybuje rychlosti v (obr. 7-6b). Z principu relativity vyplývá, že stejná kontrakce příčných rozměrů by musela nyní nastat u trubice A, a proto by tato trubice prošla vnitřkem trubice B. To však není možné, neboť myšlenkový pokus s oběma trubicemi musí mít zcela jednoznačný výsledek. Analogicky dokážeme, že není možné, aby se příčné rozměry trubice pohybující se vzhledem k pozorovateli v jeho vztažné soustavě zvětšily. Odtud vyplývá, že příčné rozměry obou těles musí při jejich vzájemném pohybu zůstat stejné. Poznámka Čtenář muže vyslovit pochybnost, zda závěry z myšlenkových pokusu, které z technických důvodu nelze realizovat, jsou dostatečně hodnověrné. Albert Einstein se k této otázce vyjádřil takto: „Myšlenkový pokus je nepřípustný jen tehdy, jestliže jeho uskutečnění není možné v principu." ([14] str. 376). Připomeňme, že A. Einstein ve svých pracíeh z teorie relativity a kvantové fyziky myšlenkové pokusy často používal. ► PŘÍKLAD 5 Těleso, které má v klidové soustavě tvar krychle, se pohybuje ve směru osy x rovnoměrně přímočaře rychlostí v kolmou na stěnu krychle. Velikost rychlosti krychle je v = 0,95c, klidová délka její hrany ait = 1 m. Určete objem tělesa ve vztažné soustavě K, vzhledem k níž se těleso pohybuje rychlostí v. 120 *=*< Řešení nez v soustavě K' a u pncnľcf roÄ ľ V S°UStaVě K kr^ f hadiska pozorovatele vľoľsSé kTZ *"?*" neil3Stává-kvadr o objemu V = abc (o!l 'í, ! l\ *% Pohybující se teleso - y «o, je hledaný „bjem kvádru V . abc . I., „ 1 ^ _ ^ rf Poznámka Z příkladu wplvVí s«, „ ,., nWW mu**, retaävHf. S'^es^rr * ieh° °*- i«™ «Medem k votbč v —utlní , ^^ ^^^*£^ ** ^ " Zajímavé je, zda bV kosmonaut vLi - O-chlostt, tvar elipsoidu, .^vciální teorie relativity, l z* „ 1' '^"^ *" *" ^ >»k <° W«W ze £ - fotografii. Tyto otázkv ^SÄjES!"* ^ •"■^S 'et po vzmku speciální teorierelativitv" ^ mku I960' * «M desítek f" """*"■ Terno z™,, b, „„, ľ""^'«»fcklwlita&a,,,,, 121 různě vzdáleny. Lze ukázat, že tato okolnost způsobuje při zobrazení tělesa pohybujícího se velkou rychlostí určité zkreslení jeho obrazu; na fotografii by byl obraz pohybujícího se tělesa zkreslen ve srovnání s obrazem téhož tělesa, pokud je v klidu. Toto zkreslení však nemá se speciální teorií relativity nic společného a projevilo by se při velkých rychlostech telesa na fotografii i kdyby platily zákony klasické fyziky. Kdybychom chtěli zjistit, jaký obraz rychle se pohybujícího tělesa se vytvoří na sítnici nebo na fotografické desce, museli bychom uvážit dva jevy: klasické „zkreslení" obrazu způsobené tím, že na desku při expozici dopadá světlo emitované z povrchu tělesa v různých okamžicích, a objektivní změnu tvaru tělesa, která nastává kontrakcí podélných rozměrů, Z podrobnějšího rozboru vyplývá, že např, krychle by se při fotografování z větší vzdálenosti jevila opět jako krychle, ale v pootočené poloze, i když ve vztažné soustavě, vzhledem k níž se pohybuje, má objektivně tvar kvádru (viz příklad 6}. Podstatu jevu, který jsme nazvali „zkreslení" obrazu na fotografii a který není relativistický jev, lze dobře pochopit z pokusu znázorněného na obr. 7-8. Předpoklá- B' ß )j-------------í---------------- -----------L- -i) \ a. *-J—* O Mi Obr. 7-8 dejme, že dva svítící body A a B, pohybující se stejnou relativistickou rychlostí v po rovnoběžných přímkách p, &p, , fotografujeme fotografickým přístrojem, jehož optická osa je totožná s přímkou Ali a kolmá k přímkám p, a/J;. Za určitou dobu dorazí světlo vysílané bodem A do objektivu O; předpokládejme, že právě v lomto okamžiku / s u na nekonečně krátkou dobu otevře závěrka fotografického přístroje; na fotografické desce se vytvoří obraz 4, boduji. Oba body se mezitím posunou napravo, což však není pro 122 v okamžiku, kdy již je závěrka zavřena ° " ^ A a k ob&1™ dorazí bylo vysláno dříve než svědo z'bod ľ^^^ PÍedtím- **> * po.ohv ff •»<**. vyslaným z hodu A k 5£K22^J"*»* *<>, dora* «braz B,. Pfi fotografování se tedy na dele o ľv ľv u ^ ** ÍOt°SraScké desce vsak nebudou v zákrytu, jak bvcoľ? ^^'^^^í.te Fotografií úsečky .l/kormľk to«iľk T" ^^ " ^ M <***2 Zfekano« fotografii můžeme ^taESiÍS ľ" "? b°* ^ tói *A-kolmá k fotografické desce, ale fe Z í ľ ' ^f01^** se úsečka 4B není by platila,, , relativistické fyzice. ^^"^^Wo*, nenastává, takže celá úvaha Vzdálenost 3'Ä |7e snadlK) . vysláno z polohy/r.mazilo větší dráhu (//AÍ Vol '* "^ "^ které ^ -Clo z bodu „ o časový íntervaodp^LÍ!Í" n° 7^ "* V>'Slří™ dh'«= "« ^^fotogra&kéhopr*^^^ ™ - *0. Při veiké ■dy bylo vysláno z bodu £ S o^^T ""^ * ^ "^ * S-"° c c ' vzdálenost bodu 8'ZJjetedyiíB .. ťÄ, «o J) . -■ Obr Obr. 7-9 123 Tím lze vysvětlit, proč pootočení obrazu nastává jen při velkých rychlostech v ve srovnání s rychlostí světla. Pro čtenáře bude jistě pfekvapením, že se popisovaný experiment s fotografováním úsečky Ali pohybující se relativistickou rychlostí podařilo uskutečnit ([ifi] str. 201, [93]). Pohybující se svítící „body" byly realizovány mimořádné krátkým světelným zábleskem laseru, jehož světlo se rozdělilo na dva signály A a B. Oba signály pohybující se v horizontální rovině pak procházely skleněnou kyvetou K naplněnou vodou s malou příměsí mléka (obr. 7-9). Mléko poněkud rozptyluje světlo do stran, čímž umožňuje fotografování obou signálu ve směru kolmém k jejich pohybu. Poněvadž záblesk trval pouze po dobu t — 10"'! s a světlo se ve vodě šíří rychlostí c, = 2.108 m. s"', byla délka světelných signálu ve vodě d-> Ctf — 2.10s. 10~,J m -= 2.10"1 m = 2 mm. Závěrka fotografického přístroje byla založena na optickém principu a otvírala se užitím téhož impulsu z laseru na velmi krátkou dobu 10 s. Reprodukce této fotografie je na obr. 7-10. Krátké světelné signály o délce 2 mm pohybující se ve vodě rychlostí 2,10" m.s*1 se na fotografa jakoby „zastavily" a podle očekávání se nepřekrývají, aékoliv úsečka AB ležela při fotografováni v optické ose fotografického přístroje. Snímek je pozoruhodný také tím, že se poprvé podařilo vyfotografovat světlo za pohybu. ► PŘÍKLAD 6 Těleso, které má v klidové soustavě tvar krychle, se pohybuje ve směru kolmém na svou stěnu rychlosti" v «= 0,5c. Krychli fotografujeme z větší vzdálenosti v okamžiku, kdy optická osa fotografického přístroje prochází středem krychle a je kolmá k vektoru její rychlosti (obr. 7-11). Určete, jak by vypadal obraz krychle na fotografickém snímku. Předpokládáme, že závěrka fotografického přístroje se při fotografování otevřela na nekonečně krátkou dobu. Obr. 7-11 124 Řešení okamžiku, bylo emitovánoľpovrcl W?" deSkU V daném neboť jednotlivé body povrchľľrvcht" ^f*"** oka™ích, různě vzdáleny. P ^^ JS0U od fotografické desky Obr, 7-12 *'vůt B V\w^ na fotografickou desku také světlo z hLľ T ? "^ dopadne krátce předtím. Světlo z boduLf LI r ',- ktefém **' b<* * Ponevad. však nra2í J^** £%*£ **e než z ílrany AI, Vzdálenost bodů *fc je přitom: ffft - ,* = * «2 . ßa Hrana krychle ^ 0 viastrn dé]ce ^ se ^^ ^^ 125 délek jeví při fotografováni j ako úsečka o délce ti = a0 Ji -ß2. Dolní podstava A BCD krychle by se tedy jevila pozorovateli tak, jak je to znázorněno na obr. 1- 12b. Celkový vzhled krychle při jejím fotografování za daných podmínek ukazuje obr. 7-12c. Tento obraz lze interpretovat zajímavým způsobem, Z obr. 7-12b a 7-12d je vidět, že obraz, který se zaznamená při fotografování rychle se pohybující krychle na fotografickou desku, je totožný s obrazem nehybné krychle pootočené o úhel cp, jenž je dán vztahem sm, daný vztahem sin cp = ß. V našem případě je sin cp = 0,5, a proto cp — 30°. Poznámka Okolnost, že relativistickou kontrakci délek nebe viděl nebo fotografoval, nemění nic na reálnosti tohoto jevu. Právě proto, že při pohybu rychle letících těles relativistická kontrakce nastává, viděli bychom předměty v nezměněném tvaru, ale pootočené. Kdyby u krychle pohybující' se rychlostí blízkou rychlosti světla relativistická kontrakce nenastala, uviděli bychom snímek, který ukazuje obr. 7-12e. Tento snímek nelze interpretovat jako obraz pootočené krychle. > PŘÍKLAD 7 Hodiny libovolné konstrukce pohybující se vzhledem k pozorovateli jdou z hlediska pozorovatele pomaleji než hodiny, které jsou vzhledem k němu v klidu. Proti tomuto poznatku však vyslovil student následující námitku. Předpokládejme, že od inerciální soustavy K se relativistickou rychlosti v vzdalují náramkové hodiny. Dvě sousední ozubená hodinová kolečka mají v klidové soustavě K' kruhový tvar (obr. 7-13a); v soustavě K však majív důsledku kontrakce podélných rozměrů tvar eliptický (obr. 7-13b). Eliptická ozubená „kolečka" na obr. 7-13b se však nemohou otáčet; pohybující se náramkové hodiny nepůjdou tedy pomaleji, ale zastaví se. Vysvětlete, proč je studentův názor nesprávný. 126 Obr. 7-13 Řešeni usecka^se při otočenfo90* zkrátí na däku^ ^AS, a obě eliptická kolečka se mohou otáčet. Y ► PŘÍKLAD 8 o dél Jch Tatf na,ZľmÍ ^ ******* dva ^é délkové normály aľalľĽ1 T byly UmíStény Ve dvou kosmických lodích kTk' -5kSíVko=;s k sár:h^ o SSÍ1*S**3"*-Že " °bé »"" °d ^ vzdalujírychiS Řešení ie nJS N TS ' S""S,a,í K (0br- 7"'4)- Vzh"*m k »<*■"* K ma v této vztažné soustavě délku fe_ i/, *I 1 m . 0,2 m. Délky normálů v soustavě K' (obr 7-1 Si v,hiB i vě K' je v klid ti normál N „ - - h Vzhledem k šousta- je norma! NK. a ma v teto soustavě dé,ku ^^ ^ 127 Obr. 7-14 x = x' Olu-, 7-15 mál NK se pohybuje vzhledem ke kosmické lodi ť rychlostí - v . má v této vztažné soustavě délku lK = - /„ = - 1 m - °'2 m' «a Bylo by aesp^ *«*^J2«ÍIS&Z nebo k u,sť^.t^a^e^™avě k déL «U m (obr. 7-14). má v soustavě ÄľíÄE S g^j^ÄÄ« SK silami nebo zmenou teplo ty je zav.slna n« c ^twisticki je jcj.ch konkrétní vnitřní autora; přitom vidy platí stejný vztah l - - /, Kontrakce délek se neprojevuje jen u pohybujících se těle, ale také u dvou čas« 128 pohybujících se za sebou po ose x stálou rychlostí vzhledem k svolené vztažné soustavě. Mezi vzdáleností A, těchto částic v jejich klidové soustavě a vzdálenosti / těchto částic ve vztažné soustavě, vzhledem k níž se pohybují, platí opět vztah l — — /„. Tento vztah je ľ tedy vztah čistě kinematický. Kontrakce délek, podobně jako rdativnost současnost« uchu dilatace času. jsou j ť vy, které přímo souvisejí se základními vlastnostmi prostoru a času. Kontrakci délek je třeba považovat za reálný jev, ij, jev, který lze alespoň principiálně experimentálně zjistit. Reálnost jevu kontrakce spočívá právč v relalivnosti pojmu délky; dva pozorovatelé, kteří by provedli pokus podle obr. 7-14 a 7-15 (jde 0 týž pokus posuzovaný z hlediska dvou vztažných soustav}, by skutečně zjistili různé délky obou normálu. iv PŘÍKLAD 9 Student studující speciální teorii relativity se k výsledku předcházejícího příkladu vyjádřil takto: „Není možné, aby podle pozorovatele v soustavě K byla tyč N K delší než NK. (obr, 7-14) a podle pozorovatele v soustavě K' byla tatáž tyč NK kratší než NK. (obr. 7-15) — v těchto tvrzeních je logický rozpor. Tato tvrzení také odporují výsledkům geometrie; narýsujeme-lt dvě úsečky AB a A'B\ nemůže současně platit AB > AB' &AB < ÄB." Vysvětlete, proč je studentův názor nesprávný. Řešení Při porovnávání délek tyčí v př. 8 se nelze bezprostředně opírat o poznatky "z geometrie, neboť v geometrii porovnáváme velikosti nepohybujících se úseček, zatímco v předcházejícím příkladu jsme porovnávali délky dvou navzájem se pohybujících těles. Mezi oběma případy je podstatný rozdíl; porovnání délek nepohybujících se předmětů nevyžaduje žádná časová měření nebo časové údaje, naproti tomu při porovnávání délek dvou vzájemné se pohybujících těles je třeba ve zvolené vztažné soustavě vyznačit současnou polohu koncových bodů; při tomto měření se tedy setkáváme s dvojicí současných událostí. Relativnost pojmu současnost pak vede k relativnosti délky tělesa; délku pohybujícího se tělesa již nemůžeme vztahovat jen k tělesu, jehož délku měříme, ale také k vztažné soustavě, v níž byla délka měřena a vzhledem k níž byly vyznačeny současné polohy koncových bodů. Jedno a totéž těleso má v různých vztažných soustavách různé délky. 129 vystřeleno. Podle výše citované věty jsou obě události současné. Současnost událostí je však relativní pojem, proto musíme určit vztažnou soustavu, v níž jsou obě události současné. V příkladu 14 tato soustava nebyla určena, a tím vznikl mezi obr. 7-20b a 7-20c rozpor. Abychom tuto chybu odstranili, předpokládejme např., že obě události 1 a 2 jsou současné ve vztažné soustavě rakety A, tj. v okamžiku (z hlediska pozorovatele na raketě A), kdy příď rakety A je na úrovni zádi rakety B, je z děla vystřeleno. Pak vzhledem ke kontrakci délky rakety B nastane situace, která je zakreslena na obr. 7-20b, tj. raketa B nebude zasažena. Poněvadž však obě uvažované události jsou současné z hlediska pozorovatele na raketě A, nejsou současné z hlediska pozorovatele na raketě B, Z hlediska pozorovatele na raketě B nastane nejprve událost č. 2 (výstřel z děla, při němž střela raketu B nezasáhne, obr. 7-2Ja) a pak nastane událost ě. 1 (příď rakety A se t i a b Obr. 7-21 dostane na úroveň zádi rakety B, obr. 7-2íb). Obr. 7-20c je proto chybný a při správném uvažování není mezi stanovisky pozorovatelů na raketách A a B rozpor. Poznámka Bylo by nesprávné, kdyby při řešení pod o líných problémových úloh vznikl ve čtenáři dojem, že speciální teorie relativity se zabývá jen problémy, které nemají' praktický význam, a je proto teorií, která se uplatní až v daleké budoucnosti (až bude např, možný let raket relativistickou rychlostí). Mnohé úlohy a experimenty popsané v této knížce ukazují, že speciální teorie relativity se zabývá problematikou, která je již dnes í praktického hlediska velmi významná. S dalšími důležitými praktickými aplikacemi speciální teorie relativity se seznámíme v relativistické dynamice (viz kap. IU). ► PŘÍKLAD 15 Tyč o vlastní délce /-„ «■ 2 U m se pohybuje takovou rychlostí v, že má vzhledem k Zemi délku L = 10 m (obr. 7-22a }. Předpokládej- 136 0K1 V t t r M m o a Obr. 7-22 °1 Oj X y,' M ( \ I_±lJn 0' L ~ x> O me, že tyč prolétá protilehlými okny domečku, který má vlastní délku /„ = 10 m (obr. 7-22b); pohybující se desetimetrová tyč se tedy z hlediska pozorovatele na Zemi do tohoto domečku právě vejde. Uvažujme nyní tentýž děj v klidové vztažné soustavě tyče. Tyč má v této soustavě délku 20 m a domeček, který se vzhledem k ní pohybuje rychlostí -v, má nyní délku 5 m. Jak se vsak může dvacetimetrová tyč vejít do pětimetrového domku? Řešení Vlastní délka tyče je L0 - 20 m, vlastní délka domečku /„ - 10 m. Tyč se pohybuje vzhledem k domečku rychlostí v a má vzhledem k Zemi délku L = 10 m, takže pro Lorentzúv koeficient odpovídající této rychlosti dostáváme L- -L„; y = ^ = 20 m = 2 ľ ' L 10m Z hlediska pozorovatele na Zemi je délka L pohybující se tyče stejná jako vlastní délka /„ domeěku; tzn., že při průletu tyče domečkem Ježí současné polohy koncových bodů M a N v rovinách obou oken 0,30, (obr. 7-22b). Prochází-li tedy bod M rovinou o, v okamžiku ŕ, a bod N rovinou o2 v okamžiku t2 , pak v souřadnicové soustavě spojené se Zemí platí t, - t2. V souřadnicové soustavě K' spojené s tyčí se domeček pohybuje vlevo rychlostí - v. Průchod roviny o bodem M a roviny o, bodem N jsou dvě události současné v souřadnicové soustavě K, proto nemohou být již současné v souřadnicové soustavě K' spojené s tyčí. Jak vyplývá z kap. 5, pozorovatel v soustavě K' by zaznamenal nejprve průchod roviny o2 bodem A' (obr. 7-23a) a pak průchod roviny o, bodem M (obr. 7-23b). Podle pozorovatele v soutavě K' se tedy tyč do domku 137 ř" O' l"t M N <$ [ (víz přílohu II) 2 7. V zemské laboratoři byly vyrobeny dva stejné válce A a B o poloměrech >\, - 5,0 cm a výškách /„ - 10 cm. Oba válce se od sebe vzdalují ve směru své podélné osy rychlosti o velikosti ti = 0,994c (vzhledem k druhému válci). Určete objemy obou válců nejprve v klidové soustavě K válce A a pak v klidové soustavě K' válce B. Nakreslete náčrt. 8. Proton proletěl v laboratoři trubkou o délce 12 cm za dobu 5.10-,0s. Určete délku této trubky v klidové soustavě protonu. 9. Kosmická loď se vzdaluje od Země rychlostí, při níž relativistické zkrácení její vlastni délky je vzhledem k pozorovateli na Zemi 5 %. Na kosmické lodi probíhá určitý děj trvající podle palubních hodin 10 min. Jak dlouho trvá tento děj z hlediska pozorovatele na Zemi? 139 10. Kosmická loď se pohybuje rychlostí r = 0.98c k hvězdě vzdálené od Země 3.10lfim. a) Jaká je vzdálenost mezi hvězdou a lodí z hlediska pozorovatele na lodi? b} Jak dlouho trvá tento let, použijeme-li k měření ěasu hodiny umístěné na Zemi? c) Jak dlouho trvá tento let podle hodin umístěných na lodi? I 1. Čtve rec, j e h ož s t ra n y maj í v k I id o vé sousta vě K' délku n,, (ob r. 7-24),sepohybuje vzhledem k soustavě K ve směru osy x = .ť rychlostí v, kolmou ke své straně B'C; XsXJ Obr. 7-24 v - 0,8c. Nakreslete náčrt z hlediska pozorovatele v soustavě K a určete úhly. které svírají v této soustavě úhlopříčky pohybujícího se čtyřúhelníku. 12. Pravoúhlý rovnoramenný trojúhelník A 'O'B' je umístěn ve své klidové souřadnicové soustavě K' tak, že jeho vrchol O' splývá s počátkem soustavy K', strana CA' leží na ose x' a strana OB na ose y' (obr. 7-25). Trojúhelník se vzhledem k soustavě K pohybuje ve směru osy x — x1 rychlostí v rovnoběžnou s přímkou O'A'; 4 v ==—c. Nakreslete náčrt z hlediska pozorovatele soustavv K a určete v této soustavě 5 vnitřní úhly pohybujícího se trojúhelníku. A' x = x' Obr. 7-25 140 Obr. 7-26 13. Rovnoramenný trojúhelník A'B'C je v klidové soustavě K' určen stranou AB - 6 cm a úhlem a - 70* (obr. 7-26). Jakou rychlostí se musí pohybovat vzhledem k jiné inerciální soustavě K, aby byl v této soustavě trojúhelníkem rovnostranným? 14. Určete vlastní délku tyče pohybující se vzhledem k soustavě K rychlostí o velikosti d - -, jestliže její délka v této soustavě je I = 1 m a úhel mezi vektorem rychlosti v a tyčí a = 45° (obr. 7-27). Obr. 7-27 141 a proto platí c2{Ať)2 - (Ay)2 = r- = A—c—Ĺ {Ax - vÁt)2 i-ß2 \~ß2 a odtud po trochu zdlouhavější úpravě c2(A(f - [AxJ = c2Ar - Ar. Poznámka Veličina .v definovaná vztahem «r = c:Aľ - ŕ kde A/ je časový interval mezi dvěma událostmi a / vzdálenost mezi body. v nichž tyto událost, nastaly, se nazývá interval mezi uvažovanou dvojici událostí. Jestliže určitá vehcina pn prechodu od jedné inerciální vztažné soustavy k druhé užitím Lorentzovy transformace nemění svou hodnotu, pak o ní říkáme, že je invariantní v/hledem k Lorentzovŕ transformaci. Z věty dokázané v tomto příkladu proto vyplývá, že interval nic/i dvěma událostmi je invariantní vzhledem k Lorentzovŕ transformaci Invariance intervalu se dá ve speciální teorii relativity využít např. k řešení úloh (viz pr, 6 a 7). ► PŘÍKLAD 6 Rovnice kulové světelné vlnoplochy vyslané z počátku soustavy souřadnic K v čase / - 0 je x2 + y + ŕ = (er)2. Zjistěte, jaký bude tvar teto vlnoplochy v soustavě K'. pohybující se vzhledem k soustavě K stálou rychlostí v. Předpokládáme, že v čase ŕ - /' = 0 počátky obou soustav souřadnic K a K' splývají. Řešení Z rovnice x2 + y2 + ŕ = {ctf vyplývá (ct)2-(x2 + f + r)-0. Výraz {ctf - {x2 + y+r) = [a)2 - v2 152 je interval mezi vysláním světelného paprsku z počátku soustavy souřadnic K v čase / = 0 (událost Ut) a příchodem světelného paprsku do libovolného bodu povrchu světelné kulové vlnoplochy o poloměru ľ v čase t (událost U2). Z řešení předcházejícího příkladu vyplývá, že tento interval je invariantní, platí tedy (c,)2 _ p + y + f) _ {ďy _ {x-2 + yi + /2) _ 0 Z poslední rovnice dostáváme x~ + y- +z- - [cí)- ; v soustavě K' bude tedy světelná vlnoplocha opět kulová. K stejnému závěru jsme již dospěli jinou cestou v či. 4, př. 3, Poznámka Představa, podle níž jsou vlnoplochy v obou soustavách K a K' kulové, ačkoli v čase t - ť = 0 se světlo začalo šířit ze společného počátku O =()', se muže zdát čtenáři z hlediska „názoru" podivná. Je však třeba si uvědomit, že např. kulová vlnoplocha se středem v počátku (/ a s poloměrem cť je z hlediska pozorovatele v soustavě K' množinou hodu, do nichž dospěje světlo z počátku (Y současně; poněvadž je však současnost událostí relativní pojem, světlo z hlediska pozorovatele v .soustavě K do těchto bodů současně nedospěje. Proto podle pozorovatele v soustavě K není tato množina bodu vlnoplocha, ale jen geometrická plocha, kterou projde světlo vyslané z bodu O obecně v různých časových okamžicích. Podobně koule o .středu v bodě O a poloměru ct je vlnoplocha jen z hlediska pozorovatele v soustavě K, nikoli však v soustavě K'. Mezi výklady obou pozorovatelů není proto rozpor. ► PŘÍKLAD 7 Vlastní doba života určité nestabilní částice je A/„ - 10 ns. Určete dráhu /, kterou částice proletí od okamžiku svého vzniku do okamžiku rozpadu v laboratorní vztažné soustavě, ve které doba jejího života je Ar = 20 ns. Řešení Označme symbolem K' klidovou vztažnou soustavu Částice a symbolem K laboratorní soustavu, vzhledem k níž se částice pohybuje. Druhá mocnina intervalu od vzniku do rozpadu částice je v soustavě K s2 = c2Aŕ - l2, v soustavě K' s'2 = c:A/:, - ľ2 - c2A(l (dráha častice /' v její klidové soustavě K' je rovna nule). Z invariance intervalu pak vyplývá 153 c2Aŕ -ľ- = c2 At2 a odtud po úpravě dostávame / = cjAŕ - Aŕ,i - 3.10^(20. 1 Ü-'f -{10,10-y m = = 5,2 m Poznámka Přiklad lze vyřešil také jiným způsobem. Dráha nestabilní částice v soustavě K je / = Bdí, kde ( je velikost neznámé rychlosti částice v této soustavě. Ze vztah» pro dilalaci času At f7? dostáváme po úpravě ŕ Ar - r(At2 - At;,) a odtud / - vAt - cjAt2 - At;,. P- PŘÍKLAD 8 Dokažte, že časové pořadí události', mezi kterými je příčinná souvislost, je ve všech inerciálních soustavách stejné. Řešení Předpokládejme, že v inerciální soustavě K se odehrály dvě události Ut a U2, přičemž událost Ut je příčinou události U3 (např. výstřel ze zbraně a dopad siřely do terče, viz obr. 8.6). Událost U, K Obr. 8-6 154 IT3-----" Mjfj.fj) (výstřel) má v soustavě K souřadnice x1,tl, událost U2 (dopad střely do terče) souřadnice x2, t2. Poněvadž událost U] je příčinou události U2 a příčina nastává dříve než její důsledek, je t2 > i ,. Máme dokázat, že v libovolné inerciální soustavě souřadnic K' platí pro časové souřadnice obou událostí ť2 > t\ . Z čtvrté rovnice Lorentzovy transformace vyplývá, že časový interval mezi oběma událostmi v soustavě K' je h-h -A(*2-*i) iR Ze vztahu pro rychlost střely vzhledem k soustavě FC X-j — X\ l2 u = — h - U vyplývá x2 — X] = u [t2 — t[) a po dosazení tohoto výrazu do první rovnice dostáváme ř1-ř,--3u(í2-řI) l - t'i - t\-------------r---------------- (t2 - r,) R ' /l Podle speciální teorie relativity se střela (ani žádný jiný objekt) nemůže pohybovat větší rychlostí, než je rychlost světla ve vakuu, platí tedy v u u < c* Z nerovností v < c a u <, c vyplývá 1----->0a poněvadž v2 1 —z > 0 a podle předpokladu í2 - íj > 0, dostáváme z poslední cr rovnice ť2 - t\ > 0, tj. ť2 > /',. * Pro střelu platí u < t, avšak např. při střelbě na terč z laserového děla u = c. Obecně ;í je velikost rychlosti, kterou se šíří určitý ..vliv" události U, (příčiny) na událost £/, (na důsledek). V našem případě je tento vliv zprostředkován letící střelou. 155 11 Ve vztažné soustavě K', v níž je proudící kapalina v klidu, se c světlo v kapalině šíří rychlostí u—; přitom je podle principu n relativity tato rychlost nezávislá na tom, jakou rychlostí se pohybuje kapalina vzhledem ke stěnám trubice. Známe-li tedy rychlost světla u vzhledem ke kapalině a rychlost kapaliny v vzhledem ke sténám trubice, můžeme pro hledanou rychlost světla ;/ vzhledem ke stěnám trubice psát u + v \ r u = 1 + $ H) H) n er Protože pro rychlost kapalin platí v < c, můžeme zanedbat výrazy obsahující ělen — vzhledem k číslu 1 a dostáváme pak & u = u + [ \-----r I i? = u + av \ n) ve shodě s Fizeauovým experimentem. Je však třeba připomenout, že rychlost proudící vody v je velmi malá v porovnání s rychlostí světla v kapalině {u Fizeauových experimentů v — 7,069 m.s"1), a proto se velikosti rychlostí;/ a iť liší jen velmi málo. Fizeau proto nechal světlo procházet v proudící kapalině ve dvou navzájem opačných směrech a vliv pohybu kapaliny na rychlost šírení světla zjišťoval užitím interferenčního jevu; pohyb kapaliny se projevil posunutím interferenčních proužků. Absolutní index lomu vody n = 1,33; pro koeficient a pak dostáváme 162 a = 1 - i - 1 - —[— « 0,43. n2 1,33" Tato hodnota koeficientu a je v mezích chyb shodná s experimentální hodnotou, kterou získal Fizeau. Fizeauův pokus zopakovali v přesnějším provedení v r. 1886 A. A. Michelson a E. W. Morley a v r. 1914 a 1915 holandský fyzik P. Zeeman (1865-1943), Další pokusy byly provedeny se šířením světla v pohybujících se pevných látkách. Všechny pokusy přesvědčivě potvrdily správnost relativistického vztahu pro skiádání rychlostí. ► PŘÍKLAD 1 . , 3 Těleso se pohybuje vzhledem k soustavě Kr rychlosti u = -c souhlasně orientovanou s osou x'\ stejnou rychlostí v se pohybuje soustava K' vzhledem k soustavě K. Určete rychlost tělesa vzhledem k soustavě K. Řešení Pro rychlosti iť a v neplatí v tomto případě podmínky u <š c a v < c, a proto při řešení příkladu nelze použít klasický zákon pro skládání rychlostí. Z relativistického vztahu (2) dostáváme 3 3 -C + -C u = —--------------—— =— c = 0,96c , u'v , 9 25 I +—r 1 + — c2 lŕ) Poznámka Výsledná íychlost u je opět menší než rychlost světla ve vakuu; klasický zákon skládání rychlostí by vedl v tomto případě ke zcela nesprávnému výsledku 3 3 «. _ u + v** — c +— c— 1,5c. 4 4 ► PŘÍKLAD 2 Z letadla letícího rychlostí 1000 km.h"1 byla ve směru letu vystřelena střela rychlostí 2 000 km. Ir1 (vzhledem k letadlu). Určete rychlost střely vzhledem k Zemi. 163 Řešení Obě rychlosti v- 1000 km.h"' a «' - 2000 km.h"1 jsou ve srovnání" s rychlostí světla velmi malé; při řešeni příkladu lze proto použít klasický zákon skládání rychlostí M-u' + t)-2000km.h_1 + I 000 km.h"' = 3000 km.Ir1. Relativistický vztah pro skládání rychlostí vede ke stejnému výsledku iť + v 2.101km.lrl + 101 km.hr1 . u'v 2. JO6 km.h"' 1 +— 1 + —-------—— - 2999,999999995 km.h"' = 3000 km.h"1, jeho použití je zde však zbytečné. ► PRÍKLAD 3 Dokazte, že při skládání rychlostí v a «' o velikostech menších než c má také výsledná rychlost u velikost menší, než je rychlost světla c. Řešeni Zvolme případ, v němž rychlosti v a ú mají stejný směr. Relativistický vztah pro skládání rychlostí upravme nejprve na tvar u + v clu' + ti) , . UV C~ + UD 1 + — ď Vzhledem k tomu, že 0 < v< c a 0 < ti < c, je také (c - v)[c - k') > 0, c2 - cv - cu + uv > 0 a c2 + u'v > c{u + v). Porovnáním upraveného vztahu (3) pro skládání rychlostí s poslední nerovností pak dostáváme u < c. Poznámka Tato nerovnost byla ve zvláštním případě ověřena již v příkladu 1. Z nerovnosti u < í' vyplývá, že rychlost světla ve vakuu je mezní rychlost, kterou nemůže překročit žádný materiální' objekt. 164 ► PŘÍKLAD 4 Tenká tyč a svírající s jinou tyčí b velmi malý úhel

sin rp Z tohoto vztahu je patrné, že při dostatečně velkých rychlostech v a malých úhlech q> je u > c (jc-li např. v = 200000 km.s"1 a sin tp = 0,1, je u - 2 000000 km.s"1). Tento výsledek však neodporuje tvrzení speciální teorie relativity, podle něhož je rychlost světla ve vakuu mezní rychlost, kterou nemůže překročit žádný materiální objekt; průsečík dvou přímek není totiž materiální objekt, ale jen geometrický pojem. Je snadné představit si bod pohybující se libovolnou nadsvetelnou rychlostí, ale v přírodě nelze tuto rychlost 165 udělit žádnému materiálnímu objektu. Příčiny, pro které nelze materiální objekty urychlit tak, aby se pohybovaly nadsvětelnou rychlostí, vysvětluje relativistická dynamika (viz kap, 10). Poněvadž přenos informací lze uskutečnit jen pohybem materiálních objektů (např. přenosem dopisu, šířením rozhlasových elektromagnetických vln), nelze je přenášet nadsvětelnou rychlostí. ► PŘÍKLAD 5 Student chtěl vyvrátit poznatek o konečné rychlosti šíření informací myšlenkovým pokusem (obr. 9-4). Předpokládejme, že v bodu A i i i------------------------► rmTTTTTT.......ni...........iirnnrnrn6 d i j m......nu.................nu.....Inn i i i i i I Obr. 9-4 nastala určitá událost U. Pozorovatel P, umístěný poblíž bodu A chce předat informaci o vzniku této události jinému pozorovateli P2, jenž je umístěn poblíž bodu B. K přenosu informace použije pozorovatel P, tuhou tyč umístěnou mezi body /laß.V okamžiku, v němž událost U nastala, posune pozorovatel P: levý konec tyče ve směru šipky. Poněvadž tyč je tuhá, posune se současně i její pravý konec a tak lze informaci o vzniku události U předat pozorovateli P: nekonečně velkou rychlostí. Je studentova úvaha správná? Řešení Úvaha je založena na nesprávném předpokladu, že v přírodě existují absolutně tuhá tělesa. Je třeba si uvědomit, že pojem tuhá tyč je jen určitá abstrakce. Posuneme-li tyč zhotovenou z libovolné látky ve směru šipky {obr. 9-5a), deformuje se nejdříve jen její levý konec u bodu A (obr. 9-5b); tato deformace se pak šíří rychlostí v směrem k bodu B (obr. 9-5c) a teprve pak se posune pravý konec tyče (obr. 9-5d). Rychlost v, kterou se šíří deformace, je stejná jako rychlost zvuku v dané látce (např. rychlost zvuku v oceli u= 5 000 m.s"' = 166 Al________________________*B a ................illlílllll........1.....1 ! d i h j Illlülli.....li.........II.......I......B v A* __________ *_______________If B C j .........I......II».....H................. d A\ Illllll............IIIIIIIMI.......}llll Obr. 9-5 = 5 km.s l). Informace o vzniku události U se tedy v tyči šíří konečnou rychlostí p <í c. Chybná představa o současném pohybu obou konců tyče při jejím uvádění do pohybu ve směru podélné osy vzniká proto, že doba t = - , o niž se pohyb bodu B za pohybem bodu A opozdí, je v praxi v většinou velmi malá. Kdybychom např. ocelovou tyč o délce d = 10 m „ . „ JO . d 10 posunuli ve smeru její podélné osy, je zpožděni t =---- s = = 2.10"3 s. ► PŘÍKLAD 6 Zdroj elektronů Z emituje elektrony o rychlostech u a —u v navzájem opačných směrech; u = 1,5.10s m,s"1 (obr. 9-6). Určete rychlost elektronu, který se pohybuje vpravo, vzhledem k elektronu pohybujícímu se vlevo. 167 1 77 K Ohr. 9-6 Řešení Vzhledem k soustavě K' spojené s levým elektronem se zdroj Z pohybuje vpravo rychlostí u = 1,5 .10K m.s_i (obr. 9-7). Pravý elektron se vzhledem ke zdroji pohybuje ve stejném směru stejně velkou J"t K Obr. 9-7 rychlostí« = 1,5.10s m. s '. Pro velikost rychlosti u' elektronu pohybujícího se vpravo vzhledem k soustavě K' dostáváme proto u = u + u 3.1üsm.s" 7-^ = 2,4.10*171.5" 1 + «! (1,5.108 m. s-1) c2 (3.10s m.s"1)2 Elektron se vzhledem k druhému elektronu pohvbuje rvchlostí 2,4.108m.s-1. ' 168 ► PŘÍKLAD 7 Dvě tyče A a B o vlastních délkách 1 m se vzhledem k Zemi pohybují rychlostmi v a -v po vodorovné přímce, v níž leží osy obou tyčí (obr. 9-8); d - 0,5c Jaká je délka tyče B v soustavě souřadnic spojené s tyčí A? K /t Ohr. 9-8 Řešení Tyč B se vzhledem k tyči A pohybuje rychlostí t! + ľ 4 1 + C" Délka tyče B vzhledem k tyči A je tedy i-/oyi-?-/0|-0,6nL Tyč B má v soustavě souřadnic spojené s tyčí A délku 0,6 m. ► PŘÍKLAD 8 Inerciální soustava K' se pohybuje vzhledem k inerciální soustavě K stálou rychlostí v. V čase ť = 0 se začala z počátku soustavy K' pohybovat v kladném směru osy / částice P stálou rychlostí o velikosti u'y. Najděte velikost rychlosti u této částice v soustavě K. 169 if = jir + u?{ I - —J = Jr2 + «;.- ve shodě s klasickou fyzikou. Předpokládejme, že ve směru osy y' soustavy K' se pohybuje foton (u'y - c), a položme si otázku, jaká bude velikost jeho rychlosti vzhledem k soustavě K, Dosadíme-li do vztahu pro rychlost ff za u[ rychlost světla c, dostaneme «-]/ř + ^(l-í)-l/- + -(>-^)-v/r + r-r. Tento výsledek je však samozřejmý, poněvadž podle principu stálé rychlosti světla musí být velikost rychlosti světla c v obou inerciálních vztažných soustavách K' a K stejná. Směr vektoru rychlosti světla c je v obou soustavách různý. • Úlohy 1. Do volných políček tabulky (obr. 9-10} zapište hodnoty rychlostí získané UJ, 1 c 0.9 c O.Sc 0.7 c 0.6 c 0,íc 0,41 0.3 c O.íc 0.56 c 0,1c -------------------------------------------*■ 0,1c 0.2c 0.3c 0,4c O.Jc 0.6c 07r 0.0c 09c c Obr. 9-10 172 relativistickým skládáním souhlasně orientovaných rychlostí uvedených na okraji tabulky (např ,-) z hlediska pozorovatele na raketě? 6. Světelná stopa vzniklá dopadem elektronu na stínítko obrazovky osciloskopu koná harmon.cky pohyb o frekvenci 10 GHz a amplitudě 0,01 m. Jaká je m im m" po stínítku obrazovky vets, rychlostí než je rychlost světla ve vakuu? L^íľ^J^ (W ", Í3!5! SVět]° "* ^hl0Stí"' Ve V"dĚ PIoudfc/ POtmhfai ^chlosl.^Tm.s ^Svetlos1nvzhlcdemke.s,ěnámtrubicerychlos,íř,.Urěc1erozd,l O.U -u -u obou rychlosti. 8. _ Skleněná tyě („ - 1,5) o délce .SO cm se pohybuje rychlostí ,, = 30 smeru sve podélné osy. Pohybující se tyčí projde monofrekvencm světlo o vlnově délce 500 nm ve smeru jejího pohybu za dobu f] a v opaěném směru za dobu h Vypočtěte casovy interval Ar _ r, -,; a určete dráhu M. kterou světlo urazí za tento m.erv e vakuu. Porovnejte dráhu u s vínovou délkou pouhého monofrekvcnčmhoS Návod: Pred řešením úlohy prostudujte teorii F.zeauova pokusu se šířením světla v pohybující se vodě. Při řešení úlohy využijte přibližný vztah _!_ » 1 _ .,-, platný pro .v <4 1. Je třeba při řešení této úlohy uvážit kontrakci délky tyčeV L —ý ČaľVý a drdhOVý rOZdl1 VZnÍkíí ™yi dvěma celnými paprsky, z nichž se SEv tr. rs tektrvodou ve smém pohyhu vod^a *S í S"SSL" Rychlost vodního proudu p_7m.r', absolutní index lomu vody „ = 1 33 ckí't trub.ee s proudtcí vodou l - 2 m a vlnová délka použitého monofrekveněnmo světla 174 10 RELATIVISTICKÁ DYNAMIKA 1'odlc zákonů klasické fyziky se částice, na niž působí konstantní iii pohybuje pohybem rovnoměrně zrychleným (je-li F = konst. .i m konst., je také a = — = konst.). Z rovnice v = at pak vyplývá, m < i ychlost této Částice by se zvětšovala bez omezeni a za dostatečně dlouhou dobu by překročila rychlost světla ve vakuu [v > c); to však in m podle speciální teorie relativity možné. Klasickou dynamiku, jejíž ipnívnost byla experimentálně ověřena jen při rychlostech v < c, je tcilj třeba nahradit obecnější relativistickou dynamikou, která platí při libovolných rychlostech v(0 g v g c). V následujících článcích ukážeme, jak je třeba obsah základních pojmů a zákonů klasické dynamiky pozměnit, aby vedly ke správným \ v.l. d k ů m i při rychlostech blízkých rychlosti světla. in I RELATIVISTICKÁ HMOTNOST Podle klasické fyziky je hmotnost daného tělesa konstantní .i nezávislá na jeho rychlosti. Např. těleso o hmotnosti 10 tun má podle klasické fyziky tutéž hmotnost při rychlosti lOkm.s"1 jako při rychlosti 200000 km.s_1. A. 1 iinstein však předpokládal, že hmotnost každého tělesa se jeho rostoucí rychlostí zvětšuje, a to podle vztahu »i = ,-------- ° Y»h ■ (1) 175 85 �539 v nemz ,e znázorněna rychlost w výsledného těla! C h Y —li> + ť tu =----——- Ze vztahů (3), (4) a (5) dostáváme w H) — ľ. (5) (6) (?) SS^-ĽS" iychlosti w '**-z«— w - mvř) m„ m„ a odtud po úpravě* ml{c2 - ŕ) = „£J ^rovnice (8) dostaneme hledanou závtslost hmotnosti my na rych- ta) ffiv = m„ R' Nezapomeňte nejprve vydělit celou rovnici rychlostí v\ 182 Letadlo o klidové hmotnosti 20 t letí rychlostí 1 000 km. Ir vzhledem k Zemi. Vypočtěte přírůstek jeho hmotnosti. Řešení Pro rychlost v=-- 1000 km.h-1 = (),3km.s"' = W~6c dostáváme podle tabulek y = 1 +5.10 ' \ přírůstek hmotnosti letadia je tedy Am = m -m(l=-- m0{y - l) - 2.104.5.10-13 kg = = 10-8kg=ÍÍO-2mg. Poznámka Výpočet ukazuje, proč v běžném životě nezjišťujeme přírůstek hmotnosti tělesa při jeho rostoucí rychlosti. Při rychlostech v « c platí přibližně/; = A; při větších rychlostech je však P > A," hybnost Pri = m„v ztrácí při meh již svůj význam (neplatí pro ni zákon zachování hybnosti). Jestliže v^c, pak relativistická hybnost/; roste nade všechny meze r Podle klasické fyziky je vzrůst hybnosti tělesa p,, = muv. např. pri jeho urychlován, stalou S1lou. způsoben výlučně vzrůstem rychlosti tělesa, hmotnost tělesa mn zůstává konstantu,. Podle relativista é fyziky je vzrůst hybnosti tělesa p- my podmíněn nejenrůstem jeho rychlosti, ale také růstem jeho relativistické hmotnosti. Při rychlostech blízkych rychlosti svčtla v - c se rychlost tělesa, na které působí stálá sila prakticky iiž nemetu a vzrůst hybnosti tělesa nade všechny meze je téměř výlučně podmíněn vzrůstem jeho relativistické hmotnosti. 186 ► PŘÍKLAD 6 Železný kvádr se vzhledem k soustavě souřadnic K pohybuje rychlostí 0,98c ve směru osy x tak, že jeho hrany jsou rovnoběžné se souřadnicovými osami této soustavy. Určete hustotu železa vzhledem k soustavě souřadnic K. Řešení Klidová hustota železa při rychlosti v = 0 je podle tabulek ttÍQ m,. «oVo 7,8.10-' kg.m \ Hustotu železného kvádru, který se pohybuje vzhledem k pozorovateli rychlostí v, určíme ze vztahu m _ m yn% rí|,í>(|C'(p mn y Qo Pro v = 0,98c je y = 5,02, q = 5,022,7,8.103 kg.m-1 = = 200.103kg.irr;!. Poznámka Hustota je právě tak jako hmotnost nebo objem veličina relativní. ► PŘÍKLAD 7 £ Odvoďte vztah pro hybnost fotonu p = —, kde E = hv je energie c fotonu a c rychlost světla. Při odvození tohoto vztahu využijte de Brog- h lieho vztah p = -~, ve kterém/? je hybnost částice, h Planckova kons- Á tanta a X vlnová délka vlnění přiřazeného dané částici. Řešení E Odvození vztahu p-----je zřejmé ze zápisu c cT 1 c — v hv c E e. 187 Mezi přírůstkem kinetické energie tělesa AEk a přírůstkem jeho hmotnosti Am platí tedy při rychlostech v PŘÍKLAD 10 .. Určete přírůstek hmotnosti jednoho kilogramu vody pn ohrati zOXna 100 °C. Řešení . _, , Měrná tepelná kapacita vody je přibližně 4,2. ÍO-'J.kg .K ; 193 proto se při ohřátí vody o hmotnosti I kg o 100 °C zvětší její vnitrní energie o A£ = 4,2.10s J. Pro přírůstek hmotnosti Am pak dostáváme AE . 4,2.iO?J . „ A/jí-----— a---------------— = 5,1() '- kg. c2 (3.10Nm.s-1)2 Poznámka Energie, kterou dodáváme makroskopickým tělesům v běžném životě (napf. při zahřívání tělesa, při zvětšeni jeho rychlosti apod.), je relativně malá, a proto je odpovídající přírůstek hmotnosti ve srovnání s celkovou h mot n os l ŕ těl ľ sa zanedbatelný. V d u s led k u toho lze v běžném životě považovat hmotnost tělesa prakticky za konstantní a nezávislou na jeho energii. ► PŘÍKLAD 11 Odvoďte vztah pro vazební energii jádra atomu. Řešení Protony a neutrony se v jádře atomu navzájem přitahují, a proto k rozdělení jádra na Z protonů a N neutronu je třeba jádru dodat určitou energii. Energie potřebná k rozložení jádra na volné nukleony se nazývá vazební energie jádra Ey Soustava Z volných protonů a N volných neutronů má tedy větší energii než jádro atomu, které se E z těchto částic skládá, a podle rovnice Am = -J má také větší klidovou c hmotnost. Rozdíl mezi klidovou hmotností volných nukleonů, z nichž se skládá jádro, a klidovou hmotností jádra atomu se nazývá hmotnostní úbytek Am* Existence hmotnostního úbytku je v zřejmém rozporu s klasickou fyzikou, je však nutným důsledkem Einsteinova vztahu mezi hmotností a energií, Z definice hmotnostního úbytku vyplývá vztah A//i = Zmv + Nmn — mt, (9) V literatuře věnované jaderné fyzice se hmotnostní úbytek často také značí symbolem Bv 194 kde m je klidová hmotnost volného protonu, mn klidová hmotnost volného neutronu a mj klidová hmotnost jádra. Poněvadž klidové hmotnosti protonu, neutronu a jader atomů lze přesně změřit, lze podle rovnice (9) určit hmotnostní úbytek Am jádra atomu experimentálně. Vazební energii jádra atomu pak vypočteme z rovnice £j = Amr = (Zmp + Nm„ - m) é. (10) Poznámka Jestliže rozložíme soustavu navzájem se přitahujících částic na jednotlivé volné částice, pak rozdíl mezi součtem hmotností volných částic a hmotnost, soustavy se v principu projevuje i u chemických reakcí; zde je však tento rozdíl neměntelne muly. Nanř k rozdělení molekuly vodíku H, na dva samostatné atomy je Iřeba molekule H, dodat energii asi 7,6. 10 '" J - 4.7 eV* p), str. 294). Dva samostatné atomy vodíku mají tedy podle vztahu A/k - ^ větší hmotnost než molekula vodíku; rozdíl hmotností je však zde zanedbatelně malý. Naproti tomu k oddělení protonu a neutronu v jádře deuteronu (deuteron je částice, která se skládá z protonu a neutronu) je zapotřebí energie asi 3,6, 10"13 J - 2.2 MeV (viz př. 12). Větší vazební energii odpovídá pak vetsi hmotnostní úbytek, který již lze experimentálně zjistit. ► PŘÍKLAD 12 Klidová hmotnost deuteronu (částice složené z protonu a neutronu) je má * 3,343 3.1 (T27 kg; klidové hmotnosti protonu a neutronu jsou m„ * 1,6726.10'27 kg a mn± 1,6749.10 -' kg. Vysvětlete, proč je součet klidových hmotností protonu a neutronu větší než klidová hmotnost deuteronu, a z rozdílu těchto hmotnosti vypočtěte vazební energii deuteronu. Řešení Při oddělení protonu a neutronu je třeba vykonat práci, která se rovná vazební energii deuteronu (tj. energii potřebnou k oddělení protonu a neutronu). Soustava skládající se z volného protonu a neutronu má tedy větší energii než deuteron a podle rovnice * Elektronvolt (cV) je jednotka energie používaná zejména v jademé fyzice a ve fyzice elektronového obalu; 1 eV - 1.6022 . 10"'" J. Přesnější převodní vztah mez, jednotkou e V a J je uveden v příloze IV. 195 AE Am = —7- má také větší klidovou hmotnost. Rozdíl mezi součtem ť" klidových hmotností volného protonu a neutronu a klidovou hmotností deuteronu je hmotnostní úbytek deuteronu. Ze známého hmotnostního úbytku Am lze pak vazební energii deuteronu E vypočítat z rovnice £j — Amt'2 = (mp + mn — mjr = -4ř2.10-M.(2,9979.108)2J = 4.10_30,9.1016 J - - 3,6.10"° J = 2,2MeV. ' Poznámka Při rozloženi deuteronu na proton a neutron je třeba deuteronu dodat vazební energii; při vytvoření deuteronu z protonu a neutronu se vazební energie naopak uvolňuje. Experimentálně bylo skutečně zjištěno, že se při vytvoření deuteronu zachycením pomalých neutronů ve vodíku uvolňuje energie 2,2 MeV. Je však třeba zdůraznit, že energie není samostatná fyzikální realita (jako např, částice nebo pole), ale jen fyzikální veličina, která je vždy vázána na určitý materiální objekt. Např. energie, která se ,.uvolní" při vytvoření deuteronu z volného protonu a neutronu, je energie vznikajícího záření y a kinetická energie vytvořeného atomu deuteria. ► PŘÍKLAD 13 Vypočítejte vazební energii připadající na jeden nukleon jádra uranu :£iU a porovnejte ji s vazební energií připadající na jeden nukleon jádra jódu l2jl. Relativní atomová hmotnost uranu AlU = = 238,05, relativní atomová hmotnost jódu Aň = 12fi,90. Řešení Hmotnost jádra uranu lze vypočítat ze vztahu mt = ArVmu, kde mu = 1,660 5 . 10"27 kg je atomová hmotnostní konstanta.* Při výpočtu hmotnosti jádra uranu podle vztahu m = AxVma jsme zanedbali hmotnost elektronů v atomu uranu; přesněji bychom měli psal ma = ArVmu, kde mt je hmotnost atomu uranu. Z tohoto důvodu je výpočet v př. 13 pouze přibližný. 196 Hmotnostní úbytek jádra uranu lze pak vyjádřit vztahem AmĽ = Zmp + Nm„ - mj = Zmp + Nm0 - ArUmv = = 92.1,672 6. 10 27 kg + 146.1,674 9.10"27 kg -- 238,05 .1,660 5.10 27 kg = 3,1 32 6. 10"27 kg. Vazební energie jádra uranu je určena vztahem £,„-Aniuc2* 3,1326.10"27.(2,9979.1(f)2 J * = 2,8154.10"1" J = 1757,2 MeV. Na jeden nukleon v jádře uranu 2J?U připadá tedy vazební energie £ju - £iL] . 1 757,2 MeV = 7,4 MeV. A 238 Provedeme-li analogické výpočty pro jód %!, dostaneme Am, = 53.1,6726.10"" kg + 74.1.6749.10"27 kg - - 126,90. 1,6605.10"27 kg = 1,8729.UK27 kg Ejj- 1.8729. UV21.(2,997 9. 10*)2 J = 1,6832.10"10 J * = l 050,6 MeV 1 050,6 MeV Ca = 127 = 8,3 Mev. Z řešení příkladu vyplývá, že vazební energie připadající na jeden nukleon jádra uranu 2$U je menší než vazební energie připadající na jeden nukleon jádra jodu LS3I. Poznámka Podobným způsobem jako v př. 13 bychom mohli vypočítat vazební energie připadající na jeden nukleon také u dalších jader. Závislost této energie na počtu nukleonů v jádře je znázorněna na obr. 10-8. Z grafu na obr. 10-8 vyplývá, že největší vazební energii Ej připadající na jeden nukleon mají jádra prvků nacházejících se uprostřed Mcndčlejevovy tabulky, kdežto jádra prvků umístěných na začátku nebo na konci Mendělejevovy tabulky mají tuto energii menší. Různost vazebních energií připadajících na jeden nukleon v jádrech různých prvků lze využít při uvolňování jaderné energie ([37], sir. 1073). Předpokládejme, že 197 Mil/ 238,, Obr. 10-8 určite jadro J se rozdelí na dvě jádra S, a J,. Můžeme á představit, že tento děj je složen ze dvoL, jaderných procesu: z úplného rozloženi jádra J na volné protony a neutrony k cemuz Je nutno dodat vazební energii £, a z jejich dožení v jádra J, a J2 přičemž se uvolm energie £„ + Ej2 rovná součtu vazebních encrgu obou těchto jader. Při rozdělení jadra J na dve jadra J, a J, se tedy celkem uvolní energie AE-JE, + £„ -E (M) Tato energie je kladná, tj. celý děj je exotennický, je-Ji Pro vazební energie připadající na jeden nukleon v jádrech J. J, a J, plan- ul =—. -5l 4, Dosadtme-li z rovnic (12) do rovnice (I I), dostaneme AE^^.i'ü +A2Ej2 -A^. Poněvadž však pro nukleonová čísla Alt A2aA platí A =A1+A,. dostaneme po dosazení do vztahu (13) &E = A,e, +/!,£-,, -A.& -A,& = (12) (13) ~M«)i -EjJ+Afe -ej (14) 198 Kdyby vazební energie připadající na jeden nukleon byla pro všechna jádra stejná, platilo by íj, = er el2 —e, a celková uvolněná energie by se rovnala nule (iE - 0). Při rozpadu jádra :;]í U na dvě jádra ležící ve středu Mendělejevovy tabulky je však podle obr. 10-8 et, > £, a £i: > f, a podle vztahu (14) je pak A£ > 0. Různost vazebních energií připadajících na jeden nukleon má tedy při uvolňování jaderné energie zásadní význam. Z průběhu křivky na obr. 10-H lze analogickou úvahou odvodit, že jaderná energie se uvolňuje také při skládání jader prvků umístěných na začátku Mendělejevovy tabulky v jádra těžší (termonukleární reakce). ► PŘÍKLAD 14 Těleso má klidovou hmotnost ml} = 1 kg. Určete jeho klidovou energii a porovnejte ji s energií, která se uvolni dokonalým spálením 1 kg uhlí o výhřevnosti H = 3.107 J.kg-1. Řešení Klidová energie tělesa o hmotnosti 1 kg je E0 = m„c2 = = 1.9.101" J = 9.1016 J. Spálením uhlí o hmotnosti 1 kg se uvolní energie E = 3, 107 J; poměr obou energií je tedy — =3.109. E Poznámka Z řešení příkladu vyplývá, že těleso o hmotnosti 1 kg z jakékoli látky má obrovskou klidovou energii. Tato energie je asi z u9 % určena klidovou energií částic. ze kterých se těleso skládá (hlavně z protonů a neutronů). Zbytek klidové energie tělesa je obsažen ve vazební energii j ad e r atomů (viz př. 11 na str. 194), v kinetické a potenciální energii molekul (v termiee se tato energie nazývá energií vnitřní), v energii vzbuzených (excitovaných) atomů apod. Úplné praktické využití celkové klidové energie tělesa však prozatím není možné. Např. při štěpení jaderného paliva lze využít nejvýše 0,1 % jeho klidové energie. To znamená, že z jedné luny jaderného paliva lze štěpením získat nejvýše 9.1 ()'".[ = = 25 miliard kWh energie. I když je to jen malý zlomek celkové klidové energie jaderného paliva, má dnes již velký praktický význam (jaderné elektrárny, dopravní prostředky poháněné jadernou energií apod.). Energie uvolněná štěpením jaderného paliva je kinetická energie úlomku vzniklých rozštěpením atomů jaderného paliva a energie vzniklého elektromagnetického a korpuskulárního záření. ► PŘÍKLAD 15 Elektron má klidovou hmotnost mu =9.10-11 kg. Určete jeho klidovou energii. 199 Řešení Ea = m„c2 = 9.10 ".(3.107 J = 8,1.10-14 J= 0,51 MeV. Klidová energie elektronu je 0,51 MeV. Poznámka Podle klasické mechaniky je celková energie volné nepohybující'se částice mílová. Podle speciální teorie relativity je klidová energie částice E„ > 0 a je jednoznačně určena svou klidovou hmotností podle vztahu £0— Ittf/r. Pro správné pochopení významu klidové energie částice £„— m„c: je důležitá otázka, zda je možné za vhodných experimentálních podmínek přeměnit tuto energii v jiné formy energie, které by se daly např. prakticky využít. Takové děje skutečně existují, a proto klidová energie není jen formální veličina určená vztahem E„ — in»c2, ale určitý druh energie. Elektron je stabilní částice a za obvyklých okolností nelze jeho klidovou energii využít. V jaderné fyzice však bylo zjišténo, že při setkání elektronu s pozitronem (částice, která má stejnou klidovou hmotnost jako elektron, má však kladný náboj) obé částice zmizí a místo nich se objeví zpravidla 2 fotony záření y (elektromagnetické vlnění o velmi krátké vlnové délce). Experimentálně bylo skutečně potvrzeno, že pro úhrnnou energii E těchto fotonů vždy platí t a 1,02 MeV,* Celkové lze shrnout, že před srážkou se soustava skládala z elektronu a pozitronu, po srážce se místo těchto částic objeví fotony záření y. Přitom však platí zákon zachování energie (součet klidových a kinetických energií elektronu a pozitronu před srážkou se rovná součtu energií fotonů y vzniklých po srážce) a zákon zachování relativistické hmotnosti (relativistická hmotnost elektronu a pozitronu před srážkou se rovná relativistické hmotnosti fotonu y vzniklých po srážce), Z fyzikálního hlediska je proto nesprávné vykládat tento jev jako přeměnu hmotnosti na energii. ► PŘÍKLAD 16 Podle rovnice E = mc2 má každý materiální objekt s celkovou E energií E hmotnost m — — . Určete podle této rovnice hmotnost c fotonu monofrekvenčního světla o vlnové délce X — 400 nm. Energie fotonu záření y muže být vetší než součet klidových energií elektronu a pozitronu, neboť elektron a pozitron mohou mít před srážkou také určitou kinetickou enereii. 200 Řešení E _hv _h_ 6,626.10 -34 c2 Xc 4.10-7.3.KV kg= 5,52. IQ"36 kg. Hmotnost fotonu monofrekveričního světla o vlnové délce A = 400nmje5,52.10'Mkg. Poznámka Klidová hmotnost fotonu m„ je rovna nule; z řešeni příkladu však vyplývá, že relativistická hmotnost fotonu m pohybujícího se ve vakuu rychlostí světla je vždy různá od nuly. Foton se tedy chová jako částice, která má energii £- rif, hmotnost* m-~ a hybnost p = -. Foton tedy není „kvantum energies ale materiální objekt, který' lze c charakterizovat různými fyzikálními veličinami. Vlastnosti fotonu vsak nelze srovnávat s vlastnostmi malých mechanických částic; podrobněji je vysvětluje kvantová fyzika, ► PŘÍKLAD 17 Hustota zářivého toku Slunce ve střední vzdálenosti Zeme od Slunce r= 1,5.10" m je určena solární konstantou K = I 327 W.rrf2. Zjistěte celkovou energii vyzářenou Sluncem za jednu sekundu a úbytek hmotnosti Slunce za tuto dobu. Řešení Slunce vyzáří za dobu Ař - 1 s energii A£ = 4jirKA/^4.3,14.1,5:.1022.l,327.10MJ^ * 3,75.10"" J. Úbytek hmotnosti Slunce za tuto dobu je tedy A£ 3.75.102S Am = —r = C" 9.101 kg^ 4,2.10*kg = 4,2.10fit. Někteří fyzikové pojem hmotnosti fotonu nezavádějí' (viz např, knihu V. A, Ugarov; Speciaľnaja tcorija otnositeľnosti. Moskva 1977, str. 2ó6). 201 (viz približný vzorec v příloze II). Z relativistického vztahu pro kinetickou energii pak dostávame it »/i lp2 A ] 2 £k m müc (1+2~~)=2 Vztah pro kinetickou energii Ek—— mňv2 platný při ľ <í c \e tetív zvláštním případem obecného relativistického vztahu pro kinetickou energii. ► PŘÍKLAD 19 Vypočtěte kinetickou energii, kterou by měla raketa o klidové hmotnosti 10 tun, kdyby se pohybovala rychlostí 0,98c. Řešení Ek = mvc2{y- 1)= 104.9.10I6(5- l)J - 3,6.1021 J = = 10" kWh. Poznámka Při vypustení rakety by si však tato raketa vyžádala ještě další energii potřebnou k vymanení z dosahu zemské přitažlivosti a k zabrzdení rakety u cíle. Velmi velkou energii by si vyžádal také zpětný návrat rakety. Uvážíme-li napr., že 10 tun jaderného paliva múže při stepné reakci uvolnit maximálně 2,5. 10'" kWh (viz př. 14), vidíme, že lety s tak velkou rychlostí nejsou prozatím možné. ► PRÍKLAD 20 Jakou práci je třeba vykonat, aby částice s klidovou hmotností m0 zvětšila svou rychlost z 0,6 c na 0,8c? Řešení Hledaná práce se rovná rozdílu kinetických energií částice při rychlostech 0,8c a 0,6c W- E& - Ekl = mfíc2(y2 - 1) - mí>c2(yl - l) = - mtic2(y2 -y,). Podle tabulek (viz příloha I) odpovídá rychlostem v2-= 0,8cau, = 0,6c Lorentzuv koeficient y2 = 1,667 a y, = 1,250. Pro hledanou práci proto dostáváme 204 W - mnc:(l,667 - 1,250) = 0,42müC2. ►oznámka Podle klasické fyziky bychom hledanou práci vypočetlí ze vztahu W - Et, - EL = - m^ — mo$ — n%tó - <■'<) -- ^(0,8: - 0,62)r - 2 " 2 2 2 - 0,14m/. Pl irovnáme-li tento výsledek s výsledkem, který jsme dostali s použitím relativistického wi.rfui pro kinetickou energii, vidíme, že klasický vztah pro kinetickou energii není použitelný při rychlostech srovnatelných s rychlosti' světla. ► PŘÍKLAD 21 Urychlovač protonů poskytuje protony s kinetickou energii přibližně 500 GeV. Vypočtěte, kolikrát v tomto urychlovači vzroste hmotnost protonů a jaké maximální rychlosti protony dosáhnou. Klidová hmotnost protonu je m„ = 1,67 . 10"27 kg, klidová energie protonu Ea = 0,938 GeV. Řešení Celková energie protonu E - mc2 =- ym{)c2 je rovna součtu jeho klidové energie E0-moc2 a energie kinetické £k. Z rovnice ym„c2 = mt)c2 +£k pak dostáváme mgť +£„ _ 0,938 GeV + 500 GeV ^ 534 m(|C" 0,938 GeV 500. / rovnice y = — = 500 vyplývá, že hmotnost protonu s kinetickou energií 500 GeV je přibližně 500krát větší než jeho hmotnost klidová. Hodnotě Lorentzova koeficientu y = 500 pak odpovídá rychlost 0,999998c. ► PŘÍKLAD 22 Sestrojte graf vyjadřující a) závislost celkové energie tělesa o klidové hmotnosti 1 kg na |cho rychlosti, b) závislost kinetické energie tělesa o klidové hmotnosti 1 kg na (cho rychlosti. 205 energie soustavy před srážkou je 2 m„r + Aťt a po srážce má soustava jen klidovou cneryii MgC , lze zákon zachováni' energie napsat ve tvaru 2m„ť + A£t = Mvtr. (15) Hmotnost soustavy před srážkou je Im — 2yma, po srážce je M„: zákon zachováni relativistické hmotnosti platí proto ve tvaru 2ym„ = Aí„. (16) Jak jsme již uvedli, zákon zachování energie a zákon zachování hmotnosti l/c ve speciální teorii relativity považovat za dvě různé formy téhož fyzikálního zákona (víz str. 193}. Dokažte proto, že z rovnice (15) vyplývá rovnice (16) a naopak z rovni« i (16) vyplývá rovnice (15). ► PŘÍKLAD 24 Jaké rychlosti dosáhne elektron v elektrickém poli, projde-Ii mezi dvěma body, mezi kterými je napěti U ? Závislost rychlosti v elektronu na urychlujícím napětí U vyjádřete rovněž tabulkou a grafem. Počáteční rychlost elektronu je rovna nule. Řešení Pro malé hodnoty urychlujícího napětí U, pro které v < c, lze 1 , hledanou rychlost v vypočítat ze vztahu —mav = eil, z něhož vyplývá Při větším napětí U mohou však elektrony v elektrickém poli získat i velmi velkou rychlost v -* c, a proto je třeba kinetickou energii elektronu obecně vyjádřit relativistickým vztahem Ek = muc2{y — I). Ze vztahu mezi kinetickou energií elektronu a prací vykonanou elektrickým polem - 1 eU 208 po úpravách pak dostáváme pro hledanou rychlost v vztah ť \m{]c- + ell I který platí pro libovolná urychlující napětí U. Jestliže U — m, blíží se hodnota zlomku pod odmocninou k nule a rychlost elektronu ľ se blíží rychlosti světla (i; -* c). Odtud vyplývá, že při sebevětším urychlovacím napětí U nemůže rychlost elektronu překročit rychlost světla ve vakuu. Podle klasického vztahu v = m0 by se rychlost elektronu s rostoucím napětím neomezeně zvyšovala. Upravme vztah pro rychlost elektronu urychlovaného elektrickým polem na tvar -ei/l- [ l\ eU\2 Je-li eU . x =-----; < 1, Ize složený zlomek pod odmocninou upravit užitím přibližného vztahu 1 na tvar «l-2í 1-2* -ľ eU V m s * S / / / i / // s^ f f » 5. Proton se vzhledem k daně vztažné soustavě pohybuje rychlostí o velikosti 2,4 . 108 m. s"1. Určete v této vztažné soustavě jeho relativistickou hmotnost. 6. Na lineárním urychlovači Stanťordovy univerzity v USA získávají elektrony rychlost jen o 1,5 cm . s"1 menší, než je rychlost světla ve vakuu. Jaká je relativistická hmotnost elektronů při této rychlosti? Porovnejte tuto hmotnost s klidovou hmotností atomu železa. 7. Určete poměr relativistické a klidové hmotnosti částice pohybující se rychlostí jen o 0,01 % menší než světlo ve vakuu. 8. Při jaké rychlosti částice je její relativistická hmotnost o 1 % větší než hmotnost klidová? 9. Jakou rychlostí se pohybuje proton, jestliže jeho relativistická hmotnost se rovná klidové hmotností částice a? 10. Těleso se vzhledem k dané vztažné soustavě pohybuje rychlostí 0,8c. Určete poměr mezi jeho hustotou v této vztažné soustavě a jeho hustotou klidovou. I I. Klidová hustota tělesa je g0. Určete rychlost vztažné soustavy vzhledem k danému tělesu, ve které bude jeho hustota o 10 % větší než klidová hustota q0. I 2. Tyč pohybující se ve směru své vlastní osy má v dané vztažné soustavě hmotnost 0 10 % větší, než je její hmotnost klidová. O kolik procent je přitom její délka menší v porovnání s délkou klidovou? 1 3. Těleso pohybující se vzhledem k soustavě K má všechny rozměry ve směru pohybu dvakrát menší než totéž těleso, které je v soustavě K v klidu. Jaký je poměr mezi i i-kitivístickou a klidovou hmotností tělesa? 14. Elektron a pozitron mají stejnou klidovou hmotnost, a proto mají také stejnou klidovou energii E0 - m,|í2 = 0.51 MeV (viz kap. 10, př. 15). Vysvětlete, proč při setkání elektronu s pozitronem, kdy se vytvoří dva fotony záření 7, může být úhrnná energie obou fotonů větší než 1,02 MeV. Neodporuje tento poznatek zákonu zachování energie? I S, Led o teplotě 0 °C a hmotnosti 1 kg se táním přeměnil na vodu téže teploty. 111 čele rozdíl mezi hmotností vody a hmotností ledu. Měrné skupenské teplo tání ledu je 134 kJ .kg"1. I (i. Žárovka o příkonu i 00 W svítí trvale po dobu jednoho roku. Předpokládáme, že asi 3 % dodávané energie se v žárovce mění v energii světelnou. Jaká je hmotnost světla i v/.:iíeného žárovkou za jeden rok.' Jak dlouho by musela žárovka svítit, aby vyzářené světlo mělo hmotnost 1 g? I 7. Určete v joulech a v elektronvoltech klidovou energii protonu, neutronu a částice a. Klidové hmotnosti těchto částic jsou uvedeny v příloze IV. IB. Určete vazební energii částice a v MeV. 211 ] 9 Určete průměrnou vazební energii odpovídající jednomu nukleonu nuklidu '|0, Relativní atomová hmotnost nuklidu A, = 15,994 y 15, atomová hmotnostní konstanta ma = 1,660 540. 10":7 kg. 20. Voda vzniká syntézou vodíku a kyslíku podle rovníce 2 H, + O, = = 2H,0 + 5 J . lCf kJ. Z rovnice je patrné, íe při sloučení dvou molů vodíku a jednoho molu kyslíku vznikají dva moly vody a současné se uvolňuje energie 5,7 . 105 kJ. Zjistěte při této reakci úbytek hmotnosti vody o látkovém množství 1 mol. 21. Při dělení jádra uranu 2£V se uvolňuje energie asi 200 MeV. Určete úbytek hmotnosti při rozpadu uranu o látkovém množství 1 mol. Jakou část celkové klidové energie 2«U lze využít při jeho štěpení? 22 Jakou práci je třeba vykonat, aby částice o klidové hmotnosti m„ zvětšila svou rychlost a) z nulové rychlosti na rychlost 0,9c, b) z rychlosti 0,9c na rychlost 0,99c? Která z obou prací je větší? Vysvětlete užitím grafu na obr. 10-9. 23. Jaká enerye je potřebná k urychlení kosmické lodí o hmotnosti 10 t na rychlost 0 99c'' Jaké energie je třeba k tomu, aby touto rychlostí vykonala loď cestu k vzdálené hvězdě a vrátila se nazpět na Zenu? Vliv gravitačního pole na let kosmické lodi neberte v úvahu. , . Porovnejte energii nutnou k této cestě s energií, kterou by bylo mozne získat štěpením jaderného paliva 2:£U o klidové hmotnosti 10 t. 24 Proton se pohybuje rvchlostí, při níž je jeho relativistická hmotnost l,5krát větší než jeho hmotnost klidová. Určete v MeV celkovou energii protonu a jeho energii kinetickou. 25. Jakou rychlostí se pohybuje částice, jestliže její celková energie je dvojnásobkem její energie klidové? 26. Určete rychlost, při níž je kinetická energie částice rovna její energií klidové. 27. Synchrofázotron udělil protonu kinetickou energii 104MeV. Jaká je jeho rychlost? 28. Určete hybnost protonu, jehož kinetická energie je 500 MeV. 29. Pohybující se částice má v laboratorní soustavě střední dobu života t - 1,76 . 10"ř s a kinetickou energii Ek = 7m,r. Určete střední dobu života částice r„ v její klidové soustavě. 30 Jakou rychlost získá elektron, je-lí urychlen napětím 10" V? Jakou rychlost by v tomto případě získal elektron podle zákonů klasické ťyziky? Náboj elektronu e= 1,6. lí s. í, > c, 9. kapitola ■) 29! 000 ta,.«-', b) -37500 km.s-< 3- -2,g8.10«m.s-i * a) M m, h) 3.24 m a) (6,7 min, b) 12,5 mm 8. Porvat r^a^, ^St^™' "** * H 7. 4n± 3m s ^WlQ-, A^,^,U5]ü.7m; A.^ ssss^sř's "»*"*« »**»> «■* ^ Prot0„,. ^-2,39.10-.^ A^fAŕi7j0..m; W_0ii6 10. kapitola 1. p~ 2,6.10" m.s1 2. »* V.Hřm.«-' 3. 4. 5. K'- 2.5 kg; 4.5. 10* kg.m.í 0,5c; 2,3/Tín 2.79,J0":7kg b. 7. '"^^l-iO-:"kg;W|,ti9 70,7 8. 9, »* 0.14c =4,2.10'm.s"' '■■ = 0,9ó"8c K:-"í kg; 9,53. 10skg.m 5 m* - '*Fŕ 2,78 0,3c 9,1 % 2 Neodporuje, neboť elektron a pozitron mají' kromě klidové energie mnc~ také energii kinetickou. 3,7.10 '-kg Am = 10"" kg; f = 3.101' s - 10''r £„,,= 1,50328.10-"' J = 0,938273 GeV; /ľ„„i 1,505 35. KT"1 J- 0,939566 GeV; £,„, = 5,98985.10'"' J = 3,738572 GeV 28,3 MeV 7,72 MeV 3,2.10"" kg 2.I0-J kg; 0,1 % a} l,3m„f:, b) 4,8m„c2 E, = 5,5.10-' J; E2 - 4£, * 2,2.10" J; £, - 9.10" J E~ 1,4.103 MeV; £t = 470 MeV y = 0,87c r = 0,87c 0,996c 5,8.10-"Jkg.m.s-' 2,2.10"* s v = 2,83.108m.s-';t'k= 5,93.10s m.g-1 Ľ - 3,1 MV £t - £ - m^c1 — ./p2^ + mÜcJ - m«c~ PŘÍLOHA I Wabulceh0dnOÍ U-*"** deficientů y 1-^2.3 O-). ' "* Je Ve ctvrté™ «toupci tabulky uvJd,t,í: /»-^ \~ß í o io- 10-- ío-; 0, J 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,9 J 0,92 0,93 0,94 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99 1 +5.10- I + 5.10" I + 5.10-" 1 + 5.10 7 I + 5.10' 1.005 1,021 1,048 1,091 1,155 1,250 1,400 1,667 2,294 2.412 2,552 2.721 2,931 3,203 3,571 4,113 5,025 7.089 -5.10--5.10- -5.1« - 5.10 -5.I0-; 0,995 OASO 0,954 0,917 0,866 0.800 0,714 0.600 0,436 0,415 0,392 0,368 0,341 0,312 0,280 0,243 0,199 0,141 226 9.10 8.1Ô- 7.10-6.10 ' 5.10 ' 4.10-' 3.10 ' 2.10-' I.I0-1 9.10--8.10-7.10-2 6.I0--5.JO--4.I0--3.10--2.10-2 I . 1 0 - ß-v-c y 1 Y 1-/3 0.991 7,470 0.134 9.10 ' 0,992 7,992 0.126 8.10-' 0.993 8.466 0.118 7. 10-' 0.994 9,142 0.109 6.10-1 0,995 10,01 0,099 5.10"' 25,00 0,040 8.I0-1 50,00 0,020 2.10 4 1.102 0,010 5.10"5 2,5. 1GJ 0,004 8.10-6 5. K)- 0,002 2.10 * 1.103 0,001 5. K)"7 2.5.10' 4.10"J 8. 10-" 5. KV1 2.10 J 2.10s 1.10J 1.10"J 5. 10-" 2,5.10"1 4.10"5 8.10""' 5.104 2.10"5 2.10-1" 1 . io- 1.10_s 5 to-" 2,5.10s 4.10"'' 8 10" 5.10s 2.10-" 2 1012 1.10" i.io-ft 5 I0-1-1 2,5.10'' 4 io-7 8 10"1J 5.10" 2 io-7 2 10-M Í.IO7 1 io-7 5 to-" 2,5.107 4 10-" 8 l0-16 5.I07 2 Hl * 2 l0-16 1.10* 1 10-" 5 io-17 2,5.10* 4 10-" 8.10-1S 5.10K 2 to-' 2.10 u 1.10' 1 10-" 5.10" 2,5.10" 4 10-'" 8.10":" 5.10" 2 10-'" 2.10-:o PŘÍLOHA II Přibližné vzorce používané ve špeciálni teorii relativity Přibližné vzorce platí pro kladná i záporná čísla x, pro která \x\< 1. (1 + x)n » 1 + nx 1 1 + x 1 -X Ji + X = 1 + -X v 2 (1 + xf * 1 + 2x I I A * 1 - -x + x 2 1 (1 + x)2 1 - 2x PŘÍLOHA III Závislost rychlosti elektronu na urychlovacím napétí U v U ť v m.s-1 V m.s"1 0 0 105 1,642.10s 1 5,930.10s 5.10s 2.591.10s 10 1,875.10" 10" 2,835.10s 10- 5,929.10" 10; 2,9921.10" 103 1,871.107 L0S 2,999 96. 10* 10-' 5,843.107 10" 2,9999996. 10'* 5.10J 1,237.10" 10" 2,999999996.10" Poznámka Při výpočtu rychlosti elektronu byla použita přibližná hodnota rychlosti světla ve vakuu c = 3.10s m. s"1. 228 PŘÍLOHA IV Vybrané základní fyzikálm konstanty c = mp - m„ = e = ma h- 2997 92458.10sm.s'1 9 109 3897. H)"11 kg ,1,672 6231.10-^: kg , 1,6749286.10-27 kg ,160217733.10" C = 3 33443.10--7kg = 6,66461-10-27kg = 6,6260755.Ur31 J.s = 6,022136 7.10:3 mor ,-vchlost svetla ve vakuu klidová hmotnost elektronu klidová hmotnost protonu klidová hmotnost neutronu elementární náboj klidová hmotnost deuteronu klidová hmotnost častice a pianckova konstanta Avogadrova konstanta Některé vedlejší jednotky: ev elektronvolt atomová hmotnostní konstanta mu ■n. i97). .1,602177 33.10-19 J = 1,660 5402.IQ"31 kg 229