41
6. Těleso racionálních čísel
6.1.  Definice. Nechť TZ = (ií,+ ,-), S = (5, + ,-) jsou okruhy. Vnořením okruhu "R, do okruhu S rozumíme injektivní homomorfismus okruhu 1Z do okruhu S, tj. injektivní zobrazení / množiny R do množiny S takové, že pro libovolná a,b G R platí:
f (a + b) = f (a) + f(b),    f (a ■ b) = f (a) ■ f(b).
Jestliže existuje vnoření okruhu TZ do okruhu S, řekneme, že okruh % lze vnořit do okruhu S nebo že okruh TZ je vnořen do okruhu S.
Vyřešme nyní otázku, kdy lze komutativní okruh vnořit do tělesa.
6.2.  Věta. NechťlZ = (R, + , •) je komutativní okruh. Pak následující výroky jsou ekvivalentní:
(a)  V okruhu TZ platí omezený zákon o krácení, tj. pro libovolnou trojici x, y, z G R, x ť^ 0 takovou, že x ■ y — x ■ z, platí y — z.
(b)  OJcruh TZ lze vnořit do tělesa.
Důkaz. Budeme postupovat jako v důkaze věty 5.2.
Nechť platí (b). Pak existuje těleso T — (T, + , •) a vnoření / : R -> T. Buďte dále x^y^z é R,x ^ 0 taková, Že X ■ y = X-Z. Fakf{x)-f{y) = /(x)-/(z), f (x) ^ 0, tudíž f (y) = f (z), odkud plyne rovnost y — z.
Předpokládejme nyní naopak, že v okruhu K platí omezený zákon o krácení. Jelikož nulový okruh lze vnořit do každého tělesa, můžeme předpokládat, že okruh TZ je nenulový.
Prvek a — \a, b ] £ R x (R — {0}) nazveme zlomkem okruhu 7L. Na množině všech zlomků R x (R — {0}) okruhu H definujeme relaci ~ následujícím způsobem: pro a — [ a, b ], ß = [c,d] £ Rx {R- {0}) položme
a ~ ß 4=$ a- d = b- c.
Promyslete si sami, že z komutativity násobení a z platnosti omezeného zákona o krácení plyne, že relace ~ je ekvivalence na množině R x (R — {0}). Rozklad příslušný této ekvivalenci označme T. Zlomky a, ß G R x (R — {0}) takové, že a ~ ß, nazveme ekvivalentní. Pro A, B £ T nechť [ o, b } e A, [ c, d ] € B a nechť C, .D € T jsou určeny podmínkami [ ad + be, bd ] £ C, [ ac, bd ] G D. Snadno se ukáže, že třídy C, D nezávisí na volbě reprezentantů tříd A a B. Skutečně, je-li též [ ď, b' ] € A, [ c', ď ] e B, pak platí a ■ b' — a' ■ b, c ■ ď = c' ■ d,, odkud plyne {a-c)- (b' ■ ď) = (a' ■ c') • (b ■ d), (a ■ d + 6 ■ c) ■ (b' ■ ď) - (a1 ■ ď + b1 ■ c') ■ {b ■ d), tedy i [a1 • ď + b' ■ c',b1 ■ ď } G C, [a' ■ c',b1 ■ ď } G D.'Mužeme proto položit
A + B = C,    A-B = D.
Tím jsou na množině T definovány operace + a • a snadno se zjistí, že T = {T, + ,■) je těleso. Jednotkovým prvkem tohoto tělesa je třída E = {[r, r ] \ r G R— {0}}
42
Obory přirozených, celých a racionálních čísel
a nulovým prvkem je třída {[ 0, r ] | r 6 R ~ {0}}. Pro A € T je opačným prvkem třída —A — {[ —a,6 ] | [o,6 ] € A}. Inverzním prvkem pro A G T, A ^ 0 je třída A~l = {[b,a}\[a,b}£A}.
Pro r 6 i?.je množina Ar = {[r • x,x ] \ x (ž R — {0}} prvkem rozkladu' T. Promyslete si sami, že zobrazení ip : R —► T definované vztahem i/)(r) = Ar pro libovolné r G i? je vnořením okruhu IZ do tělesa T (pro důkaz injektivity ip je třeba využít omezeného zákona o krácení). Věta je tím dokázána.
6.3.  Definice. Pro nenulový komutativní okruh IZ nazveme těleso T konstruované podle důkazu.věty 6.2 podílové těleso okruhu 7Z. Uvedené vnoření vb nazveme kanonické vnoření okruhu IZ do jeho podílového tělesa. Pro [a,b ] € A €T zřejmě platí: A — ip(á) • ^(Ď)-1. Prvek r z okruhu IZ se ztotožňuje se svým obrazem %p(r) v podílovém tělese. Na základě tohoto ztotožnění můžeme považovat okruh IZ za podokruh jeho podílového tělesa T-
Podílové těleso má význačné postavení mezi tělesy, do kterých lze okruh vnořit. Tato vlastnost je charakterizována následující větou.
6.4.  Věta. Nechť T je podílové těleso nenulového komutativního okruhu 'JZ s omezeným zákonem o krácení a nechtJ x/j je kanonické vnoření JZ do 7'. Buď f vnoření okruhu IZ do nějakého tělesa U. Pak existuje jediné vnoření f tělesa T do tělesa U takové, že f oyj — f.                                                               °
Můžeme říci, že diagram na obrázku 6 komutuje.
T
I / I I I
U Obr. 6.
Důkaz. Nechť 11- {R, + , -),T= {T, + , -),U = (U, + , •)■ Protože homomorfísmus / je prostý, a protože /(O) = 0, existuje pro libovolné x G R, x jí 0 inverze prvku f(x) v tělese U.
Buď A e T, [a, b ], [c, ď] e A. Potom a ■ d = b ■ c, odkud plyne f (a) ■ f (d) = = /(&); f (c), tudíž f (a) ■ /(b)-1 == /(b)-1 ■ f (a) = /(c) • /(d)"1. Můžeme proto korektně definovat zobrazení / množiny T do množiny U vztahem
K
f(A)^f(a)-f(b)-1.
Kap. 6. Těleso racionálních čísel
43
Promyslete si sami, že z toho, že / je vnoření okruhu IZ do tělesa U plyne, že / je vnořením tělesa T do tělesa U a platí: / o i/> — f.
Dokážeme, že / je jediné vnoření s požadovanou vlastností. Nechť g je vnoření tělesa T do tělesa U takové, že platí: g o %\> — f. Buď [ a, b ] € A e T. Potom /(A) ~ f (a)-Kb)-1 = sW(o))-b(1/»(6))]-1 = gW(a) -W1) = 9(A). Dostáváme pak f = g a věta je dokázána.
6.5.  Poznámka. Podobně jako v případě grup podmínka v předchozí větě skutečně charakterizuje podílové těleso, neboť platí následující: Buď / vnoření Jcomutaíivního oicruiiu IZ do tělesa T takové, že ke každému vnoření g okruhu IZ do tělesa U existuje vnoření g tělesa T do tělesa U s vlastností g o f = g. Potom T je izomorfní podílovému tělesu okruhu IZ.
6.6.  Definice. Podílové těleso okruhu celých čísel (Z, + ,-) se nazývá těleso racionálních čísel a značí se (Q, + , • )■ Prvek tělesa (Q, + , ■) se nazývá racionální číslo.
6.7. Poznámka. Můžeme tudíž říci, že racionální číslo je třídou ekvivalentních zlomků okruhu celých čísel. Celé číslo z G Z se identifikuje se svým obrazem v Q při kanonickém vnoření, tedy celé číslo se považuje za číslo racionální: Z C Q. Okruh celých čísel je pak podokruhem tělesa racionálních čísel.
Pro A S Q, [ a, b } G A dostáváme
ä                       r-l             a
A-a-b l = r . b
Každé racionálni číslo lze tudíž psát ve tvaru |, kde a, b G Z, b ^ 0. Těleso racionálních čísel se často značí pouze symbolem Q.
6.8. Definice. Nechť A, B G Q jsou libovolné a [ a, b ] G A, [ c, d } e B. Jelikož [a,b ] *» [ —a, —b ] a [c,d } ~ [ —c, —d ], můžeme předpokládat, že b > 0,d > 0.
Položíme nyní
A<B     4=>     o-á<6.-c.
Uvedená definice nezávisí na volbě reprezentantů tříd A, B. Skutečně, je-li též [k,l ] G A,{m,n ] G B,l > 0,n > 0, pak k -b = a-l,m- d = c-n. Z a- d < b- c pak vynásobením číslem Z • n > 0 podle 5.16 (e) plyne l • n • a «d < l •n • 6■• c a dosazením dostaneme k-n-b-d<l-m-b-d. Opět dle 5.16 (e) máme h • n < l ■ m, neboť
b-d>0.
Tím je tedy definována relace < na množině Q.
6.9. Věta. Jteiace < na množině Q je Jineární uspořádání. Pro celá Čísla je tato relace rovna dříve deňnované relaci < na množině Z.
Důkaz. Reflexivita relace < je zřejmá.
Buďte A, B, C G Q, [a,b] G A, [c,d } G B, [e, f } G C, kde b > 0, d > 0, / > 0.
Jestliže A < B a B < A, pak ad < bc, bc < ad, tedy ad — bc, odkud plyne [a,b ] ~ [c,d ]. Pak A = B a relace < je tudíž antisymetrická.
46
Obory přirozených, celých a racionálních čísel
Závěrem tohoto odstavce si provedeme úplnou diskusi řešení binomické rovnice v okruhu celých čísel a tělese racionálních Čísel.
6.19.  Tvrzení. Nechť Ä = (R, + , •) je okruh celých čísel nebo těleso racionálních čísel, n přirozené číslo, a6fí,«<0.
Je-li n sudé číslo, pak binomická rovnice xn — a nemá žádné řešení v okruhu 71.
Je-li n liché číslo, pak ß G R je řešením binomické rovnice xú = a v Ti právě tehdy, když —ß je řešením binomické rovnice xn = —a v oJíruňu % .
Důkaz. Nechť n je sudé, tedy n = Im, kde m je přirozené číslo. Jestliže existuje ß € R takové, že ßn = a, pak i2 = a, kde 7 = ßm G R. Podle 6.10 (e), (f) je pak 0 < J2 — a, což je spor. Tudíž binomická rovnice xn = a nemá v Ti řešení.
Nechť n je liché a ß € R. Je-li ß řešení rovnice xn = a, pak /3n = a a jelikož (-1)» = -i, dostáváme (-/?)" = -a. Tedy ~/3 je řešení rovnice xn = -a.
Je-li -ß řešením rovnice xn — -a, pak —a = (-/3)n = (-l)n/3n = -/3n, tudíž ßn — a a /? je řešením rovnice x" = a. Tvrzení je tím dokázáno.
6.20.  Poznámka. Podle 6.18 a 6.19 se můžeme v okruhu celých čísel a tělese racionálních čísel omezit jen na binomické rovnice s „kladnou pravou stranou". Diskuse řešení těchto rovnic je provedena v následující větě.
6.21.  Věta. Nechť Ti — (R, + , •) je okruh celých čísel nebo těleso racionálních čísel, n přirozené číslo, a G R, a > 0. Binomická rovnice xn = a je řešitelná v TI právě tehdy, když n\vp(a) pro každé prvočíslo p. V tomto případě má rovnice xn = o právě jedno řešení ß s vlastností ß > 0. Toto ß je rovno číslu
ß=l[pm(P)> pev
kdem(p) = ~vP(a).
Je-li n liché, päk číslo ß je jediným řešením rovnice xn — a.
Je-li n sudé, pak rovnice xn = a má právě dvě řešení ß a ~ß.
Důkaz. Předpokládejme nejprve, že ß G R je řešením rovnice xn — a. Pak
J| pv>W = a = ßn = ± JJ pnv'W p6V                                  Pev
a z jednoznačnosti vyjádření racionálního čísla pomocí formálně nekonečného součinu (věta 6.16) pak plyne vp(a) = nvp(ß), tedy ?i|up(a) pro každé prvočíslo p. Uvědomme si, že opět podle 6.16 je touto podmínkou číslo ß až na znaménko jednoznačně určeno.
Předpokládejme nyní naopak, že pro každé prvočíslo p platí 711 vp(a). Položíme m(p) = \vp(a) &ß~ UPevPm{p)- Pak ß € R, ß > 0,ßn = a, a tedy ß je řešením rovnice xn — a.
Kap. 6. Těleso racionálních čísel
47
Je-li n sudé, pak zřejmě (-ß)n = ßn - a. Nechť 7 e R, 7 < 0, 7" = a. Je-li n sudé, pak -7 > 0, (-7)" = a, tudíž -7 = /3 a 7 = -/3. Je-li n liché, pak 7" < 0, což je spor. Věta je tím dokázána.
6.22. Příklad. Nechť n je přirozené číslo větší než 1. Jelikož pro každé prvočíslo P je Vp(p) — 1 a n\ 1, nemá binomická rovnice x11 - p v okruhu celých čísel ani tělese racionálních čísel žádné řešení.
6.23.  Cvičení.
1)  Lze okruh (Ze, + , ■), resp. (Z7, + , •), vnořit do tělesa? Pokud ano, popište podílové těleso. Pokud ne, zdůvodněte, proč podílové těleso zkonstruovat nelze.
2)  Uvažme okruhy Z[x] (resp. Q[x]) polynomů s celočíselnými (resp. racionálními) koeficienty. Tvoří Ž[x] nebo Q[x] těleso? Popište jejich podílová tělesa.
3)  Dokažte, že v okruhu TI — (R, +, •) platí omezený zákon o krácení právě tehdy, když Ti neobsahuje dělitele nuly, tj. když pro každé x,y £ R z toho, že x • y = 0, plyne x — 0 nebo y — 0.
4)  Ve větě 6.4 jsme na rozdíl od věty 5.5 požadovali navíc injektivitu zobrazení /. Promyslete si, proč bez této podmínky nelze větu dokázat. Zkonstruujte neinjektivní^homomoríismus / z okruhu Z do vhodného tělesa T a dokažte, že neexistuje / : Q —> T požadovaných vlastností.
5)  Dokažte tvrzení uvedené v poznámce 6.5.
6)  a) V definici 6.8 relace < na množině. Q jsme předpokládali b > 0, d > 0. Rozmyslete si, co je na následujícím textu, kde jsou tyto podmínky vypuštěny, špatně, Na množině Q pro [ a, b } G A, [ c, d } € B zavedeme relaci < podmínkou
A <] B     <=>     a- d < b- c.
■
m
b) Na množině Q budeme definovat relaci o podmínkou: A < B právě tehdy, když existují reprezentanti [a, b ] G A, [c, d ] € B tak, že a • d < b ■ c. Jaké vlastnosti relace <a splňuje? (Je to relace reflexivní, symetrická, antisymetrická, tranzitivní, úplná?)
7)  Označme M = (a G Q | Ó < a < 1 V 2 < a < 3}. Rozhodněte, zda (M, < ) a (M U {2}, < ) jsou hustě uspořádané množiny, kde < je uspořádání racionálních čísel (přesněji jeho zúžení na dané množiny).
8)  Nechť (M, < ) je konečná lineárně uspořádaná množina. Dokazte, že (M, < ) není hustě uspořádaná.
9)  Nechť A — {|£ | m e Z, n G N}. Dokážte, že (A, <), kde < je uspořádání racionálních čísel, je hustě uspořádaná množina.
10)  Buď p prvočíslo a a,ß libovolná racionální čísla, taková, že a ^ 0, ß ^ 0, a + ß yí 0. Dokažte, že pak platí vp(a + ß) > min {vp(a),vp(/?)}.
{                   44                                                         Obory přirozených, celých a racionálních čísel
Nechť A < B, B < C. Pak ad < bc, cf < ed, odkud podle 5.16 (e) .dostáváme I                   adf < bcf,bcf < bed a tudíž adf < bed. Odtud opět podle 5.16 (e) dostáváme
af < be, tudíž A < C. Relace < je tranzitivní.
Z 5.12 plyne, že buď ad < bc nebo bc < ad. V prvním případě dostaneme A < B, v druhém B < A. Relace < je tedy lineárním uspořádáním na Q.
Nechť jsou A,B e Z. Pak pro libovolné x G Z, x > 0 platí [ax,x ] € A = a, [bx, x] G B -b. Podle 5.16 (e) je a < b v původně definované relaci < ha Z, právě když ax2 < bx2, tudíž právě když A < B. Věta je tím dokázána.
\                        6.10. Věta. Nechť a,ß, 7,6 G Q. Pair piati:
(a) a < ß <$=> a + 7 < ß + 7, I                            (b) a < ß <£=> a + 7 < ß + 7,
j                            (c) jestliže a < ß, 7 < S nebo a < ß, 7 < 5 nebo a < ß, 7 < ô, potom
a + 7 < ß + ó,
(d)  a < 0,<y < 5 => a + 7 < ß + Ö,
(e)  pro 0 < 7 platí: a < ß <=> a •7 < ß • j, u < ß <ŕ=> a ■ 7 < /3 ■ 7, j                             (f) pro 7 < 0 piat/: a < /3 <ŕ=^ /3 • 7 < a ■ 7, a ..< /3 <=$■ ß • 7 < a • 7.
Důkaz. Nechť [a, Ď ] G a, [c, d ] € /3, [e, / ] e 7, b > 0, d > 0, / > 0. V průběhu důkazu užijeme několikrát větu 5.16, promyslete si sami kdy. Nejprve dokážeme í                   platnost výroku (a).
Jestliže a < ß, pak ad < bc. Dále [ a f + be, b f } e a..+7-, [ cf + ed, df } G ß + 7. Platí (a/+ te)/d = a/2d + 6e/d < Ď/2c +öe/d = í//(c/ + ed), tudíž a+ 7 <^ +7/
Naopak, jestliže platí a+ 7 < ß + j, pak podle předešlého dostáváme nerovnost I                  a = a+ 7 4-(-7) < /3 + 7+ (-7) = ß.
Platí tedy (a). Odtud se snadno odvodí platnost výroků (b), (c) a (d).
Nyní dokážeme platnost výroku (e). Nechť 0 < 7. Jelikož [0,1 ] G,0, platí, že j                  0 • / < 1 -e, tedy e >.0.   -
Je-li a < ß, pak ad <■■ bc, tudíž adef < bcef, odkud plyne a • 7 < ß • 7.
Naopak předpokládejme, že a ■ 7 < ß ■ 7. Jelikož [ /, e ] G 7~\ je 0 < 7-1 I                   a podle předešlého tedy a — (a ■ 7) • 7-1 < (/? • 7) • 7-1 = ß.
Platnost ekvivalence a < ß 4=3- a ■ 7 < /3 • 7 pak již z předešlého zřejmě !j                    vyplývá. Platí tedy výrok (e).
I                        Výrok (f) se snadno odvodí z implikace 7 < 0 =$> 0  <  —7, která plyne
například z (a). Věta je tím dokázána.
6.11.  Definice. Lineárně uspořádaná množina (M, < ) se nazývá hustě uspo-\                    řádaná, jestliže má alespoň dva prvky a platí:
mi G M, m2 G M, m1 < m2 ==> 3 m G M : rrii < rn < t;i2.
6.12.  Tvrzení. Množina racionálních čísel (Q, < ) je hustě uspořádaná. Důkaz. Nechť [ a,b ] G a 6 Q, [ c, d } € 0. € Q, b > 0, d > 0, a < ß. Pak
ad < bc, odkud plyne ad + 1 < bc, tudíž 2ad + 1 < 2ad + 2 < 26c. Nechť. 7 G Q,
Kap. 6. Těleso racionálních čísel
45
[2ad + l,2Ďd] G 7. Jelikož 2o6d < 2afcd + č>, je a < 7. Obdobně (2ad+l)d< 2i»cd, tudíž 7 < ß. Tvrzení je tím dokázáno.
6.13. Příklad. Množina celých čísel (Z, <) není hustě uspořádaná, neboť např. pro mi — 1 a mi — 2 neexistuje m G Z takové, aby 1 < m < 2.
6.14.  Tvrzení. Pro každé číslo q G Q existuje přirozené' číslo n talcové, že —n < g < n.
Důkaz. Nechť [ a, b ] G g, b > 0. Položme n = \a\ + 1. Pak n je přirozené číslo a platí bn > n > \a\ > a, odkud plyne £> < n, neboť [ n, 1 ] G n. Z nerovnosti |a| < bn dostáváme -bn < -\a\ < a. Protože [ -n, 1 ] G -n, je -n < g.
6.15.  Definice. Nechť p je prvočíslo, [ a, b } G g G Q, £ 7^ 0. Pak definujeme exponent čísla g příslušný prvočíslu p takto:
vp(q) =Vp(a) -vp{b).
Tato definice je korektní, neboť pokud [c,d ] € g, pak a ^ 0 # C, a • d = 5 ■ c. Podle 5.23 tudíž t;p(a) + up(d) = up(6) + up(c), odkud up(a) -vp(b) = up(c) -i;p(d). Číslo iip(a) - up(&) nezávisí na volbě reprezentanta [a, & J racionálního čísla g.
Potom vp je zobrazení množiny nenulových racionálních čísel na množinu celých čísel.
Pro nenulová racionálni čísla a,ß a prvočíslo p pak zřejmě platí:
vp(a- ß) -vp{a) + Vp{ß).
Dále pro a,0 € Q, a ^ 0 £ß máme: a = ±/3 právě tehdy, když vp(a) = vp(ß) pro každé prvočíslo p.                                                               <
Ze základní věty aritmetiky celých čísel 5.21 se snadno odvodí následující věta.
6.16.  Věta. Každé nenulové racionální číslo a lze jednoznačně psát ve tvaru formálně nekonečného součinu
kde e =G {1, -1}, V je množina všech prvočísel, vp(a) ^ 0 jen pro konečně mnoho prvočísel p.
6.17.  Definice. Nechť TI = (R, + ,■) je okruh, a € R a. n přirozené číslo. Binomickou rovnicí n-tého stupně v okruhu 'R- rozumíme rovnici tvaru:
xn - a.     ,.
Zřejmě platí následující tvrzení:
6.18.  Tvrzení. Pro obor integrity R má binomická rovnice xn = 0, kde n je přirozené číslo, právě jedno řešení x = 0.