§ 4 . REÁLNA CISLA
4.1. Definice : Označme E množinu váech mezer a dedekindovských fezu 1.druhu v mne žiné R racionálních čísel Množinu E nazývame množinou reálných čísel, prvlc množiny  E  se nazývají reáML čísla.
Je-li a.e E    dedekindovský, .nazveme jej  racignalnjj}}Jjzerú , je-li mezerou,■■hazs me jej. iracionálním fezem .
ULSJLJLájEjSLE Á   "e~^ te^Y  a ~ W 1*^2 J    Hbovoiné reálne číslo, neobsahuje horní tŕída A 2   tohoto řezu nejmenší prvek .
u«ážuYšOL]    Definujme relaci .< na množine   E  takto:    Pro a=[AxA2} , b = [B1?B 2]
piati a < b pravé tehdy, když je   A\^B\ . Pak je. < úplné uspořádáni na
množině E.      .                                       .......   .......,.„,-,;„ .^.,-,-ti-..-._,-.«>«.—„fc,:
Důkaz :    zřejmý .             -
4'.3, Definice :    Označme i?+   množinu všech kladných racionálních .čísel. Pak je
[R -R+ , i?*] .reálné.číslo, které označíme symbolem   0  a nazývame je  (reálnou)  nulou .  . Reálně éislo  a  se nazýva- kladné , je-li  a > 0   a záporné , je-li a < 0 .
Značíme tedy stejným symbolem nulu v množině racionálních čísel i nulu v množině reálných čísel. -Z kontextu však bude vždy zřejmé, o kterou nuíu jde. Později tato dvě čísla opět ztotožníme. (Je zrejmé, že  Q e E je racionálni řez) .
■4,4. Veta-1'   Buďte  a ~[A1A2I ,b « lBxß2\  libovolná reálná'čisla. Položme
~_           cif La i ÍLa e Á2>ß e Bi\-:£i = R.~£k>Estli c 1 [Ci'C21eE-~-
D-ůkaz :    Potřebujeme zřejmě dokázat že (1)    C2 * p , C2 + R ,   (2)    C2  je konec v R , (3)   C2   neobsahuje nejmenší prvek .
(i)   Buďte  x'e A2 , ß e B2   libovolné , (Protože jsou á,b  řezy v R rje
A% * 0 4= j?3 -a tedy takové prvky existuji). Pak je os + ß.e C2 , takže C2 +<P • Jsou-li í,eAv '; f€Ét libovolné (takové prvky ze stejného důvodu také existují) ; je. i< a pro"každé aeA2,.$<ß' pro"každé ß e Bt •,takie^+í <j\ pro každé  7 e C2   a tedy  C2 4= R .
- 150-
(2)-   Tvrzení, že  C2   je'.konec v- R je zřejmé, neboť A2,B2 jsou konce v R .
(3)    Bud* y € C2   libovolný . Pak existuji a e A2 , ß e B%   talc, že  y = a + ß . Prvek  a  ale není nejmenší v A2   a  ß  není nejmenší v  £2 , takže, existují prvky ai e A2 , ßi € B2 , as < a , ßx < ß .   Pak je  7, - ot^-f  f?j < 7 , 7* e C2, takže ani  7 není nejmenší prvek v  C2 .
Věta je tím dokázána.                     ■                                    -                               :,-
Nyní můžeme definovat-sčítání reálných čísel takto :
..'.-'  Definice :    Buďte  a = {Al7A%\ >   b = [BiJB2]   libovolná reálna čísla. Položme
C2 £ {a + ß \a e A2 , ß e BA   , Cl = i? - C2 . Pak klademe                                    a + -b : ~ [C1;C2] .
Následující tvrzeni je zřejmé :
46, Yětaj    Buďte a,btc  libovolná reálná čísla. Pak platí :
(a)    a + b = b +a                                (komutativní zákon)            ■
(b)    cl +. {b + c) - (a + b} + c.               (asociativní zákon)       <
K důkazu monotónnosti sčítání reálných čísel-potiebujeme následující tvrzení :
ť.4.1 Věta., j   Buď a = [AlrA2]  libovolné reálné číslo , 7  buď libovolné kladné racionální  ]
číslo. Pak existují čísla  a e Ax , ß e A2tak, j^J^j^ff,ZmLs—™—____---v.....^--
Důkaz:.  Zvolme «0 e .42,  j30 e .42   libovolné.   Pak je  ßQ - a0 > 0:! Protože je  7 >.0 , existuje takové přirozené číslo  n , že  «7> 0O. - ^0 »  takže a0 + ny > j3Q . Pak ale aQ , a0 + 7 ■:, a0 * 27 , •** , Oq + ny je konečná posloupnost racionálních čísel taková, že  a0 e. Al , «0 + «7 e.42 . Bud* Q<Kn- 1   největší celé číslo takové, že  a0 -ŕ řye^, \ Pak je  a0 ■-+ (l + Vy e A2 , takže k'dokončení důkazu stačí položit a~ a0+kf} ß~ olq +(! + l)y . •.-'"-*•            •                       :-   \
;;4«8,:Věfej   •JJko&í a,b,c libovolná reálná čísla, Je-U a <fc^ ífjl££j^ít£^
Dulaz:    Nechť «2 « Mi.r^il i *'* í^i^2] , c - [CUC2] . J.e-li a <b , je ijCJ,, takže  B2 C ^2. Označme a + c ~ [Dt,D21 b -f c - [J?i'.i?a ] -  ;
- 15 í -
Potrebujeme tedy dokázat, že Dl C Eit tj.  E2 C D2 •                                                            '
Je zřejmé, že  E2 £D2 • Podle předpokladu je i?2 C A2 » takže existuje at e v42 ~ 52 , tj.   a, e Bx .,'Protože ySak  A2   nemá nejmenší prvek, existuje   a2 e A2 ,   < a2 < cřj. Protože je  B<   začátek v  R ;■ je   a2 e Bx . Nyní platí  a{ - a2 > 0 ,  takže podle   -věty   4.7.   existují prvky  72 £-Cj ,'•  y2 e C2  takové, že  c^ ~ a2 = j2 — Ti , tj. a, ••/■ 7! « aa + 72 . Platí však % * 72 e Z)2 .; pro libovolné  % e E2  je nyní' % = ß + 7-V kde ß e B2 , 7 e G2 ,   ß > a{ , 7 > yľ. Je tedy   £ = ß + 7 > c*! +7! « oj * 72 ,     takže a2 + 72 ^£"2 . Tím je věta dokázána,
4.9. Věta t   Buďte  a, b e Ě libovolná reálná tisla. Pak existuje pravé jedno reálné číslo x
......__ takové, ze, a_+ x -, ô ... _....-.               ..,-.. _. _„........,,.....,,,,. ...    ^-~.,..-.    ■.......--,...
Důkaz:    Zřejmě stačí položit  x = [Xt ,X2 ] ,. kde X2 = { ß — a í ß e B2 , aeij), Xi =i? -X2 .
_4_,10. Definice :    Budvte  or,é  libovolná reálná.čísla. Řešení rovnice a + x = b   značíme symbole b :— a  a. nazýváme, je  rozdílem, čísel  b,a (v tomto pořadí) . Číslo   0 — a  značíme stručně   —a  a nazýváme je číslem  qgaěnyjn  k číslu a .
Je zřejmé, ze pro rozdíl dvou reálných čísel je snadné odvodit všechny běžné vlastnosti. Evidentní je rovněž fakt, že. cislo a je kladné (tj.  a>0) právě, tehdy, když cislo  -a je. ' záporné,  (tj.   —a<0).;~(—a)~a  apod.
...Analogicky jako součet se definuje i součin reálných cisel. Především platí :
4.11. Věta i    Buďte  a = [AírA2] , b « [Bl,B2]  libovolná reálná Čisla. Položme -■"
C2 = í a.,ß \.aeA2 , ß e B2];■-, Cľ =R - C2. Pak je   EAAl reálně cislo.. Důkaz:    Zcela analogicky, jako důkaz vety  4.4.
Nyní je oprávnená následující definice :
412. Definice :;   Bucfte a =.[AUA2] , b =  [BlrB2] libovolná reálná čísla. Utvořme  [CltC2} jako ve vétě . 4.11. Pak definujeme
. '.':               á.b : = {CUC2]  .           ..'.    . ' *.'                         "  ;' ;.
.j •       '   ',       . .      (-a). b =a V(-b).: * - (a, b)                                               '  <
Důkaz následujícího tvrzení je zřéjrný.
i ,4.13.. VŠía :    Bučíte' a.b.e  libovolná reálná čísla. Pak platí:
[■              (1)   a . b = b . a .                                        (komutativní zákon)
\             (2)    a . (b , c) - (a . b) . c                            (asociativní zákon)
[■•■•■    .   (3)   a . (b + e) = a . b + a . c                       (distributivní zákon)
i -   • •                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        •    .
1              (4)    a . b"- 0  práve tehdy, kdy z   a =-0   nebo   b = 0 .
-- --'■^Oi.-,^;,;/--;/:,.::.:
LUáúXŽJ&áJ Buďte  a,b e E , a- ť 0 , libovolná reálná čísla. Pak existuje právě-jedno reálné
.   § í k a z.:    Je-li  £ - (9 , je podle věty .4.13. jediným řešením rovnice  a . x =# číslo  x ~ Ö . Nechť tedy b £ 0 . Předpokládejme například, že  a >0 , b> 0 , «-WiUaJ* * ^Ißißi] • Položme X2 = || (■ 0 e £2 ,ae^] ,jTx -jR - X2. Důkaz toho, ze číslo  x - [Xi ,X2 3 je hledané číslo, je zřejmý.
Je-li některé z čísel a,b  záporné, je důkaz zcela analogický.
Nyní je již zřejmé, jakým způsobem lze vybudovat aritmetiku reálných čísel. Nyní dokážeme některá tvrzení, týkající se struktury uspořádáni na E .
■■ 4.15. Věta. í   Buď é * M Sr E libovolná množina reálných čísel Pák platí :
^ai imii'KíIiiii   ,ii'ľ  ill iiii                                                                                     .-..                                                                                                                ■                           *■
j[l)   Je-li M zdola ohraničené, existuje  inf^M
(2)   Je-li M shora ohraničená, existuje  supEM .
Důkaz-:    (1)    Nechť M je zdola ohraničená. Poněvadž je E  podle věty  2.4. řetězec, štaci zřejmě dokázat,'(viz definici L, 7.1.) , že existuje taková dolní, závora a  množiny  M , že ke každému x e E , x > a ,  existuje prvek y e M , y < x .„ Pak,-hude a = inf.U.                                  ...■■'                      l
Položme A2 - í d |. a. e R , existuje   [XltX2 ] e M tak, že  a. e X2"\   , A x = R - A2 . Dokážeme, že. a = [Ax tA2 ] - tnf% M ..                              " -   - ;'                                     ' -
(a)    Nejprve dokážeme, že '[AlfA2] je reálne číslo, tj. yi2 *0., ^42.* i? , <42   je konec v R  a ^42   neobsahuje nejmenší prvek.'
Protože je M $ <j> , je.i yí2 * 0 s neboť existuje. [XltX2] e M , X2 $.<fi .
Podle předpokladu je itf  zdola ohraničená, takže existuje  y.= [^1,^2] £••#  tak, .ze-y <•*  pro každé  x e M . Pak ale pro libovolný prvek  £ é Yľ   je  £ |? A2., takže >12 ■* i? .
Bud .nyni  á e Á7   libovolný prvek a volme   £ e R , ř ^ a  uoovome. rroioze existuje  -[X, ,X2 j    e M   tak. že   a e X2  a   X2   je konec v  R , je nutné   f e X2    a..tedy i § e .42 . Je.tedy Á2   konec y i(.
Buď nyní  á e A2   libovolný. Je   a s X2  pro vhodný prvek   [X,,X23 e M ■ Protože však X2   neobsahuje nejmenší prvek, existuje  ß e X2 , ß < a . Pak je ale  ß e Á2~ a Ä2   tedy rovněž neobsahuje nejmenší prvek.                                  •                               :,-
Je tedy  a = [AltA2]e£'.
.. (b)    Nyní dokážeme, že a ~ in/M ,.
Buď x = [XuXt] e M libovolný prvek- le-li   | eX>   libovolný, je   £ e^42 , takže %2 *zk A2 ■ Pak ale  jáj c Xj  a tedy  a < x . To tedy znamená, že   #  je dolní závora-množiny M .
.Bud"nyní x -■ [XltX2] e E. T x > a libovolný, prvek. Pak je Ax C Xa , takže existuje a e Xi — Aí , tj. aě^i" Podle definice množiny i42 existuje >> ~ !X1;F23 e M ■ takový, že   a e Y2 . Pak je ale   Yx C X1   , takže >> < x .                              '•-.'".
Je tedy  a-= inj M .
(2)    Bud5' M  shora ohraničená. Množina M4" všech horních závor množiny M   je tedy neprázdná a je- zdola ohraničená, neboť každý prvek z M ■ je její dolní zá-' vorou  (a podle predpokladu je M * é) . Existuje tedy  infEM+   podle (1) . Nyní je ale zřejmě supEM » infEM+ . (Srovnej s důkazem věty  I., 7.17:) .
í4.16...Véta I    Uspořádaná množina reálných čísel je spojitá } (Viz definici  L, 6.13.)
D ů. k a z :    Je zřejmé, že .množina E je hustá,, tj. neobsahuje skoky. Z věty  4.15. ale plyne, že E neobsahuje ani mezery; je tedy každý řez v E  dedekindovský.
Z vety  4.16.  také plyne, že pomocí řezů v množině' všech reálných čísel nelze definovat nové prvky.                                                                                       .          .
V záveru tohoto paragrafu musíme opět odstranit stejnou nesrovnalost jako v   §§ 293 . Podle naší definice totiž racionální císlá nejsou zvláštním případem čísel reálných. Podle následujícího tvrzení, jehož.důkaz je zřejmý, však můžeme racionálni čísla ztotožnit s racionálními rezy.     '     .*                     •            •         ••                                    v   -                 -        '■ ''."  .
y<á .
~..--It- v. & : —*-V>
4,17. Věta :    Označme  E{l)   množinu všech racionálních ř.ezů. Pro libovolné racionální číslo  a označme Ra : - {f | É e Ä , $ < a]   . Pafc /e  [JR-ft , R -RJ e E^   a zobrazení f : Ř -> E^   definované takto :
f (a) ~'[R'atR — Ra]  pro každé a e R , ■
je isomorfismus vzhledem k uspořádáni < i vzhledem k operacím   + a ,•   . .
Jinou možnost konstrukce reálných čísel pomocí čísel racionálních viz v MP , § 9 .
§•$".. OSLA KOMPLEXNÍ
_jS.L Definice :    Buď £  mnoáma reálných čísel. Množinu £2   označme  i£ a nazveme ji množinou.komplexních^cisel'. prvky množiny  K se nazývají   komplexní čísla.
6.2.  Definice :    Buďte  x = [a.b] , y ~ [cd]  komplexní čísla. Pak klademe
x f y.■: * [á + c , b + d]
x . y :■ = [ac — hd , ad + bc] .                              .  ■:■
6.3.  Vete j    Buďte x,y,z  libovolná komplexní čísla. Pak piati:
(1)    x + y = y + x                                (komutativní zákon pro scitání)
(2)    x + (y + z) = (x + y) + z              (asociatívni zákon pro sčítáni)
(3)    x. y = y . x                                 (komutativní zákon pro. násobení)
(4)    x..(y.z)=(x.y).z            .     (asociativní zákon pro násobeni)
(5)    x . (y + z) = x . y + x . z              (distributivní zákon).
Důkaz:    je jednoduchý, prenecháme jej čtenáři.
:..^6,4.,.ýgía;i-   Označme  u : * [1,0] , n ■ ~ [0r0] . Pak pro libovolné komplexní číslo  x platí
(1)    x + n = x
(2)    x . n = n
^S^X..Ä-M~X          .•"..:.'.-■.....,:,- . m u...........-.,,-w.'.--..-^ «.ĺ    .-w...................-.-.......'...'...
Důkaz:    Tvrzení plynou bezprostředně z definice.
Evidentní je rovněž důkaz následujícího tvrzení :       .
65. Věta :    Buďte a.b  libovolná komplexní čísla. Pak existuje práve jedno komplexní číslo x  takové, že a + x = b \  ' D ů kaž:    Nechť a *t«ť»«i;]   b H^tAJ   zlozme *.••*=■(&,.- a, . ^,~ ^l\} pak-je .a + .v = [í?i + 6j ~ al ,.rai + b2 - a2]= \b\,b7\ = b . Že je řešení rovnice  a + x'= b  určeno jednoznačné., je evidentní .
6.6, Definice :    Buďte  a.b   libovolná komplexní čísla. Jednoznačné určené řešení rovnice
- 156
a .+ x = b   značíme symbolem  b — a  a nazývame je  rozdílem  čísel   b,a . Číslo  n — a  značíme stručné symbolem  — a .
Následující tvrzení je zřejmé :
* i rO^íaT-Jt-rcěre-l
16,71' Věta :    Pro libovolná dvé komplexní čísla  x,y platí :
(a)    x — x = n                          ■                                 ]
Ji) -JL-rčl • y:~~č: íz?{ = _ íx • ?) = ^~u^ ■ ^x *' yl'  í
|| 6.8. Definice :    Buď x = [*lF*23 e /C. Absolutní hodnotou   čísla   x   nazýváme (reálné) číslo
Je zřejmé, že platí :
Jf 6.9. Věta I   Pro libovolná komplexní čísla x,y platí : (a)    |jc| > tf   pro fajfde  x í n , |«| = 0
i
I"-
1-6.10. Veta :    Bučíte  x,y  libovolná dve komplexní čísla. Pak je  x . y = n  právě tehdy, když ______   x = n  nebo y ~ h.    ,
D Ů k a.z :    X.    le-li x . y = n , je   |*| . \y\ = í* . yi « M = Ö • Protože   |x| , \y\ jsou reálna Čísla, je   |i| - 0   nebo   M • 0 , takže podle věty  6.9.  je  x * n f f nebo y ~ n . ■
II.    Je-li * = s  nebo y = n . je x . y = n  podle definice  6.2.

? 6.11. Věta ;    Budíte  x,y e K , x4 n , libovolná komplexní čísla. Pak existuje pravé jedno
komplexní číslo -i- takové, .z^JLaJL^UL^^ Důkaz:    Nechť * « Ml , J = [<?,</] . Položme  z * MJ. [^Tp ■ a2 + h%}'
ac             bd             -cb            ad         _
= ífl2 +bi-+ p + }}i    '  a2 +b2   ř a2+b2
ac + bd      ad -bc
a
2 c -h.ábď - abd + b2c      a1 d - ab c + abc + b2 d
"Pak je x. z*° I —-•".'"*'"     "",,   "■'-"   , —:- - ~-^^-~~ ) = [ctí] - y
ar + b'-                               a2 +■ o2
"    í    ?   /
Budte nyní  vfw  libovolná'taková "-komplexní čísla, že  x . v - xw -y .Pak je podle věty   6.7.  xv- - xw - x (v -w) = n . Podle vety  6.10.  je-tedy  x - n   nebo   v - w - n. Podle předpokladu však je x.'t n , takže je nutně  v — w -n , tj.   v = w .
Tím je věta dokázána.  .
6.12. Definice ;;    Buďte  x,y e K., x 4= n , libovolná komplexní čísla; Jednoznačne určené řešení rovnice  x', z -y -značíme symbolem.  — a nazýváme je  podílem   čísel'
■'.y,x.i  ; ;. V  , ■ .......                           ....... ...                  ....-,,... .'■              :...   . .   '"....,...-...-..
■6.13. .yéía;    Pro libovolná reálná čísla  a,b  platí:        } ■ (a) ■ {a,0} + l'b,0] = [a-+b,0]                     ]■
í
(b)   [a,0}.\bm=[a. b,0] ■      (c)    ^,0]±V-^   0}.pro  b±0          -j   '
j               (d)    JM]1.= ]0|          ........    I .....         J                      .;     :
riKUI^'w'-M'A
Důkaz.;-    zřejmý .
W-"._-. .Ä'-Ä- .l-í^.li "=. iif=-=!fŤ^Ä.J«KiíL^.-i=«jaÄCSÄi»-«.-n»':
j    6.R Důsledek I   Položme KQ = {[ a,0]\ a e E^ '.Pak f e zobrazení f: E -> KQ definova-
I                     . rce takto
f (a) = [a,0]   pro každé a e E ,
isomorfismus vzhledem k operacím   + a •  .^^.^^^
Žtotožníme-li nyní každé'reálné číslo  a   s komplexním číslem   .[a, Ö]., budou reálná čísla speciálním případem čísel komplexních.
Lze tedy vybudovat ^aritmetiku,  komplexních čísel i bez zavedení symbolu  i . Jeho zavedením se vsak usnadní symbolika.
6.15; Defmice,í   Klademe i'; = [OJI ' Z definice  6.2.' okamžitě plyne :
1:6.16. Veta :    i2 - - i .  ••:'; .                                                                                       ...