Příklady S2


R. Blažková


 1. Najděte dvě po sobě jdoucí přirozená čísla, pro která platí: rozdíl rozdílů jejich třetích
mocnin a rozdílů jejich druhých mocnin je 30.


 2. Dokažte, že rozdíl druhých mocnin dvou po sobě jdoucích přirozených čísel je roven jejich
součtu. Platí tato věta i pro čísla záporná? Platí obecně pro čísla racionální?


 3. Rozložte na součin dvou výrazů:

a)      x(6y – 1) + 2(1 – 6y)

b)      r^2 – 6 r + 9 – 4m^2

c)      a^2 + 8 a + 16 – 100b^2

d)     x^2 – 36y^2 – x – 6 y


 4. Najděte taková čísla u, v,   aby výraz (u + v)^2 – (u – v)^2

a)      nabýval kladné hodnoty,

b)      nabýval záporné hodnoty,

c)      byl roven nule.


 5. Dokažte, že výraz  (a + 4)^2 + 2(a + 4)(6 – a) + (6 – a)^2 je pro libovolnou hodnotu a roven
číslu 100.


 6. Dokažte, že pro každá dvě nezáporná reálná čísla platí: jejich aritmetický průměr je větší
nebo roven jejich geometrickému průměru.


 7. Dokažte, že pro nezáporná čísla  a, b, c platí: ab + bc + ac


 8. Dokažte, že platí:  (ab + cd)^2 + (ac - bd)^ 2    =  (a^ 2 +   d^2) (b^2 + c^2)


 9. Dokažte, že pro každá nezáporná reálná čísla a, b, c platí:

(a^2 + 1) (b^2 + 1) (c^2 + 1)  8abc


10. Dokažte, že pro každá nezáporná reálná čísla a, b, c platí:

(a + b) (b + c) (c + a)    8abc