KRUŽNICE,  KRUH



1. Vývoj pojmů

Děti se od malička v běžném životě setkávají s předměty, na  kterých se vyskytují kruhy a kružnice.
Nejprve vše zahrnují pod pojem „kulaté“, později začínají diferencovat, nejprve na předměty
prostorové (koule, válec, kužel) a rovinné (kruh, kružnice) a až ve školním věku pak diferencují
mezi jednotlivými pojmy v rovině i v prostoru.


2. Reprezentace pojmů kružnice a kruh v běžném životě

Tvar kružnice má např. prstýnek, obruč,

Tvar kruhu má např. dopravní značka zákazová,  dno hrnce nebo kastrolu, podstava válce.



3. Základní pojmy


K definici kružnice a kruhu můžeme přistupovat dvěma způsoby:


a) využijeme shodnosti:

Je dán bod S a úsečka AB. Kružnicí k nazýváme množinu všech bodů X v rovině, pro které platí, že
úsečka SX je shodná s úsečkou AB.

Symbolický zápis:    k = {XÎr, SX @AB }









Je dán bod S a úsečka AB. Kruhem K nazýváme množinu všech bodů X v rovině, pro které platí, že bod
X je bodem úsečky SY a úsečka SY je shodná s úsečkou AB.

Symbolicky:    K =  {XÎr, XÎSY Ù  SY @AB }.










b) využijeme pojmu vzdálenosti

Je dán bod S a nezáporné číslo r. Kružnicí k rozumíme množinu všech bodů X v rovině, pro které
platí, že mají os bodu S vzdálenost r.

Symbolicky:     k = {XÎr,  |SX| = r}.


Je dán bod S a nezáporné číslo r. Kruhem K rozumíme množinu všech bodů X v rovině, které mají od
bodu S vzdálenost menší nebo rovnu r.

Symbolicky:     K = {XÎr,  |SX|   r}.



Bod S se nazývá střed kružnice nebo kruhu

Poloměr kružnice (kruhu) je úsečka, jejímiž krajními body jsou bod S a libovolný bod kružnice. Je
to také velikost této úsečky ( r = 3 cm). Označuje se písmenem r (radius)

Průměrem kružnice (kruhu) rozumíme úsečku, která prochází středem kružnice (kruhu) a jejímiž
krajními body jsou dva různé body kružnice. Je to také velikost této úsečky. Označuje se písmenem d
(diametr)

Platí:  d = 2r.


4. Rýsování kružnic

Nejprve je nutné, aby žáci zvládli techniku práce s kružítkem. Je vhodné aby:

a)      rýsovali kružnice zcela libovolně

b)      rýsovali obrázky pomocí kružnic (kytičky, terče, sněhuláky, housenky aj.)

c)      rýsovali kružnice s daným středem

d)      rýsovali kružnice s daným středem a daným poloměrem

e)      rýsovali kružnice, které mají daný střed a procházejí daným bodem.


5. Vzájemná poloha kružnice a přímky










Sečna                                                             Tečna
Vnější přímka kružnice

|SX|   <  r                                                        |SX|   =
r                       |SX|   > r

k   p =                                            k   p =                 k   p =  Ø


Průnikem kruhu a přímky je úsečka, nazývá se tětiva.



6. Vzájemná poloha dvou kružnic











Kružnice nemají společný bod.                                       Kružnice se dotýkají vnějším
dotykem.

Vzdálenost jejich středů je větší než                            Vzdálenost jejich středů je rovna

součet poloměrů obou kružnic.                                       součtu poloměrů obou kružnic.








Kružnice se protínají, mají společné

dva body.                                                                               Kružnice se
dotýkají uvnitř.

Vzdálenost jejich středů je menší než součet                            Vzdálenost jejich středů je
rovna poloměrů, ale větší než jejich rozdíl.                                     rozdílu poloměrů
(v absolutní


hodnotě).











Jedna kružnice leží ve vnitřní oblasti                                 Soustředné kružnice. Středy
obou

druhé kružnice.                                                                        kružnic
splývají.

Vzdálenost jejich středů je větší než 0

a menší než absolutní hodnota rozdílu

poloměrů.