Afinní zobrazení - ovídení 1. VAi2) jsou dány nekolineární body B, C, D. LSSjezvolenatak, že počátek P = 5, e, - C- B, e2= D-B. Určete rovnici afinního zobrazení / zobrazujícího A® do A® tak, žsftB) = [ 1,0, 0 ], /(C) = [0,1,0 ], f (D) = [0,0,1 ], přičemž souřadnice bodů v Ai3) jsou uvedeny vzhledem k nějaké pevně zvolené LSS v A®. Řešení: f = fx> y. | = c ä g h ) 0 o; Po dosazení souřadnic dvojic C, f (C) a D, f (D) dostaneme : a = -1, c = 1, g = 0, 6 = -1, d = 0, h = l. Určete samodružné body a samodružné směry afinního zobrazení/; A(2) —» A®, vyjádřeného vzhledem k LSS rovnicí: X' = -1 -1 2 2 a ukažte, že jde o projekci roviny na přímku q této roviny ve směru, který udává zaměření jisté přímky s. Určete q as. Řešeni : Množinou samodružných boduje přímka q = y = -Ix, jejíž směrový vektor je charakteristickým vektorem příslušným k charakteristickému kořenu 1. K charakteristickému kořenu 0 přísluší charakteristické vektory patřící do zaměření přímky s = y = -x. Protože obrazem směrového vektoru každé přímky r \\ s je o, zobrazí se r do bodu Q - r n q, neboť Q je samodružný . Určete samodružné body a samodružné směry afinního zobrazení/; Am —> A<2), vyjádřeného vzhledem k LSS rovnicí: /■sX' m a ukažte, že jde o zobrazení složené z projekce p roviny na přímku q této roviny ve směru, který určuje zaměření jisté přímky í a stejnolehlosti h na přímce q. Určete q, s a střed S i koeficient k stejnolehlosti h. Řešení:/ má jediný samodružný bod O = [ 0,0 ]. K charakteristickému kořenu 7 přísluší charakteristický vektor patřící do zaměření přímky q s y = ^ x procházející bodem O. Pro každý bod 7* O ležící na i? je vektor 7- O charakteristický, takže (p(7- O) = 7(7- Ö), tj. ßY) = O + 7(7- O), což je rovnice ä na přímce A®, vyjádřené vzhledem k LSS rovnicí: *■ = X' = popište konstruktivně. 4 6 2 3 X + í2^ Uy 2 Řešeni: k=ft, kde/j e zobrazení z úlohy č. 3 a í je posunutí o vektor v-(2, 3). Obrazem přímky q (viz úl. č. 3) v posunutí t je přímka q' 11 q, takže q = y = \x + a, na které musí ležet bod fiO) = [2, 3], z čehož po dosazení jeho souřadnic do rovnice q' plyne a =2. Pro zobrazení k platí k =pht (.pa.h viz v úloze č. 3 ), z čehož plyne popis konstrukce obrazu libovolného bodu Proviny v daném zobrazení k, které má jediný samodružný bod U ležící na q '■[/=[ --,-], p(U) =V - ["21'4f]'Ke * m = R = [-13' "fL * e«' 'W= £/- Určete samodružné body a samodružné směry afinního zobrazení /: Al3> -dem k LSS rovnicí : 2 1-3^ 4 2-6 3'6- Aí3\ vyjádřeného vzhle- /"= X' = 6 3-9 X. Dokažte, že jde o zobrazení A® na přímku q tohoto prostoru, v němž se každý bod roviny o rovnoběžné s j istou rovinou p zobrazí do téhož bodu V přímky q, přičemž y je obrazem průsečíku Y přím- «• ky q s rovinou o ve stejnolehlosti h se středem S a koeficientem k na přímce q. Určete q, p, S, k . Řeienl: V f je samodružný pouze počátek O. Zrovnice/ plyne ,y'= 2* j z'=3x'. Obrazy všech bodů prostoru /l<3> proto leží na přímce -3z=0. Leží-li B v p a jsou-li u, v lineárně nezávislé charakteristické vektory ze Z(p), pak se každý bod X - B + ru + sv roviny p zobrazí do téhož bodu f(B) protože obrazem char, vektorů u, v v asociovaném lin. zobrazení je vektor o. Toto tvrzení platí i pro každou rovinu o 11 p . Všechny body roviny o se proto zobrazí do téhož bodu jako průsečík Y=q r>a , tj. do bodu h(Y) = ßY) protože obrazy všech bodů prostoru A& leží na přímce q. Vzhledem k LSS v XCT je dáno afinní zobrazení /■bX' = 2 -1 -2 3 -3 -2 r4\ X + Určete, o jaké afinní zobrazení se jedná. Řešení: Samodružné body vyplní rovinu p= x-y-z + l=0. K dvojnásobnému charakteristickému kořenu 1 přísluší charakteristický podprostor Z(p), k charakteristickému kořenu 0 přísluší charakteristický vektor s = (4, 2, 3 ), který generuje směr promítáni 4CT do p. V A(2) je vhledem k LSS dáno zobrazení / rovnicí X' = -3 2 6 -2 X + -2 3 Dokažte, že /je osová afinita, určete její modul A, osu o a směr Z(s). Řešeni : A = Ia I = -6. Samodružné body vyplní osu o s y = 2x + 1. Charakteristický vektor patřící k char, kořenu 1 patří do Z(o). Char, vektor patřící k char, kořenu -6 = A, patří do Z(s) = L(i), s s 3x + 2y = 0. Vyslovte a dokažte hypotézu o charakteristických kořenech zobrazení asociovaného k osové afinitě a jejich významu. Řešeni: Hypotéza: Zobrazení asociované k osové afinitě má vždy dva reálné charakteristické kořeny : 1 a A, kde ä je modul afinity. Char, vektor příslušný ke kořenu 1 generuje směr osy afinity a char, vektor příslušný k charakteristickému kořenu A generuje směr afinity. Důkaz: Při vhodné volbě LSS (x = o ) lze rovnici osové afinity zapsat ve tvaru (viz přehled afinit roviny, případně větu 8): -(;:) x, z něhož je tvrzení o char, kořenech zřejmé. Význam char, vektoru příslušných k uvedeným char, vektorům plyne z V 21 S a z toho, že v osové afinitě existuji právě dva různé samodružné směry. Význam charakteristického kořenu A viz v poznámce č. 6 na s. 6 materiálů o afinních zobrazeních. Určete, jaké zobrazení/je vzhledem k LSS určeno rovnicí: 1 '2-lcO '^ a) X' = 1 0 0 0 0 1 X + o b) X'= i í J |X, «*0. Řešení: a) Množinou všech samodružných boduje rovina p=jc-.y + l = 0. K trojnásobnému char, kořenu 1 přísluší charakteristický podprostor Z(p). Zobrazení /je dle V 5 elace, její smír generuje vektorX'-A" pro každý bod Xftp ; pro^= O dostaneme vektor s = (1,1 0 ), se Z(p). b) Množinou všech samodružných boduje přímka o = x = 0. K dvojnásobnému cha kořenu 1 přísluší charakteristický podprostor Z(o) = <* ( 0,1) >. Zobrazení /je dle V 5 elace s osou o. 10. Afinní zobrazení je dáno vzhledem ke KASS rovnicí Dokažte, že /je osová afinita, jejíž osa o=x aje-li A * 1, je A její modul (charakteristika), je-li h = 1, jde o elaci. Dále dokažte, že pro k* 0 je , ■■ směrnice přímek patřících do směru afinity a pro ír = 0 jde o osovou afinitu pravoúhlou. Řešeni: Množinou všech samodružných boduje osa* = y = 0. K charakteristickému kořenu 1 přísluší charakteristický vektor xí e< (1,0) > generující směr osy x, k charakteristickému kořenu h pro A 1 k * 0 přísluší charakteristický vektor z, e< ( 1, "7 ) > , který je směrovým vektorem přímek směru afinity, jejichž směrnice je 7 • Pro A * 1 jsou přímky směru afinity různoběžné s osou a- finityjr, takže pro každý bod Yex a jeho obraz Y' existuje průsečík Yt= YT r\x a pro charakteristický vektor Y- Y0 příslušný k charakteristickému kořenu A platí: f {Y) -/TO = h ( Y- Yo ) =* y - ^o = h ( Y- Yo) =* %) = *- takže A je modul afinity. Je-li A = l,jde die V25 o elaci s osou x. Pro k = 0 jde pro každé A*! o afinitu pravoúhlou, protože charakteristický vektor Xje<(0,1)> generuje směr osy y 11.Vysvětlete, jaký je geometrický význam rovnosti: * =n K1 >K;t0>l vzhledem k LSS. Řešeni: Každou stejnolehlost lze nekonečně mnoha způsoby rozložit na dvě osové afinity, jejichž různoběžné osy lze libovolně zvolit tak, že procházejí středem S stejnolehlosti. Přitom osa jedné afinity udává směr druhé a naopak. Moduly obou afinit jsou rovny K. Důkaz proveďte tak, že určíte samodružné body i směry obou afinit Můžete také využít výsledků úlohy č. 10. ho^zfaje- Aflnnf zobrazení- ovičenf 2. Uríete samodružné body a samodružné smíry afinního zobrazeni/; Aw -» 4W, vyjádřeného dem k LSS rovnicí: a ukažte, žejdo o projekci roviny na přímku í této roviny vosmini,ktetý udává zamířeni Jistí přímky* Určete?»* 3. Uríete samodružné body a samodružné sznéry nfinnfhn dem k LSS rovnicí: ' \ / a ukažte, ze jde o zobrazeni složené z projekce :Wi$ zobrazeni/; /i« -,. x« ^^ ^ íuJ'f ^«cníJiHté Pfunky^astejnojehíostí ArTS* MP^« tótorovW ve smíru, který ur-tíejnolehlostiA. , J*«Wo* A napřiiacec, Uríete ft , a střed S i koeficient ./.. '■ Í}vMa*v : 1. ^^;*^^^'*>/^__^ >(U) 1' Jfor*V0C**£-*C/ 1-> -f A*^y: lA-*EI = 0 \= i • Irl-l^lM+yO* 3, y**~^06t*' ^/iy^ý^^C- C?<&vG&i /KČA^tcJt«*^ "£»^u^ i/ta*»*?**- Jf(j£)lÁ\/ÍT^S<4*^Ýä~^**''*& \A*i~y^<)fČ*<*><^^š^r*%*~ P, ^ t^J^A****.,*-*- 'j^ffi«, ^^«fJ* fA.f, j /* ^ ** -Vyryly *fi ýUm^ s&étH Ye*, ýosr -ýsA^ťY', áCvý^ ďéw£***/6~!*' ^^^ X rf=n,4-** 4. Zobrazení fc Xw -»■ Xn, yyj&Senó vzhledem k LSS rovnici: *-.*:íií.m;)\ /1X* **■(*)■ ji^-ň Key *«'$**> X'[2*,*]~Ji.e& 4"^ (Í)-(íí)(í>ff) (ýj- [:** + 3/ A,±=y Z-[4,4] 4 f í á. ^ ^^ • * — / / s / (kíAC'^n -> jó-.yA+^O = -4 -V = 0 11 '— 1 U -i -z}"-~ O S -í ] \3 -S -ti \0 O O J [ 2 -l -1/ O O S OJ O I Jr*u<íúru«^ J& . f *~ ^^ %xro líä-ivti/ kJa>-} i'-x'-Ľ0*)*'-"*0- b Z. f 4 */\[1 O if*x ") + & fo^^e 0 ^-ý/*^ •S ■ J&s^ifa^£'i^'yVv-f&,: (n "E jX - U 60 'f-? A - * ________ f/L ^£ ^ (í?- f) > >Wt^ g- f^č^t^T-, /ítóří«ť««^ (})'( A-A' a.*4/f 7 Afinní xobrazeni - cviöenl ___ 10 Afinni zobrazení jo ák» vzttedem keKASS rovnicí Dotažte,ze /jeowYaafi«ta,jojßosa • - x »je4i A*l,jeAjejíiiK>dnl(ciafatoristikE), je-li A = 1, jde o etari. Dále dokažte,* pro ** 0 je *-ý^ mímce přímek patřících do «nen. «fbnty a pro ŕ =0 jde o oiovou afinito pravoúhlou. _______________ ____ ____ J,¥0 Q.* + Q.y ~0 , cf(Y-Y.)->JY-Y>) '■: ' ' /y 5- ».Iš^m^mMeM/-- t \9 (It)- (i^llh^Ľ^f^JĹSS- (lÍ)(tl)^ Co l)(o 3t)< Mou*}, ♦ ( í ■ /Ö J jo =0 *y / . / \ Q JAWA' «<2f - í« t-0 frldvLu 10 (»O [O x ( O 3C I ,<*^tj dL j~r^ •' /M**su /ŕ*í" í